Арифметик прогрессийг хэрхэн шийдэх вэ 9. Арифметик прогресс. III. Шинэ материал сурах

Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google бүртгэл үүсгээд түүн рүү нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com

Слайдын тайлбар:

Урьдчилан үзэх:

Сэдэв

Арифметик прогресс

ЗОРИЛТ:

• арифметик прогрессийг түүний тодорхойлолт, тэмдгийг ашиглан танихыг заах;
• Прогрессийн ерөнхий нэр томъёоны тодорхойлолт, тэмдэг, томъёог ашиглан асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэхийг заах.

ХИЧЭЭЛИЙН ЗОРИЛГО:

арифметик прогрессийн тодорхойлолтыг өгөх, арифметик прогрессийн тэмдгийг нотлох, тэдгээрийг бодлого шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглахыг заах.

СУРГАХ АРГА ЗҮЙ:

оюутнуудын мэдлэгийг шинэчлэх, бие даасан ажил, бие даасан ажил, асуудлын нөхцөл байдлыг бий болгох.

ОРЧИН ҮЕИЙН ТЕХНОЛОГИ:

МХХТ, асуудалд суурилсан сургалт, ялгасан сургалт, эрүүл мэндийг хэмнэх технологи.

ХИЧЭЭЛИЙН ТӨЛӨВЛӨГӨӨ

	Хичээлийн үе шатууд.	Хэрэгжүүлэх хугацаа.
	Зохион байгуулах цаг.	2 минут
	Хамтарсан зүйлийг давтах	5 минут
	Шинэ материал сурах	15 минут
	Биеийн тамирын минут	3 минут
	Сэдвийн дагуу даалгавруудыг гүйцэтгэх	15 минут
	Гэрийн даалгавар	2 минут
	Дүгнэж байна	3 минут

ХИЧЭЭЛИЙН ҮЕД:

1. Сүүлийн хичээл дээр бид "Дараалал" гэсэн ойлголттой танилцсан.

Өнөөдөр бид тоон дарааллыг үргэлжлүүлэн судалж, тэдгээрийн заримыг тодорхойлж, шинж чанар, шинж чанаруудтай нь танилцах болно.

1. Асуултанд хариулна уу: Дараалал гэж юу вэ?

Ямар дараалал байдаг вэ?

Та ямар аргаар дарааллыг тохируулах боломжтой вэ?

Тооны дараалал гэж юу вэ?

Тооны дарааллыг тодорхойлох ямар аргуудыг та мэдэх вэ? Ямар томъёог давтагдах гэж нэрлэдэг вэ?

1. Өгөгдсөн тоон дараалал:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Дараалал бүрийн загварыг олж, тус бүрийн дараагийн гурван гишүүнийг нэрлэнэ үү.

1. a n = a n -1 +1
2. a n = a n -1 + 3
3. a n = a n -1 + (-2)
4. a n = a n -1 + 0.5

Дараалал бүрийн давталтын томъёог өг.

Слайд 1

Хоёр дахь гишүүнээс эхлэн гишүүн бүр нь ижил тоонд нэмэгдсэн өмнөх гишүүнтэй тэнцүү тоон дарааллыг арифметик прогресс гэж нэрлэдэг.

d тоог арифметик прогрессийн ялгавар гэнэ.

Арифметик прогресс нь тоон дараалал тул өсөх, буурах, тогтмол байж болно. Ийм дэс дарааллын жишээг өгч, прогресс бүрийн ялгааг нэрлэж, дүгнэлт гарга.

Арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томъёог гаргая.

Самбар дээр: a 1 Прогрессийн эхний гишүүн, d нь түүний ялгаа, тэгвэл

a 2 =a 1 +d

a 3 =(a 1 +d)+d=a 1 +2d

a 4 =(a 1 +2d)+d=a 1 +3d

a 5 =(a 1 +3d)+d=a 1 +4d

a n =a 1 +d (n-1) - арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёо.

Асуудлыг шийд: Арифметик прогрессийн эхний гишүүн 5, зөрүү нь 4 байна.

Энэ прогрессийн 22 дахь гишүүнийг ол.

Оюутан самбар дээр шийдвэр гаргана: a n =a 1 +d(n-1)

A 22 =a 1 +21d=5+21*4=89

Биеийн тамирын минут.

Бид бослоо.

Туузан дээр гараа. Зүүн, баруун тийш хазайх (2 удаа);

Урагшаа, хойшоо нугалах (2 удаа);

Гараа дээш өргөж, гүнзгий амьсгаа аваад, гараа доошлуулж, амьсгалаа гарга. (2 удаа)

Тэд гараа сэгсэрлээ. Баярлалаа.

Бид суулаа. Хичээлээ үргэлжлүүлье.

Бид арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томъёог ашиглан асуудлыг шийддэг.

Оюутнуудад дараахь ажлуудыг санал болгож байна.

1. Арифметик прогрессийн эхний гишүүн нь -2, d=3, a n =118.

n-ийг олох.

1. Арифметик прогрессийн эхний гишүүн нь 7, арван тав дахь гишүүн нь -35 байна. Ялгааг нь ол.
2. Арифметик прогрессод d=-2, a39=83 гэдгийг мэддэг. Прогрессийн эхний гишүүнийг ол.

Оюутнууд бүлэгт хуваагдана. Даалгаврыг 5 минутын турш өгдөг. Дараа нь бодлого шийдвэрлэсэн эхний 3 сурагч самбар дээр шийднэ. Шийдэл нь слайд дээр давхардсан байна.

Арифметик прогрессийн шинж чанарыг авч үзье.

Арифметик прогрессоор

a n -d=a (n-1)

a n +d=a (n+1)

Энэ хоёр тэгшитгэлийг гишүүнээр нэмбэл: 2a n =a (n+1) +a (n-1)

A n =(a (n+1) +a (n-1 ))/2

Энэ нь арифметик прогрессийн эхний ба сүүлчийн гишүүнээс бусад гишүүн бүр өмнөх болон дараагийн гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна гэсэн үг юм.

ТЕОРЕМ:

Тоон дараалал нь эхний (мөн төгсгөлтэй дарааллын хувьд сүүлчийнх)-ээс бусад гишүүн тус бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байх тохиолдолд л арифметик прогресс гэнэ. арифметик прогресс).

Математик, физикийн олон сэдвийг ойлгох нь тооны цувааны шинж чанарын талаархи мэдлэгтэй холбоотой байдаг. 9-р ангийн сурагчид "Алгебр" хичээлийг судлахдаа тооны чухал дарааллын нэг болох арифметик прогрессийг анхаарч үзээрэй. Бид арифметик прогрессийн үндсэн томъёог (9-р анги), мөн тэдгээрийг асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах жишээг толилуулж байна.

Алгебр эсвэл арифметик прогресс

Энэ нийтлэлд авч үзэх тооны цувралыг энэ догол мөрний гарчигт танилцуулсан хоёр өөр аргаар дууддаг. Тиймээс математикийн арифметик прогресс гэж бид зэргэлдээх хоёр тоо нь ижил хэмжээгээр ялгаатай тооны цувааг хэлдэг бөгөөд энэ нь ялгаа гэж нэрлэгддэг. Ийм цувралын тоонуудыг ихэвчлэн бага бүхэл индекстэй үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл, a1, a2, a3 гэх мэт, индекс нь цувралын элементийн дугаарыг заадаг.

Дээрх арифметик прогрессийн тодорхойлолтыг харгалзан үзвэл дараах тэгшитгэлийг бичиж болно: a2-a1 =...=an-an-1=d, энд d нь алгебр прогрессийн ялгавар, n нь дурын бүхэл тоо юм. Хэрэв d>0 бол цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байх болно гэж найдаж болох бөгөөд энэ тохиолдолд бид нэмэгдэж буй прогрессийн тухай ярьж байна. Хэрэв d

Арифметик прогрессийн томъёо (9-р сургуулийн)

Тухайн тоонуудын цуваа нь дараалалтай бөгөөд зарим математикийн хуулийг дагаж мөрддөг тул ашиглахад чухал ач холбогдолтой хоёр шинж чанартай байдаг.

Нэгдүгээрт, зөвхөн a1 ба d хоёр тоог мэдсэнээр та дарааллын аль ч гишүүнийг олох боломжтой. Үүнийг дараах томъёогоор гүйцэтгэнэ: an = a1+(n-1)*d.

Хоёрдугаарт, эхний n гишүүний нийлбэрийг тооцоолохын тулд тэдгээрийг дарааллаар нь нэмэх шаардлагагүй, учир нь та дараах томъёог ашиглаж болно: Sn = n*(an+a1)/2.

Эхний томъёог ойлгоход хялбар байдаг, учир нь энэ нь авч үзэж буй цувралын гишүүн бүр хөршөөсөө ижил ялгаагаар ялгаатай байдгийн шууд үр дагавар юм.

a1+an нийлбэр нь a2+an-1, a3+an-2 гэх мэт нийлбэрүүдтэй тэнцүү болж байгааг тэмдэглэснээр арифметик прогрессийн хоёр дахь томьёог гаргаж болно. Үнэн хэрэгтээ, a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1, an-1 = -d+an байх тул эдгээр илэрхийллийг харгалзах нийлбэр болгон орлуулахад бид олж мэднэ. тэд адилхан байх болно. 2-р томьёоны n/2 хүчин зүйл (Sn-ийн хувьд) ai+1+an-i төрлийн нийлбэрүүд яг n/2 болж хувирсан тул гарч ирэх бөгөөд энд i нь 0-ээс n/2 хүртэлх бүхэл тоо юм. - 1.

Амьд үлдсэн түүхэн баримтаас үзэхэд Sn нийлбэрийн томьёог анх Карл Гаусс (Германы алдарт математикч) сургуулийн багш нь эхний 100 тоог нэмэх даалгавар өгөх үед олж авсан байдаг.

Жишээ бодлого №1: ялгааг ол

Асуултыг дараах байдлаар тавьж буй асуудлууд нь: арифметик прогрессийн томъёог мэдэх, d (d) хэрхэн олох вэ гэдэг нь зөвхөн энэ сэдвээр байж болох хамгийн энгийн асуудал юм.

Жишээ хэлье: -5,-2, 1, 4, ... тоон дарааллаар өгөгдсөн бол түүний ялгааг тодорхойлох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл d.

Үүнийг аль болох амархан хийж болно: та хоёр элементийг авч, томоос жижиг хэсгийг хасах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд бид: d = -2 - (-5) = 3 байна.

Хүлээн авсан хариултдаа итгэлтэй байхын тулд үлдсэн ялгааг шалгахыг зөвлөж байна, учир нь танилцуулсан дараалал нь алгебрийн прогрессийн нөхцлийг хангахгүй байж магадгүй юм. Бидэнд: 1-(-2)=3 ба 4-1=3 байна. Эдгээр өгөгдлүүд нь бид зөв үр дүнг (d=3) олж авсныг харуулж, бодлогын өгүүлбэр дэх тоонуудын цуваа үнэхээр алгебрийн прогрессийг илэрхийлж байгааг нотолсон.

Жишээ бодлого No2: Прогрессийн хоёр гишүүнийг мэдэж, ялгааг ол

Ялгааг хэрхэн олох талаар асуудаг өөр нэг сонирхолтой асуудлыг авч үзье. Энэ тохиолдолд n-р гишүүний хувьд арифметик прогрессийн томъёог ашиглах ёстой. Тиймээс даалгавар: алгебрийн прогрессийн бүх шинж чанарт нийцэх цувралын эхний ба тав дахь тоог өгөгдсөн, жишээлбэл, эдгээр нь a1 = 8 ба a5 = -10 тоонууд юм. d ялгааг хэрхэн олох вэ?

Та n-р элементийн ерөнхий томьёог бичээд энэ асуудлыг шийдэж эхлэх хэрэгтэй: an = a1+d*(-1+n). Одоо та хоёр аргаар явж болно: нэн даруй тоонуудыг орлуулж, тэдэнтэй ажиллах, эсвэл d-г илэрхийлээд дараа нь тодорхой a1 ба a5 руу шилжинэ. Сүүлийн аргыг ашигласнаар бид: a5 = a1+d*(-1+5) эсвэл a5 = 4*d+a1 гэсэн үг бөгөөд энэ нь d = (a5-a1)/4 гэсэн үг юм. Одоо та нөхцөл байдлаас мэдэгдэж буй өгөгдлийг аюулгүйгээр орлуулж, эцсийн хариултыг авах боломжтой: d = (-10-8)/4 = -4.5.

Энэ тохиолдолд дэвшлийн зөрүү сөрөг болж, өөрөөр хэлбэл тоонуудын дараалал буурч байгааг анхаарна уу. "+" ба "-" тэмдгийг төөрөгдүүлэхгүйн тулд асуудлыг шийдвэрлэхдээ энэ баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Дээр өгөгдсөн бүх томьёо нь бүх нийтийнх тул үйл ажиллагаа явуулж буй тоонуудын тэмдэгээс үл хамааран тэдгээрийг үргэлж дагаж мөрдөх ёстой.

3-р асуудлыг шийдэх жишээ: ялгаа, элементийг мэдэж a1-ийг ол

Асуудлын мэдэгдлийг бага зэрэг өөрчилье. Хоёр тоо байг: ялгаа d=6 ба прогрессийн 9-р элемент a9 = 10. a1-ийг хэрхэн олох вэ? Арифметик прогрессийн томъёо өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгаа тул тэдгээрийг ашиглацгаая. a9 тооны хувьд дараах илэрхийлэл байна: a1+d*(9-1) = a9. Цувралын эхний элементийг хаанаас амархан олж авдаг: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.

4-р асуудлыг шийдэх жишээ: хоёр элементийг мэдэж, a1-ийг ол

Асуудлын энэ хувилбар нь өмнөх хувилбарын төвөгтэй хувилбар юм. Мөн чанар нь адилхан, энэ нь a1-ийг тооцоолох шаардлагатай боловч одоо d ялгаа нь мэдэгдэхгүй байгаа бөгөөд оронд нь прогрессийн өөр элементийг өгсөн болно.

Энэ төрлийн бодлогын жишээ нь: арифметик прогресс гэж мэдэгдэж байгаа дарааллын эхний дугаарыг ол, түүний 15 ба 23 дахь элементүүд нь 7 ба 12 байна.

Нөхцөлөөс мэдэгдэж буй элемент бүрийн хувьд n-р гишүүний илэрхийлэл бичих замаар энэ асуудлыг шийдэх шаардлагатай бөгөөд бидэнд: a15 = d*(15-1)+a1 ба a23 = d*(23-1)+a1 байна. Таны харж байгаагаар бидэнд a1 ба d-ийн хувьд шийдэх шаардлагатай хоёр шугаман тэгшитгэл байна. Үүнийг хийцгээе: хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасаад дараа нь дараах илэрхийллийг авна: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. Сүүлийн тэгшитгэлийг гаргахдаа a1-ийн утгыг хассан тул тэдгээрийг хассан. Мэдэгдэж буй өгөгдлийг орлуулснаар бид ялгааг олно: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0.625.

Мэдэгдэж буй элементийн дарааллын эхний гишүүнийг авахын тулд d-ийн утгыг дурын томьёонд орлуулах ёстой: a15 = 14*d+a1, үүнээс: a1=a15-14*d = 7-14*0.625 = -1.75 .

Хүлээн авсан үр дүнг шалгая, үүнийг хийхийн тулд бид a1-ийг хоёр дахь илэрхийлэлээр олно: a23 = d*22+a1 эсвэл a1 = a23-d*22 = 12 - 0.625*22 = -1.75.

5-р асуудлыг шийдэх жишээ: n элементийн нийлбэрийг ол

Таны харж байгаагаар, энэ хүртэл зөвхөн нэг арифметик прогрессийн томъёог (9-р анги) шийдлийг ашигласан. Одоо бид хоёр дахь томьёо, өөрөөр хэлбэл Sn нийлбэрийн талаархи мэдлэгийг шаарддаг асуудлыг танилцуулж байна.

Дараах эрэмблэгдсэн тоонуудын цуваа -1,1, -2,1, -3,1,..., та түүний эхний 11 элементийн нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй.

Энэ цувралаас харахад буурч байгаа нь тодорхой бөгөөд a1 = -1.1. Үүний ялгаа нь тэнцүү байна: d = -2.1 - (-1.1) = -1. Одоо 11-р гишүүнийг тодорхойлъё: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Бэлтгэл тооцоог хийж дууссаны дараа та дээр дурдсан томъёог ашиглаж болно, бидэнд байна: S11 =11*(-1.1 +(-11.1))/2 = -67.1. Бүх гишүүд сөрөг тоо байсан тул тэдгээрийн нийлбэр нь мөн харгалзах тэмдэгтэй байна.

6-р асуудлыг шийдэх жишээ: n-ээс m хүртэлх элементүүдийн нийлбэрийг ол

Магадгүй энэ төрлийн асуудал нь ихэнх сургуулийн хүүхдүүдэд хамгийн хэцүү байдаг. Ердийн жишээг өгье: 2, 4, 6, 8... тоонуудын цуваа өгөгдсөн бол та 7-оос 13-р гишүүний нийлбэрийг олох хэрэгтэй.

Арифметик прогрессийн томъёог (9-р анги) өмнөх бүх бодлоготой яг адилхан ашигладаг. Энэ асуудлыг алхам алхмаар шийдвэрлэхийг зөвлөж байна:

Эхлээд стандарт томьёо ашиглан 13 гишүүний нийлбэрийг ол.

Дараа нь эхний 6 элементийн энэ нийлбэрийг тооцоол.

Үүний дараа 1-р дүнгээс 2-ыг хасна.

Шийдэл рүүгээ орцгооё. Өмнөх тохиолдлын адилаар бид бэлтгэл тооцооллыг хийх болно: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.

Хоёр нийлбэрийг тооцоолъё: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. Зөрүүг аваад хүссэн хариултаа аваарай: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. Энэ утгыг авахдаа 7-р гишүүн S7-13 нийлбэрт орсон тул энэ нь прогрессийн 6 элементийн нийлбэрийг хасалт болгон ашигласан болохыг анхаарна уу.

Математик нь уран зураг, яруу найргийн нэгэн адил өөрийн гэсэн гоо сайхантай.

Оросын эрдэмтэн, механикч Н.Е. Жуковский

Математикийн элсэлтийн шалгалтын маш нийтлэг асуудал бол арифметик прогрессийн тухай ойлголттой холбоотой асуудлууд юм. Ийм асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд та арифметик прогрессийн шинж чанаруудын талаар сайн мэдлэгтэй байх ёстой бөгөөд тэдгээрийг хэрэглэх тодорхой ур чадвартай байх ёстой.

Эхлээд арифметик прогрессийн үндсэн шинж чанаруудыг эргэн санаж, хамгийн чухал томьёог танилцуулъя, энэ үзэл баримтлалтай холбоотой.

Тодорхойлолт. Тооны дараалал, дараагийн нэр томъёо бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байна, арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд тооявцын зөрүү гэж нэрлэдэг.

Арифметик прогрессийн хувьд дараах томъёонууд хүчинтэй байна.

, (1)

Хаана. Томъёо (1)-ийг арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо гэж нэрлэдэг бөгөөд (2) томъёо нь арифметик прогрессийн үндсэн шинж чанарыг илэрхийлдэг: прогрессийн гишүүн бүр нь түүний хөрш гишүүдийн арифметик дундажтай давхцдаг ба .

Чухам энэ шинж чанараараа авч үзэж буй прогрессийг "арифметик" гэж нэрлэдэг болохыг анхаарна уу.

Дээрх (1) ба (2) томъёог дараах байдлаар ерөнхийлсөн болно.

(3)

Хэмжээг тооцоолохын тулдэхлээд арифметик прогрессийн нөхцлүүдтомъёог ихэвчлэн ашигладаг

(5) хаана ба .

Хэрэв бид томъёог харгалзан үзвэл (1), дараа нь (5) томъёоноос энэ нь дараах болно

Хэрэв бид тэмдэглэвэл, тэгвэл

Хаана. Учир нь (7) ба (8) томъёо нь харгалзах (5) ба (6) томъёоны ерөнхий дүгнэлт юм.

Тухайлбал , томъёо (5)-аас дараах болно, Юу

Дараах теоремоор томъёолсон арифметик прогрессийн шинж чанарыг ихэнх оюутнууд бараг мэддэггүй.

Теорем.Хэрэв бол

Баталгаа.Хэрэв бол

Теорем нь батлагдсан.

Жишээлбэл , теоремыг ашиглан, гэдгийг харуулж болно

"Арифметик прогресс" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх ердийн жишээг авч үзье.

Жишээ 1.Байгаа. олох.

Шийдэл.(6) томъёог хэрэглэснээр бид . Түүнээс хойш ба , дараа нь эсвэл .

Жишээ 2.Гурав дахин их байх ба хуваахад үр дүн нь 2, үлдэгдэл нь 8. ба -ийг тодорхойлно.

Шийдэл.Жишээнүүдийн нөхцлөөс харахад тэгшитгэлийн систем дараах байдалтай байна

, , ба , тэгвэл (10) тэгшитгэлийн системээс олж авна

Энэ тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь ба .

Жишээ 3.Хэрэв болон -г ол.

Шийдэл.(5) томъёоны дагуу бид эсвэл . Гэсэн хэдий ч (9) өмчийг ашигласнаар бид .

Үүнээс хойш ба , дараа нь тэгшитгэлээс тэгшитгэл дараах байдалтай байнаэсвэл .

Жишээ 4.Хэрвээ олоорой.

Шийдэл.(5) томъёоны дагуу бид байна

Гэсэн хэдий ч теоремыг ашиглан бид бичиж болно

Эндээс болон (11) томъёоноос бид .

Жишээ 5. Өгөгдсөн: . олох.

Шийдэл.Түүнээс хойш. Гэсэн хэдий ч, тиймээс.

Жишээ 6. Let , and . олох.

Шийдэл.Томъёо (9) ашиглан бид . Иймд хэрэв , тэгвэл эсвэл .

Түүнээс хойш ба тэгвэл энд тэгшитгэлийн систем байна

Аль нь болохыг шийдэхэд бид ба .

Тэгшитгэлийн байгалийн язгуурнь .

Жишээ 7.Хэрэв болон -г ол.

Шийдэл.Томъёо (3)-ын дагуу бид ийм байгаа тул асуудлын нөхцлөөс тэгшитгэлийн систем гарч ирнэ

Хэрэв бид илэрхийллийг орлуулах юм болсистемийн хоёр дахь тэгшитгэлд оруулна, дараа нь бид эсвэл авна.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс ньМөн .

Хоёр тохиолдлыг авч үзье.

1. За тэгвэл . Түүнээс хойш ба , дараа нь .

Энэ тохиолдолд (6) томъёоны дагуу бид байна

2. Хэрэв , тэгвэл , ба

Хариулт: ба.

Жишээ 8.Энэ нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд. олох.

Шийдэл.Томъёо (5) болон жишээний нөхцөлийг харгалзан бид бичнэ.

Энэ нь тэгшитгэлийн системийг хэлнэ

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлж, дараа нь хоёр дахь тэгшитгэлд нэмбэл бид дараахь зүйлийг авна.

(9) томъёоны дагуу бид байна. Үүнтэй холбогдуулан (12)эсвэл .

Түүнээс хойш ба , дараа нь .

Хариулт: .

Жишээ 9.Хэрэв болон -г ол.

Шийдэл.Түүнээс хойш , ба нөхцөлөөр , тэгвэл эсвэл .

Томъёогоор (5) мэдэгдэж байна, Юу . Түүнээс хойш.

Тиймээс, энд шугаман тэгшитгэлийн систем байна

Эндээс бид ба . Томьёог (8) харгалзан бид бичнэ.

Жишээ 10.Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Өгөгдсөн тэгшитгэлээс үзэхэд . , , болон гэж үзье. Энэ тохиолдолд .

Томъёоны дагуу (1) бид бичиж болно.

-ээс хойш тэгшитгэл (13) нь цорын ганц тохиромжтой язгууртай байна.

Жишээ 11.гэсэн тохиолдолд хамгийн их утгыг ол.

Шийдэл.-ээс хойш авч үзэж буй арифметик прогресс буурч байна. Үүнтэй холбогдуулан илэрхийлэл нь прогрессийн хамгийн бага эерэг гишүүний тоо байх үед хамгийн их утгыг авдаг.

Томъёо (1) ба баримтыг ашиглацгаая, тэр болон . Дараа нь бид үүнийг эсвэл .

Түүнээс хойш, дараа нь эсвэл . Гэсэн хэдий ч энэ тэгш бус байдалдхамгийн том натурал тоо, Тийм учраас .

Хэрэв -ийн утгыг (6) томъёонд орлуулсан бол бид .

Хариулт: .

Жишээ 12.Бүх хоёр оронтой натурал тоонуудын нийлбэрийг 6-д хуваахад 5-ын үлдэгдлийг тодорхойл.

Шийдэл.Бүх хоёр оронтой натурал тооны олонлогоор тэмдэглэе, өөрөөр хэлбэл. . Дараа нь бид олонлогийн элементүүдээс (тоо) бүрдэх дэд олонлогийг байгуулах бөгөөд үүнийг 6-д хуваахад 5-ын үлдэгдэл гарах болно.

Суулгахад хялбар, Юу . Мэдээжийн хэрэг, олонлогийн элементүүдарифметик прогресс үүсгэнэ, аль нь болон .

Олонлогийн үндсэн байдлыг (элементүүдийн тоо) тогтоохын тулд бид . ба учраас (1) буюу томъёоноос үүснэ. Томъёо (5)-ыг харгалзан бид .

Асуудлыг шийдвэрлэх дээрх жишээнүүд нь бүрэн гүйцэд гэж хэлж болохгүй. Энэ нийтлэлийг тухайн сэдвээр ердийн асуудлыг шийдвэрлэх орчин үеийн аргуудын дүн шинжилгээнд үндэслэн бичсэн болно. Арифметик прогресстой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг илүү гүнзгий судлахын тулд санал болгож буй уран зохиолын жагсаалтад хандахыг зөвлөж байна.

1. Коллежид элсэгчдэд зориулсан математикийн асуудлын цуглуулга / Ed. М.И. Сканави. – М.: Энх тайван ба боловсрол, 2013. – 608 х.

2. Супрун В.П. Ахлах ангийн сурагчдад зориулсан математик: сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийн нэмэлт хэсгүүд. – М .: Ленанд / URSS, 2014. – 216 х.

3. Медынский М.М. Бодлого, дасгалын анхан шатны математикийн бүрэн курс. 2-р дэвтэр: Тооны дараалал ба дэвшил. - М .: Эдитус, 2015. – 208 х.

Асуулт хэвээр байна уу?

Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн гишүүн бүр нь өгөгдсөн дарааллын ижил тоонд нэмэгдсэн өмнөхтэй тэнцүү тоон дарааллыг арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Өмнөх дугаар дээр нэмэх бүртээ залгадаг арифметик прогрессийн ялгаамөн үсгээр тодорхойлогддог г.

Тиймээс тооны дараалал нь 1; a 2; a 3; a 4; a 5; ... ба a 2 = a 1 + d бол n нь арифметик прогресс болно;

a 3 = a 2 + d;

Нийтлэг гишүүнтэй арифметик прогресс өгөгдсөн гэж тэд хэлдэг болон n. Бичих: арифметик прогресс өгөгдсөн (н).

Хэрэв эхний гишүүн нь мэдэгдэж байвал арифметик прогрессийг тодорхойлсон гэж үзнэ a 1ба ялгаа г.

Арифметик прогрессийн жишээ

Жишээ 1. 1; 3; 5; 7; 9;...Энд a 1 = 1; г = 2.

Жишээ 2. 8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;... Энд a 1 = 8; г =-3.

Жишээ 3.-16; -12; -8; -4;... Энд a 1 = -16; г = 4.

Хоёр дахь үеэс эхлэн прогрессийн гишүүн бүр нь хөрш гишүүдийнхээ арифметик дундажтай тэнцүү болохыг анхаарна уу.

1 жишээндхоёр дахь хугацаа 3 =(1+5): 2 ; тэдгээр. a 2 = (a 1 + a 3) : 2; гурав дахь гишүүн 5 =(3+7): 2;

өөрөөр хэлбэл a 3 = (a 2 + a 4) : 2.

Тиймээс томъёо хүчинтэй байна:

Гэвч үнэн хэрэгтээ арифметик прогрессийн гишүүн бүр хоёр дахь хэсгээс эхлэн хөрш гишүүдийнхээ арифметик дундажтай тэнцүү байна. тэнцүү зайдтүүний гишүүдээс, өөрөөр хэлбэл.

Эргэцгээе жишээ 2. Тоо -1 нь арифметик прогрессийн дөрөв дэх гишүүн бөгөөд эхний болон долоо дахь гишүүнээс (мөн 1 = 8, 7 = -10) адил зайтай.

Томъёоны дагуу (**) бид:

Томьёог гаргаж авцгаая n-арифметик прогрессийн 3-р гишүүн.

Тиймээс эхнийх дээр зөрүүг нэмбэл арифметик прогрессийн хоёр дахь гишүүнийг авна г; Хэрэв бид хоёр дахь зөрүүг нэмбэл гурав дахь гишүүнийг авна гэсхүл эхний гишүүнд хоёр зөрүү нэмэх г; Хэрэв бид гурав дахь зөрүүг нэмбэл дөрөв дэх гишүүнийг авна гэсвэл эхнийх нь гурван ялгааг нэмнэ ггэх мэт.

Та үүнийг таасан: a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d;

a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d;

…………………….

a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.

Үр дүнгийн томъёо a n = а 1 + (n-1) г (***)

дуудсан томъёоnарифметик прогрессийн 3-р гишүүн.

Одоо арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг хэрхэн олох талаар ярилцъя. Энэ дүнгээр тэмдэглэе S n.

Нэр томъёоны байршлыг солих нь нийлбэрийн утгыг өөрчлөхгүй тул хоёр янзаар бичиж болно.

S n= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n ба

S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 + …...+ a 4 + a 3 + a 2 + a 1

Эдгээр хоёр тэгшитгэлийг гишүүнээр нэмье:

2S n= (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) + …

Хаалтанд байгаа утгууд нь хоорондоо тэнцүү байна, учир нь тэдгээр нь цувралын ижил зайтай нөхцлүүдийн нийлбэр бөгөөд бид дараахийг бичиж болно: 2S n = n · (a 1 + a n).

Бид томъёог авдаг эхний нийлбэрnарифметик прогрессийн нөхцлүүд.

Хэрэв бид (***) томъёог ашиглан n-ийг a 1 + (n-1) d утгаар орлуулах юм бол бид эхний нийлбэрийн өөр томьёог авна. nарифметик прогрессийн нөхцлүүд.

Математик, физикийн олон сэдвийг ойлгох нь тооны цувааны шинж чанарын талаархи мэдлэгтэй холбоотой байдаг. 9-р ангийн сурагчид "Алгебр" хичээлийг судлахдаа тооны чухал дарааллын нэг болох арифметик прогрессийг анхаарч үзээрэй. Бид арифметик прогрессийн үндсэн томъёог (9-р анги), мөн тэдгээрийг асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах жишээг толилуулж байна.

Алгебр эсвэл арифметик прогресс

Энэ нийтлэлд авч үзэх тооны цувралыг энэ догол мөрний гарчигт танилцуулсан хоёр өөр аргаар дууддаг. Тиймээс математикийн арифметик прогресс гэж бид зэргэлдээх хоёр тоо нь ижил хэмжээгээр ялгаатай тооны цувааг хэлдэг бөгөөд энэ нь ялгаа гэж нэрлэгддэг. Ийм цувралын тоонуудыг ихэвчлэн бага бүхэл индекстэй үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл, 1, 2, 3 гэх мэт, индекс нь цувралын элементийн дугаарыг заадаг.

Дээрх арифметик прогрессийн тодорхойлолтыг харгалзан үзвэл дараах тэгшитгэлийг бичиж болно: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d, энд d нь алгебрийн прогрессийн ялгаа, n нь дурын бүхэл тоо юм. . Хэрэв d>0 бол цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байх болно гэж найдаж болох бөгөөд энэ тохиолдолд бид нэмэгдэж буй прогрессийн тухай ярьж байна. Хэрэв d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Арифметик прогрессийн томъёо (9-р сургуулийн)

Тухайн тоонуудын цуваа нь дараалалтай бөгөөд зарим математикийн хуулийг дагаж мөрддөг тул ашиглахад чухал ач холбогдолтой хоёр шинж чанартай байдаг.

1. Нэгдүгээрт, зөвхөн 1 ба d гэсэн хоёр тоог мэдсэнээр та дарааллын аль ч гишүүнийг олох боломжтой. Үүнийг дараах томъёогоор гүйцэтгэнэ: a n = a 1 +(n-1)*d.
2. Хоёрдугаарт, эхний n гишүүний нийлбэрийг тооцоолохын тулд тэдгээрийг дарааллаар нь нэмэх шаардлагагүй, учир нь та дараах томъёог ашиглаж болно: S n = n*(a n +a 1)/2.

Эхний томъёог ойлгоход хялбар байдаг, учир нь энэ нь авч үзэж буй цувралын гишүүн бүр хөршөөсөө ижил ялгаагаар ялгаатай байдгийн шууд үр дагавар юм.

a 1 +a n нийлбэр нь a 2 +a n-1, a 3 +a n-2 гэх мэт нийлбэрүүдтэй тэнцүү болж байгааг тэмдэглэснээр арифметик прогрессийн хоёр дахь томьёог гаргаж болно. Үнэн хэрэгтээ, a 2 = d+a 1, a n-2 = -2*d+a n, a 3 = 2*d+a 1, n-1 = -d+a n тул эдгээр илэрхийллийг дараах байдлаар орлуулна. харгалзах дүнгүүд нь ижил байх болно. a i+1 +a n-i төрлийн нийлбэрүүд яг n/2 болж хувирдаг тул 2-р томьёоны n/2 хүчин зүйл (S n-ийн хувьд) гарч ирдэг бөгөөд энд i нь 0-ээс n хүртэлх бүхэл тоо юм. /2 -1.

Амьд үлдсэн түүхэн баримтаас үзэхэд S n нийлбэрийн томъёог анх Карл Гаусс (Германы алдарт математикч) сургуулийн багш нь эхний 100 тоог нэмэх даалгавар өгөх үед олж авсан байдаг.

Жишээ бодлого №1: ялгааг ол

Асуултыг дараах байдлаар тавьж буй асуудлууд нь: арифметик прогрессийн томъёог мэдэх, d (d) хэрхэн олох вэ гэдэг нь зөвхөн энэ сэдвээр байж болох хамгийн энгийн асуудал юм.

Жишээ хэлье: -5,-2, 1, 4, ... тоон дарааллаар өгөгдсөн бол түүний ялгааг тодорхойлох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл d.

Үүнийг аль болох амархан хийж болно: та хоёр элементийг авч, томоос жижиг хэсгийг хасах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд бид: d = -2 - (-5) = 3 байна.

Хүлээн авсан хариултдаа итгэлтэй байхын тулд үлдсэн ялгааг шалгахыг зөвлөж байна, учир нь танилцуулсан дараалал нь алгебрийн прогрессийн нөхцлийг хангахгүй байж магадгүй юм. Бидэнд: 1-(-2)=3 ба 4-1=3 байна. Эдгээр өгөгдлүүд нь бид зөв үр дүнг (d=3) олж авсныг харуулж, бодлогын өгүүлбэр дэх тоонуудын цуваа үнэхээр алгебрийн прогрессийг илэрхийлж байгааг нотолсон.

Жишээ бодлого No2: Прогрессийн хоёр гишүүнийг мэдэж, ялгааг ол

Ялгааг хэрхэн олох талаар асуудаг өөр нэг сонирхолтой асуудлыг авч үзье. Энэ тохиолдолд n-р гишүүний хувьд арифметик прогрессийн томъёог ашиглах ёстой. Тиймээс даалгавар: алгебрийн прогрессийн бүх шинж чанаруудтай нийцэх цувралын эхний ба тав дахь тоог өгөгдсөн, жишээлбэл, эдгээр нь 1 = 8 ба 5 = -10 тоонууд юм. d ялгааг хэрхэн олох вэ?

Та n-р элементийн томъёоны ерөнхий хэлбэрийг бичих замаар энэ асуудлыг шийдэж эхлэх хэрэгтэй: a n = a 1 +d*(-1+n). Одоо та хоёр аргаар явж болно: нэн даруй тоонуудыг орлуулж, тэдэнтэй ажиллах эсвэл d-г илэрхийлээд дараа нь тодорхой 1 ба 5 руу шилжинэ. Сүүлийн аргыг ашигласнаар бид: a 5 = a 1 +d*(-1+5) эсвэл 5 = 4*d+a 1 гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь d = (a 5 -a 1)/4 гэсэн үг юм. Одоо та нөхцөл байдлаас мэдэгдэж буй өгөгдлийг аюулгүйгээр орлуулж, эцсийн хариултыг авах боломжтой: d = (-10-8)/4 = -4.5.

Энэ тохиолдолд дэвшлийн зөрүү сөрөг болж, өөрөөр хэлбэл тоонуудын дараалал буурч байгааг анхаарна уу. "+" ба "-" тэмдгийг төөрөгдүүлэхгүйн тулд асуудлыг шийдвэрлэхдээ энэ баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Дээр өгөгдсөн бүх томьёо нь бүх нийтийнх тул үйл ажиллагаа явуулж буй тоонуудын тэмдэгээс үл хамааран тэдгээрийг үргэлж дагаж мөрдөх ёстой.

3-р асуудлыг шийдэх жишээ: ялгаа, элементийг мэдэж a1-ийг ол

Асуудлын мэдэгдлийг бага зэрэг өөрчилье. Хоёр тоо байг: ялгаа d=6 ба прогрессийн 9-р элемент a 9 = 10. a1-ийг хэрхэн олох вэ? Арифметик прогрессийн томъёо өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгаа тул тэдгээрийг ашиглацгаая. a 9 тооны хувьд дараах илэрхийлэл байна: a 1 +d*(9-1) = a 9. Цувралын эхний элементийг хаанаас амархан олж авдаг: a 1 = a 9 -8*d = 10 - 8*6 = -38.

4-р асуудлыг шийдэх жишээ: хоёр элементийг мэдэж, a1-ийг ол

Асуудлын энэ хувилбар нь өмнөх хувилбарын төвөгтэй хувилбар юм. Мөн чанар нь адилхан, 1-ийг тооцоолох шаардлагатай боловч одоо d-ийн ялгаа мэдэгдэхгүй байгаа бөгөөд оронд нь прогрессийн өөр элементийг өгсөн болно.

Энэ төрлийн бодлогын жишээ нь: арифметик прогресс гэж мэдэгдэж байгаа дарааллын эхний дугаарыг ол, түүний 15 ба 23 дахь элементүүд нь 7 ба 12 байна.

Нөхцөлөөс мэдэгдэж буй элемент бүрийн хувьд n-р гишүүний илэрхийлэл бичих замаар энэ асуудлыг шийдэх шаардлагатай бөгөөд бидэнд: a 15 = d*(15-1)+a 1 ба 23 = d*(23-1) байна. +a 1. Таны харж байгаагаар бид 1 ба d-ийн хувьд шийдэх шаардлагатай хоёр шугаман тэгшитгэлтэй байна. Үүнийг хийцгээе: хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасаад дараа нь дараах илэрхийллийг авна: a 23 -a 15 = 22*d - 14*d = 8*d. Сүүлчийн тэгшитгэлийг гаргахдаа 1-ийн утгыг хассан тул хассан үед хүчингүй болсон. Мэдэгдэж буй өгөгдлийг орлуулснаар бид ялгааг олно: d = (a 23 -a 15)/8 = (12-7)/8 = 0.625.

Мэдэгдэж буй элементийн дарааллын эхний гишүүнийг авахын тулд d-ийн утгыг дурын томьёонд орлуулах ёстой: a 15 = 14*d+a 1, үүнээс: a 1 =a 15 -14*d = 7-14* 0.625 = -1.75.

Хүлээн авсан үр дүнг шалгая, үүнийг хийхийн тулд бид хоёр дахь илэрхийллээр 1-ийг олно: a 23 = d*22+a 1 эсвэл 1 = a 23 -d*22 = 12 - 0.625*22 = -1.75.

5-р асуудлыг шийдэх жишээ: n элементийн нийлбэрийг ол

Таны харж байгаагаар, энэ хүртэл зөвхөн нэг арифметик прогрессийн томъёог (9-р анги) шийдлийг ашигласан. Одоо бид хоёр дахь томьёо, өөрөөр хэлбэл S n нийлбэрийн талаархи мэдлэгийг шаарддаг асуудлыг танилцуулж байна.

Дараах эрэмблэгдсэн тоонуудын цуваа -1,1, -2,1, -3,1,..., та түүний эхний 11 элементийн нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй.

Энэ цувралаас энэ нь буурч байгаа нь тодорхой бөгөөд a 1 = -1.1. Үүний ялгаа нь тэнцүү байна: d = -2.1 - (-1.1) = -1. Одоо 11-р гишүүнийг тодорхойлъё: a 11 = 10*d + a 1 = -10 + (-1.1) = -11.1. Бэлтгэл тооцоог хийж дууссаны дараа та дээр дурдсан томъёог ашиглаж болно, бид: S 11 =11*(-1.1 +(-11.1))/2 = -67.1. Бүх гишүүд сөрөг тоо байсан тул тэдгээрийн нийлбэр нь мөн харгалзах тэмдэгтэй байна.

6-р асуудлыг шийдэх жишээ: n-ээс m хүртэлх элементүүдийн нийлбэрийг ол

Магадгүй энэ төрлийн асуудал нь ихэнх сургуулийн хүүхдүүдэд хамгийн хэцүү байдаг. Ердийн жишээг өгье: 2, 4, 6, 8... тоонуудын цуваа өгөгдсөн бол та 7-оос 13-р гишүүний нийлбэрийг олох хэрэгтэй.

Томъёо арифметик прогресс(9-р анги) нь өмнөх бүх бодлоготой яг адилхан хэрэглэгддэг. Энэ асуудлыг алхам алхмаар шийдвэрлэхийг зөвлөж байна:

1. Эхлээд стандарт томьёо ашиглан 13 гишүүний нийлбэрийг ол.
2. Дараа нь эхний 6 элементийн энэ нийлбэрийг тооцоол.
3. Үүний дараа 1-р дүнгээс 2-ыг хасна.

Шийдэл рүүгээ орцгооё. Өмнөх тохиолдлын адилаар бид бэлтгэл тооцоог хийх болно: a 6 = 5 * d+a 1 = 10+2 = 12, a 13 = 12 * d+a 1 = 24+2 = 26.

Хоёр нийлбэрийг тооцоолъё: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. Бид зөрүүг аваад хүссэн хариултаа авна: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Энэ утгыг авахдаа 7-р гишүүн S 7-13 нийлбэрт орсон тул энэ нь прогрессийн 6 элементийн нийлбэрийг хасалт болгон ашигласан болохыг анхаарна уу.