В этой статье мы детально разберем модуль числа . Мы дадим различные определения модуля числа, введем обозначения и приведем графические иллюстрации. При этом рассмотрим различные примеры нахождения модуля числа по определению. После этого мы перечислим и обоснуем основные свойства модуля. В конце статьи поговорим о том, как определяется и находится модуль комплексного числа.

Навигация по странице.

Модуль числа – определение, обозначение и примеры

Сначала введем обозначение модуля числа . Модуль числа a будем записывать как , то есть, слева и справа от числа будем ставить вертикальные черточки, образующие знак модуля. Приведем пару примеров. Например, модуль −7 можно записать как ; модуль 4,125 записывается как , а модуль имеет запись вида .

Следующее определение модуля относится к , а следовательно, и к , и к целым, и к рациональным, и к иррациональным числам, как к составляющим частям множества действительных чисел. О модуле комплексного числа мы поговорим в .

Определение.

Модуль числа a – это либо само число a , если a – положительное число, либо число −a , противоположное числу a , если a – отрицательное число, либо 0 , если a=0 .

Озвученное определение модуля числа часто записывают в следующем виде , эта запись означает, что , если a>0 , , если a=0 , и , если a<0 .

Запись можно представить в более компактной форме . Эта запись означает, что , если (a больше или равно 0 ), и , если a<0 .

Также имеет место и запись . Здесь отдельно следует пояснить случай, когда a=0 . В этом случае имеем , но −0=0 , так как нуль считают числом, которое противоположно самому себе.

Приведем примеры нахождения модуля числа с помощью озвученного определения. Для примера найдем модули чисел 15 и . Начнем с нахождения . Так как число 15 – положительное, то его модуль по определению равен самому этому числу, то есть, . А чему равен модуль числа ? Так как - отрицательное число, то его модуль равен числу, противоположному числу , то есть, числу . Таким образом, .

В заключение этого пункта приведем один вывод, который очень удобно применять на практике при нахождении модуля числа. Из определения модуля числа следует, что модуль числа равен числу под знаком модуля без учета его знака , а из рассмотренных выше примеров это очень отчетливо видно. Озвученное утверждение объясняет, почему модуль числа называют еще абсолютной величиной числа . Так модуль числа и абсолютная величина числа – это одно и то же.

Модуль числа как расстояние

Геометрически модуль числа можно интерпретировать как расстояние . Приведем определение модуля числа через расстояние .

Определение.

Модуль числа a – это расстояние от начала отсчета на координатной прямой до точки, соответствующей числу a.

Данное определение согласуется с определением модуля числа, данного в первом пункте. Поясним этот момент. Расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует положительное число, равно этому числу. Нулю соответствует начало отсчета, поэтому расстояние от начала отсчета до точки с координатой 0 равно нулю (не нужно откладывать ни одного единичного отрезка и ни одного отрезка, составляющего какую-нибудь долю единичного отрезка, чтобы от точки O попасть в точку с координатой 0 ). Расстояние от начала отсчета до точки с отрицательной координатой равно числу, противоположному координате данной точки, так как равно расстоянию от начала координат до точки, координатой которой является противоположное число.

Например, модуль числа 9 равен 9 , так как расстояние от начала отсчета до точки с координатой 9 равно девяти. Приведем еще пример. Точка с координатой −3,25 находится от точки O на расстоянии 3,25 , поэтому .

Озвученное определение модуля числа является частным случаем определения модуля разности двух чисел.

Определение.

Модуль разности двух чисел a и b равен расстоянию между точками координатной прямой с координатами a и b .

То есть, если даны точки на координатной прямой A(a) и B(b) , то расстояние от точки A до точки B равно модулю разности чисел a и b . Если в качестве точки В взять точку O (начало отсчета), то мы получим определение модуля числа, приведенное в начале этого пункта.

Определение модуля числа через арифметический квадратный корень

Иногда встречается определение модуля через арифметический квадратный корень .

Для примера вычислим модули чисел −30 и на основании данного определения. Имеем . Аналогично вычисляем модуль двух третьих: .

Определение модуля числа через арифметический квадратный корень также согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Покажем это. Пусть a – положительное число, при этом число −a – отрицательное. Тогда и , если же a=0 , то .

Свойства модуля

Модулю присущ ряд характерных результатов - свойства модуля . Сейчас мы приведем основные и наиболее часто используемые из них. При обосновании этих свойств мы будем опираться на определение модуля числа через расстояние.

Начнем с самого очевидного свойства модуля – модуль числа не может быть отрицательным числом . В буквенном виде это свойство имеет запись вида для любого числа a . Это свойство очень легко обосновать: модуль числа есть расстояние, а расстояние не может выражаться отрицательным числом.

Переходим к следующему свойству модуля. Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда это число есть нуль . Модуль нуля есть нуль по определению. Нулю соответствует начало отсчета, никакая другая точка на координатной прямой нулю не соответствует, так как каждому действительному числу поставлена в соответствие единственная точка на координатной прямой. По этой же причине любому числу, отличному от нуля, соответствует точка, отличная от начала отсчета. А расстояние от начала отсчета до любой точки, отличной от точки O , не равно нулю, так как расстояние между двумя точками равно нулю тогда и только тогда, когда эти точки совпадают. Приведенные рассуждения доказывают, что нулю равен лишь модуль нуля.

Идем дальше. Противоположные числа имеют равные модули, то есть, для любого числа a . Действительно, две точки на координатной прямой, координатами которых являются противоположные числа, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета, значит модули противоположных чисел равны.

Следующее свойство модуля таково: модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел , то есть, . По определению модуль произведения чисел a и b равен либо a·b , если , либо −(a·b) , если . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b , , либо −(a·b) , если , что доказывает рассматриваемое свойство.

Модуль частного от деления a на b равен частному от деления модуля числа a на модуль числа b , то есть, . Обоснуем это свойство модуля. Так как частное равно произведению , то . В силу предыдущего свойства имеем . Осталось лишь воспользоваться равенством , которое справедливо в силу определения модуля числа.

Следующее свойство модуля записывается в виде неравенства: , a , b и c – произвольные действительные числа. Записанное неравенство представляет собой ни что иное как неравенство треугольника . Чтобы это стало понятно, возьмем точки A(a) , B(b) , C(c) на координатной прямой, и рассмотрим вырожденный треугольник АВС , у которого вершины лежат на одной прямой. По определению модуля разности равен длине отрезка АВ , - длине отрезка АС , а - длине отрезка СВ . Так как длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других сторон, то справедливо неравенство , следовательно, справедливо и неравенство .

Только что доказанное неравенство намного чаще встречается в виде . Записанное неравенство обычно рассматривают как отдельное свойство модуля с формулировкой: «Модуль суммы двух чисел не превосходит сумму модулей этих чисел ». Но неравенство напрямую следует из неравенства , если в нем вместо b положить −b , и принять c=0 .

Модуль комплексного числа

Дадим определение модуля комплексного числа . Пусть нам дано комплексное число , записанное в алгебраической форме , где x и y – некоторые действительные числа, представляющие собой соответственно действительную и мнимую части данного комплексного числа z , а – мнимая единица.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Цели и задачи урока Ввести определение модуля действительного числа, рассмотреть свойства и разъяснить геометрический смысл модуля; Ввести функцию y = |x | , показать правила построения ее графика; Научить разными способами решать уравнения, содержащие модуль; Развивать интерес к математике, самостоятельность, логическое мышление, математическую речь, прививать аккуратность и трудолюбие.

Определение. Например: |8|=8 ; | -8 | =-(-8)=8;

Свойства модуля

Геометрический смысл модуля Числовая прямая служит хорошим примером множества действительных чисел. Давайте отметим на числовой прямой две точки a и b и постараемся найти расстояние ρ(a ; b) между этими точками. Очевидно что это расстояние равно b-a , если b>a Если поменять местами, то есть a > b , расстояние будет равно a - b . Если a = b то расстояние равно нулю, так как получается точка. Все три случая мы можем описать единообразно:

Пример. Решите уравнение: а) |x-3|=6 б) |x+5|=3 в) |x|=2.8 г) Решение. а) Нам нужно найти на координатной прямой такие точки, которые удалены от точки 3 на расстояние равное 6. Такие точки 9 и -3. (Прибавили и отняли шестерку от тройки.) Ответ: х=9 и х=-3 б) | x +5|=3, перепишем уравнение в виде | x -(-5)|=3. Найдем расстояние от точки -5 удаленное на 3. Такое расстояние, получается, от двух точек: х=2 и х=-8 Ответ: х=2 и х=-8. в) | x |=2.8, можно представить в виде |х-0|=2.8 или Очевидно, что х=-2.8 или х=2.8 Ответ: х=-2.8 и х=2.8. г) эквивалентно Очевидно, что

Функция y = |x|

Решить уравнение |x-1| = 4 1 способ (аналитический) Задание 2

2 способ (графический)

Модуль действительного числа. Тождество Рассмотрим выражение, если а>0, то мы знаем что. Но как быть, в случае если a 0. 2. Давайте обобщим: По определению модуля: То есть

Модуль действительного числа. Пример. Упростить выражение если: а) а-2≥0 б) a -2

Модуль действительного числа. Пример. Вычислить Решение. Мы знаем что: Осталось раскрыть модули Рассмотрим первое выражение:

Рассмотрим второе выражение: Используя определение раскроем знаки модулей: В итоге получили: Ответ: 1.

Закрепление нового материала. № 16.2, №16.3, №16.4, №16.12, №16.16 (а, г), №16.19

Задачи для самостоятельного решения. 1. Решите уравнение: а) | x -10|=3 б) | x +2|=1 в) | x |=2.8 г) 2. Решить уравнение: а) |3 x -9|=33 б) |8-4 x |=16 в) | x +7|=-3 3. Упростить выражение если а) а-3≥0 б) a -3

Список использованной литературы: Звавич Л.И. Алгебра. Углубленное изучение. 8 кл.: задачник / Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский. – 4-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2006. – 284 с. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений /А.Г. Мордкович. – 12-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. – 215 с. Мордкович А.Г и др. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / под ред. А.Г. Мордковича. – 12-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2014. – 271 с.

Ваша цель:

четко знать определение модуля действительного числа;

понимать геометрическую интерпретацию модуля действительного числа и уметь применять ее при решении задач;

знать свойства модуля и уметь применять при решении задач;

уметь представление о расстоянии между двумя точками координатной прямой и уметь использовать его при решении задач.

Входная информация

Понятие модуля действительного числа. Модулем действительного числа называют само это число , если , и противоположны ему число , если < 0.

Модуль числа обозначают и записывают:

Геометрическая интерпретация модуля . Геометрически модуль действительного числа есть расстояние от точки, изображающей данное число на координатной прямой, до начала отсчета.

Решение уравнений и неравенств с модулями на основе геометрического смысла модуля . Пользуясь понятием «расстояние между двумя точками координатной прямой» можно решать уравнения вида или неравенства вида , где вместо знака может стоять любой из знаков .

Пример. Решим уравнение .

Решение. Переформулируем задачу геометрически. Поскольку -это расстояние на координатной прямой между точками с координатами и , значит, требуется найти координаты таких точек, расстояние от которых до точек с координатой 1 равно 2.

Короче, на координатной прямой найти множество координат точек, расстояние от которых до точки с координатной 1 равно 2.

Решим эту задачу. Отметим на координатной прямой точку, координата которой равна 1 (рис. 6) На две единицы от этой точки удалены точки, координаты которых равны -1 и 3. Значит, искомое множество координат точек есть множество, состоящее из чисел -1 и 3.

Ответ: -1; 3.

Как найти расстояние между двумя точками координатной прямой. Число, выражающее расстояние между точками и , называют расстоянием между числами и .

Для любых двух точек и координатной прямой расстояние

.

Основные свойства модуля действительного числа:

3. ;

7. ;

8. ;

9. ;

При имеем:

11. тогда только тогда, когда или ;

12. тогда только тогда, когда ;

13. тогда только тогда, когда или ;

14. тогда только тогда, когда ;

11. тогда только тогда, когда .

Практическая часть

Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко в сем устным упражнениям, приведенным ниже.

Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

1. Раскройте знак модуля:

а) |–5|; б) |5|; в) |0|; г) |p|.

2. Сравните между собой числа:

а) || и –; в) |0| и 0; д) – |–3| и –3; ж) –4|а | и 0;

б) |–p| и p; г) |–7,3| и –7,3; е) |а | и 0; з) 2|а | и |2а |.

3. Как при помощи знака модуля записать, что по крайней мере одно из чисел а , b или с отлично от нуля?

4. Как при помощи знака равенства записать, что каждое из чисел а , b и с равно нулю?

5. Найдите значение выражения:

а) |а | – а ; б) а + |а |.

6. Решите уравнение:

а) |х | = 3; в) |х | = –2; д) |2х – 5| = 0;

б) |х | = 0; г) |х – 3| = 4; е) |3х – 7| = – 9.

7. Что можно сказать о числах х и у , если:

а) |х | = х ; б) |х | = –х ; в) |х | = |у |?

8. Решите уравнение:

а) |х – 2| = х – 2; в) |х – 3| =|7 – х |;

б) |х – 2| = 2 – х ; г) |х – 5| =|х – 6|.

9. Что можно сказать о числе у , если имеет место равенство:

а) ïх ï = у ; б) ïх ï = –у ?

10. Решите неравенство:

а) |х | > х ; в) |х | > –х ; д) |х | £ х ;

б) |х | ³ х ; г) |х | ³ –х ; е) |х | £ –х .

11. Укажите все значения а, для которых имеет место равенство:

а) |а | = а ; б) |а | = –а ; в) а – |–а | =0; г) |а |а = –1; д) = 1.

12. Найдите все значения b , для которых имеет место неравенство:

а) |b | ³ 1; б) |b | < 1; в) |b | £ 0; г) |b | ³ 0; д) 1 < |b | < 2.

С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.

Задание 2. Исходя из определения модуля действительного числа, решите уравнение:

Задание 4. Расстояние между точками, изображающими действительные числа α и β на координатной прямой, равно | α – β |. Пользуясь этим, решите уравнение.

В школе на уроке математики каждый год ученики разбирают новые темы. 6 класс обычно изучает модуль числа – это важное понятие в математике, работа с которым встречается далее в алгебре и высшей математики. Очень важно изначально правильно понять объяснение термина и разобраться в этой теме, чтобы успешно проходить прочие темы.

Для начала следует понимать, что абсолютная величина – это параметр в статистике (измеряется количественно), который характеризует изучаемое явление по его объему. При этом явление должно осуществляться в определенных временных рамках и с определенным месторасположением. Различают значения:

• суммарные – подходят для группы единиц или полностью всей совокупности;
• индивидуальные – подходят только для работы с единицей некой совокупности.

Понятия широко используются в статистических измерениях, результатом которых являются показатели, характеризующие абсолютные размеры у каждой единицы некоего явления. Измеряются они в двух показателях: натуральном, т.е. физические единицы (шт., люди) и условно-натуральном. Модуль в математике является отображением данных показателей.

Что такое модуль числа?

Важно! Данное определение «module» с латыни переводиться как «мера» и означает абсолютную величину любого натурального числа.

Но у данного понятия есть и геометрическое объяснение, поскольку модулю в геометрии равняется расстояние от начала системы координат до точки X, которое измеряется в привычных единицах измерения.

Для того, чтобы определить данный показатель у числа, следует не учитывать его знак (минус, плюс), но при этом следует помнить то, что он никогда не может быть отрицательным. Данное значение на бумаге выделяется графически в виде квадратных скобок — |a|. При этом, математическое определение такое:

|х| = х, если х больше или равен нулю и -х, если меньше нуля.

Английский ученый Р. Котес был тем человеком, кто впервые применил данное понятие в математических расчетах. А вот К. Вейерштрасс, математик из Германии, придумал и ввел в использование графический символ.

В геометрии module можно рассмотреть на примере координатной прямой, на которое нанесены 2 произвольные точки. Предположим, одна — А имеет значение 5, а вторая В - 6. При подробном изучении чертежа станет ясно, что расстояние от А до В – 5 единиц от нуля, т.е. начала координат, а точка В размещена от начала координат на 6 единиц. Можно сделать вывод, что module точки, А = 5, а точки В = 6. Графически это можно обозначить так: | 5 | = 5. Т. е. расстояние от точки до начала координат является модулем данной точки.

Полезное видео: что такое модуль действительного числа?

Свойства

Как у любого математического понятия, у module есть свои математические свойства:

1. Он всегда положительный, поэтому модулем положительного значения будет оно само, например, модуль числа 6 и -6 равен 6. Математически это свойство можно записать как |a| = a, при a> 0;
2. Показатели противоположных чисел равны между собой. Это свойство понятнее в геометрическом изложении, поскольку на прямой данные числа располагаются в разных местах, но при этом от начала отсчета их отделяет равное количество единиц. Математически это записывается так: |а| = |-а|;
3. Модуль нуля равен нулю, при условии, что действительное число – это ноль. Это свойство подтверждается тем фактом, что ноль является началом координат. Графически это записывают так: |0| = 0;
4. Если требуется найти модуль двух умножающихся цифр, стоит понимать, что он будет равен полученному произведению. Другими словами, произведение величин А и В = АВ, при условии, что они положительные или же отрицательные, и тогда произведение равняется -АВ. Графически это можно записать как |А*В| = |А| * |В|.

Успешное решение уравнений с модулем зависит от знания данных свойств, которое поможет любому правильно вычислять и работать с данным показателем.

Свойства модуля

Важно ! Показатель не может быть отрицательным, поскольку он определяет расстояние, которое всегда положительное.

В уравнениях

В случае работы и решения математических неравенств, в которых присутствует module, всегда необходимо помнить, что для получения итогового правильного результата следует раскрыть скобки, т.е. открыть знак module . Зачастую, в этом и есть смысл уравнения.

При этом стоит помнить, что:

• если в квадратных скобках записано выражение, его необходимо решить: |А + 5| = А + 5, при А больше или равным нулю и 5-А, в случае А меньше нуля;
• квадратные скобки чаще всего должны раскрываться независимо от значений переменной, например, если в скобках заключено выражение в квадрате, поскольку при раскрытии в любом случае будет положительное число.

Очень легко решаются уравнения с module путем занесения значений в систему координат, поскольку тогда легко увидеть визуально значения и их показатели.

Полезное видео: модуль действительного числа и его свойства

Вывод

Принцип понимания такого математического понятия, как module, крайне важен, поскольку оно используется в высшей математике и прочих науках, поэтому необходимо уметь работать с ним.

Вконтакте

Модулем или абсолютной величиной действительного числа называется само это число, если х неотрицательно, и противоположное число, т.е. -х, если х отрицательно:

Очевидно, но определению, |х| > 0. Известны следующие свойства абсолютных величин:

• 1) ху | = |дг| |г/1;
• 2>- -Н;

У у

• 3) |х+г/|
• 4) |дт-г/|

Модуль разности двух чисел х - а | есть расстояние между точками х и а на числовой прямой (при любых х и а).

Из этого следует, в частности, что решениями неравенствах - а 0) являются все точки х интервала {а - г, а + с), т.е. числа, удовлетворяющие неравенству а-г+ г.

Такой интервал (а - 8, а + г) называется 8-окрестностью точки а.

Основные свойства функций

Как мы уже заявляли, все величины в математике делят на постоянные и переменные. Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение.

Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Определение 10.8. Переменная величина у называется функцией от переменной величины х, если по некоторому правилу каждому значению х е X поставлено в соответствие определенное значение у е У; независимая переменная х обычно называется аргументом, а область X ее изменения называется областью определения функции.

Тот факт, что у есть функция отх, чаще всего выражают символической записью: у = /(х).

Существует несколько способов задания функций. Основными принято считать три: аналитический, табличный и графический.

Аналитический способ. Этот способ состоит в задании связи между аргументом (независимой переменной) и функцией в виде формулы (или формул). Обычно в качестве /(х) выступает некоторое аналитическое выражение, содержащее х. В этом случае говорят, что функция определяется формулой, например, у = 2х + 1, у = tgx и т.д.

Табличный способ задания функции состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции /(.г). Примерами могут служить таблицы количества преступлений за определенный период, таблицы экспериментальных измерений, таблица логарифмов.

Графический способ. Пусть на плоскости задана система декартовых прямоугольных координат хОу. В основе геометрической интерпретации функции лежит следующее.

Определение 10.9. Графиком функции называется геометрическое место точек плоскости, координаты (х, у) которых удовлетворяют условию: у-Ах).

Функция называется заданной графически, если начерчен ее график. Графический способ широко применяется в экспериментальных измерениях с употреблением самопишущих приборов.

Имея перед глазами наглядный график функций, нетрудно представить себе многие ее свойства, что делает график незаменимым средством исследования функции. Поэтому построение графика является важнейшей (обычно завершающей) частью исследования функции.

Каждый способ имеет как свои достоинства, так и недостатки. Так, к достоинствам графического способа можно отнести его наглядность, к недостаткам - его неточность и ограниченность представления.

Перейдем теперь к рассмотрению основных свойств функций.

Четность и нечетность. Функция у = f(x) называется четной, если для любого х выполняется условие f(-x) = f(x). Если же для х из области определения выполняется условие /(-х) = -/(х), то функция называется нечетной. Функция, которая не является четной или нечетной, называется функцией общего вида.

• 1) у = х 2 - четная функция, так как f(-x) = (-х) 2 = х 2 , т.е./(-х) =/(.г);
• 2) у = х 3 - нечетная функция, так как (-х) 3 = -х 3 , т.с. /(-х) = -/(х);
• 3) у = х 2 + х есть функция общего вида. Здесь /(х) = х 2 + х, /(-х) = (-х) 2 +
• (-х) = х 2 - х,/(-х) */(х);/(-х) -/"/(-х).

График четной функции симметричен относительно оси Ох, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Монотонность. Функция у =/(х) называется возрастающей на промежутке X, если для любых х, х 2 е X из неравенства х 2 > х, следует /(х 2) > /(х,). Функция у =/(х) называется убывающей, если из х 2 > х, следует/(х 2) (х,).

Функция называется монотонной на промежутке X, если она или возрастает на всем этом промежутке, или убывает на нем.

Например, функция у = х 2 убывает на (-°°; 0) и возрастает на (0; +°°).

Заметим, что мы дали определение функции монотонной в строгом смысле. Вообще к монотонным функциям относятся неубывающие функции, т.е. такие, для которых из х 2 > х, следует/(х 2) >/(х,), и невозрастающие функции, т.е. такие, для которых из х 2 > х, следует/(х 2)

Ограниченность. Функция у =/(х) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое число М > 0, что |/(х)| М для любого х е X.

Например, функция у =-

ограничена на всей числовой прямой, так

Периодичность. Функция у = f(x) называется периодической , если существует такое число Т ^ О, что f(x + Т = f(x) для всех х из области определения функции.

В этом случае Т называется периодом функции. Очевидно, если Т - период функции у = f(x), то периодами этой функции являются также 2Г, 3Т и т.д. Поэтому обычно периодом функции называется наименьший положительный период (если он существует). Например, функциях/ = cos.г имеет период Т= 2п, а функция у = tg Зх - период п/3.