Жишээ 1
a) 40°, b) 120°, в) 105°-тай тэнцүү өнцгийн радиан хэмжигдэхүүнийг ол.
a) 40° = 40 π / 180 = 2π/9
b) 120° = 120 π/180 = 2π/3
в) 105° = 105 π/180 = 7π/12
Жишээ 2
Радианаар илэрхийлсэн өнцгийн хэмжүүрийг ол a) π/6, b) π/9, в) 2 π/3
a) π/6 = 180°/6 = 30°
b) π/9 = 180°/9 = 20°
в) 2π/3 = 2 180°/6 = 120°
Синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолт
Тэгш өнцөгт гурвалжны t хурц өнцгийн синус нь эсрэг талын хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна (Зураг 1):
Тэгш өнцөгт гурвалжны t хурц өнцгийн косинус нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна (Зураг 1):
Эдгээр тодорхойлолтууд нь тэгш өнцөгт гурвалжинд хамаарах бөгөөд энэ хэсэгт дурдсан тодорхойлолтуудын онцгой тохиолдол юм.
Ижил тэгш өнцөгт гурвалжинг тооны тойрогт байрлуулъя (Зураг 2).
Бид хөлийг нь харж байна бтодорхой утгатай тэнцүү байна y Y-тэнхлэг дээр (y-тэнхлэг), хөл Атодорхой утгатай тэнцүү байна xх тэнхлэг дээр (абсцисса). Гипотенуз -тайтойргийн радиустай тэнцүү (R).
Тиймээс бидний томъёонууд өөр хэлбэрийг олж авдаг.
b = учраас y, a = x, c = R, тэгвэл:
у х
sin t = -- , cos t = --.
Р Р
Дашрамд хэлэхэд, шүргэгч ба котангенсийн томъёо нь өөр хэлбэртэй байдаг.
tg t \u003d b / a, ctg t \u003d a / b тул бусад тэгшитгэлүүд бас үнэн болно.
tg t = y/x,
ctg = x/y.
Гэхдээ синус ба косинус руу буцах. Бид радиус нь 1 байх тоон тойрогтой харьцаж байна. Тэгэхээр дараах байдалтай байна.
y
sin t = -- = y,
1
x
cos t = -- = x.
1
Тиймээс бид тригонометрийн томъёоны гурав дахь, энгийн хэлбэрт хүрэв.
Эдгээр томъёо нь зөвхөн хурц өнцөгт төдийгүй бусад өнцөгт (мохо эсвэл боловсруулсан) хамаарна.
Тодорхойлолт ба томьёо cos t, sin t, tg t, ctg t.
Тангенс ба котангенсийн томъёоноос өөр нэг томъёо гарч ирнэ.
Тооны тойргийн тэгшитгэл.
Тойргийн дөрөвний нэг дэх синус, косинус, тангенс, котангенсийн тэмдгүүд:
| 1-р улирал | 2-р улирал | 3-р улирал | 4-р улирал | |
| учир нь т | + | – | – | + |
| гэм t | + | + | – | – |
| tg t, ctg t | + | – | + | – |
Тоон тойргийн гол цэгүүдийн косинус ба синус:
Тоон тойргийн гол цэгүүдийн косинус ба синусын утгыг хэрхэн санах вэ.
Юуны өмнө та хос тоо бүрт косинусын утгууд нь эхнийх, синусын утга нь хоёр дахь нь гэдгийг мэдэх хэрэгтэй.
1) Анхаарна уу: тоон тойргийн бүх цэгүүдийн хувьд бид зөвхөн таван тоогоор харьцаж байна (модульд):
1 √2 √3
0; -; --; --; 1.
2 2 2
Энэ "нээлтийг" өөртөө хий, тэгвэл та буудах болно сэтгэл зүйн айдасолон тооны тоонуудын өмнө: үнэндээ тэдний тав нь л байдаг.
2) 0 ба 1 бүхэл тоогоор эхэлцгээе. Тэд зөвхөн координатын тэнхлэгүүд дээр байна.
Жишээлбэл, модулийн косинус хаана нэгжтэй, хаана 0 байна гэдгийг цээжээр сурах шаардлагагүй.
Тэнхлэгийн төгсгөлд косинусууд(тэнхлэг X), мэдээжийн хэрэг, косинусууд нь модуль 1, мөн синусууд нь 0 байна.
Тэнхлэгийн төгсгөлд синусууд(тэнхлэг цагт) синусууд нь модуль 1, мөн косинусууд нь 0 байна.
Одоо тэмдгүүдийн талаар. Тэг тэмдэггүй. 1-ийн хувьд - энд та хамгийн энгийн зүйлийг санах хэрэгтэй: 7-р ангийн курсээс эхлэн та тэнхлэг дээр байгааг мэддэг. Xкоординатын хавтгайн төвийн баруун талд - эерэг тоо, зүүн талд - сөрөг; тэнхлэг дээр цагтэерэг тоонууд төвөөс дээшээ, сөрөг тоонууд буурна. Дараа нь та 1 тэмдэгтээр буруу явж болохгүй.
3) Одоо бутархай утгууд руу шилжье.
Бутархайн бүх хуваагчдад - ижил тоо 2. Хуваагч дээр юу бичихээ бид эндүүрэхгүй.
Улирлын дундуур косинус ба синус нь яг ижил модулийн утгатай байна: √2/2. Ямар тохиолдолд тэд нэмэх эсвэл хасах тэмдэгтэй байна - дээрх хүснэгтийг үзнэ үү. Гэхдээ танд ийм хүснэгт бараг хэрэггүй: та үүнийг 7-р ангийн ижил курсээс мэддэг.
Бүгд тэнхлэгт хамгийн ойр Xцэгүүд нь косинус ба синусын модулийн утгуудтай яг ижил байна: (√3/2; 1/2).
Тэнхлэгт хамгийн ойр байгаа бүх утгууд цагтцэгүүд нь үнэмлэхүй утгаараа туйлын ижил бөгөөд тэдгээр нь ижил тоотой, зөвхөн газруудыг "солилцсон": (1/2; √3/2).
Одоо тэмдгүүдийн талаар - энд сонирхолтой өөрчлөлт байна (хэдийгээр та тэмдгүүдийг амархан ойлгох ёстой гэж бид үзэж байна).
Хэрэв эхний улиралд косинус ба синус хоёрын утгууд нэмэх тэмдэгтэй байвал диаметрийн эсрэг (гуравдугаарт) хасах тэмдэгтэй байна.
Хэрэв хоёрдугаар улиралд хасах тэмдэгтэй бол зөвхөн косинусууд байдаг бол диаметрийн эсрэг (дөрөвдүгээрт) - зөвхөн синусууд.
Косинус ба синусын утгын хослол бүрт эхний тоо нь косинусын утга, хоёр дахь тоо нь синусын утга гэдгийг санахад л үлддэг.
Өөр нэг тогтмол байдалд анхаарлаа хандуулаарай: тойргийн бүх диаметрийн эсрэг цэгүүдийн синус ба косинус нь үнэмлэхүй утгаараа туйлын тэнцүү байна. Жишээлбэл, эсрэг талын π/3 ба 4π/3 цэгүүдийг авч үзье.
cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2
cos 4π/3 = -1/2, нүгэл 4π/3 = -√3/2
Эсрэг хоёр цэгийн косинус ба синусын утгууд нь зөвхөн тэмдгээр ялгаатай байдаг. Гэхдээ энд ч гэсэн нэг хэв маяг байдаг: диаметрийн эсрэг цэгүүдийн синус ба косинусууд үргэлж эсрэг тэмдэгтэй байдаг.
Мэдэх нь чухал:
Тоон тойргийн цэгүүдийн косинус ба синусын утгууд нь хатуу тодорхойлогдсон дарааллаар дараалан нэмэгдэж эсвэл буурдаг: хамгийн бага утгаас хамгийн том хүртэл, эсрэгээр ("Тригонометрийн функцийг нэмэгдүүлэх, багасгах" хэсгийг үзнэ үү. , энэ нь зөвхөн дээд талын тойргийг харах замаар шалгахад хялбар байдаг).
Буурах дарааллаар дараах утгуудын ээлжийг олж авна.
√3 √2 1 1 √2 √3
1; --; --; -; 0; – -; – --; – --; –1
2 2 2 2 2 2
Тэд яг эсрэгээрээ ургадаг.
Энэхүү энгийн хэв маягийг ойлгосноор та синус ба косинусын утгыг хэрхэн амархан тодорхойлохыг сурах болно.
Төрөл бүрийн. Тэдгээрийн зарим нь аль хэсэгт косинус эерэг ба сөрөг, аль хэсэгт синус эерэг ба сөрөг байна. Хэрэв та эдгээр функцүүдийн утгыг өөр өөр өнцгөөр хэрхэн тооцоолохыг мэддэг бөгөөд график дээр функцийг зурах зарчмыг мэддэг бол бүх зүйл энгийн болно.
Косинусын утгууд юу вэ
Хэрэв бид авч үзвэл бид дараахь харьцаатай бөгөөд үүнийг тодорхойлдог: өнцгийн косинус Азэргэлдээх хөл BC-ийн гипотенуз AB-ийн харьцаа (Зураг 1): cos а= BC/AB.
Ижил гурвалжинг ашигласнаар та өнцгийн синус, тангенс ба котангенсыг олох боломжтой. Синус нь хөлний эсрэг талын AC өнцгийг AB гипотенузтай харьцуулсан харьцаа болно. Хэрэв хүссэн өнцгийн синусыг ижил өнцгийн косинусаар хуваавал өнцгийн тангенс олно; Синус ба косинусыг олохын тулд харгалзах томьёог орлуулснаар бид tg болно а\u003d AC / BC. Котангенс нь шүргэгчтэй урвуу функцийн хувьд дараах байдлаар олно: ctg а= BC/AC.
Өөрөөр хэлбэл, өнцгийн ижил утгуудын хувьд тэгш өнцөгт гурвалжинд талуудын харьцаа үргэлж ижил байдаг нь тогтоогдсон. Эдгээр утгууд хаанаас ирсэн нь тодорхой болсон юм шиг санагдаж байна, гэхдээ яагаад сөрөг тоо гарч ирдэг вэ?
Үүнийг хийхийн тулд та эерэг ба сөрөг утгууд байдаг декартын координатын систем дэх гурвалжинг авч үзэх хэрэгтэй.
Аль нь хаана байгаа нь тодорхой
Декарт координат гэж юу вэ? Хэрэв бид хоёр хэмжээст орон зайн тухай ярих юм бол бид O цэг дээр огтлолцсон хоёр чиглэлтэй шугамтай байдаг - энэ нь абсцисса тэнхлэг (Ox) ба ординатын тэнхлэг (Oy) юм. О цэгээс шулуун шугамын чиглэлд эерэг тоо, эсрэг чиглэлд сөрөг байна. Эцсийн эцэст, энэ нь аль хэсэгт косинус эерэг, аль хэсэгт нь сөрөг байхаас шууд хамаарна.
Эхний улирал
Хэрэв та эхний улиралд (0-ээс 90 o хүртэл) тэгш өнцөгт гурвалжинг байрлуулбал x ба y тэнхлэгүүд эерэг утгатай байна (AO ба BO сегментүүд нь утгууд нь тэнхлэг дээр байрладаг) "+" тэмдэгтэй), дараа нь синус гэж юу вэ, косинус гэж юу вэ гэдэг нь эерэг утгатай байх ба нэмэх тэмдэг бүхий утгыг онооно. Гэхдээ гурвалжинг 2-р улиралд (90 o-аас 180 o хүртэл) шилжүүлбэл юу болох вэ?
Хоёрдугаар улирал
Y тэнхлэгийн дагуу AO сөрөг утгыг хүлээн авсныг бид харж байна. Өнцгийн косинус аодоо энэ тал нь хасахтай холбоотой тул эцсийн утга нь сөрөг болно. Аль улиралд косинус эерэг байх нь декартын координатын систем дэх гурвалжны байршлаас хамаарна. Мөн энэ тохиолдолд өнцгийн косинус сөрөг утгыг авна. Гэхдээ синусын хувьд юу ч өөрчлөгдөөгүй, учир нь түүний тэмдгийг тодорхойлохын тулд OB-ийн тал шаардлагатай бөгөөд энэ тохиолдолд нэмэх тэмдэгтэй хэвээр байна. Эхний хоёр улирлыг тоймлон хүргэе.
Аль улиралд косинус эерэг, аль хэсэгт нь сөрөг (синус болон бусад тригонометрийн функцууд) байгааг олж мэдэхийн тулд аль эсвэл өөр хөлөнд аль тэмдгийг оноож байгааг харах шаардлагатай. Өнцгийн косинусын хувьд а AO хөл нь чухал, синусын хувьд - OB.
Эхний улирал нь "Аль улиралд синус ба косинус эерэг байдаг вэ?" Гэсэн асуултад хариулсан цорын ганц улирал болжээ. Эдгээр хоёр функцийн тэмдэгт давхцал илүү их байх эсэхийг цааш нь харцгаая.
Хоёрдугаар улиралд AO хөл нь сөрөг утгатай болж эхэлсэн бөгөөд энэ нь косинус сөрөг болсон гэсэн үг юм. Синусын хувьд эерэг утгыг хадгална.
гуравдугаар улирал
Одоо АО, ОБ хоёр хөл сөрөг болсон. Косинус ба синусын харьцааг эргэн сана:
Учир нь \u003d AO / AB;
Гэм нь \u003d BO / AB.
Өгөгдсөн координатын системд AB нь үргэлж эерэг тэмдэгтэй байдаг, учир нь энэ нь тэнхлэгээр тодорхойлогдсон хоёр талын аль алинд нь чиглээгүй байдаг. Гэхдээ хөл нь сөрөг болсон бөгөөд энэ нь хоёулангийнх нь үр дүн нь сөрөг байна гэсэн үг юм, учир нь хэрэв та тоогоор үржүүлэх, хуваах үйлдлүүдийг хийвэл зөвхөн нэг нь хасах тэмдэгтэй байвал үр дүн нь энэ тэмдэгтэй байх болно. .
Энэ үе шатанд гарах үр дүн:
1) Косинус аль улиралд эерэг байдаг вэ? Гуравын эхнийх нь.
2) Аль улиралд синус эерэг байдаг вэ? Гуравын эхний ба хоёрдугаарт.
Дөрөвдүгээр улирал (270-аас 360 o хүртэл)
Энд AO хөл дахин нэмэх тэмдэг, улмаар косинусыг олж авдаг.
Синусын хувьд бүх зүйл "сөрөг" хэвээр байна, учир нь OB хөл нь О эхлэх цэгээс доогуур хэвээр байна.
дүгнэлт
Аль улиралд косинус эерэг, сөрөг гэх мэтийг ойлгохын тулд косинусыг тооцоолох харьцааг санах хэрэгтэй: өнцөгтэй зэргэлдээх хөлийг гипотенузаар хуваана. Зарим багш нар үүнийг санахыг санал болгож байна: k (osine) \u003d (k) булан. Хэрэв та энэ "хууран мэхлэлт" -ийг санаж байгаа бол синус нь хөлний өнцөг ба гипотенузын эсрэг талын харьцаа гэдгийг автоматаар ойлгодог.
Аль улиралд косинус эерэг, аль нь сөрөг болохыг санах нь нэлээд хэцүү байдаг. Тригонометрийн олон функцууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь бүгд өөрийн гэсэн утгатай байдаг. Гэсэн хэдий ч үр дүнд нь: синусын эерэг утгууд - 1, 2 улирал (0-ээс 180 o хүртэл); косинус 1, 4 дөрөвний хувьд (0 o-аас 90 o, 270 o-аас 360 o хүртэл). Үлдсэн улиралд функцууд нь хасах утгатай утгатай байна.
Функцийн дүрсийн дагуу аль тэмдэг хаана байгааг санах нь хэн нэгэнд илүү хялбар байх болов уу.
Синусын хувьд тэгээс 180 o хүртэлх орой нь sin (x) утгын шугамаас дээш байгаа нь энд функц эерэг байна гэсэн үг юм. Косинусын хувьд энэ нь адилхан: аль улиралд косинус эерэг (зураг 7), аль хэсэгт нь сөрөг байвал cos (x) тэнхлэгээс дээш ба доогуур шугамыг хөдөлгөж харж болно. Үүний үр дүнд бид синусын тэмдэг, косинусын функцийг тодорхойлох хоёр аргыг санаж болно.
1. Нэгтэй тэнцүү радиустай төсөөллийн тойрогт (хэдийгээр энэ тойргийн радиус ямар байх нь хамаагүй, гэхдээ сурах бичигт энэ жишээг ихэвчлэн өгдөг; энэ нь ойлгоход хялбар болгодог, гэхдээ Үүний зэрэгцээ, хэрэв та энэ нь хамаагүй гэж заагаагүй бол хүүхдүүд эргэлзэж болно).
2. Сүүлчийн зураг дээрх шиг (х) функцийн хамаарлын дүрсийн дагуу х аргументаас өөрөө.
Эхний аргыг ашигласнаар та тэмдэг яг юунаас хамаардаг болохыг ОЙЛГОХ боломжтой бөгөөд бид үүнийг дээр дэлгэрэнгүй тайлбарласан. Эдгээр өгөгдөл дээр суурилсан 7-р зурагт үүссэн функц болон түүний тэмдгийн гишүүнчлэлийг хамгийн сайн байдлаар дүрсэлсэн болно.
тригонометрийн тойрог. Ганц тойрог. Тооны тойрог. Энэ юу вэ?
Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Хүчтэй "маш их биш ..." хүмүүст зориулагдсан.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)
Маш олон удаа нэр томъёо тригонометрийн тойрог, нэгж тойрог, тооны тойрогоюутнуудад муу ойлгогддог. Тэгээд бүрэн дэмий хоосон. Эдгээр ойлголтууд нь хүчирхэг ба бүх нийтийн туслагчтригонометрийн бүх салбаруудад. Үнэндээ энэ бол хууль ёсны хуурамч хуудас юм! Би тригонометрийн тойрог зурсан - тэр даруй хариултуудыг харав! Сонирхолтой юу? Тиймээс сурцгаая, ийм зүйл хэрэглэхгүй байх нь нүгэл юм. Түүнээс гадна энэ нь нэлээд хялбар юм.
Тригонометрийн тойрогтой амжилттай ажиллахын тулд та зөвхөн гурван зүйлийг мэдэх хэрэгтэй.
Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...
Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)
Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурах - сонирхолтой!)
функц болон деривативтай танилцах боломжтой.
Энгийнээр хэлэхэд эдгээр нь тусгай жорын дагуу усанд чанаж болгосон хүнсний ногоо юм. Би эхний хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг (хүнсний ногооны салат ба ус) болон эцсийн үр дүн - borscht-ийг авч үзэх болно. Геометрийн хувьд үүнийг нэг тал нь шанцайны ургамал, нөгөө тал нь усыг илэрхийлдэг тэгш өнцөгт хэлбэрээр илэрхийлж болно. Эдгээр хоёр талын нийлбэр нь борцыг илэрхийлнэ. Ийм "борщ" тэгш өнцөгтийн диагональ ба талбай нь цэвэр математикийн ойлголт бөгөөд борщны жоронд хэзээ ч ашиглагддаггүй.
Математикийн хувьд шанцайны ургамал, ус яаж борщ болж хувирдаг вэ? Хоёр сегментийн нийлбэр хэрхэн тригонометр болж хувирах вэ? Үүнийг ойлгохын тулд шугаман өнцгийн функц хэрэгтэй.
Та математикийн сурах бичгүүдээс шугаман өнцгийн функцүүдийн талаар юу ч олж харахгүй. Гэхдээ тэдэнгүйгээр математик байж чадахгүй. Математикийн хуулиуд нь байгалиас заяасан хуулиудтай адил бид байгаа эсэхээс үл хамааран ажилладаг.
Шугаман өнцгийн функцууд нь нэмэх хуулиуд юм.Алгебр хэрхэн геометр, геометр нь тригонометр болж хувирахыг хараарай.
Шугаман өнцгийн функцгүйгээр хийх боломжтой юу? Та чадна, учир нь математикчид тэдэнгүйгээр удирддаг. Математикчдын заль мэх нь тэд зөвхөн өөрсдийнхөө шийдэж чадах асуудлын талаар бидэнд хэлдэг бөгөөд шийдэж чадахгүй байгаа асуудлынхаа талаар хэзээ ч бидэнд хэлдэггүйд оршдог. Харна уу. Хэрэв бид нэмэх болон нэг гишүүний үр дүнг мэдэж байвал нөгөө гишүүнийг олохын тулд хасах үйлдлийг ашигладаг. Бүгд. Бид өөр асуудлыг мэдэхгүй, шийдэж чадахгүй байна. Хэрэв бид зөвхөн нэмэлтийн үр дүнг мэдэж, хоёр нэр томъёог мэдэхгүй бол яах вэ? Энэ тохиолдолд нэмэхийн үр дүнг шугаман өнцгийн функцийг ашиглан хоёр гишүүнд задлах ёстой. Цаашилбал, бид өөрсдөө нэг нэр томъёо байж болохыг сонгодог бөгөөд шугаман өнцгийн функцууд нь нэмэлтийн үр дүн нь бидэнд яг хэрэгтэй байхын тулд хоёр дахь гишүүн ямар байх ёстойг харуулдаг. Ийм хос нэр томъёо хязгааргүй олон байж болно. IN Өдөр тутмын амьдралБид нийлбэрийг задлахгүйгээр маш сайн хийдэг, хасах нь бидэнд хангалттай. Гэхдээ байгалийн хуулиудын шинжлэх ухааны судалгаанд нийлбэрийг нэр томьёо болгон өргөжүүлэх нь маш ашигтай байж болно.
Математикчдын ярих дургүй нэмэлт хууль (тэдний өөр нэг заль мэх) нь нэр томъёог ижил хэмжүүртэй байхыг шаарддаг. Шанцайны ургамал, ус, борцын хувьд эдгээр нь жин, эзэлхүүн, өртөг эсвэл хэмжих нэгж байж болно.
Зураг нь математикийн хоёр түвшний ялгааг харуулж байна. Эхний түвшин бол заасан тоонуудын ялгаа юм а, б, в. Үүнийг математикчид хийдэг. Хоёрдахь түвшин нь дөрвөлжин хаалтанд тэмдэглэгдсэн, үсгээр тэмдэглэгдсэн хэмжилтийн нэгжийн талбайн ялгаа юм. У. Үүнийг физикчид хийдэг. Гурав дахь түвшинг бид ойлгож чадна - тайлбарласан объектуудын хамрах хүрээний ялгаа. Өөр өөр объектууд ижил тооны ижил хэмжигдэхүүнтэй байж болно. Энэ нь хичнээн чухал болохыг бид borscht тригонометрийн жишээн дээр харж болно. Хэрэв бид өөр өөр объектын хэмжилтийн нэгжийг ижил тэмдэглэгээнд оруулбал бид тодорхой объектыг ямар математик хэмжигдэхүүнээр тодорхойлж, цаг хугацааны явцад эсвэл бидний үйлдлээс хамаарч хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг яг таг хэлж чадна. захидал ВБи усыг үсгээр тэмдэглэнэ СБи салатыг үсгээр тэмдэглэх болно Б- борщ. Борщны шугаман өнцгийн функцууд хэрхэн харагдахыг эндээс үзнэ үү.
Хэрэв бид усны нэг хэсэг, салатны зарим хэсгийг авбал тэд хамтдаа нэг порц борщ болж хувирна. Энд би борщ идэхээсээ бага зэрэг завсарлаж, алс холын бага насаа эргэн санахыг санал болгож байна. Бид туулай, нугас хоёрыг хэрхэн нийлүүлж сургасныг санаж байна уу? Хэдэн амьтан гарахыг олох шаардлагатай байсан. Тэгвэл бидэнд юу хийхийг заасан юм бэ? Бид тооноос нэгжийг салгаж, тоог нэмэхийг заасан. Тиймээ, дурын дугаарыг өөр ямар ч дугаарт нэмж болно. Энэ бол орчин үеийн математикийн аутизмд хүрэх шууд зам юм - бид юуг ойлгохгүй, яагаад гэдгийг нь ойлгоогүй бөгөөд энэ нь бодит байдалтай хэрхэн холбогдож байгааг бид маш муу ойлгодог, учир нь гурван түвшний ялгаанаас болж математикчид зөвхөн нэг дээр ажилладаг. Хэмжилтийн нэг нэгжээс нөгөөд шилжихийг сурах нь илүү зөв байх болно.
Бөжин, нугас, бяцхан амьтдыг хэсэг хэсгээр нь тоолж болно. Янз бүрийн объектын хэмжүүрийн нэг нийтлэг нэгж нь тэдгээрийг нэгтгэх боломжийг бидэнд олгодог. Энэ бол асуудлын хүүхдийн хувилбар юм. Насанд хүрэгчдэд зориулсан ижил төстэй асуудлыг авч үзье. Бөжин, мөнгө нэмбэл юу авах вэ? Энд хоёр боломжит шийдэл байна.
Эхний сонголт. Бид туулайн зах зээлийн үнэ цэнийг тодорхойлж, бэлэн мөнгө дээр нэмнэ. Бид баялгийнхаа нийт үнэ цэнийг мөнгөөр авсан.
Хоёр дахь сонголт. Бидэнд байгаа мөнгөн дэвсгэртийн тоо дээр та туулайн тоог нэмж болно. Бид хөдлөх хөрөнгийн хэмжээг хэсэгчлэн авна.
Таны харж байгаагаар ижил нэмэлт хууль нь өөр өөр үр дүнд хүрэх боломжийг олгодог. Энэ бүхэн бидний яг юу мэдэхийг хүсч байгаагаас хамаарна.
Гэхдээ манай борщ руу буцах. Одоо шугаман өнцгийн функцүүдийн өнцгийн янз бүрийн утгуудад юу тохиолдохыг харж болно.
Өнцөг нь тэг байна. Бидэнд салат байгаа ч ус байхгүй. Бид борщ чанаж чаддаггүй. Борщны хэмжээ бас тэг байна. Энэ нь тэг борщ нь тэг устай тэнцүү гэсэн үг биш юм. Тэг borsch мөн тэг салат (зөв өнцөг) дээр байж болно.
Миний хувьд энэ бол . Тэг нэмэхэд тоог өөрчлөхгүй. Учир нь зөвхөн нэг гишүүн, хоёр дахь гишүүн байхгүй бол нэмэх нь өөрөө боломжгүй юм. Та үүнийг хүссэнээрээ холбож болно, гэхдээ санаарай - тэгтэй бүх математик үйлдлүүдийг математикчид өөрсдөө зохион бүтээсэн тул логикоо хаяж, математикчдын зохион бүтээсэн "тэгээр хуваах боломжгүй", "ямар ч тоог тэгээр үржүүлсэн" гэсэн тодорхойлолтуудыг тэнэгээр чихээрэй. тэгтэй тэнцүү" , "тэг цэгийн ард" болон бусад утгагүй үгс. Тэг бол тоо биш гэдгийг нэг удаа санахад хангалттай бөгөөд тэг нь натурал тоо мөн үү, үгүй юу гэсэн асуулт танд хэзээ ч гарахгүй, учир нь ийм асуулт ерөнхийдөө бүх утгыг алддаг: тоо биш гэдгийг тоо гэж яаж тооцох вэ? . Энэ нь үл үзэгдэх өнгийг ямар өнгөтэй болохыг асуухтай адил юм. Тоон дээр тэг нэмэх нь байхгүй будгаар будсантай адил. Тэд хуурай бийрээр даллаж, бүгдэд нь "бид зурсан" гэж хэлдэг. Гэхдээ би бага зэрэг ухарч байна.
Өнцөг нь тэгээс их боловч дөчин таван градусаас бага байна. Бидэнд маш их шанцайны ургамал байдаг, гэхдээ ус бага байдаг. Үүний үр дүнд бид зузаан borscht авдаг.
Өнцөг нь дөчин таван градус байна. Бид тэнцүү хэмжээний ус, шанцайны ургамал байдаг. Энэ бол төгс борщ (тогооч нар намайг уучлах болтугай, энэ бол зүгээр л математик).
Өнцөг нь дөчин таван градусаас их боловч ерэн градусаас бага байна. Бидэнд маш их ус, бага зэрэг шанцайны ургамал байдаг. Шингэн борщ аваарай.
Зөв өнцөг. Бидэнд ус байна. Нэгэн цагт шанцайны ургамал тэмдэглэсэн шугамаас өнцгийг хэмжсээр байгаа тул зөвхөн дурсамжууд л үлддэг. Бид борщ чанаж чаддаггүй. Борщны хэмжээ тэг байна. Ийм тохиолдолд ус бэлэн байхад нь бариад уугаарай)))
Энд. Энэ нь иймэрхүү зүйл. Би эндээс илүү тохиромжтой бусад түүхийг энд ярьж болно.
Хоёр найз нийтлэг бизнест хувь эзэмшдэг байсан. Тэдний нэгийг нь хөнөөсөний дараа бүх зүйл нөгөө рүүгээ шилжсэн.
Манай гараг дээр математикийн үүсэл.
Эдгээр бүх түүхийг шугаман өнцгийн функцийг ашиглан математикийн хэлээр өгүүлдэг. Өөр нэг удаа би эдгээр функцүүдийн математикийн бүтэц дэх бодит байр суурийг харуулах болно. Энэ хооронд borscht-ийн тригонометрт буцаж, төсөөллийг авч үзье.
2019 оны аравдугаар сарын 26, Бямба гараг
Энэ тухай сонирхолтой бичлэг үзлээ Грандигийн эгнээ Нэг хасах нэг нэмэх нэг хасах нэг - Numberphile. Математикчид худлаа ярьдаг. Тэд үндэслэлдээ тэгш байдлын шалгалт хийгээгүй.
Энэ нь миний үндэслэлтэй нийцэж байна.
Математикчид биднийг хуурч байгаа шинж тэмдгүүдийг нарийвчлан авч үзье. Бодлогын эхэнд математикчид дарааллын нийлбэр нь түүн доторх элементүүдийн тоо тэгш эсэхээс ШАЛТГАЛНА гэж хэлдэг. Энэ бол ОБЪЕКТИЙН ТОДОРХОЙ БАРИМТ. Дараа нь юу болох вэ?
Дараа нь математикчид нэгдмэл байдлаас дарааллыг хасдаг. Энэ нь юунд хүргэдэг вэ? Энэ нь дарааллын элементүүдийн тоог өөрчлөхөд хүргэдэг - тэгш тоо сондгой тоо, сондгой тоо тэгш тоо болж өөрчлөгддөг. Эцсийн эцэст бид дараалалд нэгтэй тэнцүү нэг элемент нэмсэн. Гадны бүх ижил төстэй байдлыг үл харгалзан хувиргалтын өмнөх дараалал нь хувиргасны дараах дараалалтай тэнцүү биш юм. Хэдийгээр бид хязгааргүй дарааллын тухай ярьж байгаа ч сондгой тооны элемент бүхий хязгааргүй дараалал нь тэгш тооны элемент бүхий хязгааргүй дараалалтай тэнцүү биш гэдгийг санах ёстой.
Элементүүдийн тоогоор ялгаатай хоёр дарааллын хооронд тэнцүү тэмдэг тавиад математикчид дарааллын нийлбэр нь дарааллын элементийн тооноос ХААРАЛТГҮЙ гэж үздэг нь ОБЪЕКТИВ ТОДОРХОЙТ БАРИМТ-тай зөрчилдөж байна. Хязгааргүй дарааллын нийлбэрийн талаархи цаашдын үндэслэл нь худал, учир нь энэ нь хуурамч тэгшитгэл дээр суурилдаг.
Хэрэв та математикчид нотолгооны явцад хаалт байрлуулж, математик илэрхийллийн элементүүдийг дахин цэгцэлж, ямар нэг зүйл нэмж эсвэл хасаж байгааг харвал маш болгоомжтой байгаарай, магадгүй тэд таныг хуурах гэж оролдож байна. Хөзрийн илбэчдийн нэгэн адил математикчид эцэст нь танд худал үр дүн өгөхийн тулд илэрхийллийн янз бүрийн заль мэхийг ашиглан таны анхаарлыг өөр тийш нь хандуулдаг. Хэрэв та хууран мэхлэх нууцыг мэдэхгүйгээр картын заль мэхийг давтаж чадахгүй бол математикийн хувьд бүх зүйл илүү хялбар байдаг: та хууран мэхлэх талаар юу ч сэжиглэдэггүй, харин бүх заль мэхийг математикийн илэрхийлэлээр давтах нь бусдад итгүүлэх боломжийг олгодог. үр дүнгийн зөв байдал, яг л таныг итгүүлсэн шиг.
Үзэгчдийн асуулт: Мөн хязгааргүй байдал (S дарааллын элементүүдийн тоогоор) тэгш эсвэл сондгой юу? Паритетгүй зүйлийг яаж өөрчлөх вэ?
Математикчдын хувьд хязгааргүй байдал нь тахилч нарын хувьд Тэнгэрийн хаант улстай адил юм - хэн ч тэнд хэзээ ч байгаагүй, гэхдээ тэнд бүх зүйл хэрхэн явагддагийг бүгд мэддэг))) Би зөвшөөрч байна, нас барсны дараа та тэгш эсвэл сондгой хэдэн өдөр амьдарсан эсэхээс үл хамааран огт хайхрамжгүй байх болно. , гэхдээ ... Амьдралынхаа эхэнд нэг л өдөр нэмбэл бид огт өөр хүнтэй болно: түүний овог, нэр, овог нэр нь яг адилхан, зөвхөн төрсөн он сар өдөр нь огт өөр байдаг - тэр нэг төрсөн чамаас нэг өдрийн өмнө.
Одоо гол зүйлээ))) Паритеттэй төгсгөлтэй дараалал нь хязгааргүйд очихдоо энэ паритетаа алддаг гэж бодъё. Дараа нь хязгааргүй дарааллын аль ч төгсгөлтэй сегмент нь мөн паритетаа алдах ёстой. Үүнийг бид ажигладаггүй. Хязгааргүй дарааллын элементүүдийн тоо тэгш эсвэл сондгой эсэхийг бид тодорхой хэлж чадахгүй байгаа нь паритет алга болсон гэсэн үг биш юм. Паритет хэрвээ оршдог бол хөзрийн ханцуйнаас илүү хурц байх шиг ул мөргүйгээр хязгааргүйд алга болж чадахгүй. Энэ тохиолдолд маш сайн зүйрлэл бий.
Та цагны зүү аль зүгт эргэлддэгийг цагт сууж байсан хөхөөнөөс асууж байсан уу? Түүний хувьд сум нь бидний "цагийн зүүний дагуу" гэж нэрлэдэг зүйлийн эсрэг чиглэлд эргэлддэг. Энэ нь хачирхалтай сонсогдож магадгүй ч эргэлтийн чиглэл нь зөвхөн аль талаасаа эргэлтийг ажиглахаас хамаарна. Тиймээс бид эргэдэг нэг дугуйтай болсон. Эргэлтийн хавтгайн нэг талаас, нөгөө талаас нь хоёуланг нь ажиглаж болох тул эргэлт аль чиглэлд явагддагийг бид хэлж чадахгүй. Бид ротаци байгаа гэдгийг л гэрчилж чадна. Хязгааргүй дарааллын паритеттай бүрэн аналоги С.
Одоо хоёр дахь эргэдэг дугуйг нэмье, түүний эргэлтийн хавтгай нь эхний эргэдэг дугуйны эргэлтийн хавтгайтай параллель байна. Эдгээр дугуйнууд яг аль чиглэлд эргэлдэж байгааг бид одоог хүртэл хэлж чадахгүй байгаа ч хоёр дугуй нь нэг чиглэлд эсвэл эсрэг чиглэлд эргэлдэж байгаа эсэхийг туйлын тодорхой хэлж чадна. Хязгааргүй хоёр дарааллыг харьцуулах СТэгээд 1-С, Би математикийн тусламжтайгаар эдгээр дараалал нь өөр өөр паритеттай бөгөөд тэдгээрийн хооронд тэнцүү тэмдэг тавих нь алдаа гэдгийг харуулсан. Би хувьдаа математикт итгэдэг, математикчдад итгэдэггүй))) Дашрамд хэлэхэд, хязгааргүй дарааллын хувиргалтын геометрийг бүрэн ойлгохын тулд энэ ойлголтыг нэвтрүүлэх шаардлагатай байна. "нэгэн зэрэг". Үүнийг зурах шаардлагатай болно.
2019 оны наймдугаар сарын 7, Лхагва гараг
-ийн тухай яриагаа дуусгахдаа бид хязгааргүй олонлогийг авч үзэх хэрэгтэй. "Хязгааргүй байдал" гэсэн ойлголт нь туулайн дээрх боа хуяг шиг математикчдад үйлчилдэг гэдгийг харуулж байна. Хязгааргүй байдлын чичирхийлсэн аймшиг нь математикчдыг эрүүл ухаангүй болгодог. Энд жишээ байна:
Анхны эх сурвалж нь байрладаг. Альфа нь бодит тоог илэрхийлдэг. Дээрх илэрхийлэл дэх тэнцүү тэмдэг нь хэрэв та хязгааргүйд тоо эсвэл хязгаарыг нэмбэл юу ч өөрчлөгдөхгүй, үр дүн нь ижил хязгааргүй болно гэдгийг харуулж байна. Хэрэв бид хязгааргүй олонлогийг жишээ болгон авбал натурал тоонууд, авч үзсэн жишээнүүдийг дараах хэлбэрээр танилцуулж болно.
Тэдний хэргийг нүдээр батлахын тулд математикчид олон янзын аргуудыг гаргаж ирсэн. Би хувьдаа энэ бүх аргыг бөөгийн хэнгэрэгтэй бүжиг гэж харж байгаа. Үндсэндээ тэд бүгд нэг бол зарим өрөөнүүд эзгүй, шинэ зочдод суурьшсан, эсвэл зочдод өрөө гаргаж өгөхийн тулд зарим зочдыг коридор руу шиддэг (маш хүнлэг байдлаар) гэсэн утгатай. Би ийм шийдвэрийн талаархи үзэл бодлоо шаргал үстийн тухай гайхалтай түүх хэлбэрээр танилцуулсан. Миний үндэслэл юунд үндэслэсэн бэ? Хязгааргүй тооны зочдыг шилжүүлэхэд хязгааргүй их цаг зарцуулдаг. Биднийг анхны зочны өрөөг чөлөөлсний дараа зочдын нэг нь цаг дуустал өөрийн өрөөнөөс дараагийн өрөө рүү коридороор үргэлж алхах болно. Мэдээжийн хэрэг, цаг хугацааны хүчин зүйлийг үл тоомсорлож болно, гэхдээ энэ нь аль хэдийн "хууль тэнэгүүдэд бичигдээгүй" гэсэн ангилалд багтах болно. Энэ бүхэн бидний хийж байгаа зүйлээс хамаарна: бодит байдлыг тохируулах математикийн онолуудэсвэл эсрэгээр.
"Хязгааргүй зочид буудал" гэж юу вэ? Infinity Inn гэдэг нь хэдэн өрөө байртай байсан ч үргэлж хэдэн ч сул орон тоотой байдаг дэн буудал юм. Хэрвээ "зочдод зориулсан" төгсгөлгүй хонгилын бүх өрөөг эзэлдэг бол "зочид" зориулсан өрөөнүүдтэй өөр нэг төгсгөлгүй хонгил байдаг. Ийм коридорууд хязгааргүй олон байх болно. Үүний зэрэгцээ, "хязгааргүй зочид буудал" нь хязгааргүй олон тооны бурхадын бүтээсэн хязгааргүй олон ертөнцийн хязгааргүй олон гараг дээр хязгааргүй олон тооны барилгад хязгааргүй олон давхартай байдаг. Харин математикчид өдөр тутмын энгийн асуудлаас холдож чаддаггүй: Бурхан-Аллах-Будда үргэлж ганцхан, зочид буудал нь нэг, коридор нь зөвхөн нэг юм. Тиймээс математикчид зочид буудлын өрөөнүүдийн серийн дугаарыг хооронд нь тааруулах гэж оролдож байгаа нь "түлхээгүйг түлхэх" боломжтой гэж бидэнд итгүүлж байна.
Би хязгааргүй натурал тоонуудын жишээн дээр өөрийн үндэслэлийн логикийг харуулах болно. Эхлээд та маш энгийн асуултанд хариулах хэрэгтэй: хэдэн олон тооны натурал тоо байдаг - нэг эсвэл олон уу? Энэ асуултад зөв хариулт алга, бид өөрсдөө тоо зохион бүтээсэн тул байгальд тоо байдаггүй. Тийм ээ, Байгаль хэрхэн төгс тоолохыг мэддэг боловч үүний тулд тэрээр бидэнд танил бус бусад математик хэрэгслийг ашигладаг. Байгаль бодож байгаачлан би чамд өөр удаа хэлье. Бид тоонуудыг зохион бүтээсэн тул хэдэн натурал тооны багц байгааг бид өөрсдөө шийдэх болно. Жинхэнэ эрдэмтэнд тохирсон хоёр хувилбарыг авч үзье.
Сонголт нэг. Тавиур дээр тайван хэвтэж буй натурал тоонуудын нэг багцыг "Бидэнд өгье". Бид энэ багцыг тавиур дээрээс авдаг. Ингээд л, тавиур дээр өөр натурал тоо үлдсэнгүй, тэднийг авч явах газар ч алга. Бидэнд аль хэдийн байгаа тул энэ багцад нэгийг нэмж чадахгүй. Хэрэв та үнэхээр хүсч байвал яах вэ? Асуудалгүй. Бид аль хэдийн авсан иж бүрдэлээсээ нэгжийг аваад тавиур руу буцааж өгч болно. Үүний дараа бид тавиураас нэгж авч, үлдсэн зүйлдээ нэмж болно. Үүний үр дүнд бид дахин хязгааргүй натурал тооны багцыг олж авна. Та бидний бүх заль мэхийг дараах байдлаар бичиж болно.
Би үйлдлүүдийг алгебрийн тэмдэглэгээ болон олонлогын онолын тэмдэглэгээнд бичиж, олонлогийн элементүүдийг нарийвчлан жагсаав. Доод тэмдэг нь бидэнд нэг бөгөөд цорын ганц натурал тооны багц байгааг харуулж байна. Үүнээс нэгийг нь хасаад нэгийг нь нэмбэл натурал тоонуудын олонлог өөрчлөгдөхгүй хэвээр үлдэнэ.
Хоёр дахь сонголт. Бид тавиур дээр олон янзын хязгааргүй олон тооны натурал тоонууд байдаг. Би онцлон тэмдэглэж байна - Хэдийгээр тэдгээр нь бараг ялгагдахгүй ч гэсэн ӨӨР. Бид эдгээр багцуудын аль нэгийг авдаг. Дараа нь бид өөр натурал тооны багцаас нэгийг нь авч, аль хэдийн авсан олонлогт нэмнэ. Бид хоёр натурал тоог нэмж болно. Эндээс бид юу авах вэ:
"Нэг" ба "хоёр" гэсэн дэд тэмдэгтүүд нь эдгээр элементүүд өөр олонлогт харьяалагддаг болохыг харуулж байна. Тийм ээ, хэрэв та хязгааргүй олонлог дээр нэгийг нэмбэл үр дүн нь мөн төгсгөлгүй олонлог болох боловч энэ нь анхны олонлогтой ижил биш байх болно. Хэрэв нэг хязгааргүй олонлог дээр өөр нэг хязгааргүй олонлог нэмэгдвэл үр дүн нь эхний хоёр олонлогийн элементүүдээс бүрдсэн шинэ хязгааргүй олонлог болно.
Натурал тоонуудын багцыг хэмжилтийн захирагчийн нэгэн адил тоолоход ашигладаг. Одоо та захирагч дээр нэг сантиметр нэмсэн гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ нь аль хэдийн өөр мөр байх болно, эхтэй тэнцүү биш.
Та миний үндэслэлийг хүлээн зөвшөөрөх эсвэл хүлээн зөвшөөрөхгүй байж болно - энэ бол таны хувийн бизнес. Гэхдээ хэрэв та хэзээ нэгэн цагт математикийн асуудалтай тулгарвал үе үеийн математикчдийн хөлд дарагдсан худал сэтгэх замаар явж байгаа эсэхээ бодож үзээрэй. Эцсийн эцэст, математикийн хичээлүүд нь юуны түрүүнд бидний сэтгэлгээний тогтвортой хэвшмэл ойлголтыг бүрдүүлдэг бөгөөд зөвхөн дараа нь тэд бидэнд оюун ухааны чадварыг нэмж өгдөг (эсвэл эсрэгээр тэд биднийг чөлөөт сэтгэлгээнээс хасдаг).
pozg.ru
2019 оны наймдугаар сарын 4, Ням гараг
Би Wikipedia дээрх энэ гайхалтай бичвэрийн тухай нийтлэлийн бичлэгийг бичиж байхдаа:
Бид уншдаг: "... баян онолын суурьВавилоны математик нь нэгдмэл шинж чанартай байгаагүй бөгөөд нийтлэг систем, нотлох баримтын баазгүй, ялгаатай техникүүдийн багц болгон бууруулсан.
Хөөх! Бид ямар ухаантай, бусдын дутагдлыг хэр сайн харж чаддаг вэ. Бид орчин үеийн математикийг ижил агуулгаар авч үзэх нь сул тал гэж үү? Дээрх текстийг бага зэрэг тайлбарлахад би хувьдаа дараахь зүйлийг олж авлаа.
Орчин үеийн математикийн баялаг онолын үндэс нь нэгдмэл шинж чанартай байдаггүй бөгөөд нийтлэг систем, нотлох үндэслэлгүй, ялгаатай хэсгүүдэд хуваагддаг.
Би үгээ батлахын тулд хол явахгүй - энэ нь математикийн бусад олон салбаруудын хэл, хэллэгээс ялгаатай хэл, дүрэм журамтай. Математикийн өөр өөр салбар дахь ижил нэрс өөр өөр утгатай байж болно. Би бүхэл бүтэн нийтлэлийг орчин үеийн математикийн хамгийн тод алдаануудад зориулахыг хүсч байна. Удахгүй уулзацгаая.
2019 оны наймдугаар сарын 3-ны Бямба гараг
Олонлогийг дэд олонлогт хэрхэн хуваах вэ? Үүнийг хийхийн тулд та сонгосон багцын зарим элементэд байгаа шинэ хэмжүүрийг оруулах ёстой. Жишээ авч үзье.
Бидэнд олон байх болтугай Адөрвөн хүний бүрэлдэхүүнтэй. Энэ олонлог нь "хүмүүс" гэсэн үндсэн дээр үүсдэг. Энэ олонлогийн элементүүдийг үсгээр тэмдэглэе. А, тоо бүхий дэд тэмдэг нь энэ багц дахь хүн бүрийн дарааллын дугаарыг заана. "Бэлгийн шинж чанар" хэмжилтийн шинэ нэгжийг нэвтрүүлж, үсгээр тэмдэглэе б. Бэлгийн шинж чанар нь бүх хүмүүст байдаг тул бид багцын элемент бүрийг үржүүлдэг Ажендэр дээр б. Манай "хүмүүс" иж бүрдэл одоо "хүйстэй хүмүүс" болсныг анзаараарай. Үүний дараа бид бэлгийн шинж чанарыг эрэгтэй гэж хувааж болно bmболон эмэгтэйчүүдийн bwхүйсийн шинж чанар. Одоо бид математикийн шүүлтүүр хэрэглэж болно: бид эдгээр бэлгийн шинж чанаруудын аль нэгийг нь сонгодог, аль нь эрэгтэй, эмэгтэй байх нь хамаагүй. Хэрэв энэ нь хүнд байгаа бол бид үүнийг нэгээр үржүүлдэг, хэрэв тийм тэмдэг байхгүй бол тэгээр үржүүлдэг. Тэгээд бид ердийн сургуулийн математикийг ашигладаг. Юу болсныг хараарай.
Үржүүлэлт, бууралт, дахин зохион байгуулалтын дараа бид хоёр дэд олонлогтой болсон: эрэгтэй дэд олонлогууд bmмөн эмэгтэйчүүдийн хэсэг bw. Ойролцоогоор математикчид олонлогын онолыг практикт хэрэгжүүлэхдээ яг адилхан үндэслэл гаргадаг. Гэхдээ тэд бидэнд нарийн ширийн зүйлийг хэлэхийг зөвшөөрдөггүй, харин эцсийн үр дүнг өгдөг - "маш олон хүмүүс эрэгтэйчүүдийн дэд хэсэг, эмэгтэйчүүдийн дэд хэсэгээс бүрддэг". Мэдээжийн хэрэг, танд математикийг дээрх хувиргалтанд хэр зөв ашигласан бэ гэсэн асуулт гарч ирж магадгүй юм. Үнэн хэрэгтээ хувиргалт зөв хийгдсэн тул арифметик, Булийн алгебр болон математикийн бусад хэсгүүдийн математик үндэслэлийг мэдэхэд л хангалттай гэдгийг баталж байна. Энэ юу вэ? Хэзээ нэгэн цагт би энэ тухай танд хэлэх болно.
Супер олонлогуудын хувьд эдгээр хоёр багцын элементүүдэд байгаа хэмжүүрийн нэгжийг сонгох замаар хоёр багцыг нэг супер олонлогт нэгтгэх боломжтой.
Таны харж байгаагаар хэмжилтийн нэгж ба нийтлэг математик нь олонлогын онолыг өнгөрсөн зүйл болгож байна. Олонлогийн онолын хувьд бүх зүйл сайн биш байгаагийн шинж тэмдэг бол математикчид олонлогийн онолын өөрийн хэл, тэмдэглэгээг гаргаж ирсэн явдал юм. Математикчид нэгэн цагт бөө нарын хийдэг зүйлийг хийсэн. "Мэдлэг"-ээ хэрхэн "зөв" хэрэгжүүлэхийг бөө нар л мэддэг. Энэ "мэдлэг"-ийг тэд бидэнд заадаг.
Эцэст нь хэлэхэд, би математикчид хэрхэн удирддагийг харуулахыг хүсч байна
Ахиллес яст мэлхийгээс арав дахин хурдан гүйж, түүнээс мянган алхмын ард байна гэж бодъё. Ахиллес энэ зайд гүйх үед яст мэлхий нэг чиглэлд зуун алхам мөлхдөг. Ахилл зуун алхам гүйхэд яст мэлхий дахиад арван алхам мөлхөх гэх мэт. Энэ үйл явц хязгааргүй үргэлжлэх бөгөөд Ахиллес яст мэлхийг хэзээ ч гүйцэхгүй.
Энэ үндэслэл нь дараагийн бүх үеийнхний хувьд логик цочрол болсон. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гилберт... Тэд бүгд нэг талаараа Зеногийн апориа гэж үзсэн. Цочрол маш хүчтэй байсан тул " ... өнөөгийн байдлаар хэлэлцүүлэг үргэлжилж, шинжлэх ухааны нийгэмлэг парадоксуудын мөн чанарын талаар нэгдсэн саналд хүрч чадаагүй байна ... уг асуудлыг судлахад математик анализ, олонлогын онол, физик, философийн шинэ хандлагуудыг оролцуулсан. ; Тэдний аль нь ч асуудлыг шийдэх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн шийдэл болж чадаагүй ..."[Википедиа," Зеногийн Апориа "]. Хүн бүр өөрсдийгөө хуурч байгааг ойлгодог, гэхдээ хэн ч хууран мэхлэлт гэж юу болохыг ойлгодоггүй.
Математикийн үүднээс авч үзвэл Зено өөрийн апориадаа үнэ цэнээс шилжихийг тодорхой харуулсан. Энэ шилжилт нь тогтмолуудын оронд хэрэглэхийг хэлнэ. Миний ойлгож байгаагаар хувьсах хэмжлийн нэгжийг хэрэглэх математикийн аппарат хараахан болоогүй, эсвэл Зеногийн апорид ашиглагдаагүй байна. Бидний ердийн логикийг ашиглах нь биднийг урхинд оруулдаг. Бид сэтгэлгээний инерцийн тусламжтайгаар цаг хугацааны тогтмол нэгжийг харилцан адилтгахад ашигладаг. Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж түрүүлэх тэр мөчид цаг хугацаа бүрмөсөн зогсч, бие махбодийн үүднээс авч үзвэл цаг хугацаа удааширч байгаа мэт харагдана. Хэрэв цаг хугацаа зогсвол Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж түрүүлж чадахгүй.
Хэрэв бид дассан логикоо эргүүлбэл бүх зүйл байрандаа орно. Ахиллес тогтмол хурдтайгаар гүйдэг. Замынхаа дараагийн хэсэг бүр өмнөхөөсөө арав дахин богино байна. Үүний дагуу үүнийг даван туулахад зарцуулсан хугацаа өмнөхөөсөө арав дахин бага байна. Хэрэв бид энэ нөхцөлд "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг хэрэглэвэл "Ахиллес яст мэлхийг хязгааргүй хурдан гүйцэх болно" гэж хэлэх нь зөв байх болно.
Энэ логик урхинаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Тогтмол цаг хугацааны нэгжид үлдэж, харилцан хамааралтай утга руу бүү шилжинэ. Зеногийн хэлээр энэ нь дараах байдалтай байна.
Ахиллес мянган алхам гүйхэд яст мэлхий нэг зүгт зуун алхам мөлхдөг. Дараагийн цагийн интервалд эхнийхтэйгээ тэнцэх хугацаанд Ахиллес дахиад мянган алхам гүйж, яст мэлхий зуун алхам мөлхөх болно. Одоо Ахиллес яст мэлхийнээс найман зуун алхмын урд байна.
Энэ хандлага нь бодит байдлыг ямар ч логик парадоксгүйгээр хангалттай дүрсэлдэг. Гэхдээ энэ нь асуудлыг шийдэх бүрэн шийдэл биш юм. Эйнштейний гэрлийн хурдыг давж гаршгүй тухай хэлсэн үг нь Зеногийн "Ахиллес ба яст мэлхий" апориатай тун төстэй юм. Энэ асуудлыг судалж, дахин бодож, шийдэж чадаагүй л байна. Мөн шийдлийг хязгааргүй олон тоогоор бус хэмжилтийн нэгжээр хайх ёстой.
Зеногийн өөр нэг сонирхолтой апориа нь нисдэг сумны тухай өгүүлдэг:
Нисдэг сум нь цаг мөч бүрт амарч, цаг мөч бүрт амарч байдаг тул үргэлж тайван байдаг тул хөдөлгөөнгүй байдаг.
Энэ апорид логик парадоксыг маш энгийнээр даван туулдаг - цаг мөч бүрт нисдэг сум сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдэд байрладаг гэдгийг тодруулахад хангалттай бөгөөд энэ нь хөдөлгөөн юм. Энд бас нэг анхаарах зүйл бий. Зам дээрх машины нэг гэрэл зургаас түүний хөдөлгөөний баримт, түүнд хүрэх зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машины хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлохын тулд нэг цэгээс өөр өөр цаг үед авсан хоёр гэрэл зураг шаардлагатай боловч зайг тодорхойлоход ашиглах боломжгүй юм. Машин хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд сансар огторгуйн өөр өөр цэгээс нэгэн зэрэг авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй боловч тэдгээрийн хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлох боломжгүй (мэдээжийн хэрэг та тооцоололд нэмэлт мэдээлэл хэрэгтэй, тригонометр танд туслах болно). Миний онцлон тэмдэглэхийг хүссэн зүйл бол цаг хугацааны хоёр цэг, сансар огторгуйн хоёр цэг нь хайгуул хийх өөр өөр боломжийг олгодог хоёр өөр зүйл юм.
Би үйл явцыг жишээгээр харуулах болно. Бид "батгатай улаан хатуу" -ыг сонгодог - энэ бол бидний "бүхэл бүтэн" юм. Үүний зэрэгцээ эдгээр зүйлүүд нь нумтай, нумгүй байдаг гэдгийг бид харж байна. Үүний дараа бид "бүхэл бүтэн" хэсгийг сонгож, "нумтай" багцыг бүрдүүлнэ. Бөө нар өөрсдийн багц онолоо бодит байдалтай уялдуулан өөрсдийгөө тэжээдэг.
Одоо жаахан заль мэх хийцгээе. "Нумтай батгатай хатуу" -ыг авч, улаан өнгийн элементүүдийг сонгон эдгээр "бүхэл бүтэн" -ийг өнгөөр нь нэгтгэж үзье. Бид маш их "улаан" авсан. Одоо төвөгтэй асуулт: хүлээн авсан "нумтай" ба "улаан" багцууд нь ижил багц уу эсвэл хоёр өөр багц уу? Хариултыг нь бөө нар л мэднэ. Бүр тодруулбал, тэд өөрсдөө юу ч мэдэхгүй, гэхдээ тэдний хэлснээр тийм байх болно.
Энэхүү энгийн жишээ нь олонлогийн онол бодит байдалд хүрэхэд огт хэрэггүй болохыг харуулж байна. Нууц нь юу вэ? Бид "нумтай улаан цул батга" багцыг үүсгэсэн. Үүсгэх нь дөрвөн өөр хэмжлийн нэгжийн дагуу явагдсан: өнгө (улаан), хүч чадал (хатуу), барзгар байдал (овойлтонд), чимэглэл (нумтай). Зөвхөн хэмжлийн нэгжийн багц нь бодит объектыг математикийн хэлээр хангалттай дүрслэх боломжийг олгодог.. Энэ нь ямар харагдаж байгааг эндээс харж болно.
Өөр өөр индекс бүхий "а" үсэг нь өөр өөр хэмжлийн нэгжийг илэрхийлдэг. Хаалтанд хэмжилтийн нэгжийг тодруулсан бөгөөд үүний дагуу "бүхэл бүтэн" нь урьдчилсан шатанд хуваарилагдана. Багц бүрдүүлсэн хэмжилтийн нэгжийг хаалтнаас гаргаж авдаг. Сүүлийн мөрөнд эцсийн үр дүн - багцын элементийг харуулав. Таны харж байгаагаар хэрэв бид багц үүсгэхийн тулд нэгжийг ашигладаг бол үр дүн нь бидний үйлдлийн дарааллаас хамаарахгүй. Энэ бол математик болохоос бөө нарын хэнгэрэгтэй бүжиг биш. Бөө нар "шинжлэх ухааны" арсеналдаа хэмжүүрийн нэгжийг оруулаагүй тул үүнийг "илэрхий" гэж маргаж "зөн совингоор" ижил үр дүнд хүрч чадна.
Хэмжилтийн нэгжийн тусламжтайгаар нэгийг эвдэх эсвэл хэд хэдэн багцыг нэг супер багц болгон нэгтгэхэд маш хялбар байдаг. Энэ үйл явцын алгебрийг нарийвчлан авч үзье.
Энэ өгүүлэлд тригонометрийн функцүүдийн гурван үндсэн шинж чанарыг авч үзэх болно: синус, косинус, тангенс, котангенс.
Эхний шинж чанар нь α өнцөг нь нэгж тойргийн аль дөрөвний нэгд хамаарахаас хамаарч функцийн тэмдэг юм. Хоёр дахь шинж чанар нь үе үе юм. Энэ шинж чанарын дагуу өнцөг нь бүхэл тооны эргэлтээр өөрчлөгдөхөд тигонометрийн функц нь утгаараа өөрчлөгддөггүй. Гурав дахь шинж чанар нь sin, cos, tg, ctg функцуудын утгууд α ба - α эсрэг өнцөгт хэрхэн өөрчлөгдөхийг тодорхойлдог.
Ихэнхдээ математикийн текст эсвэл асуудлын контекстээс та "эхний, хоёр дахь, гурав, дөрөв дэх координатын өнцөг" гэсэн хэллэгийг олж болно. Энэ юу вэ?
Нэгж тойргийг харцгаая. Энэ нь дөрөвний дөрөвт хуваагддаг. Бид тойрог дээр A 0 (1, 0) эхлэх цэгийг тэмдэглээд О цэгийг α өнцгөөр эргүүлж, A 1 (x, y) цэгт хүрнэ. A 1 (x, y) цэг аль дөрөвний нэгд байрлахаас хамаарч α өнцгийг эхний, хоёр, гурав, дөрөв дэх квадратуудын өнцөг гэж нэрлэнэ.
Тодорхой болгохын тулд бид жишээг өгдөг.
α = 30 ° өнцөг нь эхний квадратад байрладаг. Өнцөг - 210 ° нь хоёрдугаар улирлын өнцөг юм. 585 ° өнцөг нь гуравдугаар улирлын өнцөг юм. Өнцөг - 45 ° нь дөрөвдүгээр улирлын өнцөг юм.
Энэ тохиолдолд ± 90 °, ± 180 °, ± 270 °, ± 360 ° өнцөг нь координатын тэнхлэг дээр байрладаг тул аль ч улиралд хамаарахгүй.
Одоо өнцөг нь аль дөрөвний нэгт байрлаж байгаагаас хамааран синус, косинус, тангенс, котангенс авдаг тэмдгүүдийг авч үзье.
Синусын шинж тэмдгийг дөрөвөөр нь тодорхойлохын тулд тодорхойлолтыг эргэн санах хэрэгтэй. Синус нь A 1 (x , y) цэгийн ординат юм. Зураг дээр эхний болон хоёрдугаар улиралд эерэг, гурав, дөрөв дахин хасах үзүүлэлттэй байгааг харуулж байна.
Косинус нь A 1 (x, y) цэгийн абсцисса юм. Үүний дагуу бид тойрог дээрх косинусын тэмдгүүдийг тодорхойлно. Косинус нь эхний болон дөрөвдүгээр улиралд эерэг, хоёр, гуравдугаар улиралд сөрөг байна.
Тангенс ба котангенсийн тэмдгүүдийг дөрөвний нэгээр нь тодорхойлохын тулд бид эдгээр тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг эргэн санана. Тангенс - цэгийн ординатыг абсциссатай харьцуулсан харьцаа. Энэ нь өөр өөр тэмдэгтэй тоог хуваах журмын дагуу ординат ба абсцисс ижил тэмдэгтэй үед тойрог дээрх шүргэгчийн тэмдэг эерэг, ординат ба абсцисс нь ижил байх болно гэсэн үг юм. өөр өөр шинж тэмдэг- сөрөг. Үүний нэгэн адил, улирал дахь котангентын шинж тэмдгүүдийг тодорхойлно.
Санах нь чухал!
- α өнцгийн синус нь 1, 2-р улиралд нэмэх тэмдэг, 3, 4-р улиралд хасах тэмдэгтэй байна.
- α өнцгийн косинус нь 1, 4-р улиралд нэмэх тэмдэг, 2, 3-р улиралд хасах тэмдэгтэй байна.
- α өнцгийн шүргэгч нь 1, 3-р улиралд нэмэх тэмдэг, 2, 4-р улиралд хасах тэмдэгтэй байна.
- α өнцгийн котангенс нь 1, 3-р улиралд нэмэх тэмдэг, 2, 4-р улиралд хасах тэмдэгтэй байна.
Тогтмол шинж чанар
Үелэх шинж чанар нь тригонометрийн функцүүдийн хамгийн тод шинж чанаруудын нэг юм.
Тогтмол шинж чанар
Өнцөг бүтэн эргэлтийн бүхэл тоогоор өөрчлөгдөхөд өгөгдсөн өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгууд өөрчлөгдөхгүй хэвээр үлдэнэ.
Үнэн хэрэгтээ өнцгийг бүхэл тооны эргэлтээр өөрчлөхөд бид нэгж тойргийн эхлэл А цэгээс ижил координаттай А 1 цэг хүртэл үргэлжилдэг. Үүний дагуу синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгууд өөрчлөгдөхгүй.
Математикийн хувьд энэ шинж чанарыг дараах байдлаар бичнэ.
sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α
Энэ өмчийн практик хэрэглээ юу вэ? Үелэх шинж чанарыг багасгах томъёоны нэгэн адил том өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгыг тооцоолоход ихэвчлэн ашигладаг.
Жишээ хэлье.
нүгэл 13 π 5 \u003d нүгэл 3 π 5 + 2 π \u003d нүгэл 3 π 5
t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° т г (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)
Нэгж тойргийг дахин харцгаая.
A 1 (x, y) цэг нь A 0 (1, 0) эхлэх цэгийг тойргийн төвийг α өнцгөөр эргүүлсний үр дүн юм. A 2 (x, - y) цэг нь эхлэлийн цэгийг - α өнцгөөр эргүүлсний үр дүн юм.
A 1 ба A 2 цэгүүд нь x тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна. α = 0 °, ± 180 °, ± 360 ° A 1 ба A 2 цэгүүд давхцах тохиолдолд. Нэг цэг нь координаттай байг (x , y) , хоёр дахь нь - (x , - y) . Синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг эргэн санаж бичнэ үү.
sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y
Энэ нь эсрэг талын өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн шинж чанарыг илэрхийлдэг.
Эсрэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн шинж чанар
sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α
Энэ өмчийн дагуу тэгш байдал
нүгэл - 48 ° = - нүгэл 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °
Тригонометрийн функцүүдийн аргумент дахь өнцгийн сөрөг шинж тэмдгүүдээс салах шаардлагатай тохиолдолд авч үзсэн өмчийг практик асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
