Энэ нийтлэлд бид нарийвчилсан дүн шинжилгээ хийх болно тооны үнэмлэхүй утга. Бид тооны модулийн янз бүрийн тодорхойлолтыг өгч, тэмдэглэгээг танилцуулж, график дүрслэлийг өгөх болно. Үүний зэрэгцээ тоон модулийг тодорхойлолтоор олох янз бүрийн жишээг авч үзье. Үүний дараа бид модулийн үндсэн шинж чанаруудыг жагсааж, зөвтгөх болно. Өгүүллийн төгсгөлд бид комплекс тооны модулийг хэрхэн тодорхойлж, олох талаар ярих болно.

Хуудасны навигаци.

Тооны модуль - тодорхойлолт, тэмдэглэгээ, жишээ

Эхлээд бид танилцуулъя тооны модулийн тэмдэглэгээ. Бид a тооны модулийг гэж бичнэ, өөрөөр хэлбэл дугаарын зүүн ба баруун талд босоо зураас тавьж модулийн тэмдгийг үүсгэнэ. Хэд хэдэн жишээ хэлье. Жишээлбэл, −7 модулийг дараах байдлаар бичиж болно; модуль 4.125 гэж бичигдэх ба модуль нь маягтын тэмдэглэгээтэй байна .

Модулийн дараах тодорхойлолт нь бодит тооны олонлогийн бүрдүүлэгч хэсгүүд болох , тиймээс , бүхэл тоо, рационал ба иррационал тоонуудыг хэлнэ. Бид комплекс тооны модулийн талаар ярих болно.

Тодорхойлолт.

a тооны модуль– энэ нь нэг бол a тоо, хэрэв a нь эерэг тоо бол, эсвэл −a тоо, хэрэв а сөрөг тоо бол a тооны эсрэг, эсвэл a=0 бол 0 байна.

Тооны модулийн дуут тодорхойлолтыг ихэвчлэн дараах хэлбэрээр бичдэг , энэ оруулга нь хэрэв a>0 , хэрэв a=0 , хэрэв a<0 .

Бичлэгийг илүү авсаархан хэлбэрээр танилцуулж болно . Энэ тэмдэглэгээ нь хэрэв (a нь 0-ээс их эсвэл тэнцүү), хэрэв a<0 .

Мөн оролт бий . Энд бид a=0 байх тохиолдлыг тусад нь тайлбарлах ёстой. Энэ тохиолдолд тэг нь өөрөөсөө эсрэг тоо гэж тооцогддог тул −0=0 байна.

өгье тооны модулийг олох жишээтодорхойлсон тодорхойлолтыг ашиглан. Жишээлбэл, 15 ба тоонуудын модулиудыг олъё. Олж эхэлцгээе. 15 тоо эерэг тул түүний модуль нь тодорхойлолтоор энэ тоотой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, . Тооны модуль гэж юу вэ? Сөрөг тоо тул түүний модуль нь тоон эсрэг талын тоо, өөрөөр хэлбэл тоотой тэнцүү байна . Ийнхүү, .

Энэ цэгийг дүгнэхийн тулд бид тооны модулийг олоход практикт ашиглахад маш тохиромжтой нэг дүгнэлтийг танилцуулж байна. Тооны модулийн тодорхойлолтоос ийм зүйл гарч ирнэ тооны модуль нь түүний тэмдгийг харгалзахгүйгээр модулийн тэмдгийн доорх тоотой тэнцүү байна, мөн дээр дурдсан жишээнүүдээс энэ нь маш тодорхой харагдаж байна. Энэхүү мэдэгдэл нь тооны модулийг яагаад дууддагийг тайлбарладаг тооны үнэмлэхүй утга. Тэгэхээр тооны модуль ба абсолют утга нь нэг юм.

Тооны модуль нь зай

Геометрийн хувьд тооны модулийг гэж тайлбарлаж болно зай. өгье зайгаар дамжих тооны модулийг тодорхойлох.

Тодорхойлолт.

a тооны модуль– энэ нь координатын шулуун дээрх эх цэгээс a тоотой харгалзах цэг хүртэлх зай юм.

Энэ тодорхойлолт нь эхний догол мөрөнд өгөгдсөн тооны модулийн тодорхойлолттой нийцэж байна. Энэ зүйлийг тодруулъя. Эхлэлээс эерэг тоонд харгалзах цэг хүртэлх зай нь энэ тоотой тэнцүү байна. Тэг нь гарал үүсэлтэй тохирч байгаа тул гарал үүсэлээс 0 координаттай цэг хүртэлх зай нь тэгтэй тэнцүү байна (нэг нэгж сегментийн аль нэг хэсгийг бүрдүүлдэг нэг сегментийг биш, харин нэг нэгж сегментийг салгах шаардлагагүй. О цэгээс координат 0 цэг рүү хүрэх). Гарал үүсэлээс сөрөг координаттай цэг хүртэлх зай нь уг цэгээс координат нь эсрэг тоо болох цэг хүртэлх зайтай тэнцүү тул энэ цэгийн координатын эсрэг талын тоотой тэнцүү байна.

Жишээлбэл, 9-р тооны координатын эх цэгээс 9-р цэг хүртэлх зай нь естэй тэнцүү тул 9-ийн тооны модуль 9-тэй тэнцүү байна. Өөр нэг жишээ хэлье. −3.25 координаттай цэг нь О цэгээс 3.25 зайд байрладаг тул .

Тооны модулийн тодорхойлсон тодорхойлолт нь хоёр тооны зөрүүний модулийг тодорхойлох онцгой тохиолдол юм.

Тодорхойлолт.

Хоёр тооны зөрүүний модуль a ба b нь a ба b координаттай координатын шугамын цэгүүдийн хоорондох зайтай тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, координатын шулуун дээрх A(a) ба B(b) цэгүүдийг өгвөл А цэгээс В цэг хүртэлх зай нь a ба b тоонуудын зөрүүний модультай тэнцүү байна. Хэрэв бид O цэгийг (гарал үүсэл) В цэг гэж авбал энэ догол мөрний эхэнд өгөгдсөн тооны модулийн тодорхойлолтыг авна.

Арифметик квадрат язгуур ашиглан тооны модулийг тодорхойлох

Хааяа тохиолддог арифметик квадрат язгуураар модулийг тодорхойлох.

Жишээлбэл, −30 тоонуудын модулийг тооцоолж, энэ тодорхойлолтыг үндэслэнэ. Бидэнд байгаа. Үүний нэгэн адил бид гуравны хоёрын модулийг тооцоолно. .

Арифметик квадрат язгуураар дамжуулан тооны модулийн тодорхойлолт нь энэ зүйлийн эхний догол мөрөнд өгсөн тодорхойлолттой нийцэж байна. Үүнийг үзүүлье. a эерэг тоо, −a нь сөрөг тоо байг. Дараа нь Тэгээд , хэрэв a=0 байвал .

Модулийн шинж чанарууд

Модуль нь хэд хэдэн онцлог үр дүнтэй байдаг - модулийн шинж чанарууд. Одоо бид тэдгээрийн гол бөгөөд хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг зүйлийг танилцуулах болно. Эдгээр шинж чанаруудыг зөвтгөхдөө бид зайны хувьд тооны модулийн тодорхойлолтод найдах болно.

Модулийн хамгийн тод шинж чанараас эхэлцгээе - Тооны модуль нь сөрөг тоо байж болохгүй. Шууд утгаараа энэ шинж чанар нь дурын тооны a гэсэн хэлбэртэй байна. Энэ шинж чанарыг зөвтгөхөд маш хялбар байдаг: тооны модуль нь зай бөгөөд зайг сөрөг тоогоор илэрхийлэх боломжгүй.

Дараагийн модулийн шинж чанар руу шилжье. Хэрэв энэ тоо тэг байвал тухайн тооны модуль тэг болно. Тодорхойлолтоор тэгийн модуль нь тэг юм. Тэг нь гарал үүсэлтэй тохирч байна; координатын шугамын өөр ямар ч цэг тэгтэй тохирохгүй, учир нь бодит тоо бүр координатын шугам дээрх нэг цэгтэй холбоотой байдаг. Үүнтэй ижил шалтгаанаар тэгээс өөр тоо нь гарал үүслээс өөр цэгтэй тохирч байна. Мөн эх цэгээс О цэгээс бусад цэг хүртэлх зай нь тэг биш, учир нь эдгээр цэгүүд давхцаж байвал хоёр цэгийн хоорондох зай тэг болно. Дээрх үндэслэл нь зөвхөн тэгийн модуль нь тэгтэй тэнцүү гэдгийг баталж байна.

Үргэлжлүүл. Эсрэг тоонууд нь тэнцүү модультай, өөрөөр хэлбэл ямар ч тооны a. Үнэн хэрэгтээ координатууд нь эсрэг тоонууд болох координатын шулуун дээрх хоёр цэг нь гарал үүсэлээс ижил зайд байрладаг бөгөөд энэ нь эсрэг тоонуудын модулиуд тэнцүү гэсэн үг юм.

Модулийн дараах шинж чанарууд нь: Хоёр тооны үржвэрийн модуль нь эдгээр тоонуудын модулийн үржвэртэй тэнцүү байна, тэр бол, . Тодорхойлолтоор, a ба b тоонуудын үржвэрийн модуль нь a·b хэрэв , эсвэл −(a·b) бол тэнцүү байна. Бодит тоог үржүүлэх дүрмээс харахад a ба b тоонуудын модулиудын үржвэр нь a·b, , эсвэл −(a·b) if -тэй тэнцүү байх нь тухайн шинж чанарыг нотолж байна.

b-д хуваах коэффициентийн модуль нь тооны модулийн модулийг b-д хуваасантай тэнцүү байна., тэр бол, . Модулийн энэ шинж чанарыг зөвтгөж үзье. Тооцоолуур нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү тул. Өмнөх өмчийн ачаар . Үлдсэн зүйл бол тооны модулийн тодорхойлолтын дагуу хүчинтэй тэгш байдлыг ашиглах явдал юм.

Модулийн дараах шинж чанарыг тэгш бус байдлаар бичнэ. , a , b ба c нь дурын бодит тоо юм. Бичсэн тэгш бус байдал нь үүнээс өөр зүйл биш юм гурвалжны тэгш бус байдал. Үүнийг тодорхой болгохын тулд координатын шулуун дээрх A(a), B(b), C(c) цэгүүдийг авч, оройнууд нь нэг шулуун дээр байрлах муудсан ABC гурвалжинг авч үзье. Тодорхойлолтоор ялгааны модуль нь AB сегментийн урттай тэнцүү, - АС сегментийн урт ба - CB сегментийн урттай тэнцүү байна. Гурвалжны аль нэг талын урт нь нөгөө хоёр талын уртын нийлбэрээс хэтрэхгүй тул тэгш бус байдал үнэн болно. , тиймээс тэгш бус байдал нь бас үнэн юм.

Сая нотлогдсон тэгш бус байдал нь хэлбэрээр илүү түгээмэл байдаг . Бичгийн тэгш бус байдлыг ихэвчлэн модулийн тусдаа өмч гэж үздэг: " Хоёр тооны нийлбэрийн модуль нь эдгээр тоонуудын модулийн нийлбэрээс хэтрэхгүй" Харин b-ийн оронд −b-г тавиад c=0 гэж авбал тэгш бус байдлаас шууд үүснэ.

Комплекс тооны модуль

өгье комплекс тооны модулийн тодорхойлолт. Үүнийг бидэнд өгөх болтугай нийлмэл тоо, алгебрийн хэлбэрээр бичигдсэн бөгөөд энд x ба y нь өгөгдсөн нийлмэл тооны z-ийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг төлөөлж буй зарим бодит тоо бөгөөд төсөөллийн нэгж юм.

Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google бүртгэл үүсгээд түүн рүү нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com

Слайдын тайлбар:

Хичээлийн зорилго, зорилт Бодит тооны модулийн тодорхойлолтыг танилцуулах, шинж чанарыг авч үзэх, модулийн геометрийн утгыг тайлбарлах; y = |x | функцийг оруулна уу , түүний графикийг байгуулах дүрмийг харуулах; Модуль агуулсан тэгшитгэлийг янз бүрийн аргаар шийдвэрлэх; Математикийн сонирхол, бие даасан байдал, логик сэтгэлгээ, математикийн яриаг хөгжүүлэх, үнэн зөв, шаргуу ажиллах чадварыг хөгжүүлэх.

Тодорхойлолт. Жишээ нь: |8|=8 ; | -8 | =-(-8)=8;

Модулийн шинж чанарууд

Модулийн геометрийн утга Тооны шугам нь бодит тооны багцын сайн жишээ юм. Тоон шулуун дээр a, b хоёр цэгийг тэмдэглээд эдгээр цэгүүдийн хоорондох ρ(a ; b) зайг олохыг хичээцгээе. Мэдээжийн хэрэг, энэ зай нь b-a-тай тэнцүү бол b>a Хэрэв бид байраа сольж, өөрөөр хэлбэл a > b зай нь a - b-тэй тэнцүү байх болно. Хэрэв a = b бол үр дүн нь цэг тул зай нь тэг болно. Бид бүх гурван тохиолдлыг жигд дүрсэлж болно:

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: a) |x-3|=6 b) |x+5|=3 c) |x|=2.8 d) Шийдэл. a) Бид координатын шулуун дээр 3-р цэгээс 6-тай тэнцүү зайд байгаа цэгүүдийг олох хэрэгтэй. Ийм цэгүүд 9 ба -3 байна. (Бид гурваас зургаа нэмээд хассан.) Хариулт: x=9 ба x=-3 b) | x +5|=3, бид тэгшитгэлийг | хэлбэрээр дахин бичнэ x -(-5)|=3. -5 цэгээс 3-аар хасагдсан зайг олцгооё. Энэ зай нь x=2 ба x=-8 гэсэн хоёр цэгээс харагдана. Хариу: x=2 ба x=-8. в) | x |=2.8, |x-0|=2.8 эсвэл ойлгомжтой, x=-2.8 эсвэл x=2.8 гэж илэрхийлж болно Хариулт: x=-2.8 ба x=2.8. г) эквивалент Энэ нь ойлгомжтой

y = |x| функц

|x-1| тэгшитгэлийг шийд = 4 1-р арга (аналитик) Даалгавар 2

Арга 2 (график)

Бодит тооны модуль. Identity илэрхийллийг авч үзье, хэрэв a>0 бол бид үүнийг мэднэ. Харин 0 бол яах вэ. 2. Дүгнэж үзье: Модулийн тодорхойлолтоор: Тэр нь

Бодит тооны модуль. Жишээ. Хэрэв: a) a-2≥0 b) a -2 байвал илэрхийллийг хялбарчил

Бодит тооны модуль. Жишээ. Шийдлийг тооцоолох. Бид үүнийг мэднэ: Модулуудыг өргөжүүлэхэд л үлдэж байна. Эхний илэрхийллийг авч үзье:

Хоёрдахь илэрхийлэлийг авч үзье: Тодорхойлолтыг ашиглан бид модулиудын тэмдгүүдийг өргөжүүлэв: Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг авна: Хариулт: 1.

Шинэ материалыг нэгтгэх. No16.2, No16.3, No16.4, No16.12, No16.16 (a, d), No16.19.

Бие даасан шийдлийн асуудлууд. 1. Тэгшитгэлийг шийд: a) | x -10|=3 б) | x +2|=1 c) | x |=2.8 d) 2. Тэгшитгэлийг шийд: a) |3 x -9|=33 b) |8-4 x |=16 c) | x +7|=-3 3. a) a-3≥0 b) a -3 бол илэрхийллийг хялбарчил.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт: Zvavich L.I. Алгебр. Гүнзгийрүүлсэн судалгаа. 8-р анги: асуудлын ном / L.I. Звавич, А.Р. Рязановский. – 4-р хэвлэл, Илч. – М.: Мнемосин, 2006. – 284 х. Мордкович А.Г. Алгебр. 8-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A.G. Мордкович. – 12 дахь хэвлэл, устгасан. – М .: Mnemosyne, 2014. – 215 х. Мордкович А.Г. болон бусад Алгебр. 8-р анги. 2 цагт. 2-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан бодлогын ном / ред. А.Г. Мордкович. – 12 дахь хэвлэл, Илч. болон нэмэлт – М .: Mnemosyne, 2014. – 271 х.

Таны зорилго:

бодит тооны модулийн тодорхойлолтыг тодорхой мэдэх;

бодит тооны модулийн геометрийн тайлбарыг ойлгож, бодлого бодохдоо үүнийг ашиглах чадвартай байх;

модулийн шинж чанарыг мэдэж, асуудлыг шийдвэрлэхдээ ашиглах чадвартай байх;

координатын шулуун дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайг төсөөлж, бодлого бодохдоо ашиглах чадвартай байх.

Мэдээлэл оруулах

Бодит тооны модулийн тухай ойлголт. Бодит тооны модуль нь хэрэв тоо өөрөө, хэрэв түүний эсрэг тоо юм< 0.

Тооны модулийг дараах байдлаар тэмдэглэж бичнэ.

Модулийн геометрийн тайлбар . Геометрийн хувьдБодит тооны модуль нь координатын шулуун дээрх өгөгдсөн тоог илэрхийлэх цэгээс эх цэг хүртэлх зай юм.

Модулийн геометрийн утгыг үндэслэн модуль бүхий тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх. "Координатын шугамын хоёр цэгийн хоорондох зай" гэсэн ойлголтыг ашигласнаар та тэмдгийн оронд аль нэг тэмдгийг ашиглаж болох хэлбэрийн тэгшитгэл эсвэл хэлбэрийн тэгш бус байдлыг шийдэж болно.

Жишээ.Тэгшитгэлээ шийдье.

Шийдэл.Асуудлыг геометрийн хэлбэрээр дахин томъёолъё. Координат ба цэгүүдийн хоорондох координатын шугам дээрх зай тул ийм цэгүүдийн координатыг олох шаардлагатай тул 1-р координаттай цэг хүртэлх зай 2-той тэнцүү байна.

Товчхондоо координатын шулуун дээр координат 1-тэй цэг хүртэлх зай нь 2-той тэнцүү цэгүүдийн координатын багцыг ол.

Энэ асуудлыг шийдье. Координат нь 1-тэй тэнцүү цэгийг координатын шулуун дээр тэмдэглэе (Зураг 6) Координат нь -1 ба 3-тай тэнцүү цэгүүд нь энэ цэгээс хоёр нэгжийн зайд оршдог.Энэ нь шаардлагатай цэгүүдийн координатын багц гэсэн үг юм. нь -1 ба 3 тооноос бүрдэх олонлог юм.

Хариулт: -1; 3.

Координатын шулуун дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайг хэрхэн олох вэ. Цэгүүдийн хоорондох зайг илэрхийлэх тоо Тэгээд , ба тоонуудын хоорондох зай гэж нэрлэдэг .

Дурын хоёр цэг ба координатын шугамын хувьд зай

.

Бодит тооны модулийн үндсэн шинж чанарууд:

3. ;

7. ;

8. ;

9. ;

Бидэнд байгаа үед:

11. дараа нь зөвхөн эсвэл ;

12. дараа нь зөвхөн үед;

13. дараа нь зөвхөн эсвэл;

14. дараа нь зөвхөн үед;

11. дараа нь зөвхөн .

Практик хэсэг

Дасгал 1. Хоосон цаас аваад доорх бүх ярианы дасгалын хариултыг бич.

Сургалтын хэсгийн төгсгөлд "Таны туслагч" гэсэн гарчгийн доор байрлах хариулт эсвэл товч зааварчилгаагаар хариултаа шалгана уу.

1. Модулийн тэмдгийг өргөжүүлэх:

a) |–5|; б) |5|; в) |0|; г) |p|.

2. Тоонуудыг харьцуулна уу:

a) || Мөн -; в) |0| ба 0; д) – |–3| ба –3; g) -4| А| ба 0;

b) |–p| ба p; d) |–7.3| ба –7.3; д) | А| ба 0; h) 2| А| ба |2 А|.

3. Модулийн тэмдгийг хэрхэн ашиглах вэ гэвэл ядаж нэг тоо А, бэсвэл -тайтэгээс ялгаатай юу?

4. Тоо тус бүрийг бичихдээ тэнцүү тэмдгийг хэрхэн ашиглах вэ А, бТэгээд -тайтэгтэй тэнцэх үү?

5. Илэрхийллийн утгыг ол:

a) | А| – А; б) А + |А|.

6. Тэгшитгэлийг шийд:

a) | X| = 3; в) | X| = –2; д) |2 X– 5| = 0;

б) | X| = 0; г) | X– 3| = 4; д) |3 X– 7| = – 9.

7. Тоонуудын талаар бид юу хэлж чадах вэ? XТэгээд цагт, Хэрэв:

a) | X| = X; б) | X| = –X; в) | X| = |цагт|?

8. Тэгшитгэлийг шийд:

a) | X– 2| = X– 2; в) | X– 3| =|7 – X|;

б) | X– 2| = 2 – X; г) | X– 5| =|X– 6|.

9. Тооны талаар та юу хэлэх вэ? цагт, хэрэв тэгш байдал хангагдсан бол:

a)ï Xï = цагт; б)ï Xï = – цагт ?

10. Тэгш бус байдлыг шийд:

a) | X| > X; в) | X| > –X; д) | X| £ X;

б) | X| ³ X; г) | X| ³ – X; д) | X| £ – X.

11. Тэгш байдал хангагдсан a-ийн бүх утгыг жагсаа:

a) | А| = А; б) | А| = –А; V) А – |–А| =0; г) | А|А= –1; d) = 1.

12. Бүх утгыг ол б, тэгш бус байдал нь дараах байдалтай байна:

a) | б| ³ 1; б) | б| < 1; в) |б| £ 0; г) | б| ³ 0; e) 1< |б| < 2.

Та математикийн хичээл дээр дараах төрлийн даалгавруудын заримтай тааралдсан байх. Дараах ажлуудаас алийг нь гүйцэтгэх ёстойгоо өөрөө шийд. Хэцүү тохиолдолд "Таны туслах" хэсгээс багшийн зөвлөгөө эсвэл найзаасаа тусламж авна уу.

Даалгавар 2.Бодит тооны модулийн тодорхойлолт дээр үндэслэн тэгшитгэлийг шийднэ үү.

Даалгавар 4.Бодит тоог илэрхийлэх цэгүүдийн хоорондох зай α Тэгээд β координатын шугам дээр |-тэй тэнцүү байна α – β |. Үүнийг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

Сургуульд, математикийн ангид жил бүр оюутнууд шинэ сэдвүүдийг судалдаг. 6-р анги нь ихэвчлэн тооны модулийг судалдаг - энэ нь математикийн чухал ойлголт бөгөөд дараа нь алгебр болон дээд математикт тулгардаг. Бусад сэдвүүдийг амжилттай дуусгахын тулд нэр томъёоны тайлбарыг зөв ойлгож, энэ сэдвийг ойлгох нь маш чухал юм.

Эхлээд та үнэмлэхүй утга нь судалж буй үзэгдлийг эзлэхүүнээр нь тодорхойлдог статистикийн үзүүлэлт (тооноор хэмждэг) гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд тухайн үзэгдэл тодорхой хугацаанд, тодорхой байршилд тохиолдох ёстой. Өөр өөр утгатай:

• нийт - бүлэг буюу нийт хүн амд тохиромжтой;
• хувь хүн - зөвхөн тодорхой дүүргэгчийн нэгжтэй ажиллахад тохиромжтой.

Үзэл баримтлалыг статистик хэмжилтэд өргөн ашигладаг бөгөөд үр дүн нь тодорхой үзэгдлийн нэгж бүрийн үнэмлэхүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлдог үзүүлэлтүүд юм. Тэдгээрийг хоёр үзүүлэлтээр хэмждэг: байгалийн, i.e. физик нэгж (хэсэг, хүмүүс) болон нөхцөлт байгалийн. Математикийн модуль нь эдгээр үзүүлэлтүүдийн дэлгэц юм.

Тооны модуль гэж юу вэ?

Чухал!"Модуль" гэсэн энэ тодорхойлолтыг латин хэлнээс "хэмжих" гэж орчуулсан бөгөөд аливаа натурал тооны үнэмлэхүй утгыг илэрхийлдэг.

Гэхдээ энэ ойлголт нь геометрийн тайлбартай байдаг, учир нь геометрийн модуль нь координатын системийн гарал үүслээс X цэг хүртэлх зайтай тэнцүү бөгөөд үүнийг ердийн хэмжүүрээр хэмждэг.

Тооны хувьд энэ үзүүлэлтийг тодорхойлохын тулд та түүний тэмдгийг (хасах, нэмэх) анхаарч үзэх ёсгүй, гэхдээ энэ нь хэзээ ч сөрөг байж болохгүй гэдгийг санах хэрэгтэй. Энэ утгыг дөрвөлжин хаалт хэлбэрээр цаасан дээр графикаар тодруулсан - |a|. Энэ тохиолдолд математикийн тодорхойлолт нь:

|x| = x тэгээс их буюу тэнцүү бол x, тэгээс бага бол -x.

Энэ ойлголтыг математикийн тооцоололд анх ашигласан хүн бол Английн эрдэмтэн Р.Котес юм. Харин Германы математикч К.Вейерштрасс график тэмдгийг зохион бүтээж, нэвтрүүлсэн.

Геометрийн хувьд модулийг дурын 2 цэгийг зурсан координатын шугамын жишээн дээр авч үзэж болно. Нэг нь A нь 5, хоёр дахь нь B нь 6 гэсэн утгатай гэж бодъё. Зургийг нарийвчлан судалсны дараа А-аас В хүртэлх зай нь тэгээс 5 нэгж байх нь тодорхой болно, өөрөөр хэлбэл. гарал үүсэл, В цэг нь эхээс 6 нэгж зайд байрладаг. Модулийн цэгүүд A = 5, B цэгүүд = 6 гэж дүгнэж болно. Графикаар үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно: | 5 | = 5. Өөрөөр хэлбэл, цэгээс эх цэг хүртэлх зай нь тухайн цэгийн модуль юм.

Ашигтай видео: бодит тооны модуль гэж юу вэ?

Үл хөдлөх хөрөнгө

Аливаа математикийн үзэл баримтлалын нэгэн адил модуль нь өөрийн гэсэн математик шинж чанартай байдаг.

1. Энэ нь үргэлж эерэг байдаг тул эерэг утгын модуль нь өөрөө байх болно, жишээлбэл, 6 ба -6 тооны модуль нь 6. Математикийн хувьд энэ шинж чанарыг |a| гэж бичиж болно. = a, a> 0-ийн хувьд;
2. Эсрэг тоонуудын үзүүлэлтүүд хоорондоо тэнцүү байна. Энэ шинж чанар нь геометрийн хувьд илүү тодорхой байдаг, учир нь шулуун шугам дээр эдгээр тоонууд өөр өөр газар байрладаг боловч нэгэн зэрэг гарал үүслээс тэнцүү тооны нэгжээр тусгаарлагдсан байдаг. Математикийн хувьд ингэж бичсэн байна: |a| = |-a|;
3. Бодит тоо нь тэг байх тохиолдолд тэгийн модуль тэг байна. Энэ шинж чанарыг тэг нь гарал үүслээр баталгаажуулдаг. Графикаар үүнийг дараах байдлаар бичсэн байна: |0| = 0;
4. Хэрэв та үржүүлэгч хоёр цифрийн модулийг олох шаардлагатай бол энэ нь үр дүнтэй тэнцүү байх болно гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, эерэг эсвэл сөрөг байх тохиолдолд А ба В хэмжигдэхүүнүүдийн үржвэр = AB, дараа нь үржвэр нь -АВ-тай тэнцүү байна. Графикаар үүнийг |A*B| гэж бичиж болно = |A| * |B|.

Модуль бүхий тэгшитгэлийн амжилттай шийдэл нь эдгээр шинж чанаруудын талаархи мэдлэгээс хамаардаг бөгөөд энэ нь хэн бүхэнд зөв тооцоолж, энэ үзүүлэлттэй ажиллахад тусална.

Модулийн шинж чанарууд

Чухал! Экспонент сөрөг байж болохгүй, учир нь энэ нь зайг тодорхойлдог бөгөөд энэ нь үргэлж эерэг байдаг.

Тэгшитгэлд

Модуль байгаа математикийн тэгш бус байдлыг ажиллуулах, шийдвэрлэх тохиолдолд эцсийн зөв үр дүнд хүрэхийн тулд хаалт нээх хэрэгтэй гэдгийг үргэлж санаж байх ёстой, жишээлбэл. нээлттэй модулийн тэмдэг. Ихэнхдээ энэ нь тэгшитгэлийн цэг юм.

Үүнийг санах нь зүйтэй:

• Хэрэв илэрхийлэл дөрвөлжин хаалтанд бичигдсэн бол түүнийг шийдвэрлэх ёстой: |A + 5| = A + 5, хэрэв A нь тэгээс их буюу тэнцүү бол 5-A, хэрэв A нь тэгээс бага бол;
• Дөрвөлжин хаалт нь хувьсагчийн утгаас үл хамааран, жишээлбэл, хаалт нь дөрвөлжин илэрхийлэл хавсаргасан тохиолдолд ихэвчлэн өргөжүүлэх ёстой, учир нь өргөтгөл нь ямар ч тохиолдолд эерэг тоог гаргах болно.

Координатын системд утгыг оруулах замаар модультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь маш хялбар бөгөөд үүнээс хойш утгууд болон тэдгээрийн үзүүлэлтүүдийг нүдээр харахад хялбар байдаг.

Ашигтай видео: бодит тооны модуль ба түүний шинж чанарууд

Дүгнэлт

Математикийн ийм ойлголтыг модуль гэж ойлгох зарчим нь маш чухал бөгөөд энэ нь дээд математик болон бусад шинжлэх ухаанд хэрэглэгддэг тул та түүнтэй ажиллах чадвартай байх хэрэгтэй.

-тай холбоотой

Модульэсвэл үнэмлэхүй үнэ цэнэбодит тоог хэрэв тоо гэж нэрлэдэг Xсөрөг бус, эсрэг тоо, i.e. -х бол Xсөрөг:

Мэдээжийн хэрэг, гэхдээ тодорхойлолтоор |x| > 0. Үнэмлэхүй утгын дараах шинж чанаруудыг мэддэг.

• 1) xy| = |dg| |г/1;
• 2>- -H;

Уцагт

• 3) |x+r/|
• 4) |dt-g/|

Хоёр тооны зөрүүний модуль X - А| цэг хоорондын зай юм XТэгээд Атоон мөрөнд (ямар ч XТэгээд A).

Үүнээс, ялангуяа тэгш бус байдлын шийдлүүд гарч ирдэг X - А 0) бүх цэгүүд Xинтервал (А- g, a + в), өөрөөр хэлбэл. тэгш бус байдлыг хангах тоо а-д + Г.

Энэ интервал (А- 8, А+ г) цэгийн 8 хөрш гэж нэрлэдэг А.

Функцийн үндсэн шинж чанарууд

Өмнө дурьдсанчлан, математикийн бүх хэмжигдэхүүнийг тогтмол ба хувьсагчид хуваадаг. Тогтмол үнэ цэнэИжил утгыг хадгалсан хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг.

Хувьсах утгаөөр өөр тоон утгыг авч болох хэмжигдэхүүн юм.

Тодорхойлолт 10.8. Хувьсах утга цагтдуудсан функцхувьсах утгаас х, хэрэв ямар нэг дүрмийн дагуу утга бүр нь x e Xтодорхой утгыг өгсөн цагт e U; бие даасан хувьсагч х нь ихэвчлэн аргумент гэж нэрлэгддэг ба домэйн Xтүүний өөрчлөлтийг функцийн тодорхойлолтын муж гэж нэрлэдэг.

Баримт гэж цагтИхэнхдээ бэлгэдлээр илэрхийлэгддэг otx функц байдаг: цагт= /(x).

Функцийг тодорхойлох хэд хэдэн арга байдаг. Гол нь аналитик, хүснэгт, график гэсэн гурван зүйл гэж тооцогддог.

Аналитикарга зам. Энэ арга нь аргумент (бие даасан хувьсагч) болон функцийн хоорондын хамаарлыг томъёо (эсвэл томьёо) хэлбэрээр тодорхойлохоос бүрдэнэ. Ихэвчлэн f(x) нь x агуулсан аналитик илэрхийлэл юм. Энэ тохиолдолд функцийг томъёогоор тодорхойлно гэж хэлнэ, жишээ нь: цагт= 2х + 1, цагт= tgx гэх мэт.

ХүснэгтФункцийг тодорхойлох арга нь функцийг х аргументын утгууд болон /(.r) функцийн харгалзах утгуудыг агуулсан хүснэгтээр зааж өгөх явдал юм. Тухайлбал, тодорхой хугацааны гэмт хэргийн тоо, туршилтын хэмжилтийн хүснэгт, логарифмын хүснэгт зэрэг орно.

Графикарга зам. Хавтгай дээр декартын тэгш өнцөгт координатын системийг өгье xOy.Функцийн геометрийн тайлбар нь дараахь зүйл дээр суурилдаг.

Тодорхойлолт 10.9. Хуваарьфункцийг хавтгайн цэгүүдийн геометрийн байрлал гэж нэрлэдэг, координат (x, у)нөхцөлийг хангаж байгаа нь: У-Аа).

Функцийн графикийг зурсан бол графикаар өгөгдсөн гэж нэрлэдэг. График аргыг бичлэгийн хэрэгсэл ашиглан туршилтын хэмжилт хийхэд өргөн ашигладаг.

Таны нүдний өмнө функцийн харааны график байгаа тул түүний олон шинж чанарыг төсөөлөхөд хэцүү биш бөгөөд энэ нь графикийг функцийг судлахад зайлшгүй шаардлагатай хэрэгсэл болгодог. Тиймээс график зурах нь функцийг судлах хамгийн чухал (ихэвчлэн эцсийн) хэсэг юм.

Арга бүр өөрийн давуу болон сул талуудтай. Тиймээс график аргын давуу тал нь түүний тодорхой байдал, сул тал нь алдаатай, хязгаарлагдмал танилцуулгыг агуулдаг.

Одоо функцүүдийн үндсэн шинж чанаруудыг авч үзье.

Тэгш ба сондгой.Чиг үүрэг у = f(x)дуудсан бүр,хэн нэгний төлөө бол Xнөхцөл хангагдсан f(-x) = f(x).Хэрэв төлөө XТодорхойлолтын мужаас /(-x) = -/(x) нөхцөл хангагдсан бол функцийг дуудна. хачин.Тэгш, сондгой ч биш функцийг функц гэнэ ерөнхий дүр төрх.

• 1) y = x 2нь тэгш функц юм, учир нь f(-x) = (-x) 2 = x 2,өөрөөр хэлбэл/(-x) =/(.g);
• 2) у = x 3 - сондгой функц, учир нь (-x) 3 = -x 3, t.s. /(-x) = -/(x);
• 3) у = x 2 + x нь ерөнхий хэлбэрийн функц юм. Энд /(x) = x 2 + x, /(-x) = (-x) 2 +
• (-x) = x 2 - x,/(-x) */(x);/(-x) -/"/(-x).

Тэгш функцийн график нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна Өө,мөн сондгой функцийн график нь эхийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

Монотон. Чиг үүрэг цагт=/(x) гэж нэрлэдэг нэмэгдэххооронд X,хэрэв ямар нэгэн x, x 2 e X x 2 > x тэгш бус байдлаас /(x 2) > /(x,) дагана. Чиг үүрэг цагт=/(x) гэж нэрлэдэг буурч,хэрэв x 2 > x бол /(x 2) (x,) -ийг дагадаг.

Функцийг дууддаг нэг хэвийнхооронд X,хэрэв энэ нь бүхэл бүтэн интервалд нэмэгдэх юм уу эсвэл түүний дээр буурах юм бол.

Жишээлбэл, функц у = x 2 нь (-°°; 0) буурч, (0; +°°) нэмэгдэнэ.

Бид хатуу утгаараа монотон функцийн тодорхойлолтыг өгсөн гэдгийг анхаарна уу. Ерөнхийдөө монотон функцууд нь буурахгүй функцуудыг агуулдаг, i.e. Иймд x 2 > x-ээс энэ нь/(x 2) >/(x,) болон өсөхгүй функцуудыг дагадаг, өөрөөр хэлбэл. Иймд x 2 > x-ээс дараах/(x 2) болно.

Хязгаарлалт. Чиг үүрэг цагт=/(x) гэж нэрлэдэг хязгаарлагдмалхооронд X,ийм тоо байгаа бол М > 0, энэ нь |/(x)| Ямар ч x e хувьд M X.

Жишээлбэл, функц цагт =-

бүхэл тооны шулуун дээр хязгаарлагддаг тул

Үе үе. Чиг үүрэг цагт = f(x)дуудсан үе үе, хэрэв ийм тоо байгаа бол Т^ Өө юу f(x + T = f(x)бүгдэд нь Xфункцийн домэйноос.

Энэ тохиолдолд Тфункцийн үе гэж нэрлэдэг. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв Т -функцийн хугацаа у = f(x),тэгвэл энэ функцийн үеүүд мөн 2Г, 3 байна Тгэх мэт. Тиймээс функцийн үеийг ихэвчлэн хамгийн бага эерэг үе гэж нэрлэдэг (хэрэв байгаа бол). Жишээлбэл, / = cos.g функц нь цэгтэй T= 2П,болон функц у =тг Zx -хугацаа p/3.