أوجد مشتق y. قواعد حساب المشتقات. مشتقات الوظائف البسيطة

المشتق

يعد حساب مشتق دالة رياضية (التمايز) مهمة شائعة جدًا في حل الرياضيات العليا. بالنسبة للوظائف الرياضية البسيطة (الابتدائية) ، فهذه مسألة بسيطة إلى حد ما ، حيث تم تجميع جداول المشتقات للوظائف الأولية منذ فترة طويلة ويمكن الوصول إليها بسهولة. ومع ذلك ، فإن العثور على مشتق من دالة رياضية معقدة ليس مهمة تافهة وغالبًا ما يتطلب جهدًا ووقتًا كبيرين.

ابحث عن مشتق على الإنترنت

ملكنا خدمة الإنترنتيسمح لك بالتخلص من الحسابات الطويلة التي لا معنى لها و ابحث عن مشتق عبر الإنترنتخلال لحظة واحدة. علاوة على ذلك ، باستخدام خدمتنا الموجودة على الموقع www.site، يمكنك حساب مشتق عبر الإنترنتمن وظيفة أولية ومن وظيفة معقدة للغاية لا تحتوي على حل تحليلي. المزايا الرئيسية لموقعنا مقارنة بالآخرين هي: 1) لا توجد متطلبات صارمة لطريقة إدخال دالة رياضية لحساب المشتق (على سبيل المثال ، عند إدخال الدالة sine x ، يمكنك إدخالها كـ sin x أو sin (خ) أو الخطيئة [س] ، إلخ). د.) ؛ 2) يتم حساب المشتق عبر الإنترنت على الفور في الوضع عبر الانترنتوبالتأكيد بدون مقابل؛ 3) نسمح بإيجاد مشتق الوظيفة اي طلب، تغيير ترتيب المشتق سهل ومفهوم للغاية ؛ 4) نسمح لك بالعثور على مشتق من أي دالة رياضية تقريبًا عبر الإنترنت ، حتى لو كانت معقدة للغاية ، ولا يمكن الوصول إليها من قبل الخدمات الأخرى. الرد المقدم دقيق دائمًا ولا يمكن أن يحتوي على أخطاء.

سيسمح لك استخدام الخادم الخاص بنا بـ 1) حساب المشتق عبر الإنترنت ، مما يوفر لك من الحسابات الطويلة والمملة التي قد ترتكب خلالها خطأ أو خطأ مطبعي ؛ 2) إذا قمت بحساب مشتق دالة رياضية بنفسك ، فإننا نمنحك الفرصة لمقارنة النتيجة بحسابات خدمتنا والتأكد من صحة الحل أو العثور على خطأ متستر ؛ 3) استخدم خدمتنا بدلاً من استخدام جداول مشتقات الوظائف البسيطة ، حيث غالبًا ما يستغرق الأمر وقتًا للعثور على الوظيفة المطلوبة.

كل ما هو مطلوب منك ابحث عن مشتق عبر الإنترنتهو استخدام خدمتنا على

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات واتصالات مهمة.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على طلبات عامة أو طلبات من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأسباب أخرى تتعلق بالمصلحة العامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

عملية إيجاد المشتق تسمى التفاضل.

نتيجة لحل مشاكل إيجاد مشتقات لأبسط الوظائف (وليست بسيطة جدًا) من خلال تعريف المشتق على أنه حد نسبة الزيادة إلى الزيادة في الوسيطة ، ظهر جدول للمشتقات وقواعد محددة بدقة للتفاضل . كان إسحاق نيوتن (1643-1727) وجوتفريد فيلهلم ليبنيز (1646-1716) أول من عمل في مجال إيجاد المشتقات.

لذلك ، في عصرنا ، من أجل العثور على مشتق أي دالة ، ليس من الضروري حساب الحد المذكور أعلاه لنسبة زيادة الوظيفة إلى زيادة الوسيطة ، ولكن تحتاج فقط إلى استخدام الجدول المشتقات وقواعد التفاضل. الخوارزمية التالية مناسبة لإيجاد المشتق.

لإيجاد المشتق، فأنت بحاجة إلى تعبير تحت علامة السكتة الدماغية تحطيم الوظائف البسيطةوتحديد الإجراءات (المنتج ، المجموع ، الحاصل)هذه الوظائف مرتبطة. علاوة على ذلك ، نجد مشتقات الدوال الأولية في جدول المشتقات ، والصيغ الخاصة بمشتقات المنتج ، والجمع والحاصل - في قواعد التفاضل. يتم إعطاء جدول المشتقات وقواعد التفاضل بعد المثالين الأولين.

مثال 1أوجد مشتق دالة

المحلول. من قواعد التفاضل نجد أن مشتق مجموع الوظائف هو مجموع مشتقات الوظائف ، أي

من جدول المشتقات ، نجد أن مشتق "X" يساوي واحدًا ، ومشتق جيب التمام هو جيب التمام. نعوض بهذه القيم في مجموع المشتقات ونجد المشتق الذي تتطلبه حالة المشكلة:

مثال 2أوجد مشتق دالة

المحلول. اشتق كمشتق من المجموع ، حيث يمكن إخراج المصطلح الثاني بعامل ثابت من علامة المشتق:

إذا كانت لا تزال هناك أسئلة حول مصدر شيء ما ، فإنها ، كقاعدة عامة ، تصبح واضحة بعد قراءة جدول المشتقات وأبسط قواعد التفاضل. نحن نذهب إليهم الآن.

جدول مشتقات الدوال البسيطة

1. مشتق ثابت (رقم). أي رقم (1 ، 2 ، 5 ، 200 ...) موجود في تعبير الدالة. دائما صفر. من المهم جدًا تذكر هذا ، لأنه مطلوب في كثير من الأحيان
2. مشتق المتغير المستقل. في أغلب الأحيان "x". دائما يساوي واحد. من المهم أيضًا تذكر هذا
3. مشتق من الدرجة. عند حل المشكلات ، تحتاج إلى تحويل الجذور غير التربيعية إلى أس.
4. مشتق متغير من القوة -1
5. مشتق من الجذر التربيعي
6. مشتق الجيب
7. مشتق جيب التمام
8. مشتق الظل
9. مشتق ظل التمام
10. مشتق القوسين
11. مشتق قوس جيب التمام
12. مشتق قوس الظل
13. مشتق من معكوس الظل
14. مشتق من اللوغاريتم الطبيعي
15. مشتق دالة لوغاريتمية
16. مشتق من الأس
17. مشتق من الدالة الأسية

قواعد التمايز

1. مشتق من المجموع أو الفرق
2. مشتق من المنتج
2 أ. مشتق من تعبير مضروب بعامل ثابت
3. مشتق من حاصل القسمة
4. مشتق دالة معقدة

المادة 1إذا كان يعمل

قابلة للتفاضل عند نقطة ما ، ثم الوظائف في نفس النقطة

و

أولئك. مشتق المجموع الجبري للوظائف يساوي المجموع الجبري لمشتقات هذه الدوال.

عاقبة. إذا اختلفت وظيفتان قابلتان للتفاضل بواسطة ثابت ، فإن مشتقاتهما تكون، بمعنى آخر.

القاعدة 2إذا كان يعمل

قابلة للتفاضل في مرحلة ما ، فإن منتجها قابل للتفاضل أيضًا في نفس النقطة

و

أولئك. مشتق حاصل ضرب وظيفتين يساوي مجموع حاصل ضرب كل من هاتين الدالتين ومشتق الآخر.

النتيجة 1. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المشتق:

النتيجة 2. مشتق ناتج العديد من الوظائف القابلة للتفاضل يساوي مجموع حاصل ضرب مشتق كل من العوامل وكل العوامل الأخرى.

على سبيل المثال ، لثلاثة مضاعفات:

القاعدة 3إذا كان يعمل

قابلة للتفاضل في مرحلة ما و , عند هذه النقطة يكون حاصل قسمةها أيضًا قابلاً للاشتقاق.u / v و

أولئك. مشتق خارج قسمة وظيفتين يساوي كسر ، بسطه هو الفرق بين حاصل ضرب المقام ومشتق البسط والبسط ومشتق المقام ، والمقام هو مربع البسط السابق .

أين تبحث في الصفحات الأخرى

عند العثور على مشتق المنتج وحاصل القسمة في مشاكل حقيقية ، من الضروري دائمًا تطبيق عدة قواعد تفاضل في وقت واحد ، لذلك توجد المزيد من الأمثلة على هذه المشتقات في المقالة."مشتق المنتج والحاصل".

تعليق.يجب ألا تخلط بين ثابت (أي رقم) كمصطلح في المجموع وكعامل ثابت! في حالة المصطلح ، يكون مشتقه مساويًا للصفر ، وفي حالة وجود عامل ثابت ، يتم استبعاده من علامة المشتقات. هذا خطأ نموذجي يحدث في المرحلة الأولى من دراسة المشتقات ، ولكن عندما يحل الطالب العادي عدة أمثلة مكونة من مكونين ، فإن الطالب العادي لم يعد يرتكب هذا الخطأ.

وإذا كان لديك مصطلح عند التفريق بين منتج أو حاصل قسمة ش"الخامس، حيث ش- رقم ، على سبيل المثال ، 2 أو 5 ، أي ثابت ، ثم مشتق هذا الرقم سيكون مساويًا للصفر ، وبالتالي ، فإن المصطلح بأكمله سيكون مساويًا للصفر (يتم تحليل هذه الحالة في المثال 10) .

خطأ شائع آخر هو الحل الميكانيكي لمشتق دالة معقدة كمشتق لدالة بسيطة. لهذا مشتق دالة معقدةمكرسة لمقال منفصل. لكن أولاً سوف نتعلم إيجاد مشتقات وظائف بسيطة.

على طول الطريق ، لا يمكنك الاستغناء عن تحولات التعبيرات. للقيام بذلك ، قد تحتاج إلى فتح كتيبات النوافذ الجديدة أفعال ذات قوى وجذورو الأفعال مع الكسور .

إذا كنت تبحث عن حلول للمشتقات ذات القوى والجذور ، أي عندما تبدو الوظيفة ، ثم اتبع الدرس "مشتق من مجموع الكسور مع القوى والجذور".

إذا كان لديك مهمة مثل ، فأنت في الدرس "مشتقات الدوال المثلثية البسيطة".

أمثلة خطوة بخطوة - كيفية إيجاد المشتق

مثال 3أوجد مشتق دالة

المحلول. نحدد أجزاء تعبير الدالة: يمثل التعبير بأكمله المنتج ، وعوامله عبارة عن مجاميع ، وفي الثانية يحتوي أحد المصطلحات على عامل ثابت. نطبق قاعدة تمايز المنتج: مشتق حاصل ضرب وظيفتين يساوي مجموع حاصل ضرب كل من هاتين الدالتين ومشتق الآخر:

بعد ذلك ، نطبق قاعدة اشتقاق المجموع: مشتق مجموع الدوال الجبري يساوي المجموع الجبري لمشتقات هذه الدوال. في حالتنا ، في كل مجموع ، الحد الثاني بعلامة ناقص. في كل مجموع ، نرى متغيرًا مستقلاً ، مشتقه يساوي واحدًا ، وثابتًا (رقمًا) مشتقه يساوي صفرًا. لذا ، يتحول "x" إلى واحد ، وسالب 5 - إلى صفر. في التعبير الثاني ، يتم ضرب "x" في 2 ، لذلك نضرب اثنين في نفس وحدة مشتق "x". نحصل على القيم التالية للمشتقات:

نستبدل المشتقات الموجودة في مجموع المنتجات ونحصل على مشتق الوظيفة الكاملة التي تتطلبها حالة المشكلة:

ويمكنك التحقق من حل المسألة على المشتق في.

مثال 4أوجد مشتق دالة

المحلول. مطلوب منا إيجاد مشتق خارج القسمة. نطبق صيغة اشتقاق خارج القسمة: مشتق خارج قسمة دالتين يساوي كسرًا يمثل بسطه الفرق بين حاصل ضرب المقام ومشتق البسط ومشتق المقام ، و المقام هو مربع البسط السابق. نحن نحصل:

لقد وجدنا بالفعل مشتق العوامل في البسط في المثال 2. دعونا لا ننسى أيضًا أن حاصل الضرب ، وهو العامل الثاني في البسط في المثال الحالي ، مأخوذ بعلامة ناقص:

إذا كنت تبحث عن حلول لمثل هذه المشاكل التي تحتاج فيها إلى إيجاد مشتق دالة ، حيث توجد كومة مستمرة من الجذور والدرجات ، مثل ، على سبيل المثال ، ثم مرحبًا بك في الفصل "مشتق مجموع الكسور ذات القوى والجذور" .

إذا كنت بحاجة إلى معرفة المزيد عن مشتقات الجيب وجيب التمام والظلال والوظائف المثلثية الأخرى ، أي عندما تبدو الدالة مثل ، ثم لديك درس "مشتقات الدوال المثلثية البسيطة" .

مثال 5أوجد مشتق دالة

المحلول. في هذه الدالة ، نرى منتجًا ، أحد عوامله هو الجذر التربيعي للمتغير المستقل ، والذي تعرفنا على مشتقه في جدول المشتقات. وفقًا لقاعدة تمايز المنتج والقيمة الجدولية لمشتق الجذر التربيعي ، نحصل على:

يمكنك التحقق من حل مسألة المشتقات على آلة حاسبة مشتقة على الإنترنت .

مثال 6أوجد مشتق دالة

المحلول. في هذه الدالة ، نرى حاصل القسمة الذي يكون المقسوم عليه هو الجذر التربيعي للمتغير المستقل. وفقًا لقاعدة اشتقاق حاصل القسمة ، التي كررناها وطبقناها في المثال 4 ، والقيمة المجدولة لمشتق الجذر التربيعي ، نحصل على:

للتخلص من الكسر في البسط ، اضرب البسط والمقام في.

إذا اتبعنا التعريف ، فإن مشتق الدالة عند نقطة ما هو حد نسبة الزيادة للدالة Δ ذلزيادة الحجة Δ x:

يبدو أن كل شيء واضح. لكن حاول أن تحسب بهذه الصيغة ، على سبيل المثال ، مشتق الدالة F(x) = x 2 + (2x+ 3) · ه xالخطيئة x. إذا كنت تفعل كل شيء بحكم التعريف ، فبعد بضع صفحات من العمليات الحسابية سوف تغفو ببساطة. لذلك ، هناك طرق أبسط وأكثر فعالية.

بادئ ذي بدء ، نلاحظ أنه يمكن تمييز ما يسمى بالوظائف الأولية عن مجموعة الوظائف المتنوعة. هذه تعبيرات بسيطة نسبيًا ، تم حساب مشتقاتها وإدخالها في الجدول منذ فترة طويلة. من السهل تذكر مثل هذه الوظائف ، إلى جانب مشتقاتها.

مشتقات الدوال الابتدائية

الوظائف الابتدائية هي كل شيء مدرج أدناه. يجب معرفة مشتقات هذه الوظائف عن ظهر قلب. علاوة على ذلك ، ليس من الصعب حفظها - وهذا هو سبب كونها ابتدائية.

إذن ، مشتقات الدوال الأولية:

اسم	دور	المشتق
مستمر	F(x) = ج, ج ∈ ص	0 (نعم ، نعم ، صفر!)
درجة مع الأس المنطقي	F(x) = x ن	ن · x ن − 1
التجويف	F(x) = الخطيئة x	كوس x
جيب التمام	F(x) = كوس x	- خطيئة x(ناقص شرط)
الظل	F(x) = tg x	1 / كوس 2 x
ظل التمام	F(x) = ctg x	- 1 / الخطيئة 2 x
اللوغاريتم الطبيعي	F(x) = تسجيل الدخول x	1/x
اللوغاريتم التعسفي	F(x) = تسجيل الدخول أ x	1/(x ln أ)
دالة أسية	F(x) = ه x	ه x(لا شيء تغير)

إذا تم ضرب دالة أولية بثابت تعسفي ، فيمكن أيضًا حساب مشتق الوظيفة الجديدة بسهولة:

(ج · F)’ = ج · F ’.

بشكل عام ، يمكن إخراج الثوابت من علامة المشتق. فمثلا:

(2x 3) '= 2 ( x 3) '= 2 3 x 2 = 6x 2 .

من الواضح أنه يمكن إضافة الوظائف الأولية إلى بعضها البعض ، ومضاعفتها ، وتقسيمها ، وغير ذلك الكثير. هذه هي الطريقة التي ستظهر بها الوظائف الجديدة ، لم تعد أساسية جدًا ، ولكنها أيضًا قابلة للتمييز وفقًا لقواعد معينة. تمت مناقشة هذه القواعد أدناه.

مشتق المجموع والفرق

دع الوظائف F(x) و ز(x) ، التي نعرف مشتقاتها. على سبيل المثال ، يمكنك أن تأخذ الوظائف الأولية التي تمت مناقشتها أعلاه. ثم يمكنك إيجاد مشتق مجموع واختلاف هذه الدوال:

1. (F + ز)’ = F ’ + ز ’
2. (F − ز)’ = F ’ − ز ’

لذا ، فإن مشتق مجموع (فرق) وظيفتين يساوي مجموع (فرق) المشتقات. قد يكون هناك المزيد من الشروط. فمثلا، ( F + ز + ح)’ = F ’ + ز ’ + ح ’.

بالمعنى الدقيق للكلمة ، لا يوجد مفهوم "الطرح" في الجبر. هناك مفهوم "العنصر السلبي". لذلك ، الاختلاف F − زيمكن إعادة كتابتها كمجموع F+ (1) ز، وبعد ذلك تبقى صيغة واحدة فقط - مشتق المجموع.

F(x) = x 2 + sinx ؛ ز(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

دور F(x) هو مجموع وظيفتين أساسيتين ، لذلك:

F ’(x) = (x 2+ خطيئة x)’ = (x 2) '+ (خطيئة x)’ = 2x+ كوسكس.

نحن نجادل بالمثل من أجل الوظيفة ز(x). يوجد فقط ثلاثة مصطلحات (من وجهة نظر الجبر):

ز ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

إجابه:
F ’(x) = 2x+ كوسكس.
ز ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

مشتق من المنتج

الرياضيات علم منطقي ، لذلك يعتقد الكثير من الناس أنه إذا كان مشتق المجموع يساوي مجموع المشتقات ، فإن مشتق المنتج يضرب"\ u003e يساوي حاصل ضرب المشتقات. لكنك التين! يتم حساب مشتق المنتج باستخدام صيغة مختلفة تمامًا. وهي:

(F · ز) ’ = F ’ · ز + F · ز ’

الصيغة بسيطة ، لكنها غالبًا ما تُنسى. وليس فقط تلاميذ المدارس ، ولكن أيضًا الطلاب. النتيجة هي حل المشاكل بشكل غير صحيح.

مهمة. ابحث عن مشتقات الوظائف: F(x) = x 3 كوسكس ز(x) = (x 2 + 7x- 7) · ه x .

دور F(x) هو نتاج وظيفتين أساسيتين ، لذلك كل شيء بسيط:

F ’(x) = (x 3 كوس x)’ = (x 3) 'كوس x + x 3 (كوس x)’ = 3x 2 كوس x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − xالخطيئة x)

دور ز(x) المضاعف الأول أكثر تعقيدًا بعض الشيء ، لكن المخطط العام لا يتغير من هذا. من الواضح أن المضاعف الأول للدالة ز(x) هي كثيرة الحدود ، ومشتقاتها هي مشتق المجموع. نملك:

ز ’(x) = ((x 2 + 7x- 7) · ه x)’ = (x 2 + 7x- 7) '· ه x + (x 2 + 7x- 7) ( ه x)’ = (2x+ 7) · ه x + (x 2 + 7x- 7) · ه x = ه x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ه x = x(x+ 9) · ه x .

إجابه:
F ’(x) = x 2 (3cos x − xالخطيئة x);
ز ’(x) = x(x+ 9) · ه x .

لاحظ أنه في الخطوة الأخيرة ، تم تحليل المشتق إلى عوامل. بشكل رسمي ، هذا ليس ضروريًا ، لكن معظم المشتقات لا تحسب من تلقاء نفسها ، ولكن لاستكشاف الوظيفة. هذا يعني أن المشتقة ستعادل صفرًا ، وسيتم اكتشاف علاماتها ، وهكذا. في مثل هذه الحالة ، من الأفضل أن يتحلل التعبير إلى عوامل.

إذا كان هناك نوعان من الوظائف F(x) و ز(x)، و ز(x) ≠ 0 في المجموعة التي تهمنا ، يمكننا تحديد وظيفة جديدة ح(x) = F(x)/ز(x). لمثل هذه الوظيفة ، يمكنك أيضًا العثور على المشتق:

ليس ضعيفا ، أليس كذلك؟ من أين أتى الطرح؟ لماذا ز 2؟ لكن مثل هذا! هذه واحدة من أكثر الصيغ تعقيدًا - لا يمكنك اكتشافها بدون زجاجة. لذلك ، من الأفضل دراستها بأمثلة محددة.

مهمة. ابحث عن مشتقات الوظائف:

توجد دوال أولية في البسط والمقام لكل كسر ، لذلك كل ما نحتاجه هو صيغة مشتق خارج القسمة:

حسب التقاليد ، نقوم بتحويل البسط إلى عوامل - وهذا سوف يبسط الإجابة بشكل كبير:

ليس بالضرورة أن تكون الدالة المعقدة صيغة طولها نصف كيلومتر. على سبيل المثال ، يكفي أن تأخذ الوظيفة F(x) = الخطيئة xواستبدل المتغير x، يقول على x 2 + ln x. اتضح F(x) = الخطيئة ( x 2 + ln x) هي دالة معقدة. لديها أيضًا مشتق ، لكن لن يجدي العثور عليها وفقًا للقواعد التي تمت مناقشتها أعلاه.

كيف تكون؟ في مثل هذه الحالات ، يساعد استبدال المتغير وصيغة مشتق دالة معقدة على:

F ’(x) = F ’(ر) · ر'، إذا xلقد بدل بواسطة ر(x).

كقاعدة عامة ، يكون الموقف مع فهم هذه الصيغة أكثر حزنًا من مشتق حاصل القسمة. لذلك ، من الأفضل أيضًا شرحها بأمثلة محددة باستخدام وصف مفصلكل خطوة.

مهمة. ابحث عن مشتقات الوظائف: F(x) = ه 2x + 3 ; ز(x) = الخطيئة ( x 2 + ln x)

لاحظ أنه إذا كان في الوظيفة F(x) بدلاً من التعبير 2 x+ 3 سيكون سهلاً x، ثم نحصل على دالة أولية F(x) = ه x. لذلك ، نجري استبدالًا: دعنا 2 x + 3 = ر, F(x) = F(ر) = ه ر. نبحث عن مشتق دالة معقدة بالصيغة:

F ’(x) = F ’(ر) · ر ’ = (ه ر)’ · ر ’ = ه ر · ر ’

والآن - الاهتمام! إجراء استبدال عكسي: ر = 2x+ 3. نحصل على:

F ’(x) = ه ر · ر ’ = ه 2x+ 3 (2 x + 3)’ = ه 2x+ 3 2 = 2 ه 2x + 3

الآن دعونا نلقي نظرة على الوظيفة ز(x). من الواضح أنه يجب استبداله. x 2 + ln x = ر. نملك:

ز ’(x) = ز ’(ر) · ر'= (الخطيئة ر)’ · ر'= كوس ر · ر ’

الاستبدال العكسي: ر = x 2 + ln x. ثم:

ز ’(x) = كوس ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x) '= كوس ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

هذا كل شئ! كما يتضح من التعبير الأخير ، تم اختزال المشكلة برمتها لحساب مشتق المجموع.

إجابه:
F ’(x) = 2 ه 2x + 3 ;
ز ’(x) = (2x + 1/x) كوس ( x 2 + ln x).

في كثير من الأحيان في دروسي ، بدلاً من مصطلح "مشتق" ، أستخدم كلمة "ضربة". على سبيل المثال ، حد المجموع يساوي مجموع ضربات الفرشاة. هل هذا أوضح؟ حسنا هذا جيد.

وبالتالي ، فإن حساب المشتق يتلخص في التخلص من هذه السكتات الدماغية وفقًا للقواعد التي تمت مناقشتها أعلاه. كمثال أخير ، دعنا نعود إلى القوة المشتقة مع الأس المنطقي:

(x ن)’ = ن · x ن − 1

قلة يعرفون ذلك في الدور نقد يكون عددًا كسريًا. على سبيل المثال ، الجذر هو x 0.5 ولكن ماذا لو كان هناك شيء خادع تحت الجذر؟ مرة أخرى ، ستظهر وظيفة معقدة - فهم يحبون إعطاء مثل هذه التركيبات في الاختبارات والامتحانات.

مهمة. أوجد مشتق دالة:

أولًا ، دعنا نعيد كتابة الجذر في صورة قوة ذات أس كسري:

F(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

الآن نقوم بإجراء استبدال: let x 2 + 8x − 7 = ر. نجد المشتق بالصيغة:

F ’(x) = F ’(ر) · ر ’ = (ر 0.5) ' ر'= 0.5 ر−0.5 ر ’.

نجري استبدال عكسي: ر = x 2 + 8x- 7. لدينا:

F ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x- 7) −0.5 ( x 2 + 8x- 7) '= 0.5 (2 x+8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

أخيرًا ، عد إلى الجذور: