ما هو القطع الزائد: المعادلات والخصائص. المبالغة وخصائصها كيف تبدو صيغة القطع الزائد

التعريف 7.2.يسمى المحل الهندسي للنقاط في المستوى الذي يكون فيه الفرق في المسافات إلى نقطتين ثابتتين ثابتًا مقارنة مبالغ فيها.

ملاحظة 7.2.وعندما نتحدث عن فرق المسافات، فإننا نعني أن المسافة الأصغر تطرح من المسافة الأكبر. وهذا يعني أنه في الواقع، بالنسبة للقطع الزائد، يكون معامل الفرق في المسافات من أي نقطة من نقاطه إلى نقطتين ثابتتين ثابتًا. #

تعريف القطع الزائد يشبه التعريف الشكل البيضاوي. والفرق الوحيد بينهما هو أنه بالنسبة للقطع الزائد يكون الفرق في المسافات إلى النقاط الثابتة ثابتًا، وبالنسبة للقطع الناقص فهو مجموع المسافات نفسها. ولذلك فمن الطبيعي أن تشترك هذه المنحنيات كثيرًا في خصائصها وفي المصطلحات المستخدمة.

النقاط الثابتة في تعريف القطع الزائد (دعنا نشير إليها F 1 و F 2) تسمى الحيل المبالغة. تسمى المسافة بينهما (دعنا نسميها 2c). البعد البؤري، والقطاعات F 1 M و F 2 M التي تربط نقطة عشوائية M على القطع الزائد مع بؤرتها هي نصف القطر البؤري.

يتم تحديد نوع القطع الزائد بالكامل بواسطة البعد البؤري |F 1 F 2 | = 2c وقيمة الثابت 2a، يساوي الفرق بين نصف القطر البؤري وموضعه على المستوى - موضع البؤرتين F 1 و F 2.

من تعريف القطع الزائد، يتبع أنه، مثل القطع الناقص، متماثل بالنسبة للخط الذي يمر عبر البؤر، وكذلك بالنسبة للخط الذي يقسم الجزء F 1 F 2 إلى النصف ويكون متعامدًا عليه (الشكل 7.7). يسمى أول محاور التماثل هذه المحور الحقيقي للقطع الزائدوالثاني - لها محور وهمي. تسمى الكمية الثابتة a المشاركة في تعريف القطع الزائد نصف المحور الحقيقي للقطع الزائد.

تقع نقطة منتصف القطعة F 1 F 2 التي تربط بؤرتي القطع الزائد عند تقاطع محاور تماثلها وبالتالي فهي مركز تماثل القطع الزائد والذي يسمى ببساطة مركز القطع الزائد.

بالنسبة للقطع الزائد، يجب ألا يكون المحور الحقيقي 2a أكبر من المسافة البؤرية 2c، لأنه بالنسبة للمثلث F 1 MF 2 (انظر الشكل 7.7) فإن عدم المساواة ||F 1 M| - |ف2م| | ≥ |F 1 F 2 |. يتم تحقيق المساواة a = c فقط لتلك النقاط M التي تقع على المحور الحقيقي لتناظر القطع الزائد خارج الفاصل الزمني F 1 F 2. وبتجاهل هذه الحالة المنحطة، سنفترض أيضًا أن أ

معادلة القطع الزائد. دعونا نفكر في قطع زائد معين على المستوى مع بؤرتين عند النقطتين F 1 و F 2 والمحور الحقيقي 2 أ. دع 2c هو البعد البؤري، 2c = |F 1 F 2 | > 2 أ. وفقًا للملاحظة 7.2، يتكون القطع الزائد من تلك النقاط M(x; y) التي يمثلها | |ف ١ م| - - |ف2م| | = 2 أ. دعنا نختار نظام الإحداثيات المستطيلةأوكسي بحيث يكون مركز القطع الزائد عند أصل، وتم التركيز على المحور السيني(الشكل 7.8). يسمى هذا النظام الإحداثي للقطع الزائد قيد النظر العنوان الأساسي، والمتغيرات المقابلة هي العنوان الأساسي.

في نظام الإحداثيات الكنسي، توجد بؤر القطع الزائد الإحداثيات F 1 (ج؛ 0) وF 2 (-ج؛ 0). باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين، نكتب الشرط ||F 1 M| - |ف2م|| = 2أ في الإحداثيات |√((x - c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2)| = 2a، حيث (x; y) هي إحداثيات النقطة M. لتبسيط هذه المعادلة، دعونا نتخلص من علامة المقياس: √((x - c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2) = ±2a، انقل الجذر الثاني إلى الجانب الأيمن وقم بتربيعه: (x - c) 2 + y 2 = (x + c) 2 + y 2 ± 4a √((x + c) 2 + ص 2) + 4أ 2 . وبعد التبسيط نحصل على -εx - a = ±√((x + c) 2 + y 2)، أو

√((س + ج) 2 + ص 2) = |εx + أ| (7.7)

حيث ε = ق/أ. دعونا نقوم بتربيعها مرة أخرى ونقدم مصطلحات مماثلة مرة أخرى: (ε 2 - 1)x 2 - y 2 = c 2 - a 2، أو مع الأخذ في الاعتبار المساواة ε = c/a وبافتراض b 2 = c 2 - 2،

س 2 /أ 2 - ص 2 /ب 2 = 1 (7.8)

يتم استدعاء القيمة b > 0 نصف محور وهمي للقطع الزائد.

لذلك، أثبتنا أن أي نقطة على القطع الزائد مع التركيز F 1 (c; 0) و F 2 (-c; 0) وشبه المحور الحقيقي ترضي المعادلة (7.8). ولكن من الضروري أيضًا توضيح أن إحداثيات النقاط خارج القطع الزائد لا تحقق هذه المعادلة. للقيام بذلك، نأخذ في الاعتبار عائلة جميع القطع الزائدة ذات البؤرتين المعطاتين F 1 وF 2. تحتوي هذه العائلة من القطوع الزائدة على محاور تناظر مشتركة. يتضح من الاعتبارات الهندسية أن كل نقطة من المستوى (باستثناء النقاط الواقعة على محور التماثل الحقيقي خارج المجال F1F2، والنقاط الواقعة على المحور التخيلي للتماثل) تنتمي إلى بعض القطع الزائد من العائلة، وواحدة فقط، لأن الفرق في المسافات من النقطة إلى البؤرتين F 1 و F 2 يتغير من غلو إلى غلو. دع إحداثيات النقطة M(x; y) تحقق المعادلة (7.8)، ولتكن النقطة نفسها تنتمي إلى القطع الزائد من العائلة مع بعض القيمة ÷ لنصف المحور الحقيقي. ومن ثم، كما أثبتنا، فإن إحداثياتها تحقق المعادلة وبالتالي، نظام من معادلتين مع مجهولين

لديه حل واحد على الأقل. ومن خلال التحقق المباشر، نحن مقتنعون بأن هذا مستحيل بالنسبة لـ き a. وبالفعل، باستثناء x على سبيل المثال من المعادلة الأولى:

بعد التحولات نحصل على المعادلة

والتي بالنسبة لـ ㉠ a ليس لها حلول، منذ . إذن (7.8) هي معادلة القطع الزائد مع نصف محور حقيقي a > 0 وشبه محور وهمي b = √(c 2 - a 2) > 0. ويطلق عليها اسم معادلة القطع الزائد الكنسي.

نوع من المبالغة.في مظهره، القطع الزائد (7.8) يختلف بشكل ملحوظ عن القطع الناقص. بالنظر إلى وجود محوري التماثل في القطع الزائد، يكفي بناء ذلك الجزء منه الموجود في الربع الأول من نظام الإحداثيات الكنسي. في الربع الأول أي. بالنسبة لـ x ≥ 0، y ≥ 0، يتم حل معادلة القطع الزائد الأساسية بشكل فريد فيما يتعلق بـ y:

ص = ب/أ √(س 2 - أ 2). (7.9)

دراسة هذه الدالة y(x) تعطي النتائج التالية.

مجال تعريف الدالة هو (x: x ≥ a) وفي هذا المجال من التعريف تكون مستمرة كدالة معقدة، وعند النقطة x = a تكون متصلة على اليمين. الصفر الوحيد للدالة هو النقطة x = a.

دعونا نجد مشتقة الدالة y(x): y"(x) = bx/a√(x 2 - a 2). من هنا نستنتج أنه بالنسبة لـ x > a فإن الدالة تزيد بشكل رتيب. بالإضافة إلى ذلك، مما يعني أنه عند النقطة x = a من تقاطع الرسم البياني للدالة مع محور الإحداثي السيني يوجد ظل رأسي. الدالة y(x) لها مشتق ثان y" = -ab(x 2 - a 2) -3/2 لـ x > a، وهذا المشتق سالب. وبالتالي، فإن الرسم البياني للدالة يكون محدبًا لأعلى، وهناك لا توجد نقاط انعطاف.

لهذه الدالة خط مقارب مائل، وهذا يترتب على وجود حدين:

يتم وصف الخط المقارب المائل بالمعادلة y = (b/a)x.

تسمح لنا دراسة الدالة (7.9) ببناء الرسم البياني الخاص بها (الشكل 7.9)، والذي يتزامن مع جزء القطع الزائد (7.8) الموجود في الربع الأول.

وبما أن القطع الزائد متماثل حول محاوره، فإن المنحنى بأكمله يأخذ الشكل الموضح في الشكل. 7.10. يتكون القطع الزائد من فرعين متماثلين يقعان في مكانين مختلفين

جوانبه من محور التماثل الوهمي. هذه الفروع ليست محدودة على كلا الجانبين، والخطوط المستقيمة y = ±(b/a)x هي في نفس الوقت خطوط مقاربة لكل من الفروع اليمنى واليسرى للقطع الزائد.

تختلف محاور التماثل للقطع الزائد في أن المحاور الحقيقية تتقاطع مع القطع الزائد، في حين أن المحاور التخيلية، كونها موضع النقاط المتساوية البعد عن البؤر، لا تتقاطع (وهذا هو سبب تسميتها بالوهمية). تسمى نقطتا تقاطع محور التماثل الحقيقي مع القطع الزائد برؤوس القطع الزائد (النقطتان A(a; 0) و B(-a; 0) في الشكل 7.10).

يجب أن يبدأ بناء القطع الزائد على طول محوريه الحقيقي (2أ) والخيالي (2ب) بمستطيل مركزه عند نقطة الأصل والجوانب 2أ و2ب، بالتوازي، على التوالي، مع محاور التماثل الحقيقية والتخيلية للقطع الزائد ( الشكل 7.11). الخطوط المقاربة للقطع الزائد هي استمرارية لأقطار هذا المستطيل، ورؤوس القطع الزائد هي نقاط تقاطع أضلاع المستطيل مع محور التماثل الحقيقي. لاحظ أن المستطيل وموضعه على المستوى يحددان بشكل فريد شكل القطع الزائد وموضعه. تحدد النسبة b/a لجوانب المستطيل درجة ضغط القطع الزائد، ولكن بدلاً من هذه المعلمة، عادةً ما يتم استخدام الانحراف المركزي للقطع الزائد. الانحراف في القطع الزائدتسمى نسبة البعد البؤري إلى المحور الحقيقي. يتم الإشارة إلى الانحراف بواسطة ε. بالنسبة للقطع الزائد الموصوف بالمعادلة (7.8)، ε = c/a. لاحظ أنه إذا القطع الناقص الانحرافيمكن أن تأخذ القيم من نصف الفاصل الزمني)