كيفية حل التقدم الحسابي 9. التقدم الحسابي. ثالثا. تعلم مواد جديدة

لاستخدام معاينات العرض التقديمي، قم بإنشاء حساب Google وقم بتسجيل الدخول إليه: https://accounts.google.com

التسميات التوضيحية للشرائح:

معاينة:

موضوع

المتوالية العددية

هدف :

• تعليم كيفية التعرف على التقدم الحسابي باستخدام تعريفه وعلامته؛
• تعليم كيفية حل المشكلات باستخدام تعريف وعلامة وصيغة للمصطلح العام للتقدم.

أهداف الدرس:

إعطاء تعريف للتقدم الحسابي، وإثبات علامة التقدم الحسابي وتعليم كيفية استخدامها في حل المسائل.

طرق التدريس:

تحديث معرفة الطلاب، والعمل المستقل، والعمل الفردي، وخلق موقف مشكلة.

التقنيات الحديثة:

تكنولوجيا المعلومات والاتصالات، والتعلم القائم على حل المشكلات، والتعلم المتمايز، والتقنيات الموفرة للصحة.

خطة الدرس

	مراحل الدرس.	وقت التنفيذ.
	تنظيم الوقت.	2 دقيقة
	تكرار ما تم تغطيته	5 دقائق
	تعلم مواد جديدة	15 دقيقة
	دقيقة التربية البدنية	3 دقائق
	إكمال المهام المتعلقة بالموضوع	15 دقيقة
	العمل في المنزل	2 دقيقة
	تلخيص	3 دقائق

خلال الفصول الدراسية:

1. في الدرس الأخير تعرفنا على مفهوم "التسلسل".

وسنواصل اليوم دراسة المتتابعات العددية وتحديد بعضها والتعرف على خصائصها وخصائصها.

1. أجب عن الأسئلة: ما هو التسلسل؟

ما هي التسلسلات هناك؟

ما هي الطرق التي يمكنك ضبط التسلسل؟

ما هو التسلسل الرقمي؟

ما هي طرق تحديد التسلسل الرقمي التي تعرفها؟ ما هي الصيغة تسمى المتكررة؟

1. نظرا للتسلسل العددي:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

أوجد نمط كل تسلسل، ثم قم بتسمية الحدود الثلاثة التالية لكل منها.

1. ن = ن -1 +1
2. أ ن = أ ن -1 + 3
3. أ ن = أ ن -1 + (-2)
4. ن = ن -1 + 0.5

أعط صيغة التكرار لكل تسلسل.

شريحة 1

تسمى المتتابعة العددية التي يكون كل عضو فيها ابتداء من الثاني مساوياً للعضو السابق مضافاً إلى نفس الرقم، بالمتتابعة الحسابية.

الرقم d يسمى فرق التقدم الحسابي.

التقدم الحسابي هو تسلسل عددي، لذلك يمكن أن يكون متزايدًا أو متناقصًا أو ثابتًا. أعط أمثلة على هذه التسلسلات، وقم بتسمية الفرق بين كل تقدم، واستخلص النتيجة.

دعونا نشتق صيغة الحد العام للتقدم الحسابي.

على السبورة: دع أ 1 هو الحد الأول للتقدم، د هو الفرق، إذن

أ 2 = أ 1 + د

أ 3 =(أ 1 +د)+د=أ 1 +2د

أ 4 =(أ 1 +2د)+د=أ 1 +3د

أ 5 =(أ 1 +3د)+د=أ 1 +4د

أ ن = أ 1 + د (ن-1) - صيغة الحد النوني للتقدم الحسابي.

حل المشكلة: في المتتابعة الحسابية، الحد الأول هو 5 والفرق هو 4.

أوجد الحد الثاني والعشرين من هذا التقدم.

يقرر الطالب على السبورة: أن =أ 1 +د(ن-1)

أ 22 = أ 1 +21 د=5+21*4=89

دقيقة التربية البدنية.

أستيقظنا.

الأيدي على الحزام. يميل إلى اليسار واليمين (مرتين)؛

الانحناء للأمام والخلف (مرتين) ؛

ارفع يديك للأعلى، خذ نفسًا عميقًا، أنزل يديك للأسفل، ثم قم بالزفير. (2 مرات)

صافحوا أيديهم. شكرًا لك.

جلسنا. دعونا نواصل الدرس.

نحن نحل المسائل باستخدام صيغة الحد العام للتقدم الحسابي.

يُعرض على الطلاب المهام التالية:

1. في المتتابعة الحسابية، الحد الأول هو -2، د=3، أن = 118.

ابحث عن ن.

1. في المتتابعة الحسابية، الحد الأول هو 7، والحد الخامس عشر هو -35. جد الفرق.
2. ومن المعروف أنه في المتوالية الحسابية d=-2، a39=83. أوجد الحد الأول من التقدم.

يتم تقسيم الطلاب إلى مجموعات. يتم إعطاء المهمة لمدة 5 دقائق. بعد ذلك، يقوم الطلاب الثلاثة الأوائل الذين قاموا بحل المسائل بحلها على السبورة. يتم تكرار الحل على الشرائح.

دعونا ننظر في الخصائص المميزة للتقدم الحسابي.

في التقدم الحسابي

أ ن -د=أ (ن-1)

أ ن +د=أ (ن+1)

دعونا نضيف هاتين المتساويتين حدًا تلو الآخر، فنحصل على: 2أن =أ (ن+1) +أ (ن-1)

ا ن =(أ (ن+1) +أ (ن-1 ))/2

وهذا يعني أن كل عضو في المتوالية الحسابية، باستثناء الأول والأخير، يساوي المتوسط ​​الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.

النظرية:

المتتابعة الرقمية هي متوالية حسابية إذا وفقط إذا كان كل عضو من أعضائها، باستثناء الأول (والأخير في حالة المتوالية المحدودة)، يساوي المتوسط ​​الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين (خاصية مميزة للمتتابعة العددية). المتوالية العددية).

يرتبط فهم العديد من المواضيع في الرياضيات والفيزياء بمعرفة خصائص سلاسل الأعداد. تلاميذ الصف التاسع عند دراسة موضوع "الجبر" يأخذون في الاعتبار أحد تسلسلات الأرقام المهمة - التقدم الحسابي. نقدم لك الصيغ الأساسية للتقدم الحسابي (الصف التاسع)، بالإضافة إلى أمثلة لاستخدامها في حل المشكلات.

التقدم الجبري أو الحسابي

يتم استدعاء سلسلة الأرقام التي سيتم مناقشتها في هذه المقالة بطريقتين مختلفتين، معروضتين في عنوان هذه الفقرة. لذلك، نعني بالتقدم الحسابي في الرياضيات سلسلة أرقام يختلف فيها أي رقمين متجاورين بنفس المقدار، يسمى الفرق. عادة ما يتم الإشارة إلى الأرقام في مثل هذه السلسلة بأحرف ذات مؤشر عدد صحيح أقل، على سبيل المثال، a1، a2، a3 وما إلى ذلك، حيث يشير الفهرس إلى رقم عنصر السلسلة.

مع الأخذ في الاعتبار التعريف أعلاه للتقدم الحسابي، يمكننا كتابة المساواة التالية: a2-a1 =...=an-an-1=d، هنا d هو الفرق في التقدم الجبري وn هو أي عدد صحيح. إذا كان d>0، فيمكننا أن نتوقع أن كل عضو لاحق في السلسلة سيكون أكبر من العضو السابق، وفي هذه الحالة نتحدث عن تقدم متزايد. إذا د

صيغ التقدم الحسابي (الصف التاسع)

سلسلة الأرقام المعنية، نظرًا لأنها مرتبة وتخضع لبعض القوانين الرياضية، لها خاصيتان مهمتان لاستخدامها:

أولاً، بمعرفة رقمين فقط a1 وd، يمكنك العثور على أي عضو في التسلسل. ويتم ذلك باستخدام الصيغة التالية: an = a1+(n-1)*d.

ثانيًا، لحساب مجموع حدود n الأولى، ليس من الضروري جمعها بالترتيب، حيث يمكنك استخدام الصيغة التالية: Sn = n*(an+a1)/2.

من السهل فهم الصيغة الأولى، لأنها نتيجة مباشرة لحقيقة أن كل عضو في السلسلة قيد النظر يختلف عن جاره بنفس الاختلاف.

يمكن الحصول على الصيغة الثانية للتقدم الحسابي من خلال ملاحظة أن المجموع a1+an يتبين أنه معادل للمجموع a2+an-1، a3+an-2، وهكذا. في الواقع، بما أن a2 = d+a1، وan-2 = -2*d+an، وa3 = 2*d+a1، وan-1 = -d+an، فإننا نعوض هذه التعبيرات في المجاميع المقابلة، نجد أن سيكونون هم أنفسهم. يظهر العامل n/2 في الصيغة الثانية (للSn) نظرًا لحقيقة أن المجاميع من النوع ai+1+an-i تكون بالضبط n/2، وهنا i عدد صحيح يتراوح من 0 إلى n/2 - 1.

وفقًا للأدلة التاريخية الباقية، تم الحصول على صيغة مجموع Sn لأول مرة بواسطة كارل غاوس (عالم الرياضيات الألماني الشهير) عندما كلفه معلم مدرسته بمهمة جمع أول 100 رقم.

مثال المشكلة رقم 1: أوجد الفرق

المسائل التي يطرح فيها السؤال على النحو التالي: معرفة صيغ المتتابعة الحسابية، وكيفية العثور على d (d)، هي أبسط ما يمكن أن يكون إلا لهذا الموضوع.

لنعطي مثالا: بالنظر إلى التسلسل العددي -5،-2، 1، 4، ...، من الضروري تحديد اختلافه، أي د.

يمكن القيام بذلك بسهولة قدر الإمكان: عليك أن تأخذ عنصرين وتطرح العنصر الأصغر من العنصر الأكبر. في هذه الحالة لدينا: د = -2 - (-5) = 3.

للتأكد من الإجابة المستلمة، يوصى بالتحقق من الاختلافات المتبقية، لأن التسلسل المقدم قد لا يفي بشرط التقدم الجبري. لدينا: 1-(-2)=3 و4-1=3. تشير هذه البيانات إلى أننا حصلنا على النتيجة الصحيحة (d=3) وأثبتنا أن سلسلة الأرقام في بيان المشكلة تمثل بالفعل تقدمًا جبريًا.

مثال للمسألة رقم 2: أوجد الفرق بمعرفة حدين للتقدم

دعونا نفكر في مشكلة أخرى مثيرة للاهتمام، والتي تسأل عن كيفية العثور على الفرق. في هذه الحالة، يجب استخدام صيغة التقدم الحسابي للحد n. لذا، المهمة: بالنظر إلى الرقمين الأول والخامس من السلسلة التي تتوافق مع جميع خصائص التقدم الجبري، على سبيل المثال، هذه هي الأرقام a1 = 8 و a5 = -10. كيفية العثور على الفرق د؟

يجب أن تبدأ في حل هذه المشكلة عن طريق كتابة صيغة عامة للعنصر n: an = a1+d*(-1+n). الآن يمكنك الذهاب بطريقتين: إما استبدال الأرقام على الفور والعمل معها، أو التعبير عن d، ثم الانتقال إلى a1 وa5 محددين. باستخدام الطريقة الأخيرة نحصل على: a5 = a1+d*(-1+5) أو a5 = 4*d+a1، مما يعني أن d = (a5-a1)/4. يمكنك الآن استبدال البيانات المعروفة من الشرط بأمان والحصول على الإجابة النهائية: d = (-10-8)/4 = -4.5.

لاحظ أنه في هذه الحالة تبين أن فرق التقدم كان سلبيا، أي أن هناك تسلسلا تنازليا للأرقام. ومن الضروري الانتباه إلى هذه الحقيقة عند حل المشكلات حتى لا تخلط بين العلامتين "+" و "-". جميع الصيغ المذكورة أعلاه عالمية، لذا يجب اتباعها دائمًا بغض النظر عن إشارة الأرقام التي يتم بها تنفيذ العمليات.

مثال لحل المشكلة رقم 3: ابحث عن a1 ومعرفة الفرق والعنصر

دعونا نغير بيان المشكلة قليلا. يجب أن يكون هناك رقمان: الفرق d=6 والعنصر التاسع للتقدم a9 = 10. كيف تجد a1؟ تظل صيغ التقدم الحسابي دون تغيير، فلنستخدمها. بالنسبة للرقم a9 لدينا التعبير التالي: a1+d*(9-1) = a9. ومن هنا نحصل بسهولة على العنصر الأول في السلسلة: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.

مثال على حل المشكلة رقم 4: ابحث عن a1 مع معرفة عنصرين

هذا الإصدار من المشكلة هو إصدار معقد من الإصدار السابق. الجوهر هو نفسه، من الضروري حساب a1، ولكن الآن الفرق d غير معروف، وبدلاً من ذلك يتم إعطاء عنصر آخر من التقدم.

مثال على هذا النوع من المسائل هو ما يلي: ابحث عن الرقم الأول من التسلسل المعروف بأنه تقدم حسابي وأن عنصريه الخامس عشر والثالث والعشرين هما 7 و12 على التوالي.

ومن الضروري حل هذه المشكلة عن طريق كتابة تعبير للحد النوني لكل عنصر معروف من الشرط، لدينا: a15 = d*(15-1)+a1 و a23 = d*(23-1)+a1. كما ترون، لدينا معادلتان خطيتان يجب حلهما من أجل a1 وd. لنفعل ذلك: نطرح الأولى من المعادلة الثانية، فنحصل على التعبير التالي: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. عند اشتقاق المعادلة الأخيرة تم حذف قيم a1 لأنها تلغى عند طرحها. بتعويض البيانات المعروفة نجد الفرق: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0.625.

يجب استبدال قيمة d في أي صيغة لعنصر معروف للحصول على الحد الأول من التسلسل: a15 = 14*d+a1، ومنها: a1=a15-14*d = 7-14*0.625 = -1.75 .

دعونا نتحقق من النتيجة التي تم الحصول عليها؛ للقيام بذلك، نجد a1 من خلال التعبير الثاني: a23 = d*22+a1 أو a1 = a23-d*22 = 12 - 0.625*22 = -1.75.

مثال على حل المشكلة رقم 5: ابحث عن مجموع العناصر n

كما ترون، حتى هذه اللحظة، تم استخدام صيغة تقدم حسابي واحدة فقط (الصف التاسع) للحل. الآن نقدم مشكلة تتطلب حلولها معرفة الصيغة الثانية، وهي مجموع Sn.

هناك سلسلة الأرقام المرتبة التالية -1,1، -2,1، -3,1،...، تحتاج إلى حساب مجموع عناصرها الـ 11 الأولى.

ومن هذه السلسلة يتضح أنها آخذة في التناقص، وأن a1 = -1.1. فرقها يساوي: d = -2.1 - (-1.1) = -1. الآن دعونا نحدد الحد الحادي عشر: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1,1) = -11,1. بعد الانتهاء من الحسابات التحضيرية، يمكنك استخدام الصيغة المذكورة أعلاه للمبلغ، لدينا: S11 =11*(-1.1 +(-11.1))/2 = -67.1. وبما أن جميع الحدود كانت أرقامًا سالبة، فإن مجموعها له أيضًا العلامة المقابلة.

مثال على حل المشكلة رقم 6: ابحث عن مجموع العناصر من n إلى m

ربما يكون هذا النوع من المشاكل هو الأصعب بالنسبة لمعظم أطفال المدارس. لنعطي مثالا نموذجيا: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام 2، 4، 6، 8...، تحتاج إلى إيجاد المجموع من الحد السابع إلى الحد الثالث عشر.

تُستخدم صيغ التقدم الحسابي (الصف 9) تمامًا كما في جميع المسائل السابقة. يوصى بحل هذه المشكلة خطوة بخطوة:

قم أولاً بالعثور على مجموع 13 مصطلحًا باستخدام الصيغة القياسية.

ثم احسب هذا المجموع للعناصر الستة الأولى.

بعد ذلك، اطرح المبلغ الثاني من المبلغ الأول.

دعونا نصل إلى الحل. كما في الحالة السابقة، سنقوم بإجراء الحسابات التحضيرية: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12، a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.

لنحسب مجموعين: S13 = 13*(2+26)/2 = 182، S6 = 6*(2+12)/2 = 42. خذ الفرق واحصل على الإجابة المطلوبة: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. لاحظ أنه عند الحصول على هذه القيمة، تم استخدام مجموع 6 عناصر من التقدم كمطروح، حيث تم تضمين الحد السابع في المجموع S7-13.

للرياضيات جمالها الخاص، تمامًا مثل الرسم والشعر.

العالم الروسي الميكانيكي ن. جوكوفسكي

المشكلات الشائعة جدًا في امتحانات القبول في الرياضيات هي المشكلات المتعلقة بمفهوم التقدم الحسابي. لحل مثل هذه المشكلات بنجاح، يجب أن تكون لديك معرفة جيدة بخصائص التقدم الحسابي وأن تكون لديك مهارات معينة في تطبيقها.

دعونا نتذكر أولاً الخصائص الأساسية للتقدم الحسابي ونقدم أهم الصيغ, المتعلقة بهذا المفهوم.

تعريف. تسلسل رقمي, حيث يختلف كل مصطلح لاحق عن السابق بنفس العدد, تسمى المتوالية الحسابية في هذه الحالة الرقميسمى فرق التقدم.

بالنسبة للتقدم الحسابي، تكون الصيغ التالية صالحة:

, (1)

أين . تُسمى الصيغة (1) بصيغة الحد العام للتقدم الحسابي، وتمثل الصيغة (2) الخاصية الرئيسية للتقدم الحسابي: يتزامن كل حد من حدود التقدم مع المتوسط ​​الحسابي للمصطلحات المجاورة له و.

لاحظ أنه بسبب هذه الخاصية بالتحديد يُطلق على التقدم قيد النظر اسم "الحساب".

يتم تعميم الصيغتين (1) و (2) أعلاه على النحو التالي:

(3)

لحساب المبلغأولاً شروط التقدم الحسابيعادة ما يتم استخدام الصيغة

(٥) أين و.

إذا أخذنا في الاعتبار الصيغة (1), ثم من الصيغة (5) يتبع

إذا دلنا على ذلك

أين . وبما أن الصيغتين (7) و (8) هما تعميم للصيغتين المقابلتين (5) و (6).

بخاصة ، من الصيغة (5) يلي ذلك، ماذا

لا يعرف معظم الطلاب إلا القليل عن خاصية التقدم الحسابي، والتي تمت صياغتها من خلال النظرية التالية.

نظرية.اذا ثم

دليل.اذا ثم

لقد تم إثبات النظرية.

على سبيل المثال ، باستخدام النظرية، يمكن أن يظهر ذلك

دعنا ننتقل إلى النظر في الأمثلة النموذجية لحل المشكلات حول موضوع "التقدم الحسابي".

مثال 1.فليكن. يجد .

حل.وبتطبيق الصيغة (6) نحصل على . منذ و ، ثم أو .

مثال 2.وليكن أكبر بثلاث مرات، وإذا قسم على خارج القسمة يكون الناتج 2 والباقي 8. حدد و .

حل.ومن شروط المثال يتبع نظام المعادلات

منذ و و و ثم من نظام المعادلات (10) نحصل عليه

الحل لهذا النظام من المعادلات هو و .

مثال 3.ابحث عما إذا كان و .

حل.وفقا للصيغة (5) لدينا أو . ولكن باستخدام الخاصية (9) نحصل على .

منذ و ، ثم من المساواة المعادلة التاليةأو .

مثال 4.اكتشف ما إذا كان .

حل.وفقا للصيغة (5) لدينا

ومع ذلك، باستخدام النظرية، يمكننا الكتابة

ومن هنا ومن الصيغة (11) نحصل على .

مثال 5. منح: . يجد .

حل.منذ ذلك الحين. ومع ذلك، لذلك.

مثال 6.اسمحوا و . يجد .

حل.وباستخدام الصيغة (9) نحصل على . لذلك، إذا، ثم أو.

منذ و ثم هنا لدينا نظام المعادلات

حل الذي نحصل عليه و .

الجذر الطبيعي للمعادلةيكون .

مثال 7.ابحث عما إذا كان و .

حل.وبما أننا حسب الصيغة (3) لدينا ذلك، فإن نظام المعادلات يتبع من شروط المشكلة

إذا قمنا باستبدال التعبيرفي المعادلة الثانية للنظام، ثم نحصل على أو .

جذور المعادلة التربيعية هيو .

دعونا ننظر في حالتين.

1. دع إذن . منذ و ثم .

في هذه الحالة، وفقا للصيغة (6)، لدينا

2. إذا، ثم، و

الجواب: و.

مثال 8.ومن المعروف أن و. يجد .

حل.مع مراعاة الصيغة (5) وشرط المثال نكتب و .

وهذا يعني نظام المعادلات

إذا ضربنا المعادلة الأولى للنظام في 2 ثم أضفناها إلى المعادلة الثانية، نحصل على

وفقا للصيغة (9) لدينا. ويتبع في هذا الصدد (12)أو .

منذ و ثم .

إجابة: .

مثال 9.ابحث عما إذا كان و .

حل.منذ ، وبشرط ، ثم أو .

ومن الصيغة (5) يعرف، ماذا . منذ ذلك الحين.

لذلك ، هنا لدينا نظام المعادلات الخطية

من هنا نحصل على و . ومع مراعاة الصيغة (8) نكتب .

مثال 10.حل المعادلة.

حل.من المعادلة المعطاة يتبع ذلك . لنفترض أن ، و . في هذه الحالة .

وفقا للصيغة (1)، يمكننا أن نكتب أو .

وبما أن المعادلة (13) لها الجذر الوحيد المناسب.

مثال 11.ابحث عن القيمة القصوى بشرط أن و .

حل.منذ ذلك الحين فإن التقدم الحسابي قيد النظر آخذ في التناقص. وفي هذا الصدد، يأخذ التعبير قيمته القصوى عندما يكون رقم الحد الأدنى الإيجابي للتقدم.

دعونا نستخدم الصيغة (1) والحقيقة، ذلك و . ثم نحصل على ذلك أو .

منذ ذلك الحين أو . ومع ذلك، في هذا عدم المساواةأكبر عدد طبيعي، لهذا .

إذا تم استبدال قيم و في الصيغة (6)، نحصل على .

إجابة: .

مثال 12.أوجد مجموع الأعداد الطبيعية المكونة من رقمين والتي عند قسمتها على الرقم 6 يتبقى 5.

حل.دعونا نشير إلى مجموعة الأعداد الطبيعية المكونة من رقمين، أي: . بعد ذلك، سنقوم بإنشاء مجموعة فرعية تتكون من عناصر (أرقام) المجموعة التي، عند قسمتها على الرقم 6، تعطي الباقي 5.

سهل التنصيب، ماذا . بوضوح ، أن عناصر المجموعةتشكيل التقدم الحسابي، فيها و .

لتحديد العدد الأصلي (عدد العناصر) للمجموعة، نفترض أن . منذ و، فإنه يتبع من الصيغة (1) أو . وبأخذ الصيغة (5) في الاعتبار نحصل على .

لا يمكن بأي حال من الأحوال أن تدعي الأمثلة المذكورة أعلاه لحل المشكلات أنها شاملة. تمت كتابة هذه المقالة بناءً على تحليل الأساليب الحديثة لحل المشكلات النموذجية حول موضوع معين. للحصول على دراسة أكثر تعمقًا لأساليب حل المشكلات المتعلقة بالتقدم الحسابي، يُنصح بالرجوع إلى قائمة الأدبيات الموصى بها.

1. مجموعة من المشاكل في الرياضيات للمتقدمين للكليات / إد. م. سكانافي. – م: السلام والتعليم، 2013. – 608 ص.

2. سوبرون ف.ب. الرياضيات لطلاب المدارس الثانوية: أقسام إضافية من المنهج المدرسي. - م: ليناند / URSS، 2014. – 216 ص.

3. ميدينسكي م. دورة كاملة في الرياضيات الابتدائية في المسائل والتمارين. الكتاب الثاني: المتتاليات العددية والتقدمات. - م: إيديتوس، 2015. – 208 ص.

لا تزال لديك أسئلة؟

للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

يسمى التسلسل الرقمي، الذي يكون كل عضو فيه، بدءًا من الثاني، مساويًا للرقم السابق المضاف إلى نفس الرقم لتسلسل معين، بالتقدم الحسابي. يتم استدعاء الرقم الذي يضاف إلى الرقم السابق في كل مرة اختلاف التقدم الحسابيويتم تحديده بالحرف د.

إذن، التسلسل الرقمي هو 1؛ 2؛ 3؛ 4؛ 5؛ ... و n سيكون تقدمًا حسابيًا إذا كان a 2 = a 1 + d؛

أ 3 = أ 2 + د؛

يقولون أنه تم تقديم تقدم حسابي بمصطلح مشترك و ن. اكتب: يتم إعطاء التقدم الحسابي (ن).

يعتبر التقدم الحسابي محددًا إذا كان حده الأول معروفًا أ 1والفرق د.

أمثلة على التقدم الحسابي

مثال 1. 1؛ 3؛ 5؛ 7؛ 9;...هنا أ 1 = 1; د = 2.

مثال 2. 8؛ 5؛ 2؛ -1؛ -4؛ -7؛ -10؛... هنا أ 1 = 8; د =-3.

مثال 3.-16؛ -12؛ -8؛ -4;... هنا أ 1 = -16; د = 4.

لاحظ أن كل حد من المتتابعة، بدءا من الثاني، يساوي الوسط الحسابي للحد المجاور له.

في 1 مثالالفصل الثاني 3 =(1+5): 2 ; أولئك. أ 2 = (أ 1 + أ 3) : 2؛ العضو الثالث 5 =(3+7): 2;

أي أ 3 = (أ 2 + أ 4) : 2.

وبالتالي فإن الصيغة صالحة:

ولكن، في الواقع، كل عضو في المتوالية الحسابية، بدءًا من الثاني، يساوي الوسط الحسابي ليس فقط للأعضاء المجاورة له، بل أيضًا على مسافة متساويةمن أعضائه، أي.

دعونا ننتقل مثال 2. رقم -1 هو الحد الرابع من المتوالية الحسابية وهو بعيد بنفس القدر عن الحدين الأول والسابع (أ 1 = 8، و7 = -10).

ووفقا للصيغة (**) لدينا:

دعونا نشتق الصيغة ن-الحد الرابع من المتوالية الحسابية.

إذن، نحصل على الحد الثاني من المتوالية الحسابية إذا أضفنا الفرق إلى الأول د; نحصل على الحد الثالث إذا أضفنا الفرق إلى الحد الثاني دأو إضافة اختلافين إلى الفصل الأول د; نحصل على الحد الرابع إذا أضفنا الفرق إلى الحد الثالث دأو أضف ثلاثة اختلافات إلى الأول دوما إلى ذلك وهلم جرا.

لقد خمنت ذلك: أ 2 = أ 1 + د؛

أ 3 = أ 2 + د = أ 1 + 2 د؛

أ 4 = أ 3 + د = أ 1 + 3 د؛

…………………….

أ ن = أ ن-1 + د = أ 1 + (ن-1) د.

الصيغة الناتجة ن = أ 1 + (ن-1) د (***)

مُسَمًّى معادلةنالحد الرابع من المتوالية الحسابية.

الآن دعونا نتحدث عن كيفية العثور على مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي. دعونا نشير إلى هذا المبلغ بـ س ن.

إعادة ترتيب أماكن الحدود لا يغير قيمة المجموع، لذا يمكن كتابته بطريقتين.

س ن= أ 1 + أ 2 + أ 3 + أ 4 + … + أ ن-3 + أ ن-2 + أ ن-1 + أ ن و

س ن =أ ن + أ ن-1 + أ ن-2 + أ ن-3 + …...+ أ 4 + أ 3 + أ 2 + أ 1

دعنا نضيف هاتين المتساويتين مصطلحًا تلو الآخر:

2س ن= (أ 1 + أ ن) + (أ 2 + أ ن-1) + (أ 3 + أ ن-2) + (أ 4 + أ ن-3) + …

القيم الموجودة بين القوسين متساوية مع بعضها البعض، حيث أنها مجموع حدود المتسلسلة المتباعدة بشكل متساوٍ، مما يعني أنه يمكننا كتابة: 2S n = n · (a 1 + a n).

نحصل على الصيغة مبالغ الأولنشروط التقدم الحسابي.

إذا استبدلنا n بالقيمة a 1 + (n-1) d باستخدام الصيغة (***)، نحصل على صيغة أخرى لمجموع القيمة الأولى نشروط التقدم الحسابي.

يرتبط فهم العديد من المواضيع في الرياضيات والفيزياء بمعرفة خصائص سلاسل الأعداد. تلاميذ الصف التاسع عند دراسة موضوع "الجبر" يأخذون في الاعتبار أحد تسلسلات الأرقام المهمة - التقدم الحسابي. نقدم لك الصيغ الأساسية للتقدم الحسابي (الصف التاسع)، بالإضافة إلى أمثلة لاستخدامها في حل المشكلات.

التقدم الجبري أو الحسابي

يتم استدعاء سلسلة الأرقام التي سيتم مناقشتها في هذه المقالة بطريقتين مختلفتين، معروضتين في عنوان هذه الفقرة. لذلك، نعني بالتقدم الحسابي في الرياضيات سلسلة أرقام يختلف فيها أي رقمين متجاورين بنفس المقدار، يسمى الفرق. عادة ما يتم الإشارة إلى الأرقام في مثل هذه السلسلة بأحرف ذات مؤشر عدد صحيح أقل، على سبيل المثال، 1، 2، 3 وما إلى ذلك، حيث يشير الفهرس إلى رقم عنصر السلسلة.

مع الأخذ في الاعتبار التعريف أعلاه للتقدم الحسابي، يمكننا كتابة المساواة التالية: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d، هنا d هو فرق المتتابعة الجبرية وn هو أي عدد صحيح . إذا كان d>0، فيمكننا أن نتوقع أن كل عضو لاحق في السلسلة سيكون أكبر من العضو السابق، وفي هذه الحالة نتحدث عن تقدم متزايد. إذا د<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

صيغ التقدم الحسابي (الصف التاسع)

سلسلة الأرقام المعنية، نظرًا لأنها مرتبة وتخضع لبعض القوانين الرياضية، لها خاصيتان مهمتان لاستخدامها:

1. أولاً، بمعرفة رقمين فقط a 1 وd، يمكنك العثور على أي عضو في التسلسل. ويتم ذلك باستخدام الصيغة التالية: a n = a 1 +(n-1)*d.
2. ثانيًا، لحساب مجموع حدود n الأولى، ليس من الضروري إضافتها بالترتيب، حيث يمكنك استخدام الصيغة التالية: S n = n*(a n +a 1)/2.

من السهل فهم الصيغة الأولى، لأنها نتيجة مباشرة لحقيقة أن كل عضو في السلسلة قيد النظر يختلف عن جاره بنفس الاختلاف.

يمكن الحصول على الصيغة الثانية للتقدم الحسابي من خلال ملاحظة أن المجموع a 1 +a n يتبين أنه معادل لمجموع a 2 +a n-1، a 3 +a n-2 وهكذا. في الواقع، بما أن a 2 = d+a 1، وa n-2 = -2*d+a n، وa 3 = 2*d+a 1، وa n-1 = -d+a n، ثم استبدال هذه التعبيرات في المبالغ المتناظرة، نجد أنها ستكون هي نفسها. يظهر العامل n/2 في الصيغة الثانية (لـ S n) نظرًا لحقيقة أن المجاميع من النوع a i+1 +a n-i تبين أنها بالضبط n/2، هنا i عدد صحيح يتراوح من 0 إلى n /2-1.

وفقًا للأدلة التاريخية الباقية، تم الحصول على صيغة المجموع S n لأول مرة بواسطة كارل غاوس (عالم الرياضيات الألماني الشهير) عندما كلفه معلم مدرسته بمهمة جمع أول 100 رقم.

مثال المشكلة رقم 1: أوجد الفرق

المسائل التي يطرح فيها السؤال على النحو التالي: معرفة صيغ المتتابعة الحسابية، وكيفية العثور على d (d)، هي أبسط ما يمكن أن يكون إلا لهذا الموضوع.

لنعطي مثالا: بالنظر إلى التسلسل العددي -5،-2، 1، 4، ...، من الضروري تحديد اختلافه، أي د.

يمكن القيام بذلك بسهولة قدر الإمكان: عليك أن تأخذ عنصرين وتطرح العنصر الأصغر من العنصر الأكبر. في هذه الحالة لدينا: د = -2 - (-5) = 3.

للتأكد من الإجابة المستلمة، يوصى بالتحقق من الاختلافات المتبقية، لأن التسلسل المقدم قد لا يفي بشرط التقدم الجبري. لدينا: 1-(-2)=3 و4-1=3. تشير هذه البيانات إلى أننا حصلنا على النتيجة الصحيحة (d=3) وأثبتنا أن سلسلة الأرقام في بيان المشكلة تمثل بالفعل تقدمًا جبريًا.

مثال للمسألة رقم 2: أوجد الفرق بمعرفة حدين للتقدم

دعونا نفكر في مشكلة أخرى مثيرة للاهتمام، والتي تسأل عن كيفية العثور على الفرق. في هذه الحالة، يجب استخدام صيغة التقدم الحسابي للحد n. إذن، المهمة: بالنظر إلى الرقمين الأول والخامس من السلسلة التي تتوافق مع جميع خصائص التقدم الجبري، على سبيل المثال، هذه هي الأرقام أ 1 = 8 و أ 5 = -10. كيفية العثور على الفرق د؟

يجب أن تبدأ في حل هذه المشكلة عن طريق كتابة الصيغة العامة للعنصر n: a n = a 1 +d*(-1+n). يمكنك الآن اتباع طريقتين: إما استبدال الأرقام على الفور والعمل معها، أو التعبير عن d، ثم الانتقال إلى 1 و5 محددين. باستخدام الطريقة الأخيرة نحصل على: a 5 = a 1 +d*(-1+5) أو a 5 = 4*d+a 1، مما يعني أن d = (a 5 -a 1)/4. يمكنك الآن استبدال البيانات المعروفة من الشرط بأمان والحصول على الإجابة النهائية: d = (-10-8)/4 = -4.5.

لاحظ أنه في هذه الحالة تبين أن فرق التقدم كان سلبيا، أي أن هناك تسلسلا تنازليا للأرقام. ومن الضروري الانتباه إلى هذه الحقيقة عند حل المشكلات حتى لا تخلط بين العلامتين "+" و "-". جميع الصيغ المذكورة أعلاه عالمية، لذا يجب اتباعها دائمًا بغض النظر عن إشارة الأرقام التي يتم بها تنفيذ العمليات.

مثال لحل المشكلة رقم 3: ابحث عن a1 ومعرفة الفرق والعنصر

دعونا نغير بيان المشكلة قليلا. يجب أن يكون هناك رقمان: الفرق d=6 والعنصر التاسع للتقدم a 9 = 10. كيف تجد a1؟ تظل صيغ التقدم الحسابي دون تغيير، فلنستخدمها. بالنسبة للرقم أ 9 لدينا التعبير التالي: أ 1 +د*(9-1) = أ 9. ومن هنا نحصل بسهولة على العنصر الأول في السلسلة: a 1 = a 9 -8*d = 10 - 8*6 = -38.

مثال على حل المشكلة رقم 4: ابحث عن a1 مع معرفة عنصرين

هذا الإصدار من المشكلة هو إصدار معقد من الإصدار السابق. الجوهر هو نفسه، من الضروري حساب 1، ولكن الآن الفرق d غير معروف، وبدلاً من ذلك يتم إعطاء عنصر آخر من التقدم.

مثال على هذا النوع من المسائل هو ما يلي: ابحث عن الرقم الأول من التسلسل المعروف بأنه تقدم حسابي وأن عنصريه الخامس عشر والثالث والعشرين هما 7 و12 على التوالي.

ومن الضروري حل هذه المشكلة عن طريق كتابة تعبير للحد النوني لكل عنصر معروف من الشرط، لدينا: a 15 = d*(15-1)+a 1 و a 23 = d*(23-1) +أ 1 . كما ترى، لدينا معادلتان خطيتان يجب حلهما من أجل 1 وd. لنفعل ذلك: نطرح الأولى من المعادلة الثانية، فنحصل على التعبير التالي: أ 23 -أ 15 = 22*د - 14*د = 8*د. عند اشتقاق المعادلة الأخيرة تم حذف قيم 1 لأنها تلغى عند طرحها. بتعويض البيانات المعروفة نجد الفرق: d = (a 23 -a 15)/8 = (12-7)/8 = 0.625.

يجب استبدال قيمة d في أي صيغة لعنصر معروف للحصول على الحد الأول من التسلسل: a 15 = 14*d+a 1، ومنها: a 1 =a 15 -14*d = 7-14* 0.625 = -1.75.

دعونا نتحقق من النتيجة التي تم الحصول عليها؛ للقيام بذلك، نجد 1 من خلال التعبير الثاني: a 23 = d*22+a 1 أو a 1 = a 23 -d*22 = 12 - 0.625*22 = -1.75.

مثال على حل المشكلة رقم 5: ابحث عن مجموع العناصر n

كما ترون، حتى هذه اللحظة، تم استخدام صيغة تقدم حسابي واحدة فقط (الصف التاسع) للحل. الآن نقدم مسألة تتطلب حلولها معرفة الصيغة الثانية، وهي مجموع S n.

هناك سلسلة الأرقام المرتبة التالية -1,1، -2,1، -3,1،...، تحتاج إلى حساب مجموع عناصرها الـ 11 الأولى.

ومن هذه السلسلة يتضح أنها آخذة في التناقص، وأن 1 = -1.1. فرقها يساوي: d = -2.1 - (-1.1) = -1. الآن دعونا نحدد الحد الحادي عشر: أ 11 = 10*د + أ 1 = -10 + (-1.1) = -11.1. بعد الانتهاء من الحسابات التحضيرية، يمكنك استخدام الصيغة المذكورة أعلاه للحصول على المبلغ، لدينا: S 11 =11*(-1.1 +(-11.1))/2 = -67.1. وبما أن جميع الحدود كانت أرقامًا سالبة، فإن مجموعها له أيضًا العلامة المقابلة.

مثال على حل المشكلة رقم 6: ابحث عن مجموع العناصر من n إلى m

ربما يكون هذا النوع من المشاكل هو الأصعب بالنسبة لمعظم أطفال المدارس. لنعطي مثالا نموذجيا: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام 2، 4، 6، 8...، تحتاج إلى إيجاد المجموع من الحد السابع إلى الحد الثالث عشر.

الصيغ المتوالية العددية(الصف التاسع) تستخدم تمامًا كما في جميع المسائل السابقة. يوصى بحل هذه المشكلة خطوة بخطوة:

1. قم أولاً بالعثور على مجموع 13 مصطلحًا باستخدام الصيغة القياسية.
2. ثم احسب هذا المجموع للعناصر الستة الأولى.
3. بعد ذلك، اطرح المبلغ الثاني من المبلغ الأول.

دعونا نصل إلى الحل. كما في الحالة السابقة، سنقوم بإجراء الحسابات التحضيرية: أ 6 = 5*د+أ 1 = 10+2 = 12، أ 13 = 12*د+أ 1 = 24+2 = 26.

لنحسب مجموعين: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182، S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. نأخذ الفرق ونحصل على الإجابة المطلوبة: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. لاحظ أنه عند الحصول على هذه القيمة، تم استخدام مجموع 6 عناصر من التقدم كمطروح، حيث تم تضمين الحد السابع في المجموع S 7-13.