عرض تقديمي حول الموضوع لاشتقاق عكسي وتكامل غير محدد. التكامل غير المحدود ، خصائصه وحسابه. تكامل عكسي وغير محدد المدة. لا يتجزأ من خصائصه الرئيسية. صيغة نيوتن ليبنيز. تطبيقات معينة int

بدائي. مهمة حساب التفاضل هي إيجاد مشتقها بالنسبة لدالة معينة. مهمة حساب التفاضل والتكامل: إيجاد دالة ومعرفة مشتقها. تسمى الوظيفة F (x) المشتقة العكسية للدالة f (x) في فترة زمنية معينة ، إذا كانت المساواة F ʹ (x) = f (x) صحيحة لأي x من هذه الفترة.

نظرية. إذا كانت الدالة F (x) مشتقة عكسية للدالة f (x) في فترة ما ، فإن مجموعة جميع المشتقات العكسية لهذه الدالة لها الشكل F (x) + C ، حيث C R. y x 0 هندسيًا: F ( x) + C عبارة عن منحنيات عائلية تم الحصول عليها من كل منها عن طريق الترجمة المتوازية على طول محور نظام التشغيل. منحنى ج لا يتجزأ

مثال 2. أوجد جميع الدوال العكسية f (x) = 2x وقم بتمثيلها هندسيًا. ص س

التكامل - علامة التكامل غير المحدد x - متغير التكامل F (x) + C - مجموعة جميع المشتقات العكسية C - ثابت التكامل تسمى عملية إيجاد الدالة العكسية التكامل ، وقسم الرياضيات يسمى حساب التفاضل والتكامل.

خصائص التكامل غير المحدد تفاضل التكامل غير المحدد يساوي التكامل ، ومشتق التكامل غير المحدد يساوي التكامل:

طرق التكامل الأساسية. طريقة التكامل المباشر. التكامل المباشر هو طريقة لحساب التكاملات التي يتم فيها تقليل التكاملات إلى تكاملات مجدولة من خلال تطبيق الخصائص الأساسية للتكامل غير المحدد عليها. في هذه الحالة ، يتم عادةً تحويل التكامل بطريقة مناسبة.

GBOU SPO "Navashinsky Ship Mechanical College" متكامل إلى أجل غير مسمى. طرق الحساب

Eudoxus of Knidos ج. 408 - كاليفورنيا. 355 ق ه. ظهر حساب التفاضل والتكامل خلال الفترة القديمة لتطور العلوم الرياضية وبدأ بطريقة الاستنفاد ، والتي طورها علماء الرياضيات في اليونان القديمة ، وكانت عبارة عن مجموعة من القواعد التي طورها Eudoxus of Cnidus. وفقًا لهذه القواعد ، تم حساب المساحات والأحجام

Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716) تم تقديم الرمز ∫ بواسطة Leibniz (1675). هذه العلامة هي تغيير حرف لاتيني S (الحرف الأول من كلمة الخلاصة).

اكتشف جوتفريد فيلهلم ليبنيز (1646-1716) إسحاق نيوتن (1643 - 1727) حقيقة معروفة باسم صيغة نيوتن-لايبنيز.

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) Carl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 1897) لخص عمل كوشي و Weierstrass التطور الذي دام قرونًا في حساب التفاضل والتكامل المتكامل.

شارك علماء الرياضيات الروس في تطوير حساب التفاضل والتكامل المتكامل: M.V. أوستروجرادسكي (1801 - 1862) في. بونياكوفسكي (1804 - 1889) ب. تشيبيشيف (1821-1894)

UNDEFINITE INTEGRAL تكامل غير محدد للدالة المستمرة f (x) في الفترة (أ ؛ ب) هو أي من وظائفها العكسية. حيث C هو ثابت تعسفي (const).

1. f (x) = x n 2. f (x) = C 3. f (x) = sinx 4. f (x) = 6. f (x) = 1. F (x) = Cx + C 2 F (x) = 3. F (x) = 4. F (x) = sin x + C 5. F (x) = c tg x + C 6. F (x) = - cos x + C 5. f ( x) = مباراة cosx. ابحث عن واحد الشكل العامالمشتق العكسي الذي يتوافق مع وظيفة معينة. tgx + С

خصائص متكاملة

خصائص متكاملة

الطرق الأساسية للتكامل جدولي. 2. اختزال التحويل الجدولي للتكامل إلى مجموع أو فرق. 3- التكامل باستخدام متغير متغير (تعويض). 4. التكامل بالأجزاء.

أوجد المشتقات العكسية للدوال: F (x) = 5 x ² + C F (x) = x ³ + C F (x) = - cos x + 5x + C F (x) = 5 sin x + C F (x) = 2 x ³ + C F (x) = 3 x - x ² + C 1) f (x) = 10x 2) f (x) = 3 x ² 3) f (x) = sin x +5 4) f (x) = 5 كوس × 5) و (س) \ u003d 6 × ² 6) و (س) \ u003d 3-2x

هل صحيح أن: أ) ج) ب) د)

مثال 1: تكامل مجموع التعبيرات يساوي مجموع تكاملات هذه التعبيرات. يمكن إخراج عامل ثابت من علامة التكامل

مثال 2. تحقق من الحل سجل الحل:

مثال 3. تحقق من حل سجل الحل:

مثال 4. افحص الحل اكتب الحل: أدخل متغيرًا جديدًا وعبر عن الفروق:

مثال 5. تحقق من الحل سجل الحل:

ج البحث في الواجبات المنزلية تكامل غير محددتحقق من مستوى الحل "أ" (ب "3") المستوى "ب" (ب "4") المستوى "ج" (ب "5")

مهمة إقامة مباراة. ابحث عن مثل هذا الشكل العام للمشتق العكسي الذي يتوافق مع الوظيفة المحددة.

أنوشينا أو في.

الأدب الرئيسي

1. في س. شيباتشيف ، الرياضيات العليا. دورة أساسية: كتاب مدرسي و
ورشة عمل للبكالوريوس [شهادة من وزارة التعليم في الاتحاد الروسي] / V. S.
شيباتشيف. إد. أ.ن.تيكونوفا. - الطبعة الثامنة ، المنقحة. وإضافية موسكو: Yurayt ، 2015. - 447 ص.
2. في س. شيباتشيف ، الرياضيات العليا. دورة كاملة: كتاب مدرسي
لأكاد. درجة البكالوريوس [Certificate of UMO] / V. S. Shipachev؛ إد. لكن.
ن. تيخونوفا. - الطبعة الرابعة ، القس. وإضافية - موسكو: Yurayt ، 2015. - 608
مع
3. Danko P.E.، Popov A.G.، Kozhevnikova T..Ya. رياضيات أعلى
في التمارين والمهام. [نص] / P.E. دانكو ، أ. بوبوف ، ت.
كوزيفنيكوف. الساعة 2 - م: المدرسة العليا 2007. - 304 + 415 ج.

الإبلاغ

1.
اختبار. يتم إجراؤها وفقًا لـ:
المهام والمبادئ التوجيهية لأداء الامتحانات
في تخصص "الرياضيات التطبيقية" ، يكاترينبورغ ، فقاو
VO "التعليم المهني للدولة الروسية
جامعة "، 2016 - 30 ثانية.
اختر خيار التحكم في العمل من خلال الرقم الأخير من الرقم
دفتر تسجيل.
2.
امتحان

تكامل غير محدد ، خصائصه وحسابه لاشتقائي وتكامل غير محدد

تعريف. تسمى الوظيفة F x
الدالة العكسية f x المحددة في
فترة ما إذا كانت F x f x من أجل
كل س من هذه الفترة.
على سبيل المثال ، دالة cos x هي
الدالة العكسية sin x منذ ذلك الحين
cos x sin x.

من الواضح ، إذا كانت F x مشتقة عكسية
الدوال f x ، ثم F x C ، حيث C ثابت بعض الشيء ، هي أيضًا
الدالة العكسية f x.
إذا كانت F x عبارة عن مشتق عكسي
الدالة f x ، ثم أي دالة في الشكل
F x F x C هي أيضًا
الدالة العكسية f x وأي
يمكن تمثيل البدائية في هذا الشكل.

تعريف. مجمل الكل
المشتقات العكسية للدالة f x ،
محددة على البعض
بين ما يسمى
تكامل غير محدد من
وظائف f x في هذا الفاصل و
يُرمز إليها بـ f x dx.

إذا كانت F x عبارة عن مشتق عكسي للوظيفة
f x ، ثم يكتبون f x dx F x C بالرغم من ذلك
سيكون من الأصح كتابة f x dx F x C.
نحن ، وفقا للتقاليد المعمول بها ، سوف نكتب
و x dx و x ج.
وهكذا نفس الرمز
ستشير f x dx إلى الكل
مجموعة من المشتقات العكسية للدالة f x ،
وأي عنصر من هذه المجموعة.

خصائص متكاملة

مشتق التكامل غير المحدد هو
Integrand ، وتفاضلها بالنسبة إلى Integrand. حقًا:
1. (f (x) dx) (F (x) C) F (x) f (x) ؛
2.d f (x) dx (f (x) dx) dx f (x) dx.

خصائص متكاملة

3. تكامل غير محدد من
التفاضلية بشكل مستمر (x)
دالة التفاضل تساوي نفسها
هذه الوظيفة تصل إلى ثابت:
د (x) (x) dx (x) C ،
منذ (س) مشتق عكسي لـ (س).

خصائص متكاملة

4. إذا كانت الوظائف f1 x و f 2 x لها
المشتقات العكسية ، ثم الوظيفة f1 x f 2 x
يحتوي أيضًا على مشتق عكسي و
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ؛
5. Kf x dx Kf x dx ؛
6. f x dx f x C ؛
7. f x x dx F x C.

1. dx x C.
أ 1
x
2. x a dx
ج ، (أ 1).
أ 1
dx
3. ln x C.
x
x
أ
4.a x DX
ج.
في أ
5. e x dx e x c.
6. sin xdx cos x C.
7. cos xdx sin x C.
dx
8.2 ctgx ج.
الخطيئة x
dx
9. 2tgx ج.
كوس x
dx
arctgx ج.
10.
2
1 ×

جدول التكاملات غير المحددة

11.
dx
arcsin x ج.
1 × 2
dx
1
x
12. 2 2 أركتان ج.
أ
أ
فأس
13.
14.
15.
dx
a2x2
x
أركسين سي ..
أ
dx
1
x ا
ln
ج
2
2
2 أ × أ
x ا
dx
1
فأس
أ 2 × 2 2 أ اللوغاريثم أ س ج.
dx
16.
x2 أ
سجل س س 2 أ ج.
17. shxdx chx C.
18. chxdx shx C.
19.
20.
dx
الفصل 2 س ثكس ج.
dx
cthx ج.
2
ش x

خصائص التفاضل

عند الدمج ، يكون مناسبًا للاستخدام
الخصائص: 1
1. dx d (ax)
أ
1
2. dx d (ax b) ،
أ
1 2
3.xdxdx ،
2
1 3
2
4. x dx dx.
3

أمثلة

مثال. احسب cos 5xdx.
المحلول. نجد في جدول التكاملات
cos xdx sin x C.
دعونا نحول هذا التكامل إلى جدول جدولي ،
الاستفادة من حقيقة أن d ax adx.
ثم:
د 5 × 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= الخطيئة 5 س ج.
5

أمثلة

مثال. احسب x
3x x 1 dx.
المحلول. منذ تحت علامة التكامل
هو مجموع أربعة حدود ، إذن
فكّك التكامل كمجموع أربعة
التكاملات:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx.
x3
x4 x2
3
س ج
3
4
2

استقلالية نوع المتغير

عند حساب التكاملات ، يكون ذلك مناسبًا
استخدم الخصائص التالية
التكاملات:
إذا كانت f x dx F x C ، إذن
و x ب dx F x b ج.
إذا كانت f x dx F x C ، إذن
1
و الفأس ب dx و الفأس ب ج.
أ

مثال

إحصاء - عد
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
ج
.
3 6
5

طرق التكامل التكامل بالأجزاء

تعتمد هذه الطريقة على الصيغة udv uv vdu.
يتم أخذ التكاملات التالية بطريقة التكامل بالأجزاء:
أ) x n sin xdx ، حيث n 1.2 ... k ؛
ب) x n e x dx ، حيث n 1،2 ... k ؛
ج) x n arctgxdx ، حيث n 0، 1، 2، ... k. ؛
د) x n ln xdx ، حيث n 0، 1، 2، ... k.
عند حساب التكاملات أ) و ب) أدخل
ن 1
التدوين: x n u ، ثم du nx dx ، وعلى سبيل المثال
sin xdx dv ، ثم v cos x.
عند حساب التكاملات ج) ، د) تدل على u الدالة
arctgx و ln x و dv يأخذون x n dx.

أمثلة

مثال. احسب x cos xdx.
المحلول.
u x ، du dx
=
x كوس xdx
dv cos xdx، v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C.

أمثلة

مثال. احسب
x ln xdx
dx
u ln x، du
x
x2
dv xdx ، v
2
x2
× 2 ديكس
ln x
=
2
2 ×
x2
1
x2
1 × 2
ln x xdx
ln x
ج.
=
2
2
2
2 2

طريقة الاستبدال المتغير

فليطلب إيجاد f x dx و
تلتقط البدائية مباشرة
بالنسبة لـ f x لا يمكننا ذلك ، لكننا نعرف ذلك
هي موجودة. غالبا ما وجدت
المشتق العكسي بإدخال متغير جديد ،
حسب الصيغة
f x dx f t t dt ، حيث x t و t هو الجديد
عامل

تكامل الوظائف التي تحتوي على ثلاثي الحدود المربع

ضع في اعتبارك التكامل
اكس ب
DX ،
س مقصف ف
تحتوي على ثلاثي مربع في
مقام التكامل
التعبيرات. يؤخذ هذا التكامل أيضا
طريقة تغيير المتغيرات ،
تم تحديده مسبقًا في
المقام - صفة مشتركة - حالة مربع كامل.
2

مثال

احسب
dx
.
x4x5
المحلول. لنحول x 2 4 x 5 ،
2
اختيار مربع كامل وفقًا للصيغة أ ب 2 أ 2 2 أب ب 2.
ثم نحصل على:
2 × 5 × 2 2 × 2 4 4 5
× 2 2 2 × 4 1 ​​× 2 2 1
× 2 ر
dx
dx
د
س تي 2
2
2
2
× ٢ ١ dx dt
x4x5
t1
arctgt C arctg x 2 C.

مثال

تجد
1 ×
1 ×
2
dx
tdt
1 ر
2
س t ، س t 2 ،
dx2tdt
2
T2
1 ر
2
د
1 ر
1 ر
د (ر 2 1)
ر
2
1
2
2 تي دي تي
2
د
سجل (ر 1) 2 دينارا 2
2
1 ر
ln (t 2 1) 2t 2arctgt ج
2
ln (x 1) 2 x 2arctg x C.
1 ر 2 1
1 ر
2
د

لا يتجزأ من خصائصه الرئيسية. صيغة نيوتن ليبنيز. تطبيقات لا يتجزأ محدد.

مفهوم التكامل المحدد يؤدي إلى
مشكلة إيجاد منطقة منحني الخطوط
شبه منحرف.
اترك بعض الفاصل الزمني
دالة مستمرة y f (x) 0
مهمة:
ارسم الرسم البياني الخاص به وابحث عن منطقة F من الشكل ،
يحده هذا المنحنى ، خطان مستقيمان x = a و x
= ب ، ومن الأسفل - جزء من محور الإحداثي بين النقطتين
س = أ و س = ب.

يسمى الشكل aABb
منحني الأضلاع شبه منحرف

تعريف

ب
و (س) دكس
تحت تكامل محدد
أ
من دالة مستمرة معينة f (x) على
هذا الجزء مفهوم
الزيادة المقابلة
بدائي ، هذا هو
F (b) F (a) F (x) /
ب
أ
الأرقام أ و ب هي حدود التكامل ،
هي فترة التكامل.

قاعدة:

التكامل المحدد يساوي الفرق
قيم تكامل مشتق عكسي
وظائف للحدود العليا والدنيا
دمج.
تقديم تدوين الفرق
ب
F (b) F (a) F (x) / a
ب
و (س) دكس و (ب) و (أ)
أ
صيغة نيوتن ليبنيز.

الخصائص الأساسية للتكامل المحدد.

1) لا تعتمد قيمة التكامل المحدد على
تدوين متغير التكامل ، أي
ب
ب
أ
أ
f (x) dx f (t) dt
حيث x و t أي أحرف.
2) تكامل محدد مع نفسه
الخارج
التكامل صفر
أ
f (x) dx F (a) F (a) 0
أ

3) عند إعادة ترتيب حدود التكامل
التكامل المحدد يعكس علامته
ب
أ
f (x) dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x) dx
أ
ب
(خاصية الجمع)
4) إذا كانت الفترة الزمنية مقسمة إلى عدد محدد
فترات جزئية ، ثم التكامل المحدد ،
المأخوذة خلال الفترة الزمنية تساوي مجموع المحدد
التكاملات المأخوذة على كل فتراتها الجزئية.
ب
ج
ب
f (x) dx f (x) dx
ج
أ
أ
و (س) دكس

5) يمكن إخراج مضاعف ثابت
لعلامة تكامل محدد.
6) جزء لا يتجزأ من الجبرية
مجاميع عدد محدود من المتواصل
وظائف تساوي نفس الجبرية
مجموع تكاملات محددة من هؤلاء
المهام.

3. تغيير المتغير في تكامل محدد.

3. استبدال متغير في معين
متكامل.
ب
f (x) dx f (t) (t) dt
أ
أ () ، ب () ، (ر)
أين
ل [؛ ] ، الدالتان (t) و (t) مستمرتان ؛
5
مثال:
1
=
× 1dx
=
× 1 5
t04
× 1 ر
dt dx
4
0
3
2
ر دت ر 2
3
4
0
2
2
16
1
ر t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

التكاملات غير الصحيحة.

التكاملات غير الصحيحة.
تعريف. دع الوظيفة f (x) يتم تعريفها على
الفاصل الزمني اللانهائي ، حيث ب< + . Если
موجود
ب
ليم
و (س) دكس ،
ب
أ
ثم يسمى هذا الحد غير لائق
تكامل الدالة f (x) في الفترة
}