يعرض (وظائف)

تلعب الوظائف دورًا مركزيًا في الرياضيات ، حيث يتم استخدامها لوصف أي عملية يتم من خلالها تحويل عناصر مجموعة ما إلى عناصر أخرى. تعد تحولات العناصر هذه فكرة أساسية ذات أهمية قصوى لجميع العمليات الحسابية.

تعريف.تسمى العلاقة f على AB رسم الخرائط (وظيفة)من A إلى B إذا كان لكل xA واحد yB واحد فقط. تعيين علاقة ثنائية التكافؤ

f: AB أو y = f (x)

المجموعة أ تسمى مجال التعريف.المجموعة ب - نطاق.

إذا كانت y = f (x) ، فسيتم استدعاء x جدال، و ص - قيمة الوظيفة.

دع f: AB ، إذن

مجموعة التعريفميزات:

مجموعة قيمميزات:

مجموعة تعريف الوظيفة هي مجموعة فرعية من مجال التعريف ، أي Dom f A ، ومجموعة قيم الوظيفة هي مجموعة فرعية من نطاق الوظيفة ، أي Im f B. إذا ، فإن الوظيفة تسمى الوظيفة الكلية ، وإذا ، الوظيفة الجزئية. وبالتالي ، فإن مخطط Venn بمثابة توضيح مناسب لوظيفة محددة في المجموعة أ بقيم في المجموعة ب.

طرق تعيين الوظيفة:

• 1) اللفظية.
• 2) تحليلي.
• 3) بمساعدة رسم بياني ، رسم.
• 4) بمساعدة الجداول.

تعريف.إذا كان MA ، فإن المجموعة f (M) = y f (x) = y لبعض x من M تسمى طريقمجموعات M.

إذا كان KB ، فسيتم استدعاء المجموعة f -1 (K) = x f (x) K. النموذج المبدئيمجموعات K.

تعريفتسمى الوظيفة دالة من وسيطات n ، أو دالة n-place. مثل هذه الوظيفة ترسم مجموعة tuple إلى عنصر bB ،.

خصائص التعيينات (الوظائف).

1) يسمى التعيين f: AB عن طريق الحقن، إذا كان يرسم عناصر مختلفة من A إلى عناصر مختلفة من B:.

يمكن عرض هذه الخاصية باستخدام مخططات Venn.

2) يسمى التعيين f: AB طائشأو التعيين إلى المجموعة الكاملة B ، إذا تم تعيين عنصر واحد على الأقل من A لكل عنصر من عناصر المجموعة B:.

يمكن أيضًا عرض هذه الخاصية باستخدام مخططات Venn.

3) يسمى رسم الخرائط f: AB الذي يكون حقنيًا وسريحيًا متحيزأو تعيين واحد لواحد لمجموعة أ على مجموعة ب.

مثال.دع تعيين f: RR يعطى ، والذي يتم تعريفه بهذه الطريقة. اكتشف خصائص هذا التعيين.

المحلول.الوظيفة f ليست عن طريق الحقن ، لأن و (2) = و (2) ، لكن 2 2.

الوظيفة f أيضًا ليست خاطئة ، حيث لا يوجد رقم حقيقي x الذي f (x) = 1.

تعريف.لنفترض أن f تعيينًا حيويًا من مجموعة A إلى مجموعة B. إذا ربطنا كل عنصر من B مع عنصر مرتبط من A ، فإن هذا التطابق هو تعيين من B إلى A. تعيين معكوس لرسم الخرائط f.

التعيين العكسي له بعض الخصائص التي نصوغها في النظرية التالية.

نظرية 3.إذا كان f: AB هو انحراف ، إذن

1) لأي y من B ؛

2) لأي x من A.

دليل - إثبات. 1) دع yB و. ثم f (x) = y. لكن منذ

2) ثبت بالمثل أنه لأي x من A.

تعريف. التركيب (التراكب ، المنتج)التعيينات f: AB و g: BC تسمى التعيين h: ، والتي تتم كتابتها h = g f.

تفسر هذه الطريقة في كتابة تراكب الوظائف بحقيقة أن تسمية الوظيفة تُكتب عادةً على يسار قائمة الحجج:

يلعب مفهوم تعيين الخرائط دورًا مهمًا في جميع مجالات الرياضيات.

تعريف 1. اسمحوا Xو صهي بعض المجموعات و. إذا كان كل عنصر
تطابق عنصر واحد فقط
، ثم يقولون ذلك معطى عرض من X في ص مع منطقة المهمة أ .

عادة ما يتم الإشارة إلى التعيينات بأحرف لاتينية صغيرة
.

مثال 1. اسمحوا Xهي مجموعة الأعداد الطبيعية. كل رقم
ضع في المراسلات ما تبقى من القسمة على 2:
. احصل على تعيين من Xفي مجموعة الأعداد الحقيقية ص، في كل منها
يتوافق مع إما 0 أو 1.

الكثير من Xأيضا يسمى العديد من المغادرين والمجموعة ص –العديد من الوافدين .

تعريف 2. العنصر
، المقابلة للعنصر
في العرض F، يسمى طريق عنصر Xوالمشار إليها
. ومع ذلك ، فإن العنصر نفسه Xاتصل النموذج المبدئي عنصر في. اذا كان لكن- منطقة المهمة عند عرضها F، ثم المجموعة تسمى مجموعة أ عند عرضها F أو نطاق عرض F.

تعريف 3. إذا كانت منطقة المهمة هي نفسها منطقة المغادرة ، أي
، ومن بعد F يسمى التعيين X في صعين
. اذا كان
، ومن بعد F يسمى التعيين Xعلى الص.

تعريف 4. العرض
اتصل تفريغ إذا كانت عناصر مختلفة

، بمعنى آخر. لأي
نملك
.

على سبيل المثال ، عرض
مع مجال العمل ص غير قابل للعكس لأن
و
، بمعنى آخر.
، رغم
.

تعريف 5. عكسها رسم الخرائط Xعلى ال ص اتصل واحد لواحد عرض.

سنقوم بتوضيح المفاهيم المقدمة بالأرقام.

F ليس عرض

يترك F هو تعيين قابل للعكس من Xفي ص مع مجال العمل لكن. ثم كل عنصر
يتطابق مع عنصر واحد فقط
، وعناصر مختلفة
تطابق العناصر المختلفة في. لذلك ، رسم الخرائط
مجموعات
في X(على ال لكن). عرف ذلك.

تعريف 6. إذا عرض Fمن Xفي ص قابل للعكس ، ثم التعيين
من ص في X، التي تحددها النسبة ، يسمى عكس إلى F .

دعنا الآن F- عرض Xفي ص، أ ز- عرض ص في ض. دعونا نحدد رسم الخرائط Xفي ض بالطريقة الآتية:. في هذا الطريق،
، هذا هو
. مثل هذا العرض يسمى تكوين التعيينات F و زوالمشار إليها
. لذلك من أجل الجميع

عملية تكوين الخرائط لها الخصائص التالية.

الترابطية:

في الواقع ، إذا
، ومن بعد

.

في الواقع ، دعنا
و
. بسبب الانعكاس F
. بسبب الانعكاس ز ومن ثم العرض
تفريغ. اذا كان
، ومن بعد
، وهو المطلوب لإثباته.

الوظيفة الحقيقية هي حالة خاصة لرسم الخرائط عند المجموعات X و صهي مجموعات رقمية.

تعريف 7. اسمحوا X - ضبط الرقم. عرض
، مطابقة كل رقم
رقم
، يسمى صالح وظيفة محددة في المجموعة X. حيث Xاتصل جدال المهام F,X–نطاقه ,
–القيمة المهام. الكثير من
اتصل مجموعة قيم المهام.

تعريف 8. إذا كانت وظيفة F يطابق كل رقم
نفس القيمة أ، ثم الوظيفة F اتصل مستمر .

ويترتب على تعريف الوظيفة الحقيقية تحديد وظيفة F من الضروري تعيين مجال تعريفها - مجموعة Xوالقانون الذي بموجبه كل رقم
الرقم مطابق
.

اعتمادًا على كيفية تحديد قانون الاعتماد الوظيفي ، هناك عدة طرق لتحديد وظيفة.

طريقة تحليلية.يتم تحديد قانون التبعية الوظيفية باستخدام صيغة تشير إلى الإجراءات التي يجب تنفيذها على الوسيطة Xللحصول على قيمة الوظيفة.

أمثلة:
إلخ.

في حالة الطريقة التحليلية لتحديد وظيفة ، المجموعة Xفي كثير من الأحيان لا يشار إليها. في هذه الحالة ، مجال الوظيفة هو طبيعي نطاق الوظيفة هو مجموعة قيم الوسيطة التي يكون التعبير التحليلي المعطى لها منطقيًا.

على سبيل المثال ، للوظيفة
نطاق
، للوظيفة
.

إذا كانت الدالة تعكس العلاقة بين كميات محددة (فيزيائية وهندسية وغيرها) ، فقد لا تتطابق منطقة تعريفها مع المنطقة التي تكون فيها الصيغة منطقية. على سبيل المثال ، الوظيفة
، تعتبر مجردة ، على ص، ولكن إذا كان يعبر عن قانون السقوط الحر للجسد ، إذن
.

لاحظ أنه لا يمكن تعريف الدالة بواحدة ، بل بعدة صيغ.

فمثلا،
لهذه الوظيفة
.

طريقة جدولة.باستخدام طريقة الإعداد هذه ، يتم إنشاء قانون الاعتماد الوظيفي من خلال جدول تتم فيه مقارنة القيم المقابلة للوظيفة بقيم مختلفة للحجة.

تُستخدم الطريقة المجدولة في الدراسات التجريبية ، على سبيل المثال ، عندما تؤخذ قراءات الأداة على فترات زمنية معينة.

يتم تجميع جداول قيم العديد من الوظائف ، والتي تُستخدم غالبًا في الحسابات الفنية ، والتي تتيح لك العثور على قيم الوظائف بدون حسابات.

عيب الطريقة المجدولة هو أنه في الجدول يمكنك العثور على قيم الوظيفة فقط لتلك القيم من الوسيطة الموجودة فيها. يمكن العثور على قيم أخرى عن طريق الاستيفاء تقريبًا.

طريقة الرسم.

تعريف 9.برنامج المهام
المحددة في المجموعة X، هي مجموعة جميع نقاط المستوى
التي إحداثياتها Xو فيالمرتبطة بالنسبه
. المساواة
اتصل معادلة هذا المخطط.

تعتبر الوظيفة معطاة بيانياً إذا تم رسم الرسم البياني الخاص بها. على سبيل المثال ، لقياس الضغط الجوي على ارتفاعات مختلفة ، يتم استخدام جهاز تسجيل ذاتي خاص - باروغراف ، يسجل التغير في الضغط كدالة للارتفاع كمنحنى على شريط متحرك.

ليس كل منحنى يمكن أن يكون بمثابة رسم بياني لبعض الوظائف. من الضروري ألا يحتوي على أي نقطتين لهما نفس الحروف.

منحنى يعرّف لا يعرف المنحنى

وظيفة لا وظيفة

تتمثل ميزة الطريقة الرسومية لتعيين وظيفة على الآخرين في الوضوح ، والعيب هو أنه لا يمكن العثور على قيم الوظيفة إلا تقريبًا. لا يمكن رسم كل وظيفة بيانية. على سبيل المثال ، من المستحيل تمثيل وظيفة Dirichlet بيانياً (Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859) - عالم رياضيات ألماني)

منذ بين أي قيمتين Xهناك عدد لا نهائي من النقاط العقلانية وغير المنطقية.

الطريقة اللفظية.الوظيفة معطاة بالكلمات. على سبيل المثال ، الجزء الصحيح من الرقم Xهو أكبر عدد صحيح لا يتجاوز X.

تعريف 10. وظائف
و
، في بعض الفواصل الزمنية X، وتسمى متساوية في هذا الفاصل الزمني:
، إذا كانت قيمهم في كل نقطة
مباراة.

مثال. هل الوظائف متطابقة؟

1)
و
;

2)
و
إلى عن على
;

3)
و
?

المحلول. 1) ، أي الوظائف متطابقة.

2) حسب الملكية
.

3) ، أي
، الوظائف ليست متساوية.

يتمثل أحد الأدوار المهمة في الرياضيات في إنشاء روابط بين مجموعتين وترتبط بالنظر في أزواج الكائنات المكونة من عناصر المجموعة الأولى والعناصر المقابلة للمجموعة الثانية. عرض المجموعات له أهمية خاصة.

اسمحوا أن تكون مجموعات تعسفية. من خلال العرض مجموعات X لتعيين صأي قاعدة تسمى F، وفقًا لذلك يرتبط كل عنصر من عناصر المجموعة بعنصر محدد جيدًا (فريد) من المجموعة.

حقيقة ان Fهناك خريطة مكتوبة بإيجاز على النحو التالي:.

يتم استخدام الترميز أيضًا. في كثير من الأحيان ، يتم الإشارة إلى شاشات العرض بالحروف F, ف, F.

لذلك ، لضبط عرض المجموعة Xفي مجموعة ، يجب أن يرتبط كل عنصر بعنصر واحد فقط.

إذا كان العنصر في نفس الوقت Xمن Xعنصر مطابق من ص، ثم دعا عناصر ، أ X – عنصر بريماج عند العرض ، وهو مكتوب كـ.

ويترتب على تعريف التعيين أن كل عنصر من العناصر Xالصورة فريدة ، ومع ذلك ، فقد يكون هناك العديد من النماذج الأولية للعنصر ، أو قد لا تكون موجودة على الإطلاق. تسمى مجموعة كل الصور المسبقة لعنصر ما النموذج الكامل ويشار إليه بواسطة. في هذا الطريق، .

صورة مجموعة فرعية من لكنو preimage من مجموعة فرعية من فيعند العرض:

فمثلا، واسمحوا ليكونوا تعيين لكنفي لكن، والتي تعين كل عنصر أمن لكنما تبقى من الانقسام أإلى الرقم 4. ثم لدينا:

اعتمادًا على الخصائص والصور والصور الأولية ، تكون التعيينات سطحية وحقنية ومتحركة.

الشاشة تسمى طائش ، إذا كان هؤلاء. يعرض كل عنصر من عنصرًا واحدًا على الأقل من Xأو لأي.

الشاشة تسمى عن طريق الحقن إذا كانت عناصر مختلفة من المجموعة Xيتم تعيينها إلى عناصر مختلفة من المجموعة ، أي ، أو إما أنها فارغة أو مجموعة مكونة من عنصر واحد لأي منها. تسمى أيضًا التعيينات الحَقِية الاستثمارات .

الشاشة تسمى متحيز ، أو واحد لواحد تحديد ما إذا كانت تخيلية وحقانية ، أي إذا كان هناك عنصر واحد محدد لأي. في هذه الحالة ، يمكن تحديد التعيينات عن طريق تعيين أي:. تسمى يعكس إلى ويشار إليها باسم.

من أجل الوضوح ، نصور أنواع التعيينات.

طائش حاقن صبور

الشكل 12

ضبط العرض لكنفي حد ذاته يسمى ضبط التحول لكن. التحول البيولوجي للمجموعة لكناتصل تعيين الاستبدال لكن.

مثال على استبدال مجموعة من الأعداد الصحيحة هو التعيين المحدد من خلال المساواة.

لاحظ أيضًا أن تعيين المجموعة لكنفي فيأيضا يسمى وظيفة المحددة في المجموعة لكنمع القيم في المجموعة في. يسمى العنصر القيمة المهام نقطة أ. المجموعة نفسها لكناتصل منطقة تعريفات وظائف ، والمجموعة هي نطاق الوظيفة.

غالبًا ما يتم التعامل مع الوظيفة كمتغير يأخذ قيمًا منه فيويعتمد ذلك على المتغير X، والتي تأخذ القيم من لكن، أن كل قيمة أعامل Xيتوافق مع قيمة محددة جيدًا للكمية. في الوقت نفسه ، يكتبون وبدلاً من "الوظيفة" يقولون "وظيفة".

ضع في اعتبارك التعيينات المختلفة وحدد أنواعها.

1) دع Xهي مجموعة الدوائر في المستوى. بربط كل دائرة بمركزها ، نحصل على التعيين Xعلى ال . هذا التعيين ليس حقًا ، نظرًا لأن نفس النقطة يمكن أن تكون مركز عدد لا حصر له من الدوائر. لكنها تخمينية ، لأن أي نقطة هي مركز دائرة ما. لذلك ، يتم تعريف المراسلات العكسية في كل مكان ، بشكل مفاجئ ، ولكن ليس وظيفيًا.

2) المراسلات هي دالة رقمية تعطى لمجموعة كاملة من الأرقام الحقيقية. مجموعة قيم هذه الوظيفة هي مجموعة من الأرقام غير السالبة. منذ ذلك الحين ، فإن الوظيفة ليست مفاجئة. لا يتم حقنه أيضًا ، منذ ذلك الحين. لذلك ، ليس لها دالة عكسية.

3) رسم الخرائط هو تخميني وحقني: لأي رقم واحد فقط مثل ذلك. هذا الرقم.

4) التعيين (هو مجموعة الأرقام غير السالبة) للمجموعة في حد ذاته يتم تعريفه في كل مكان ، عن طريق الحقن ، ولكنه ليس مفاجئًا. في الواقع ، بالنسبة للكسر ، لدينا.

لذلك ، فإن مجموعة قيم هذه الوظيفة هي الفاصل الزمني. يتم تعريف الدالة العكسية في هذا الفاصل الزمني وتأخذ قيمًا غير سالبة.

5) التعيين الذي تحدده القاعدة هو تعيين حَقني. انها ليست متحيزة لأن. ومع ذلك ، إذا حددنا التعيين بنفس الطريقة ، فسنحصل على تعيين حيوي. . ؛ السريانية تعني الجاذبية فقط ، والحقن يعني فقط الحقن.

3. إذا تم تعيين التحولات لكن، فإن تكوينها هو أيضًا تحول في المجموعة لكن.

لنفترض أن $ X $ و $ Y $ مجموعتين تعسفيتين.

تعريف.يتم استدعاء المراسلات التي يرتبط فيها كل عنصر من عناصر المجموعة $ X $ بعنصر فريد من المجموعة $ Y $ رسم الخرائط.

التعيين من المجموعة $ X $ للمجموعة $ Y $ يُرمز إليه $ X \ stackrel (f) (\ longrightarrow) Y $.

المجموعة $ X $ تسمى مجال التعريفرسم الخرائط ويتم الإشارة إليها بواسطة $ X = D (f) $.

تم استدعاء $ E (f) $ مجموعة قيمالخرائط ، و $ E (f) = \ (y \ in Y \ ؛ | \ ؛ \ موجود x \ في X ، y = f (x) \) $.

المجموعة $ \ Gamma (f) $ تسمى برنامجعرض. $ \ Gamma (f) = \ ((x، y) \ في X \ مرات Y، y = f (x)، \ forall x \ in X، y \ in Y \) $.

لنفترض أن $ f $ بعض التعيين من المجموعة $ X $ إلى المجموعة $ Y $. إذا تم تعيين $ x $ إلى $ y $ ضمن هذا التعيين ، فإن $ y = f (x) $. هنا $ y $ يسمى طريق$ x $ أو القيمةتعيين $ f $ عند النقطة $ x $. و $ x $ على التوالي ، النموذج المبدئيالعنصر $ y $.

بناءً على تعريف التعيين ، من الواضح أنه ليس مطلوبًا أن تكون جميع العناصر في المجموعة $ Y $ صورًا لبعض $ x $ ، وعلاوة على ذلك ، تكون فريدة.

مثال.

بالنظر إلى مجموعتين $ X = \ (c، e، n، m، i، b، p، b \) $ و $ Y = \ (1، 2، 3، 4، 5، 9، 10، 11 \) $

التعيين من المجموعة $ X $ للمجموعة $ Y $ له الشكل التالي:

$ \ start (matrix) \ (c، & e، & n، & t، & i، & b، & p، & b \) \\ \؛ \؛ \ updownarrow & \ updownarrow & \ updownarrow & \ updownarrow & \ updownarrow & \ updownarrow & \ updownarrow & \ updownarrow \؛ \؛ \\ \ (1، & 2، & 3، & 4، & 5، & 9، & 10، & 11 \) \ end (matrix) $

تعريف.يتم استدعاء مجموعة كل العناصر من المجموعة $ X $ التي تكون صورتها $ y $ من $ Y $ النموذج الكامل$ y $ من $ X $. المشار إليها: $ f ^ (- 1) (y) $.

تعريف.دع $ A \ مجموعة فرعية X $. تسمى مجموعة كل العناصر $ f (a) $، $ a \ in A $ كليايحدد $ A $ تحت التعيين $ f $.

تعريف.دع $ B \ مجموعة فرعية Y $. مجموعة كل العناصر من $ X $ والتي تنتمي صورها إلى المجموعة $ B $ تسمى الصورة المعكوسة الكاملة للمجموعة $ B $.

مثال.

X $ = Y = R $ ، $ y = x ^ 2 $.

$ A = [- 1 ؛ 1] \ subsetX $

الصورة الكاملة $ f (A) = $

$ B = \ مجموعة فرعية Y $

الصورة المسبقة الكاملة $ f ^ (- 1) (B) = [- 1 ؛ 1] $

تعريف.تم استدعاء تعيين $ f $ عن طريق الحقنرسم الخرائط إذا $ \ forall \؛ y \ in Y $ $ y = f (x) $ هي صورة $ x $ الفريدة.

تعريف.تم استدعاء تعيين $ f $ طائشتعيين إذا كانت جميع العناصر في المجموعة $ Y $ صورًا لبعض $ x $. (هذا تعيين للمجموعة $ X $ على المجموعة $ Y $).

تعريف.تم استدعاء تعيين $ f $ متحيز، إذا كان عن طريق الحقن والتخمين ، وإلا فإن مثل هذا التعيين يسمى مراسلة واحد لواحد.

تعريف.يتم استدعاء المجموعتين $ X $ و $ Y $ ما يعادل(مكافئ) إذا كانت في مراسلات فردية. المشار إليها: $ X Y $ (المجموعة $ X $ تعادل المجموعة $ Y $ أو المجموعة $ X $ تعادل المجموعة $ Y $).

1. الرسم البياني الامتثال. عرض. حقنة ، لا تخاطر.

دعونا الآن ندرس بعض الأسئلة المتعلقة بالعلاقات بين المجموعات.

سنقول ذلك بين المجموعات موقف سلوك(وهي مرتبطة) إذا كانت بعض (ربما جميع) عناصر من تتوافق مع بعض عناصر. إذا كانت المجموعة مرتبطة بمجموعة ، فسنكتب:

إذا كان العنصر في هذه الحالة مرتبطًا بعنصر ، فسنشير إلى ذلك

التعريف 1.1.2.تسمى العلاقة بين المجموعات رسم الخرائط، إذا ارتبط كل عنصر بعنصر واحد فقط (انظر الشكل 1.1.2. و 1.1.3). مع التخصص في طبيعة المجموعة ، تنشأ أنواع خاصة من التعيينات ، والتي لها أسماء خاصة "وظيفة" ، " vector-function "،" عامل "،" قياس "،" وظيفي "، إلخ. سنواجهها لاحقًا.

للإشارة إلى وظيفة (تعيين) من w ، سنستخدم الترميز

الشكل 1.1.2. اعرض الشكل 1.1.3 العلاقة ليست كذلك

رسم الخرائط

التعريف 1.1.3. إذا كان عنصر من ، فإن العنصر المقابل يسمى صورته (عند عرضه) ، ومجموعة كل تلك التي تسمى الصورة المسبقة ويتم الإشارة إليها (انظر الشكل 1.1.4).

الشكل 1.1.4. النموذج المبدئيب

التعريف 1.1.4.الشاشة تسمى تعيين واحد لواحد، إذا كان لكل عنصر من صورة فريدة تحت التعيين ، وكان لكل عنصر صورة مسبقة فريدة ضمن هذا التعيين.

الشكل 1.1.5. تعيين واحد لواحد

في ما يلي ، سننظر في التعيينات فقط ، نظرًا لوجود حيل تقلل التعيينات متعددة القيم إلى التعيينات أحادية القيمة ، والتي نسميها ببساطة التعيينات.

يلعب مفهوم رسم الخرائط دورًا مهمًا في الرياضيات ؛ على وجه الخصوص ، في التحليل الرياضي ، يشغل المفهوم المكانة المركزية المهام، وهو تعيين من رقم إلى آخر.

1.7 ضبط السلطة

عند دراسة العلاقات بين المجموعات ، فإن "حجم" المجموعات ، وعدد العناصر فيها ، له أهمية كبيرة. لكن الحديث عن عدد العناصر مفهوم ومبرر إذا كان هذا الرقم محدودًا. سيتم استدعاء مجموعات تتكون من عدد محدود من العناصر نهائي . ومع ذلك ، فإن العديد من المجموعات التي تم أخذها في الاعتبار في الرياضيات ليست محدودة ، على سبيل المثال ، مجموعة الأرقام الحقيقية ، ومجموعة النقاط على المستوى ، ومجموعة الوظائف المستمرة المحددة في جزء ما ، إلخ. لتوصيف المجموعات اللانهائية (والمحدودة) كميًا في نظرية المجموعات ، يتم استخدام المفهوم أصل المجموعة .

سنقول أن مجموعات ولديها نفس القوة ، إذا كان هناك تعيين رأس برأس من مجموعة إلى مجموعة (لاحظ أنه في هذه الحالة يوجد أيضًا تعيين رأس برأس من مجموعة B إلى مجموعة A).

إذا كانت المجموعات u لها نفس العلاقة الأساسية ، فإننا نقول إنها متكافئة ، يتم الإشارة إلى هذا بواسطة:.

اسمحوا أن تكون مجموعات تعسفية ، إذن

أولئك. أي مجموعة تعادل نفسها ؛ إذا كانت المجموعة معادلة للمجموعة ، فإنها تكون مكافئة ؛ أخيرًا ، إذا كانت المجموعة معادلة لمجموعة تعادل مجموعة ، فعندئذٍ تكون مكافئة.

تسمى مجموعة مكافئة لبعض المجموعات الفرعية الخاصة بها بلا نهاية .

إذا كانت المجموعات المحدودة تحتوي على أعداد مختلفة من العناصر ، فمن الواضح أن إحداها تحتوي على عدد أقل من العناصر الأخرى. ولكن كيف تقارن المجموعات اللانهائية بهذا المعنى؟ نقول أن أصل المجموعة أقل من أصل المجموعة إذا كانت هناك مجموعة فرعية من المجموعة تعادل المجموعة ، لكن المجموعات نفسها ليست مكافئة.

أصل مجموعة محدودة يساوي عدد عناصرها. بالنسبة للمجموعات اللانهائية ، فإن مفهوم "القوة" هو تعميم لمفهوم "عدد العناصر".

دعونا نشير إلى بعض فئات المجموعات المفيدة لما يلي.

المجموعة تسمى قابلة للعد. ، إذا كان لها نفس العلاقة الأساسية مثل مجموعة فرعية من المجموعة (مجموعة الأعداد الطبيعية). يمكن أن تكون المجموعة المعدودة محدودة أو غير محدودة.

المجموعة اللانهائية قابلة للعد إذا وفقط إذا كانت معادلة لمجموعة الأعداد الطبيعية.

لاحظ أن أي مجموعة تكون أصلها الأساسي أقل من أصل مجموعة قابلة للعد اللانهائي هي مجموعة محدودة.

مجموعة الأعداد الحقيقية في الفترة من صفر إلى واحد لها استمرارية السلطة ، وغالبًا ما يطلق عليه الأستمرارية . العدد الأساسي لهذه المجموعة أكبر من أصل مجموعة معدودة لانهائية. السؤال الذي يطرح نفسه: هل هناك مجموعة ذات أصل أكبر من أصل مجموعة لا نهائية معدودة ، ولكنها أقل من أصل السلسلة المتصلة. تمت صياغة هذه المشكلة في عام 1900 من قبل أحد أعظم علماء الرياضيات في العالم ، ديفيد هيلبرت. اتضح أن هذه المشكلة لها إجابة غير متوقعة إلى حد ما: يمكننا افتراض وجود مثل هذه المجموعة ، أو يمكننا افتراض أنها غير موجودة. ستكون النظريات الرياضية الناتجة متسقة. تم تقديم الدليل على هذه الحقيقة من قبل العالم الأمريكي كوهين في عام 1965 في المؤتمر العالمي لعلماء الرياضيات في موسكو. لاحظ أن الموقف مع هذه المشكلة يشبه الموقف مع الافتراض الخامس لإقليدس: من خلال نقطة تقع خارج خط معين ، يمكن رسم سطر واحد فقط موازٍ للخط المعطى. كما أظهر Lobachevsky ، فإن رفض هذه الفرضية لا يؤدي إلى تناقضات. يمكننا بناء هندسة تؤمن بها هذه الفرضية ، وهندسة غير صحيحة بالنسبة لها.

في الختام ، نقدم العديد من الأمثلة التي توضح تقنية إثبات تكافؤ المجموعات.

المثال 1.11.مجموعة الأعداد الصحيحة قابلة للعد.

من الواضح أن المجموعة قيد النظر لا نهائية (مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعتها الفرعية).

لإثبات قابلية مجموعة الأعداد الصحيحة للعد ، من الضروري إنشاء تعيين واحد لواحد بين مجموعة الأعداد الطبيعية والمجموعة قيد الدراسة. يتم تحديد التعيين المطلوب من خلال القاعدة: نرتب الأعداد الصحيحة على النحو التالي:

وأعد ترقيمها بأرقام طبيعية ، مع تخصيص أرقام لها (يشار إليها بجانب الأعداد الصحيحة المدروسة). من الواضح أن كل عدد صحيح سيحصل على رقمه الخاص ، بأرقام مختلفة تحصل على أرقام مختلفة. والعكس صحيح أيضًا: لكل رقم طبيعي (لكل رقم) يوجد أيضًا عدد صحيح واحد تحت هذا الرقم. وبالتالي ، تم إنشاء مخطط واحد لواحد المطلوب.

المثال 1.12. مجموعة الأرقام المنطقية قابلة للعد.

من المعروف أنه يمكن تمثيل أي رقم منطقي ككسر غير قابل للاختزال p / q ، باستخدام هذا التمثيل نقوم بترتيب الأرقام المنطقية وفقًا للمخطط:

. . . . . .

دعنا نعيد ترقيم هذه الأرقام بنفس الطريقة كما في المثال السابق (الأرقام موضحة في الأعلى بين قوسين بجوار الأرقام). من السهل أن نرى أن القاعدة المصاغة لترقيم الأرقام المنطقية تعطي التعيين المطلوب واحد لواحد لمجموعة الأعداد الطبيعية في مجموعة الأرقام المنطقية.

المثال 1.13. اتحاد مجموعة معدودة من المجموعات المعدودة هو مجموعة معدودة.

إن إثبات هذه الحقيقة مشابه لإثبات تأكيد المثال السابق.

في الختام ، نقدم تأكيدًا مهمًا لما يلي. لكن لهذا نحتاج إلى عملية أخرى على مجموعات.

المنتج المباشر للمجموعات و( المنتج الديكارتي ) هي مجموعة كل الأزواج المرتبة ، حيث و. تم تصنيف هذه المجموعة. في هذا الطريق:

دلالة ، سيتم الإشارة إلى ناتج العوامل.

نظرية 1.1. لأي مجموعة لانهائية علاوة على ذلك.

على وجه الخصوص ، أي مجموعة النقاط على الخط لها نفس العلاقة الأساسية لمجموعة النقاط على المستوى. علاوة على ذلك ، هناك العديد من النقاط في الفضاء مثل تلك الموجودة على خط مستقيم.

بهذا نختتم معرفتنا بالمفاهيم الأساسية للمنطق الرياضي ونظرية المجموعات - أسس الرياضيات الحديثة. نلاحظ أنه ، للأسف ، بقيت العديد من جوانب هذه النظريات خارج نطاق هذا الفصل ؛ يمكنك التعرف عليها ، على سبيل المثال ، بواسطة و.