أمثلة على التقدم الحسابي مع الحل 9. التقدم الحسابي. I. اللحظة التنظيمية، بيان المشكلة

لاستخدام معاينات العرض التقديمي، قم بإنشاء حساب Google وقم بتسجيل الدخول إليه: https://accounts.google.com

التسميات التوضيحية للشرائح:

معاينة:

موضوع

المتوالية العددية

هدف :

• تعليم كيفية التعرف على التقدم الحسابي باستخدام تعريفه وعلامته؛
• تعليم كيفية حل المشكلات باستخدام تعريف وعلامة وصيغة للمصطلح العام للتقدم.

أهداف الدرس:

إعطاء تعريف للتقدم الحسابي، وإثبات علامة التقدم الحسابي وتعليم كيفية استخدامها في حل المسائل.

طرق التدريس:

تحديث معرفة الطلاب، والعمل المستقل، والعمل الفردي، وخلق موقف مشكلة.

التقنيات الحديثة:

تكنولوجيا المعلومات والاتصالات، والتعلم القائم على حل المشكلات، والتعلم المتمايز، والتقنيات الموفرة للصحة.

خطة الدرس

	مراحل الدرس.	وقت التنفيذ.
	تنظيم الوقت.	2 دقيقة
	تكرار ما تم تغطيته	5 دقائق
	تعلم مواد جديدة	15 دقيقة
	دقيقة التربية البدنية	3 دقائق
	إكمال المهام المتعلقة بالموضوع	15 دقيقة
	العمل في المنزل	2 دقيقة
	تلخيص	3 دقائق

خلال الفصول الدراسية:

1. في الدرس الأخير تعرفنا على مفهوم "التسلسل".

وسنواصل اليوم دراسة المتتابعات العددية وتحديد بعضها والتعرف على خصائصها وخصائصها.

1. أجب عن الأسئلة: ما هو التسلسل؟

ما هي التسلسلات هناك؟

ما هي الطرق التي يمكنك ضبط التسلسل؟

ما هو التسلسل الرقمي؟

ما هي طرق تحديد التسلسل الرقمي التي تعرفها؟ ما هي الصيغة تسمى المتكررة؟

1. نظرا للتسلسل العددي:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

أوجد نمط كل تسلسل، ثم قم بتسمية الحدود الثلاثة التالية لكل منها.

1. ن = ن -1 +1
2. أ ن = أ ن -1 + 3
3. أ ن = أ ن -1 + (-2)
4. ن = ن -1 + 0.5

أعط صيغة التكرار لكل تسلسل.

شريحة 1

تسمى المتتابعة العددية التي يكون كل عضو فيها ابتداء من الثاني مساوياً للعضو السابق مضافاً إلى نفس الرقم، بالمتتابعة الحسابية.

الرقم d يسمى فرق التقدم الحسابي.

التقدم الحسابي هو تسلسل عددي، لذلك يمكن أن يكون متزايدًا أو متناقصًا أو ثابتًا. أعط أمثلة على هذه التسلسلات، وقم بتسمية الفرق بين كل تقدم، واستخلص النتيجة.

دعونا نشتق صيغة الحد العام للتقدم الحسابي.

على السبورة: دع أ 1 هو الحد الأول للتقدم، د هو الفرق، إذن

أ 2 = أ 1 + د

أ 3 =(أ 1 +د)+د=أ 1 +2د

أ 4 =(أ 1 +2د)+د=أ 1 +3د

أ 5 =(أ 1 +3د)+د=أ 1 +4د

أ ن = أ 1 + د (ن-1) - صيغة الحد النوني للتقدم الحسابي.

حل المشكلة: في المتتابعة الحسابية، الحد الأول هو 5 والفرق هو 4.

أوجد الحد الثاني والعشرين من هذا التقدم.

يقرر الطالب على السبورة: أن =أ 1 +د(ن-1)

أ 22 = أ 1 +21 د=5+21*4=89

دقيقة التربية البدنية.

أستيقظنا.

الأيدي على الحزام. يميل إلى اليسار واليمين (مرتين)؛

الانحناء للأمام والخلف (مرتين) ؛

ارفع يديك للأعلى، خذ نفسًا عميقًا، أنزل يديك للأسفل، ثم قم بالزفير. (2 مرات)

صافحوا أيديهم. شكرًا لك.

جلسنا. دعونا نواصل الدرس.

نحن نحل المسائل باستخدام صيغة الحد العام للتقدم الحسابي.

يُعرض على الطلاب المهام التالية:

1. في المتتابعة الحسابية، الحد الأول هو -2، د=3، أن = 118.

ابحث عن ن.

1. في المتتابعة الحسابية، الحد الأول هو 7، والحد الخامس عشر هو -35. جد الفرق.
2. ومن المعروف أنه في المتوالية الحسابية d=-2، a39=83. أوجد الحد الأول من التقدم.

يتم تقسيم الطلاب إلى مجموعات. يتم إعطاء المهمة لمدة 5 دقائق. بعد ذلك، يقوم الطلاب الثلاثة الأوائل الذين قاموا بحل المسائل بحلها على السبورة. يتم تكرار الحل على الشرائح.

دعونا ننظر في الخصائص المميزة للتقدم الحسابي.

في التقدم الحسابي

أ ن -د=أ (ن-1)

أ ن +د=أ (ن+1)

دعونا نضيف هاتين المتساويتين حدًا تلو الآخر، فنحصل على: 2أن =أ (ن+1) +أ (ن-1)

ا ن =(أ (ن+1) +أ (ن-1 ))/2

وهذا يعني أن كل عضو في المتوالية الحسابية، باستثناء الأول والأخير، يساوي المتوسط ​​الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.

النظرية:

المتتابعة الرقمية هي متوالية حسابية إذا وفقط إذا كان كل عضو من أعضائها، باستثناء الأول (والأخير في حالة المتوالية المحدودة)، يساوي المتوسط ​​الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين (خاصية مميزة للمتتابعة العددية). المتوالية العددية).

يرتبط فهم العديد من المواضيع في الرياضيات والفيزياء بمعرفة خصائص سلاسل الأعداد. تلاميذ الصف التاسع عند دراسة موضوع "الجبر" يأخذون في الاعتبار أحد تسلسلات الأرقام المهمة - التقدم الحسابي. نقدم لك الصيغ الأساسية للتقدم الحسابي (الصف التاسع)، بالإضافة إلى أمثلة لاستخدامها في حل المشكلات.

التقدم الجبري أو الحسابي

يتم استدعاء سلسلة الأرقام التي سيتم مناقشتها في هذه المقالة بطريقتين مختلفتين، معروضتين في عنوان هذه الفقرة. لذلك، نعني بالتقدم الحسابي في الرياضيات سلسلة أرقام يختلف فيها أي رقمين متجاورين بنفس المقدار، يسمى الفرق. عادة ما يتم الإشارة إلى الأرقام في مثل هذه السلسلة بأحرف ذات مؤشر عدد صحيح أقل، على سبيل المثال، a1، a2، a3 وما إلى ذلك، حيث يشير الفهرس إلى رقم عنصر السلسلة.

مع الأخذ في الاعتبار التعريف أعلاه للتقدم الحسابي، يمكننا كتابة المساواة التالية: a2-a1 =...=an-an-1=d، هنا d هو الفرق في التقدم الجبري وn هو أي عدد صحيح. إذا كان d>0، فيمكننا أن نتوقع أن كل عضو لاحق في السلسلة سيكون أكبر من العضو السابق، وفي هذه الحالة نتحدث عن تقدم متزايد. إذا د

صيغ التقدم الحسابي (الصف التاسع)

سلسلة الأرقام المعنية، نظرًا لأنها مرتبة وتخضع لبعض القوانين الرياضية، لها خاصيتان مهمتان لاستخدامها:

أولاً، بمعرفة رقمين فقط a1 وd، يمكنك العثور على أي عضو في التسلسل. ويتم ذلك باستخدام الصيغة التالية: an = a1+(n-1)*d.

ثانيًا، لحساب مجموع حدود n الأولى، ليس من الضروري جمعها بالترتيب، حيث يمكنك استخدام الصيغة التالية: Sn = n*(an+a1)/2.

من السهل فهم الصيغة الأولى، لأنها نتيجة مباشرة لحقيقة أن كل عضو في السلسلة قيد النظر يختلف عن جاره بنفس الاختلاف.

يمكن الحصول على الصيغة الثانية للتقدم الحسابي من خلال ملاحظة أن المجموع a1+an يتبين أنه معادل للمجموع a2+an-1، a3+an-2، وهكذا. في الواقع، بما أن a2 = d+a1، وan-2 = -2*d+an، وa3 = 2*d+a1، وan-1 = -d+an، فإننا نعوض هذه التعبيرات في المجاميع المقابلة، نجد أن سيكونون هم أنفسهم. يظهر العامل n/2 في الصيغة الثانية (للSn) نظرًا لحقيقة أن المجاميع من النوع ai+1+an-i تكون بالضبط n/2، وهنا i عدد صحيح يتراوح من 0 إلى n/2 - 1.

وفقًا للأدلة التاريخية الباقية، تم الحصول على صيغة مجموع Sn لأول مرة بواسطة كارل غاوس (عالم الرياضيات الألماني الشهير) عندما كلفه معلم مدرسته بمهمة جمع أول 100 رقم.

مثال المشكلة رقم 1: أوجد الفرق

المسائل التي يطرح فيها السؤال على النحو التالي: معرفة صيغ المتتابعة الحسابية، وكيفية العثور على d (d)، هي أبسط ما يمكن أن يكون إلا لهذا الموضوع.

لنعطي مثالا: بالنظر إلى التسلسل العددي -5،-2، 1، 4، ...، من الضروري تحديد اختلافه، أي د.

يمكن القيام بذلك بسهولة قدر الإمكان: عليك أن تأخذ عنصرين وتطرح العنصر الأصغر من العنصر الأكبر. في هذه الحالة لدينا: د = -2 - (-5) = 3.

للتأكد من الإجابة المستلمة، يوصى بالتحقق من الاختلافات المتبقية، لأن التسلسل المقدم قد لا يفي بشرط التقدم الجبري. لدينا: 1-(-2)=3 و4-1=3. تشير هذه البيانات إلى أننا حصلنا على النتيجة الصحيحة (d=3) وأثبتنا أن سلسلة الأرقام في بيان المشكلة تمثل بالفعل تقدمًا جبريًا.

مثال للمسألة رقم 2: أوجد الفرق بمعرفة حدين للتقدم

دعونا نفكر في مشكلة أخرى مثيرة للاهتمام، والتي تسأل عن كيفية العثور على الفرق. في هذه الحالة، يجب استخدام صيغة التقدم الحسابي للحد n. لذا، المهمة: بالنظر إلى الرقمين الأول والخامس من السلسلة التي تتوافق مع جميع خصائص التقدم الجبري، على سبيل المثال، هذه هي الأرقام a1 = 8 و a5 = -10. كيفية العثور على الفرق د؟

يجب أن تبدأ في حل هذه المشكلة عن طريق كتابة صيغة عامة للعنصر n: an = a1+d*(-1+n). الآن يمكنك الذهاب بطريقتين: إما استبدال الأرقام على الفور والعمل معها، أو التعبير عن d، ثم الانتقال إلى a1 وa5 محددين. باستخدام الطريقة الأخيرة نحصل على: a5 = a1+d*(-1+5) أو a5 = 4*d+a1، مما يعني أن d = (a5-a1)/4. يمكنك الآن استبدال البيانات المعروفة من الشرط بأمان والحصول على الإجابة النهائية: d = (-10-8)/4 = -4.5.

لاحظ أنه في هذه الحالة تبين أن فرق التقدم كان سلبيا، أي أن هناك تسلسلا تنازليا للأرقام. ومن الضروري الانتباه إلى هذه الحقيقة عند حل المشكلات حتى لا تخلط بين العلامتين "+" و "-". جميع الصيغ المذكورة أعلاه عالمية، لذا يجب اتباعها دائمًا بغض النظر عن إشارة الأرقام التي يتم بها تنفيذ العمليات.

مثال لحل المشكلة رقم 3: ابحث عن a1 ومعرفة الفرق والعنصر

دعونا نغير بيان المشكلة قليلا. يجب أن يكون هناك رقمان: الفرق d=6 والعنصر التاسع للتقدم a9 = 10. كيف تجد a1؟ تظل صيغ التقدم الحسابي دون تغيير، فلنستخدمها. بالنسبة للرقم a9 لدينا التعبير التالي: a1+d*(9-1) = a9. ومن هنا نحصل بسهولة على العنصر الأول في السلسلة: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.

مثال على حل المشكلة رقم 4: ابحث عن a1 مع معرفة عنصرين

هذا الإصدار من المشكلة هو إصدار معقد من الإصدار السابق. الجوهر هو نفسه، من الضروري حساب a1، ولكن الآن الفرق d غير معروف، وبدلاً من ذلك يتم إعطاء عنصر آخر من التقدم.

مثال على هذا النوع من المسائل هو ما يلي: ابحث عن الرقم الأول من التسلسل المعروف بأنه تقدم حسابي وأن عنصريه الخامس عشر والثالث والعشرين هما 7 و12 على التوالي.

ومن الضروري حل هذه المشكلة عن طريق كتابة تعبير للحد النوني لكل عنصر معروف من الشرط، لدينا: a15 = d*(15-1)+a1 و a23 = d*(23-1)+a1. كما ترون، لدينا معادلتان خطيتان يجب حلهما من أجل a1 وd. لنفعل ذلك: نطرح الأولى من المعادلة الثانية، فنحصل على التعبير التالي: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. عند اشتقاق المعادلة الأخيرة تم حذف قيم a1 لأنها تلغى عند طرحها. بتعويض البيانات المعروفة نجد الفرق: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0.625.

يجب استبدال قيمة d في أي صيغة لعنصر معروف للحصول على الحد الأول من التسلسل: a15 = 14*d+a1، ومنها: a1=a15-14*d = 7-14*0.625 = -1.75 .

دعونا نتحقق من النتيجة التي تم الحصول عليها؛ للقيام بذلك، نجد a1 من خلال التعبير الثاني: a23 = d*22+a1 أو a1 = a23-d*22 = 12 - 0.625*22 = -1.75.

مثال على حل المشكلة رقم 5: ابحث عن مجموع العناصر n

كما ترون، حتى هذه اللحظة، تم استخدام صيغة تقدم حسابي واحدة فقط (الصف التاسع) للحل. الآن نقدم مشكلة تتطلب حلولها معرفة الصيغة الثانية، وهي مجموع Sn.

هناك سلسلة الأرقام المرتبة التالية -1,1، -2,1، -3,1،...، تحتاج إلى حساب مجموع عناصرها الـ 11 الأولى.

ومن هذه السلسلة يتضح أنها آخذة في التناقص، وأن a1 = -1.1. فرقها يساوي: d = -2.1 - (-1.1) = -1. الآن دعونا نحدد الحد الحادي عشر: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1,1) = -11,1. بعد الانتهاء من الحسابات التحضيرية، يمكنك استخدام الصيغة المذكورة أعلاه للمبلغ، لدينا: S11 =11*(-1.1 +(-11.1))/2 = -67.1. وبما أن جميع الحدود كانت أرقامًا سالبة، فإن مجموعها له أيضًا العلامة المقابلة.

مثال على حل المشكلة رقم 6: ابحث عن مجموع العناصر من n إلى m

ربما يكون هذا النوع من المشاكل هو الأصعب بالنسبة لمعظم أطفال المدارس. لنعطي مثالا نموذجيا: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام 2، 4، 6، 8...، تحتاج إلى إيجاد المجموع من الحد السابع إلى الحد الثالث عشر.

تُستخدم صيغ التقدم الحسابي (الصف 9) تمامًا كما في جميع المسائل السابقة. يوصى بحل هذه المشكلة خطوة بخطوة:

قم أولاً بالعثور على مجموع 13 مصطلحًا باستخدام الصيغة القياسية.

ثم احسب هذا المجموع للعناصر الستة الأولى.

بعد ذلك، اطرح المبلغ الثاني من المبلغ الأول.

دعونا نصل إلى الحل. كما في الحالة السابقة، سنقوم بإجراء الحسابات التحضيرية: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12، a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.

لنحسب مجموعين: S13 = 13*(2+26)/2 = 182، S6 = 6*(2+12)/2 = 42. خذ الفرق واحصل على الإجابة المطلوبة: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. لاحظ أنه عند الحصول على هذه القيمة، تم استخدام مجموع 6 عناصر من التقدم كمطروح، حيث تم تضمين الحد السابع في المجموع S7-13.

موضوع: المتوالية الحسابية والهندسية

فصل: 9

نظام التدريب: مادة للتحضير لدراسة موضوعات الجبر والمرحلة التحضيرية لاجتياز امتحان OGE

هدف: تكوين مفاهيم التقدم الحسابي والهندسي

مهام: تعليم كيفية التمييز بين أنواع التقدم، والتدريس بشكل صحيح، واستخدام الصيغ

المتوالية العدديةتسمية تسلسل من الأرقام (شروط التقدم)

حيث يختلف كل مصطلح لاحق عن السابق بمصطلح جديد، وهو ما يسمى أيضًا خطوة أو اختلاف التقدم.

وبالتالي، من خلال تحديد خطوة التقدم وحدها الأول، يمكنك العثور على أي عنصر من عناصرها باستخدام الصيغة

1) كل عضو في المتوالية الحسابية، بدءاً من الرقم الثاني، هو الوسط الحسابي للأعضاء السابقين والتاليين في المتوالية

والعكس صحيح أيضا. إذا كان المتوسط ​​الحسابي للحدود الفردية (الزوجية) المتجاورة للتقدم يساوي الحد الذي يقع بينهما، فإن هذا التسلسل من الأرقام هو تقدم حسابي. باستخدام هذه العبارة، من السهل جدًا التحقق من أي تسلسل.

أيضًا، من خلال خاصية التقدم الحسابي، يمكن تعميم الصيغة المذكورة أعلاه على ما يلي

من السهل التحقق من ذلك إذا كتبت المصطلحات على يمين علامة المساواة

غالبًا ما يتم استخدامه عمليًا لتبسيط العمليات الحسابية في المشكلات.

2) يتم حساب مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي باستخدام الصيغة

تذكر جيدًا صيغة مجموع التقدم الحسابي، فهي لا غنى عنها في العمليات الحسابية وغالبًا ما توجد في مواقف الحياة البسيطة.

3) إذا كنت لا تحتاج إلى العثور على المبلغ بالكامل، بل على جزء من التسلسل بدءًا من الحد k الخاص به، فستكون صيغة المجموع التالية مفيدة لك

4) من الأمور العملية المهمة إيجاد مجموع n من الحدود للتقدم الحسابي بدءًا من الرقم k. للقيام بذلك، استخدم الصيغة

أوجد الحد الأربعين من المتتابعة الحسابية 4;7;...

حل:

وفقا للحالة التي لدينا

دعونا نحدد خطوة التقدم

باستخدام الصيغة المعروفة، نجد الحد الأربعين من التقدم

يتم إعطاء التقدم الحسابي من خلال الحدين الثالث والسابع. أوجد الحد الأول للتقدم ومجموع العشرة.

حل:

دعونا نكتب العناصر المحددة للتقدم باستخدام الصيغ

يتم إعطاء التقدم الحسابي بواسطة المقام وأحد شروطه. أوجد الحد الأول من المتتابعة ومجموع حدوده الخمسين بدءًا من 50 ومجموع أول 100 حد.

حل:

دعونا نكتب صيغة العنصر المائة من التقدم

والعثور على أول واحد

بناءً على الأول نجد الحد الخمسين من التقدم

العثور على مجموع جزء من التقدم

ومجموع الـ 100 الأولى

مجموع التقدم هو 250. أوجد عدد حدود التقدم الحسابي إذا:

a3-a1=8، a2+a4=14، القص=111.

حل:

لنكتب المعادلات بدلالة الحد الأول وخطوة التقدم ونحددها

نقوم باستبدال القيم التي تم الحصول عليها في صيغة المجموع لتحديد عدد المصطلحات في المجموع

نقوم بالتبسيط

وحل المعادلة التربيعية

ومن بين القيمتين اللتين تم العثور عليهما، فإن الرقم 8 فقط هو الذي يناسب ظروف المشكلة. وبالتالي، فإن مجموع الحدود الثمانية الأولى للتقدم هو 111.

حل المعادلة

1+3+5+...+س=307.

حل:

هذه المعادلة هي مجموع التقدم الحسابي. دعونا نكتب الحد الأول ونجد الفرق في التقدم

نستبدل القيم التي تم العثور عليها في صيغة مجموع التقدم لإيجاد عدد المصطلحات

كما في المهمة السابقة، سنقوم بالتبسيط وحل المعادلة التربيعية

نختار الأكثر منطقية من القيمتين. لدينا أن مجموع 18 حدًا للتقدم بالقيم المعطاة a1=1، d=2 يساوي Sn=307.

أمثلة على حل المشكلات: التقدم الحسابي

المشكلة 1

تعاقد الفريق الطلابي على وضع بلاط السيراميك على أرضية قاعة نادي الشباب بمساحة 288 م2، واكتسابًا للخبرة، قام الطلاب بوضع 2 م2 إضافية في كل يوم لاحق، بدءًا من اليوم الثاني، مقارنة باليوم الثاني. في اليوم السابق، وكان مخزونهم من البلاط يكفي لمدة 11 يومًا من العمل بالضبط. وتخطيطًا لزيادة إنتاجية العمل بنفس الطريقة، قرر رئيس العمال أن الأمر سيستغرق 5 أيام أخرى لإكمال العمل. كم عدد صناديق البلاط التي يجب عليه طلبها إذا كان صندوق واحد يكفي لمساحة 1.2 متر مربع من الأرضية، وكان هناك حاجة إلى 3 صناديق لاستبدال البلاط منخفض الجودة؟

حل

ومن شروط المسألة يتضح أننا نتحدث عن متتابعة حسابية فيها دع

а1=x، Sn=288، n=16

ثم نستخدم الصيغة: Sn= (2a1+d(n-1))*n/0.86=200mmHg. فن.

288=(2س+2*15)*16/2

دعونا نحسب عدد الطلاب الذين سيتوزعون بالمتر المربع خلال 11 يومًا: S11=(2*3+2*10)*11.2=143m2

288-143=145م2 متبقية بعد 11 يوم عمل أي. لمدة 5 أيام

145/1.2=121 (تقريبًا) يجب طلب الصناديق لمدة 5 أيام.

121+3=124 يجب طلب الصناديق مع مراعاة العيوب

الجواب: 124 صندوقا

المشكلة 2

بعد كل حركة لمكبس مضخة التفريغ، تتم إزالة 20٪ من الهواء الموجود فيه من الوعاء. دعونا نحدد ضغط الهواء داخل الوعاء بعد ست حركات للمكبس، إذا كان الضغط الأولي 760 ملم زئبق. فن.

حل

نظرًا لأنه بعد كل حركة للمكبس، تتم إزالة 20٪ من الهواء المتاح من الوعاء، ويبقى 80٪ من الهواء. لمعرفة ضغط الهواء في الوعاء بعد الحركة التالية للمكبس، تحتاج إلى مضاعفة ضغط الحركة السابقة للمكبس بمقدار 0.8.

لدينا متوالية هندسية حدها الأول 760 ومقامها 0.8. الرقم الذي يعبر عن ضغط الهواء في الوعاء (بالملليمتر زئبق) بعد ست حركات للمكبس هو الحد السابع من هذا التقدم. وهي تساوي 760*0.86=200 ملم زئبق. فن.

الجواب: 200 ملم زئبق.

معطاة متتابعة حسابية، حيث الحدان الخامس والعاشر يساويان 38 و23 على التوالي، أوجد الحد الخامس عشر من المتتابعة ومجموع حدودها العشرة الأولى.

حل:

أوجد عدد حدود المتتابعة الحسابية 5،14،23،...،، إذا كان حدها الخامس 239.

حل:

يجد عدد حدود المتوالية الحسابية هو 9،12،15،...،، إذا كان مجموعها 306.

حل:

ابحث عن x التي تشكل فيها الأرقام x-1، 2x-1، x2-5 تقدمًا حسابيًا

حل:

دعونا نجد الفرق بين 1 و 2 من شروط التقدم:

د=(2س-1)-(س-1)=س

دعونا نجد الفرق بين 2 و 3 شروط للتقدم:

د=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

لأن الفرق هو نفسه، ثم يمكن مساواة شروط التقدم:

عند التحقق في كلتا الحالتين، يتم الحصول على تقدم حسابي

الإجابة: عند x=-1 وx=4

يتم الحصول على التقدم الحسابي من خلال الحدين الثالث والسابع a3=5؛ أ7=13. أوجد الحد الأول للتقدم ومجموع العشرة.

حل:

نطرح الأولى من المعادلة الثانية، ونتيجة لذلك نجد خطوة التقدم

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8، ثم d=2

نعوض بالقيمة التي تم العثور عليها في أي من المعادلات لإيجاد الحد الأول من التقدم الحسابي

نحسب مجموع الحدود العشرة الأولى للتقدم

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

الجواب: أ1=1؛ S10=100

في متوالية حسابية حدها الأول -3.4 وفرقها 3، أوجد الحدين الخامس والحادي عشر.

إذن نحن نعلم أن a1 = -3.4؛ د = 3. أوجد: a5، a11-.

حل.لإيجاد الحد النوني للمتوالية الحسابية، نستخدم الصيغة: an = a1+ (n – 1)d. لدينا:

a5 = a1 + (5 - 1)د = -3.4 + 4 3 = 8.6؛

a11 = a1 + (11 – 1)د = -3.4 + 10 3 = 26.6.

كما ترون، في هذه الحالة، الحل ليس صعبا.

الحد الثاني عشر من المتتابعة الحسابية هو 74، والفرق هو -4. أوجد الحد الرابع والثلاثين لهذا التقدم.

قيل لنا أن a12 = 74؛ د = -4، وعلينا إيجاد a34-.

في هذه المشكلة، ليس من الممكن تطبيق الصيغة مباشرة an = a1 + (n – 1)d، لأن الحد الأول a1 غير معروف. يمكن حل هذه المشكلة في عدة خطوات.

1. باستخدام الحد a12 وصيغة الحد n نجد a1:

a12 = a1 + (12 - 1)د، الآن لنبسط ونعوض بـ d: a12 = a1 + 11 · (-4). ومن هذه المعادلة نجد a1: a1 = a12 – (-44)؛

نحن نعرف الحد الثاني عشر من بيان المشكلة، حتى نتمكن من حساب a1 بسهولة

a1 = 74 + 44 = 118. لننتقل إلى الخطوة الثانية – حساب a34.

2. مرة أخرى، باستخدام الصيغة an = a1 + (n – 1)d، بما أن a1 معروفة بالفعل، فسوف نحدد a34-،

أ34 = أ1 + (34 – 1)د = 118 + 33 · (-4) = 118 – 132 = -14.

الإجابة: الحد الرابع والثلاثون من المتتابعة الحسابية هو -14.

كما ترون، الحل للمثال الثاني أكثر تعقيدا. يتم استخدام نفس الصيغة مرتين للحصول على الجواب. لكن كل شيء معقد للغاية. يمكن تقصير الحل باستخدام صيغ إضافية.

كما ذكرنا سابقًا، إذا كانت a1 معروفة في المشكلة، فإن صيغة تحديد الحد n للتقدم الحسابي تكون ملائمة جدًا للاستخدام. ولكن، إذا لم يحدد الشرط الحد الأول، فيمكن أن تنقذ الصيغة التي تربط الحد n الذي نحتاجه والمصطلح ak المحدد في المشكلة.

و = أك + (ن - ك)د.

دعونا نحل المثال الثاني، ولكن باستخدام صيغة جديدة.

نظرا: a12 = 74؛ د = -4. البحث عن: a34-.

نستخدم الصيغة an = ak + (n – k)d. وفي حالتنا سيكون:

أ34 = أ12 + (34 – 12) · (-4) = 74 + 22 · (-4) = 74 – 88 = -14.

تم الحصول على إجابة المشكلة بشكل أسرع بكثير، لأنه لم تكن هناك حاجة لتنفيذ إجراءات إضافية والبحث عن الفصل الأول من التقدم.

باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه، يمكنك حل المسائل المتعلقة بحساب الفرق في التقدم الحسابي. لذا، باستخدام الصيغة an = a1 + (n – 1)d يمكنك التعبير عن d:

د = (أن – أ1) / (ن – 1). ومع ذلك، لا يتم مواجهة المشكلات المتعلقة بالحد الأول كثيرًا، ويمكن حلها باستخدام صيغتنا an = ak + (n – k)d، والتي يتضح منها أن d = (an – ak) / (n – ك). دعونا نلقي نظرة على هذه المشكلة.

أوجد فرق المتتابعة الحسابية إذا علم أن a3 = 36؛ أ8 = 106.

وباستخدام الصيغة التي حصلنا عليها يمكن كتابة حل المشكلة في سطر واحد:

د = (أ8 – أ3) / (8 – 3) = (106 – 36) / 5 = 14.

بدون هذه الصيغة، كان حل المشكلة سيستغرق وقتًا أطول بكثير، لأنه يجب حل نظام من معادلتين.

التقدم الهندسي

1. صيغة الحد الرابع (المصطلح المشترك للتتابع).
2. صيغة مجموع الحدود الأولى للمتتابعة: . عندما يكون من المعتاد الحديث عن تقدم هندسي متقارب؛ في هذه الحالة، يمكنك حساب مجموع التقدم بأكمله باستخدام الصيغة.
3. صيغة "الوسط الهندسي": إذا كانت ثلاثة حدود متتالية من متوالية هندسية، فبالتعريف لدينا العلاقات التالية: إما أو .

يرتبط فهم العديد من المواضيع في الرياضيات والفيزياء بمعرفة خصائص سلاسل الأعداد. تلاميذ الصف التاسع عند دراسة موضوع "الجبر" يأخذون في الاعتبار أحد تسلسلات الأرقام المهمة - التقدم الحسابي. نقدم لك الصيغ الأساسية للتقدم الحسابي (الصف التاسع)، بالإضافة إلى أمثلة لاستخدامها في حل المشكلات.

التقدم الجبري أو الحسابي

يتم استدعاء سلسلة الأرقام التي سيتم مناقشتها في هذه المقالة بطريقتين مختلفتين، معروضتين في عنوان هذه الفقرة. لذلك، نعني بالتقدم الحسابي في الرياضيات سلسلة أرقام يختلف فيها أي رقمين متجاورين بنفس المقدار، يسمى الفرق. عادة ما يتم الإشارة إلى الأرقام في مثل هذه السلسلة بأحرف ذات مؤشر عدد صحيح أقل، على سبيل المثال، 1، 2، 3 وما إلى ذلك، حيث يشير الفهرس إلى رقم عنصر السلسلة.

مع الأخذ في الاعتبار التعريف أعلاه للتقدم الحسابي، يمكننا كتابة المساواة التالية: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d، هنا d هو فرق المتتابعة الجبرية وn هو أي عدد صحيح . إذا كان d>0، فيمكننا أن نتوقع أن كل عضو لاحق في السلسلة سيكون أكبر من العضو السابق، وفي هذه الحالة نتحدث عن تقدم متزايد. إذا د<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

صيغ التقدم الحسابي (الصف التاسع)

سلسلة الأرقام المعنية، نظرًا لأنها مرتبة وتخضع لبعض القوانين الرياضية، لها خاصيتان مهمتان لاستخدامها:

1. أولاً، بمعرفة رقمين فقط a 1 وd، يمكنك العثور على أي عضو في التسلسل. ويتم ذلك باستخدام الصيغة التالية: a n = a 1 +(n-1)*d.
2. ثانيًا، لحساب مجموع حدود n الأولى، ليس من الضروري إضافتها بالترتيب، حيث يمكنك استخدام الصيغة التالية: S n = n*(a n +a 1)/2.

من السهل فهم الصيغة الأولى، لأنها نتيجة مباشرة لحقيقة أن كل عضو في السلسلة قيد النظر يختلف عن جاره بنفس الاختلاف.

يمكن الحصول على الصيغة الثانية للتقدم الحسابي من خلال ملاحظة أن المجموع a 1 +a n يتبين أنه معادل لمجموع a 2 +a n-1، a 3 +a n-2 وهكذا. في الواقع، بما أن a 2 = d+a 1، وa n-2 = -2*d+a n، وa 3 = 2*d+a 1، وa n-1 = -d+a n، ثم استبدال هذه التعبيرات في المبالغ المتناظرة، نجد أنها ستكون هي نفسها. يظهر العامل n/2 في الصيغة الثانية (لـ S n) نظرًا لحقيقة أن المجاميع من النوع a i+1 +a n-i تبين أنها بالضبط n/2، هنا i عدد صحيح يتراوح من 0 إلى n /2-1.

وفقًا للأدلة التاريخية الباقية، تم الحصول على صيغة المجموع S n لأول مرة بواسطة كارل غاوس (عالم الرياضيات الألماني الشهير) عندما كلفه معلم مدرسته بمهمة جمع أول 100 رقم.

مثال المشكلة رقم 1: أوجد الفرق

المسائل التي يطرح فيها السؤال على النحو التالي: معرفة صيغ المتتابعة الحسابية، وكيفية العثور على d (d)، هي أبسط ما يمكن أن يكون إلا لهذا الموضوع.

لنعطي مثالا: بالنظر إلى التسلسل العددي -5،-2، 1، 4، ...، من الضروري تحديد اختلافه، أي د.

يمكن القيام بذلك بسهولة قدر الإمكان: عليك أن تأخذ عنصرين وتطرح العنصر الأصغر من العنصر الأكبر. في هذه الحالة لدينا: د = -2 - (-5) = 3.

للتأكد من الإجابة المستلمة، يوصى بالتحقق من الاختلافات المتبقية، لأن التسلسل المقدم قد لا يفي بشرط التقدم الجبري. لدينا: 1-(-2)=3 و4-1=3. تشير هذه البيانات إلى أننا حصلنا على النتيجة الصحيحة (d=3) وأثبتنا أن سلسلة الأرقام في بيان المشكلة تمثل بالفعل تقدمًا جبريًا.

مثال للمسألة رقم 2: أوجد الفرق بمعرفة حدين للتقدم

دعونا نفكر في مشكلة أخرى مثيرة للاهتمام، والتي تسأل عن كيفية العثور على الفرق. في هذه الحالة، يجب استخدام صيغة التقدم الحسابي للحد n. إذن، المهمة: بالنظر إلى الرقمين الأول والخامس من السلسلة التي تتوافق مع جميع خصائص التقدم الجبري، على سبيل المثال، هذه هي الأرقام أ 1 = 8 و أ 5 = -10. كيفية العثور على الفرق د؟

يجب أن تبدأ في حل هذه المشكلة عن طريق كتابة الصيغة العامة للعنصر n: a n = a 1 +d*(-1+n). يمكنك الآن اتباع طريقتين: إما استبدال الأرقام على الفور والعمل معها، أو التعبير عن d، ثم الانتقال إلى 1 و5 محددين. باستخدام الطريقة الأخيرة نحصل على: a 5 = a 1 +d*(-1+5) أو a 5 = 4*d+a 1، مما يعني أن d = (a 5 -a 1)/4. يمكنك الآن استبدال البيانات المعروفة من الشرط بأمان والحصول على الإجابة النهائية: d = (-10-8)/4 = -4.5.

لاحظ أنه في هذه الحالة تبين أن فرق التقدم كان سلبيا، أي أن هناك تسلسلا تنازليا للأرقام. ومن الضروري الانتباه إلى هذه الحقيقة عند حل المشكلات حتى لا تخلط بين العلامتين "+" و "-". جميع الصيغ المذكورة أعلاه عالمية، لذا يجب اتباعها دائمًا بغض النظر عن إشارة الأرقام التي يتم بها تنفيذ العمليات.

مثال لحل المشكلة رقم 3: ابحث عن a1 ومعرفة الفرق والعنصر

دعونا نغير بيان المشكلة قليلا. يجب أن يكون هناك رقمان: الفرق d=6 والعنصر التاسع للتقدم a 9 = 10. كيف تجد a1؟ تظل صيغ التقدم الحسابي دون تغيير، فلنستخدمها. بالنسبة للرقم أ 9 لدينا التعبير التالي: أ 1 +د*(9-1) = أ 9. ومن هنا نحصل بسهولة على العنصر الأول في السلسلة: a 1 = a 9 -8*d = 10 - 8*6 = -38.

مثال على حل المشكلة رقم 4: ابحث عن a1 مع معرفة عنصرين

هذا الإصدار من المشكلة هو إصدار معقد من الإصدار السابق. الجوهر هو نفسه، من الضروري حساب 1، ولكن الآن الفرق d غير معروف، وبدلاً من ذلك يتم إعطاء عنصر آخر من التقدم.

مثال على هذا النوع من المسائل هو ما يلي: ابحث عن الرقم الأول من التسلسل المعروف بأنه تقدم حسابي وأن عنصريه الخامس عشر والثالث والعشرين هما 7 و12 على التوالي.

ومن الضروري حل هذه المشكلة عن طريق كتابة تعبير للحد النوني لكل عنصر معروف من الشرط، لدينا: a 15 = d*(15-1)+a 1 و a 23 = d*(23-1) +أ 1 . كما ترى، لدينا معادلتان خطيتان يجب حلهما من أجل 1 وd. لنفعل ذلك: نطرح الأولى من المعادلة الثانية، فنحصل على التعبير التالي: أ 23 -أ 15 = 22*د - 14*د = 8*د. عند اشتقاق المعادلة الأخيرة تم حذف قيم 1 لأنها تلغى عند طرحها. بتعويض البيانات المعروفة نجد الفرق: d = (a 23 -a 15)/8 = (12-7)/8 = 0.625.

يجب استبدال قيمة d في أي صيغة لعنصر معروف للحصول على الحد الأول من التسلسل: a 15 = 14*d+a 1، ومنها: a 1 =a 15 -14*d = 7-14* 0.625 = -1.75.

دعونا نتحقق من النتيجة التي تم الحصول عليها؛ للقيام بذلك، نجد 1 من خلال التعبير الثاني: a 23 = d*22+a 1 أو a 1 = a 23 -d*22 = 12 - 0.625*22 = -1.75.

مثال على حل المشكلة رقم 5: ابحث عن مجموع العناصر n

كما ترون، حتى هذه اللحظة، تم استخدام صيغة تقدم حسابي واحدة فقط (الصف التاسع) للحل. الآن نقدم مسألة تتطلب حلولها معرفة الصيغة الثانية، وهي مجموع S n.

هناك سلسلة الأرقام المرتبة التالية -1,1، -2,1، -3,1،...، تحتاج إلى حساب مجموع عناصرها الـ 11 الأولى.

ومن هذه السلسلة يتضح أنها آخذة في التناقص، وأن 1 = -1.1. فرقها يساوي: d = -2.1 - (-1.1) = -1. الآن دعونا نحدد الحد الحادي عشر: أ 11 = 10*د + أ 1 = -10 + (-1.1) = -11.1. بعد الانتهاء من الحسابات التحضيرية، يمكنك استخدام الصيغة المذكورة أعلاه للحصول على المبلغ، لدينا: S 11 =11*(-1.1 +(-11.1))/2 = -67.1. وبما أن جميع الحدود كانت أرقامًا سالبة، فإن مجموعها له أيضًا العلامة المقابلة.

مثال على حل المشكلة رقم 6: ابحث عن مجموع العناصر من n إلى m

ربما يكون هذا النوع من المشاكل هو الأصعب بالنسبة لمعظم أطفال المدارس. لنعطي مثالا نموذجيا: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام 2، 4، 6، 8...، تحتاج إلى إيجاد المجموع من الحد السابع إلى الحد الثالث عشر.

الصيغ المتوالية العددية(الصف التاسع) تستخدم تمامًا كما في جميع المسائل السابقة. يوصى بحل هذه المشكلة خطوة بخطوة:

1. قم أولاً بالعثور على مجموع 13 مصطلحًا باستخدام الصيغة القياسية.
2. ثم احسب هذا المجموع للعناصر الستة الأولى.
3. بعد ذلك، اطرح المبلغ الثاني من المبلغ الأول.

دعونا نصل إلى الحل. كما في الحالة السابقة، سنقوم بإجراء الحسابات التحضيرية: أ 6 = 5*د+أ 1 = 10+2 = 12، أ 13 = 12*د+أ 1 = 24+2 = 26.

لنحسب مجموعين: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182، S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. نأخذ الفرق ونحصل على الإجابة المطلوبة: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. لاحظ أنه عند الحصول على هذه القيمة، تم استخدام مجموع 6 عناصر من التقدم كمطروح، حيث تم تضمين الحد السابع في المجموع S 7-13.

يسمى التسلسل الرقمي، الذي يكون كل عضو فيه، بدءًا من الثاني، مساويًا للرقم السابق المضاف إلى نفس الرقم لتسلسل معين، بالتقدم الحسابي. يتم استدعاء الرقم الذي يضاف إلى الرقم السابق في كل مرة اختلاف التقدم الحسابيويتم تحديده بالحرف د.

إذن، التسلسل الرقمي هو 1؛ 2؛ 3؛ 4؛ 5؛ ... و n سيكون تقدمًا حسابيًا إذا كان a 2 = a 1 + d؛

أ 3 = أ 2 + د؛

يقولون أنه تم تقديم تقدم حسابي بمصطلح مشترك و ن. اكتب: يتم إعطاء التقدم الحسابي (ن).

يعتبر التقدم الحسابي محددًا إذا كان حده الأول معروفًا أ 1والفرق د.

أمثلة على التقدم الحسابي

مثال 1. 1؛ 3؛ 5؛ 7؛ 9;...هنا أ 1 = 1; د = 2.

مثال 2. 8؛ 5؛ 2؛ -1؛ -4؛ -7؛ -10؛... هنا أ 1 = 8; د =-3.

مثال 3.-16؛ -12؛ -8؛ -4;... هنا أ 1 = -16; د = 4.

لاحظ أن كل حد من المتتابعة، بدءا من الثاني، يساوي الوسط الحسابي للحد المجاور له.

في 1 مثالالفصل الثاني 3 =(1+5): 2 ; أولئك. أ 2 = (أ 1 + أ 3) : 2؛ العضو الثالث 5 =(3+7): 2;

أي أ 3 = (أ 2 + أ 4) : 2.

وبالتالي فإن الصيغة صالحة:

ولكن، في الواقع، كل عضو في المتوالية الحسابية، بدءًا من الثاني، يساوي الوسط الحسابي ليس فقط للأعضاء المجاورة له، بل أيضًا على مسافة متساويةمن أعضائه، أي.

دعونا ننتقل مثال 2. رقم -1 هو الحد الرابع من المتوالية الحسابية وهو بعيد بنفس القدر عن الحدين الأول والسابع (أ 1 = 8، و7 = -10).

ووفقا للصيغة (**) لدينا:

دعونا نشتق الصيغة ن-الحد الرابع من المتوالية الحسابية.

إذن، نحصل على الحد الثاني من المتوالية الحسابية إذا أضفنا الفرق إلى الأول د; نحصل على الحد الثالث إذا أضفنا الفرق إلى الحد الثاني دأو إضافة اختلافين إلى الفصل الأول د; نحصل على الحد الرابع إذا أضفنا الفرق إلى الحد الثالث دأو أضف ثلاثة اختلافات إلى الأول دوما إلى ذلك وهلم جرا.

لقد خمنت ذلك: أ 2 = أ 1 + د؛

أ 3 = أ 2 + د = أ 1 + 2 د؛

أ 4 = أ 3 + د = أ 1 + 3 د؛

…………………….

أ ن = أ ن-1 + د = أ 1 + (ن-1) د.

الصيغة الناتجة ن = أ 1 + (ن-1) د (***)

مُسَمًّى معادلةنالحد الرابع من المتوالية الحسابية.

الآن دعونا نتحدث عن كيفية العثور على مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي. دعونا نشير إلى هذا المبلغ بـ س ن.

إعادة ترتيب أماكن الحدود لا يغير قيمة المجموع، لذا يمكن كتابته بطريقتين.

س ن= أ 1 + أ 2 + أ 3 + أ 4 + … + أ ن-3 + أ ن-2 + أ ن-1 + أ ن و

س ن =أ ن + أ ن-1 + أ ن-2 + أ ن-3 + …...+ أ 4 + أ 3 + أ 2 + أ 1

دعنا نضيف هاتين المتساويتين مصطلحًا تلو الآخر:

2س ن= (أ 1 + أ ن) + (أ 2 + أ ن-1) + (أ 3 + أ ن-2) + (أ 4 + أ ن-3) + …

القيم الموجودة بين القوسين متساوية مع بعضها البعض، حيث أنها مجموع حدود المتسلسلة المتباعدة بشكل متساوٍ، مما يعني أنه يمكننا كتابة: 2S n = n · (a 1 + a n).

نحصل على الصيغة مبالغ الأولنشروط التقدم الحسابي.

إذا استبدلنا n بالقيمة a 1 + (n-1) d باستخدام الصيغة (***)، نحصل على صيغة أخرى لمجموع القيمة الأولى نشروط التقدم الحسابي.