عرض Mordkovich عكسي وعرض متكامل لأجل غير مسمى. عرض تقديمي للدرس "التكامل غير المحدد. طرق الحساب". تطبيقات التكامل المحدد

أنوشينا أو في.

الأدب الرئيسي

1. في س. شيباتشيف ، الرياضيات العليا. دورة أساسية: كتاب مدرسي و
ورشة عمل للبكالوريوس [شهادة من وزارة التعليم في الاتحاد الروسي] / V. S.
شيباتشيف. إد. أ.ن.تيكونوفا. - الطبعة الثامنة ، المنقحة. وإضافية موسكو: Yurayt ، 2015. - 447 ص.
2. في س. شيباتشيف ، الرياضيات العليا. دورة كاملة: كتاب مدرسي
لأكاد. درجة البكالوريوس [Certificate of UMO] / V. S. Shipachev؛ إد. أ.
ن. تيخونوفا. - الطبعة الرابعة ، القس. وإضافية - موسكو: Yurayt ، 2015. - 608
مع
3. Danko P.E.، Popov A.G.، Kozhevnikova T..Ya. رياضيات أعلى
في التمارين والمهام. [نص] / P.E. دانكو ، أ. بوبوف ، ت.
كوزيفنيكوف. الساعة 2 - م: المدرسة العليا 2007. - 304 + 415 ج.

الإبلاغ

1.
امتحان. يتم إجراؤه وفقًا لـ:
المهام والمبادئ التوجيهية لأداء الامتحانات
في تخصص "الرياضيات التطبيقية" ، يكاترينبورغ ، فقاو
VO "التعليم المهني للدولة الروسية
جامعة "، 2016 - 30 ثانية.
اختر خيار التحكم في العمل من خلال الرقم الأخير من الرقم
دفتر تسجيل.
2.
امتحان

تكامل غير محدد ، خصائصه وحسابه لاشتقائي وتكامل غير محدد

تعريف. تسمى الوظيفة F x
الدالة العكسية f x المحددة في
فترة ما إذا كانت F x f x for
كل س من هذه الفترة.
على سبيل المثال ، دالة cos x هي
الدالة العكسية sin x منذ ذلك الحين
cos x sin x.

من الواضح ، إذا كانت F x مشتقة عكسية
الدوال f x ، ثم F x C ، حيث C ثابت بعض الشيء ، هي أيضًا
الدالة العكسية f x.
إذا كانت F x عبارة عن مشتق عكسي
الدالة f x ، ثم أي دالة بالشكل
F x F x C هي أيضًا
الدالة العكسية f x وأي
يمكن تمثيل البدائية في هذا الشكل.

تعريف. مجمل الكل
المشتقات العكسية للدالة f x ،
محددة على البعض
بين ما يسمى
تكامل غير محدد من
وظائف f x في هذا الفاصل و
يُرمز إليها بـ f x dx.

إذا كانت F x عبارة عن مشتق عكسي للوظيفة
f x ، ثم يكتبون f x dx F x C بالرغم من ذلك
سيكون من الأصح كتابة f x dx F x C.
نحن ، وفقا للتقاليد المعمول بها ، سوف نكتب
و x dx و x ج.
وهكذا نفس الرمز
ستشير f x dx إلى الكل
مجموعة من المشتقات العكسية للدالة f x ،
وأي عنصر من هذه المجموعة.

خصائص متكاملة

مشتق لا لا يتجزأمساوي ل
Integrand ، وتفاضلها بالنسبة إلى Integrand. حقًا:
1. (f (x) dx) (F (x) C) F (x) f (x) ؛
2.d f (x) dx (f (x) dx) dx f (x) dx.

خصائص متكاملة

3. تكامل غير محدد من
التفاضلية بشكل مستمر (x)
دالة التفاضل تساوي نفسها
هذه الوظيفة تصل إلى ثابت:
د (x) (x) dx (x) C ،
منذ (س) مشتق عكسي لـ (س).

خصائص متكاملة

4. إذا كانت الوظائف f1 x و f 2 x لها
المشتقات العكسية ، ثم الوظيفة f1 x f 2 x
يحتوي أيضًا على مشتق عكسي و
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ؛
5. Kf x dx Kf x dx ؛
6. f x dx f x C ؛
7. f x x dx F x C.

1. dx x C.
أ 1
x
2. x a dx
ج ، (أ 1).
أ 1
dx
3. ln x C.
x
x
أ
4.a x DX
ج.
في أ
5. e x dx e x c.
6. sin xdx cos x C.
7. cos xdx sin x C.
dx
8.2 ctgx ج.
الخطيئة x
dx
9. 2tgx ج.
كوس x
dx
arctgx ج.
10.
2
1 ×

جدول التكاملات غير المحددة

11.
dx
arcsin x ج.
1 × 2
dx
1
x
12. 2 2 أركتان ج.
أ
أ
فأس
13.
14.
15.
dx
a2x2
x
أركسين سي ..
أ
dx
1
x أ
ln
ج
2
2
2 أ × أ
x أ
dx
1
فأس
أ 2 × 2 2 أ اللوغاريثم أ س ج.
dx
16.
x2 أ
سجل س س 2 أ ج.
17. shxdx chx C.
18. chxdx shx C.
19.
20.
dx
الفصل 2 س ثكس ج.
dx
cthx ج.
2
ش x

خصائص التفاضل

عند الدمج ، يكون مناسبًا للاستخدام
الخصائص: 1
1. dx d (ax)
أ
1
2. dx d (ax b) ،
أ
1 2
3.xdxdx ،
2
1 3
2
4. x dx dx.
3

أمثلة

مثال. احسب cos 5xdx.
حل. نجد في جدول التكاملات
cos xdx sin x C.
دعونا نحول هذا التكامل إلى جدول جدولي ،
الاستفادة من حقيقة أن d ax adx.
ثم:
د 5 × 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= الخطيئة 5 س ج.
5

أمثلة

مثال. احسب x
3x x 1 dx.
حل. منذ تحت علامة التكامل
هو مجموع أربعة حدود ، إذن
افرد التكامل كمجموع أربعة
التكاملات:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx.
x3
x4 x2
3
س ج
3
4
2

استقلالية نوع المتغير

عند حساب التكاملات ، يكون ذلك مناسبًا
استخدم الخصائص التالية
التكاملات:
إذا كانت f x dx F x C ، إذن
و x ب dx F x b ج.
إذا كانت f x dx F x C ، إذن
1
f الفأس ب dx F الفأس ب ج.
أ

مثال

إحصاء - عد
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
ج
.
3 6
5

طرق التكامل التكامل بالأجزاء

تعتمد هذه الطريقة على الصيغة udv uv vdu.
يتم أخذ التكاملات التالية بطريقة التكامل بالأجزاء:
أ) x n sin xdx ، حيث n 1.2 ... k ؛
ب) x n e x dx ، حيث n 1،2 ... k ؛
ج) x n arctgxdx ، حيث n 0، 1، 2، ... k. ؛
د) x n ln xdx ، حيث n 0، 1، 2، ... k.
عند حساب التكاملات أ) و ب) أدخل
ن 1
التدوين: x n u ، ثم du nx dx ، وعلى سبيل المثال
sin xdx dv ، ثم v cos x.
عند حساب التكاملات ج) ، د) تدل على u الدالة
arctgx و ln x و dv يأخذون x n dx.

أمثلة

مثال. احسب x cos xdx.
حل.
u x ، du dx
=
x كوس xdx
dv cos xdx، v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C.

أمثلة

مثال. احسب
x ln xdx
dx
u ln x، du
x
x2
dv xdx ، v
2
x2
× 2 ديكس
ln x
=
2
2 ×
x2
1
x2
1 × 2
ln x xdx
ln x
ج.
=
2
2
2
2 2

طريقة الاستبدال المتغير

فليطلب إيجاد f x dx و
التقط البدائية مباشرة
بالنسبة لـ f x لا يمكننا ذلك ، لكننا نعرف ذلك
هي موجودة. غالبا ما وجدت
المشتق العكسي بإدخال متغير جديد ،
حسب الصيغة
f x dx f t t dt ، حيث x t و t هو الجديد
عامل

تكامل الوظائف التي تحتوي على ثلاثي الحدود المربع

ضع في اعتبارك التكامل
اكسب
dx ،
س مقصف q
تحتوي على ثلاثي مربع في
مقام التكامل
التعبيرات. يؤخذ هذا التكامل أيضا
طريقة تغيير المتغيرات ،
تم تحديده مسبقًا في
المقام - صفة مشتركة - حالة مربع كامل.
2

مثال

احسب
dx
.
x4x5
حل. لنحول x 2 4 x 5 ،
2
اختيار مربع كامل وفقًا للصيغة أ ب 2 أ 2 2 أب ب 2.
ثم نحصل على:
2 × 5 × 2 2 × 2 4 4 5
× 2 2 2 × 4 1 ​​× 2 2 1
× 2 ر
dx
dx
د
س تي 2
2
2
2
× ٢ ١ dx dt
x4x5
t1
arctgt C arctg x 2 C.

مثال

يجد
1 ×
1 ×
2
dx
tdt
1 ر
2
س t ، س t 2 ،
dx2tdt
2
T2
1 ر
2
د
1 ر
1 ر
د (ر 2 1)
ر
2
1
2
2 تي دي تي
2
د
سجل (ر 1) 2 دينارا 2
2
1 ر
ln (t 2 1) 2t 2arctgt ج
2
ln (x 1) 2 x 2arctg x C.
1 ر 2 1
1 ر
2
د

لا يتجزأ من خصائصه الرئيسية. صيغة نيوتن ليبنيز. تطبيقات لا يتجزأ محدد.

مفهوم التكامل المحدد يؤدي إلى
مشكلة إيجاد منطقة منحني الخطوط
شبه منحرف.
اترك بعض الفاصل الزمني
دالة مستمرة y f (x) 0
مهمة:
ارسم الرسم البياني الخاص به وابحث عن منطقة F من الشكل ،
يحده هذا المنحنى ، خطان مستقيمان x = a و x
= ب ، ومن الأسفل - جزء من محور الإحداثي بين النقطتين
س = أ و س = ب.

يسمى الشكل aABb
منحني الأضلاع شبه منحرف

تعريف

ب
و (س) دكس
تحت تكامل محدد
أ
من دالة مستمرة معينة f (x) على
هذا الجزء مفهوم
الزيادة المقابلة
بدائي ، هذا هو
F (b) F (a) F (x) /
ب
أ
الأرقام أ و ب هي حدود التكامل ،
هي فترة التكامل.

قاعدة:

التكامل المحدد يساوي الفرق
قيم تكامل مشتق عكسي
وظائف للحدود العليا والدنيا
اندماج.
تقديم تدوين الفرق
ب
F (b) F (a) F (x) / a
ب
و (س) دكس و (ب) و (أ)
أ
صيغة نيوتن ليبنيز.

الخصائص الأساسية للتكامل المحدد.

1) لا تعتمد قيمة التكامل المحدد على
تدوين متغير التكامل ، أي
ب
ب
أ
أ
f (x) dx f (t) dt
حيث x و t أي أحرف.
2) تكامل محدد مع نفسه
الخارج
التكامل صفر
أ
f (x) dx F (a) F (a) 0
أ

3) عند إعادة ترتيب حدود التكامل
التكامل المحدد يعكس علامته
ب
أ
f (x) dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x) dx
أ
ب
(خاصية الجمع)
4) إذا كانت الفترة الزمنية مقسمة إلى عدد محدد
فترات جزئية ، ثم التكامل المحدد ،
المأخوذة خلال الفترة الزمنية تساوي مجموع المحدد
التكاملات المأخوذة على كل فتراتها الجزئية.
ب
ج
ب
f (x) dx f (x) dx
ج
أ
أ
و (س) دكس

5) يمكن إخراج مضاعف ثابت
لعلامة تكامل محدد.
6) جزء لا يتجزأ من الجبرية
مجاميع عدد محدود من المتواصل
وظائف تساوي نفس الجبرية
مجموع التكاملات المحددة من هذه
المهام.

3. تغيير المتغير في تكامل محدد.

3. استبدال متغير في معين
أساسي.
ب
f (x) dx f (t) (t) dt
أ
أ () ، ب () ، (ر)
أين
ل [؛ ] ، الدالتان (t) و (t) مستمرتان ؛
5
مثال:
1
=
× 1dx
=
× 1 5
t04
× 1 ر
dt dx
4
0
3
2
ر دت ر 2
3
4
0
2
2
16
1
ر t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

التكاملات غير الصحيحة.

التكاملات غير الصحيحة.
تعريف. دع الوظيفة f (x) يتم تعريفها على
الفاصل الزمني اللانهائي ، حيث ب< + . Если
موجود
ب
ليم
و (س) دكس ،
ب
أ
ثم يسمى هذا الحد غير لائق
تكامل الدالة f (x) في الفترة
}