أمثلة على الاستقراء. طريقة الاستقراء الرياضي: أمثلة على الحلول. التطوير المنهجي "طريقة الاستقراء الرياضي"

الدرس # 50

موضوع الدرس : طريقة الاستقراء الرياضي.

الغرض من الدرس: تعرف علىجوهر طريقة الاستقراء الرياضي ، تعلم كيفية تطبيق هذه الطريقة في حل مشاكل الإثبات ، ومواصلة تطوير المهارات الحسابية ، ومواصلة تشكيل معرفة القراءة والكتابة الرياضية.

خلال الفصول.

تنظيم الوقت. تحديد أهداف الدرس

تفعيل المعرفة الأساسية.

تعريف التقدم الهندسي ، الصيغ للعضو رقم n من التقدم الهندسي.

كرر معادلة مجموع أول n من الحدود للتقدم الحسابي.

كرر الصيغة لمجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود

3. تعلم مواد جديدة

عند حل العديد من المشكلات ، عند إثبات صحة المقترحات الرياضية ، وكذلك عند اشتقاق صيغة ، غالبًا ما يستخدم التفكير ، وهو ما يسمىطريقة الاستقراء الرياضي.

أنت ، على سبيل المثال ، استخدمت هذا المنطق عند اشتقاق الصيغةنعشر ، وكذلك عند اشتقاق صيغة مجموع الأولنأعضاء التدرجات الحسابية والهندسية.

جوهر هذه الطريقة هو كما يلي: إذا كان من الضروري إثبات صحة بيان معين يظهر فيه رقم طبيعين، الذي - التي:

1) التحقق من أن العبارة المقصودة تحمل قيمة معينةن(على سبيل المثال لن=1).

2) من المفترض أن العبارة صحيحة لبعض القيمة التعسفيةن = ك , وقد ثبت في هذه الحالة أنها صالحة أيضًان = ك + 1. من هنا يُستنتج أن التأكيد صحيح لأي قيمةن، لأنه تم اكتشاف عدالته فين= 1 ، وبما تم إثباته ، فهو صحيح أيضًان= 2 ، وبما أنها صالحة لن= 2 ، فهي صالحة أيضًا لـن= 3 إلخ.

الآن دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام هذه الطريقة.

مثال 1. دعونا نثبت ذلك لأي طبيعينهناك مساواة

الصيغة صحيحة لن= 1 لأن:

دعونا نفترض أن الصيغة صحيحة لن = ك .

دعونا نثبت أن هذا صحيح في هذه الحالةن = ك+ 1 ، أي

أظهر التحقق المباشر أن الصيغة صحيحةن = 1 ؛ لذلك ، سيكون أيضًا صالحًا لـن= 2 ، وبالتالين= 3 ، لذلك ، من أجلن = 4 وبشكل عام لأي طبيعين.

4. حل المشكلات

№249 (أ)

في هذه المشكلة ، يلزم إثبات الصيغةن – ذمصطلح التقدم الحسابي عن طريق الاستقراء الرياضي

فين= 1 لدينا 1 = أ 1.

افترض أن هذه الصيغة صحيحة لـكالمصطلح ، أي المساواة أ ك = أ 1 + د( ك-1)

دعنا نثبت أن هذه الصيغة صحيحة أيضًا في هذه الحالة لـ (ك+1) العضو ال. حقًا،

أ ك +1 = أ 1 + د( ك+ 1-1) = أ 1 + dk

من ناحية أخرى ، بحكم التعريف ، عارف. بروغ. أ ك +1 = أ ك + د

بما أن الجزأين الأيسر من التعبيرين الأخيرين هما = والأجزاء اليمنى متساوية:

أ ك + د= أ 1 + dkأو أ ك = أ 1 + د( ك-1)

تسمح لنا المساواة الصحيحة الناتجة بتأكيد أن الصيغةنالمصطلح ال من التقدم الحسابي مناسب لأي شيء طبيعين

№ 255

دعنا نثبت أن الرقم 11 ن + 1 +12 2 ن -1 لجميع القيم الطبيعيةناقسم على 133

فين= 1 لدينا 11 1+1 +12 2*1-1 = 133 ، 133 مقسومًا على 133

لنفترض ذلك فين= كالمجموع 11 ك +1 +12 2 ك -1 اقسم على 133

دعونا نثبت أن هذا المجموع يقبل القسمة على 133ن= ك+1 ، أي أحد عشر ك +2 +12 2 ك +1 اقسم على 133

11 ك + 2 +12 2 ك + 1 =11*11 ك +1 +144*12 ك -1 =11*11 ك +1 +11*12 2 ك -1 +133*12 2 ك -1 =11(11 ك + 1 +12 2 ك -1 )+133*12 2 ك -1

كل مصطلح من المجموع الناتج قابل للقسمة على 133. لذلك ، 11 ك +2 +12 2 ك +1 اقسم أيضًا على 133.

5. انعكاس

6. البيان D / z

§15 يقرر رقم 251

طريقة الحث الرياضي

كلمة الاستقراء باللغة الروسية تعني التوجيه ، والاستقرائي يسمى الاستنتاجات بناءً على الملاحظات والتجارب ، أي تم الحصول عليها بالاستدلال من الخاص إلى العام.

على سبيل المثال ، نلاحظ كل يوم أن الشمس تشرق من الشرق. لذلك ، يمكنك التأكد من أنه سيظهر غدًا في الشرق وليس في الغرب. نتوصل إلى هذا الاستنتاج دون اللجوء إلى أي افتراضات حول سبب حركة الشمس عبر السماء (علاوة على ذلك ، فإن هذه الحركة نفسها تبين أنها ظاهرة ، لأنها تتحرك بالفعل. أرض). ومع ذلك ، فإن هذا الاشتقاق الاستقرائي يصف بشكل صحيح الملاحظات التي سنقوم بها غدًا.

دور الاستدلالات الاستقرائية في العلوم التجريبية كبير جدًا. أنها تعطي تلك الأحكام ، والتي من ثم يتم التوصل إلى مزيد من الاستنتاجات عن طريق الخصم. و رغم ذلك الميكانيكا النظريةيستند إلى قوانين نيوتن الثلاثة للحركة ، وهذه القوانين نفسها كانت نتيجة انعكاس عميق على البيانات التجريبية ، ولا سيما قوانين كبلر لحركة الكواكب ، التي اشتقها خلال معالجة سنوات عديدة من الملاحظات من قبل عالم الفلك الدنماركي تايكو براهي. تبين أن المراقبة والاستقراء مفيدان في المستقبل لصقل الافتراضات المقدمة. بعد تجارب ميشيلسون على قياس سرعة الضوء في وسط متحرك ، تبين أنه من الضروري توضيح قوانين الفيزياء وإنشاء نظرية النسبية.

في الرياضيات ، يتمثل دور الاستقراء إلى حد كبير في أنه يكمن وراء البديهيات المختارة. بعد تمرين طويل أظهر أن المسار المستقيم دائمًا ما يكون أقصر من المسار المنحني أو المنكسر ، كان من الطبيعي صياغة بديهية: لأي ثلاث نقاط أ ، ب ، ج ، المتباينة

ظهر أيضًا المفهوم الأساسي للحساب الذي يجب اتباعه من مراقبة تشكيل الجنود والسفن والمجموعات المرتبة الأخرى.

ومع ذلك ، لا ينبغي للمرء أن يعتقد أن هذه هي نهاية دور الاستقراء في الرياضيات. بالطبع ، يجب ألا نتحقق تجريبيًا من النظريات المستخلصة منطقيًا من البديهيات: إذا لم يتم ارتكاب أخطاء منطقية في الاشتقاق ، فهي صحيحة بقدر ما تكون البديهيات التي قبلناها صحيحة. لكن يمكن استنتاج الكثير من العبارات من نظام البديهيات هذا. واختيار تلك العبارات التي تحتاج إلى إثبات يتم اقتراحه مرة أخرى عن طريق الاستقراء. هي التي تسمح لنا بفصل النظريات المفيدة عن النظريات غير المجدية ، وتشير إلى أي النظريات قد تكون صحيحة ، بل وتساعد في تحديد مسار البرهان.

جوهر طريقة الاستقراء الرياضي

في العديد من أقسام الحساب والجبر والهندسة والتحليل ، يتعين على المرء إثبات صحة الجمل أ (ن) التي تعتمد على متغير طبيعي. غالبًا ما يتم إثبات صحة الجملة A (n) لجميع قيم المتغير بواسطة طريقة الاستقراء الرياضي ، والتي تستند إلى المبدأ التالي.

تعتبر الجملة A (n) صحيحة لجميع القيم الطبيعية للمتغير إذا تم استيفاء الشرطين التاليين:

الاقتراح A (n) صحيح لـ n = 1.

من افتراض أن A (n) صحيح لـ n = k (حيث k هو أي رقم طبيعي) ، يتبع ذلك أنه صحيح بالنسبة للقيمة التالية n = k + 1.

يسمى هذا المبدأ مبدأ الاستقراء الرياضي. عادة ما يتم اختياره كواحدة من البديهيات التي تحدد سلسلة الأرقام الطبيعية ، وبالتالي يتم قبولها بدون دليل.

تُفهم طريقة الاستقراء الرياضي على أنها طريقة الإثبات التالية. إذا كان مطلوبًا إثبات صحة الاقتراح A (n) لجميع n الطبيعي ، إذن ، أولاً ، يجب على المرء التحقق من حقيقة الاقتراح A (1) ، وثانيًا ، افتراض حقيقة الاقتراح A (k) ، حاول إثبات أن الاقتراح أ (ك +1) صحيح. إذا كان من الممكن إثبات ذلك ، وبقي الدليل صالحًا لكل قيمة طبيعية لـ k ، إذن ، وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، يتم التعرف على الاقتراح A (n) على أنه صحيح لجميع قيم n.

تستخدم طريقة الاستقراء الرياضي على نطاق واسع في إثبات النظريات ، والهويات ، وعدم المساواة ، في حل مشاكل القسمة ، في حل بعض المسائل الهندسية والعديد من المسائل الأخرى.

طريقة الاستقراء الرياضي في حل المسائل على

قابلية التجزئة

باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي ، يمكن للمرء أن يثبت عبارات مختلفة تتعلق بقسمة الأعداد الطبيعية.

يمكن إثبات التأكيد التالي بسهولة نسبية. دعونا نوضح كيف يتم الحصول عليها باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

مثال 1. إذا كان n عددًا طبيعيًا ، فسيكون الرقم زوجيًا.

بالنسبة إلى n = 1 بياننا صحيح: - عدد زوجي. لنفترض أن هذا رقم زوجي. منذ ذلك الحين ، a 2k هو رقم زوجي ، إذن حتى. لذلك ، تم إثبات التكافؤ لـ n = 1 ، يتم استنتاج التكافؤ من التكافؤ لذا ، حتى بالنسبة لجميع القيم الطبيعية لـ n.

مثال 2إثبات حقيقة الجملة

A (n) = (الرقم 5 هو مضاعف 19) ، n عدد طبيعي.

حل.

العبارة أ (1) = (الرقم هو مضاعف 19) صحيحة.

افترض أنه بالنسبة لبعض القيمة n = k

أ (ك) = (الرقم هو مضاعف 19) صحيح. ثم منذ ذلك الحين

من الواضح أن A (k + 1) صحيح أيضًا. في الواقع ، المصطلح الأول قابل للقسمة على 19 بحكم افتراض أن A (k) صحيح ؛ المصطلح الثاني قابل للقسمة أيضًا على 19 ، لأنه يحتوي على عامل 19. يتم استيفاء كلا الشرطين لمبدأ الاستقراء الرياضي ، وبالتالي ، فإن الاقتراح A (n) صحيح لجميع قيم n.

تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي على

تلخيص متسلسل

مثال 1إثبات الصيغة

، n عدد طبيعي.

حل.

بالنسبة إلى n = 1 ، يتحول كلا الجزأين من المساواة إلى جزء واحد ، وبالتالي يتم استيفاء الشرط الأول لمبدأ الاستقراء الرياضي.

افترض أن الصيغة صحيحة لـ n = k ، أي

دعونا نضيف إلى كلا الجانبين من هذه المساواة ونحول الجانب الأيمن. ثم نحصل

وبالتالي ، من حقيقة أن الصيغة صحيحة لـ n = k ، فهذا يعني أنها صحيحة لـ n = k + 1 أيضًا. هذه العبارة صحيحة لأي قيمة طبيعية لـ k. لذلك ، فإن الشرط الثاني لمبدأ الاستقراء الرياضي مستوفى أيضًا. تم إثبات الصيغة.

مثال 2إثبات أن مجموع أول n من الأعداد من المتسلسلة الطبيعية هو.

حل.

دعونا نشير إلى المبلغ المطلوب ، أي .

بالنسبة إلى n = 1 ، فإن الفرضية صحيحة.

يترك . دعونا نظهر ذلك .

بالفعل،

تم حل المشكلة.

مثال 3برهن على أن مجموع مربعات أول عدد n من المتسلسلة الطبيعية يساوي .

حل.

يترك .

دعونا نتظاهر بذلك . ثم

وأخيرا.

مثال 4اثبت ذلك .

حل.

اذا ثم

مثال 5اثبت ذلك

حل.

بالنسبة إلى n = 1 ، من الواضح أن الفرضية صحيحة.

يترك .

دعنا نثبت ذلك.

حقًا،

أمثلة على تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي

دليل على عدم المساواة

مثال 1إثبات ذلك لأي عدد طبيعي ن> 1

حل.

تشير إلى الجانب الأيسر من المتباينة بواسطة.

لذلك ، بالنسبة إلى n = 2 ، فإن المتباينة صحيحة.

دعونا لبعض ك. دعونا نثبت ذلك ثم و. لدينا , .

مقارنة ونحن لدينا ، أي. .

بالنسبة لأي عدد صحيح موجب k ، يكون الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة موجبًا. لهذا . ولكن ، لذلك ، و.

مثال 2ابحث عن خطأ في التفكير.

إفادة. لأي n طبيعي ، فإن عدم المساواة صحيحة.

دليل.

. (1)

دعنا نثبت أن عدم المساواة صالحة أيضًا لـ n = k + 1 ، أي

في الواقع ، 2 على الأقل لأي ك طبيعي. لنضيف المتباينة (1) إلى الطرف الأيسر ، و 2 إلى الطرف الأيمن ، فنحصل على متباينة عادلة ، أو . تم إثبات التأكيد.

مثال 3اثبت ذلك ، حيث> -1 ، ، n عدد طبيعي أكبر من 1.

حل.

بالنسبة إلى n = 2 ، فإن المتباينة صحيحة ، منذ ذلك الحين.

دع عدم المساواة يكون صحيحًا لـ n = k ، حيث k هو عدد طبيعي ، أي

. (1)

دعنا نظهر أن عدم المساواة تكون صالحة أيضًا لـ n = k + 1 ، أي

. (2)

في الواقع ، من خلال الافتراض ، وبالتالي ، عدم المساواة

, (3)

تم الحصول عليها من المتباينة (1) بضرب كل جزء منها. لنعد كتابة المتباينة (3) على النحو التالي:. بتجاهل الحد الموجب على الجانب الأيمن من المتراجحة الأخيرة ، نحصل على المتراجحة الصالحة (2).

مثال 4اثبت ذلك

(1)

حيث ، n هو رقم طبيعي أكبر من 1.

حل.

بالنسبة إلى n = 2 ، تأخذ المتباينة (1) الصيغة

. (2)

منذ ذلك الحين ، عدم المساواة

. (3)

بإضافة كل جزء من عدم المساواة (3) ، نحصل على المتباينة (2).

هذا يثبت أن المتباينة (1) تنطبق على n = 2.

دع المتباينة (1) تكون صالحة لـ n = k ، حيث k هي عدد طبيعي ، أي

. (4)

دعنا نثبت أن عدم المساواة (1) يجب أن تكون صالحة أيضًا لـ n = k + 1 ، أي

(5)

دعونا نضرب كلا جزأي المتباينة (4) في أ + ب. منذ ذلك الحين ، بشرط ، نحصل على عدم المساواة العادلة التالية:

. (6)

لإثبات عدم المساواة (5) ، يكفي إظهار ذلك

, (7)

أو ، وهو نفس الشيء ،

. (8)

اللامساواة (8) تعادل عدم المساواة

. (9)

إذا ، إذن ، وعلى الجانب الأيسر من المتباينة (9) لدينا حاصل ضرب عددين موجبين. إذا ، إذن ، وعلى الجانب الأيسر من المتباينة (9) لدينا حاصل ضرب عددين سالبين. في كلتا الحالتين يكون التفاوت (9) صحيحًا.

هذا يثبت أن صحة عدم المساواة (1) لـ n = k تدل على صلاحيتها لـ n = k + 1.

طريقة الاستقراء الرياضي المطبقة على الآخرين

مهام

التطبيق الأكثر طبيعية لطريقة الاستقراء الرياضي في الهندسة ، بالقرب من استخدام هذه الطريقة في نظرية الأعداد والجبر ، هو التطبيق على حل المشكلات الحسابية الهندسية. لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 1احسب ضلع الصحيح - مربع مرسوم في دائرة نصف قطرها R.

حل.

من أجل n = 2 صحيح 2ن - المربع هو مربع. جانبه. علاوة على ذلك ، وفقًا لصيغة المضاعفة

أوجد أن ضلع الشكل الثماني المنتظم ، جانب من مسدس منتظم ، وهو ضلع الزاوية العادية المكونة من 32 زاوية . لذلك يمكننا أن نفترض أن جانب الضلع المنتظم المنقوش 2ن - مربع لأي يساوي

. (1)

لنفترض أن جانب حرف-نقش منتظم يتم التعبير عنه بالصيغة (1). في هذه الحالة ، من خلال صيغة المضاعفة

من حيث يتبع تلك الصيغة (1) صالحة لجميع ن.

مثال 2كم عدد المثلثات التي يمكن تقسيم n-gon (ليس بالضرورة محدب) بواسطة أقطارها غير المتقاطعة؟

حل.

بالنسبة للمثلث ، هذا الرقم يساوي واحدًا (لا يمكن رسم أقطار في مثلث) ؛ بالنسبة إلى الشكل الرباعي ، من الواضح أن هذا الرقم يساوي اثنين.

افترض أننا نعلم بالفعل أن كل k-gon ، حيث k 1 أ 2 ... أ ن في مثلثات.

ا ن

أ 1 أ 2

دع А 1 А k يكون أحد الأقطار لهذا القسم ؛ يقسم n-gon 1 А 2… А n إلى k-gon A 1 A 2… A k و (n-k + 2) -gon А 1 А k A k + 1 ... A n. وفقًا للافتراض الذي تم إجراؤه ، سيكون العدد الإجمالي لمثلثات التقسيم مساويًا لـ

(ك -2) + [(ن ك + 2) -2] = ن -2 ؛

وبالتالي تم إثبات تأكيدنا لجميع n.

مثال 3حدد قاعدة لحساب عدد P (n) للطرق التي يمكن بها تقسيم n-gon المحدب إلى مثلثات بأقطار غير متقاطعة.

حل.

بالنسبة للمثلث ، من الواضح أن هذا الرقم يساوي واحدًا: P (3) = 1.

لنفترض أننا حددنا بالفعل الأرقام P (k) لجميع k 1 أ 2 ... أ ن . بالنسبة لأي قسم منه إلى مثلثات ، يكون الجانب أ 1 أ 2 سيكون أحد جوانب أحد مثلثات التقسيم ، يمكن أن يتطابق الرأس الثالث لهذا المثلث مع كل نقطة من النقاط أ 3، А 4،…، А n . عدد طرق تقسيم n-gon الذي يتزامن فيه هذا الرأس مع النقطة A 3 ، يساوي عدد الطرق لتثليث (n-1) -gon A 1 أ 3 أ 4 ... أ ن ، أي. يساوي P (ن -1). عدد طرق التقسيم التي يتطابق فيها هذا الرأس مع A. 4 ، يساوي عدد طرق تقسيم (n-2) -gon A. 1 أ 4 أ 5 ... أ ن ، أي. يساوي P (n-2) = P (n-2) P (3) ؛ عدد طرق التقسيم التي يتزامن بها مع A. 5 ، تساوي P (n-3) P (4) ، لأن كل قسم من أقسام (n-3) -gon A 1 أ 5 ... أ ن يمكن دمجها مع كل قسم من أقسام الرباعي أ 2 أ 3 أ 4 أ 5 ، إلخ. وهكذا نصل إلى العلاقة التالية:

Р (n) = P (n-1) + P (n-2) P (3) + P (n-3) P (4) +… + P (3) P (n-2) + P (n -1).

باستخدام هذه الصيغة ، نحصل على:

الفوسفور (4) = الفوسفور (3) + الفوسفور (3) = 2 ،

الفوسفور (5) = الفوسفور (4) + الفوسفور (3) الفوسفور (3) + الفوسفور (4) +5 ،

الفوسفور (6) = الفوسفور (5) + الفوسفور (4) الفوسفور (3) + الفوسفور (3) الفوسفور (4) + الفوسفور (5) = 14

إلخ.

أيضًا ، باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي ، يمكنك حل مشاكل الرسوم البيانية.

دع شبكة من الخطوط يتم تقديمها على المستوى ، تربط بعض النقاط ببعضها البعض وليس لها نقاط أخرى. سوف نسمي شبكة الخطوط هذه خريطة ، والنقاط المعينة هي رؤوسها ، وأجزاء المنحنيات بين رأسين متجاورين - حدود الخريطة ، وأجزاء المستوى التي تقسم إليها الحدود - بلدان الخريطة.

دع بعض الخرائط تُعطى على متن الطائرة. سنقول إنه ملون بشكل صحيح إذا تم رسم كل بلد من بلدانه بلون معين ، وأي دولتين تشتركان في حدود مشتركة مرسومة بألوان مختلفة.

مثال 4هناك n من الدوائر على المستوى. إثبات أنه لأي ترتيب لهذه الدوائر ، يمكن تلوين الخريطة التي شكلوها بشكل صحيح بلونين.

حل.

بالنسبة إلى n = 1 ، فإن تأكيدنا واضح.

افترض أن بياننا صحيح بالنسبة لأي خريطة مكونة من دوائر n ، ودع n + 1 تظهر على المستوى. من خلال إزالة إحدى هذه الدوائر ، نحصل على خريطة ، وفقًا للافتراض الذي تم التوصل إليه ، يمكن تلوينها بشكل صحيح بلونين ، على سبيل المثال ، الأسود والأبيض.

طريقة الاستقراء الرياضي

مقدمة

الجزء الرئيسي

الاستقراء الكامل وغير الكامل
مبدأ الاستقراء الرياضي
طريقة الاستقراء الرياضي
حل الأمثلة
المساواة
تقسيم العدد
عدم المساواة

خاتمة

قائمة الأدب المستخدم

مقدمة

الطرق الاستنتاجية والاستقرائية هي أساس أي بحث رياضي. الطريقة الاستنتاجية في الاستدلال هي الاستدلال من العام إلى الخاص ، أي الاستدلال ، ونقطة البداية التي تكون النتيجة العامة ، والنقطة النهائية هي النتيجة الخاصة. يتم تطبيق الاستقراء عند الانتقال من نتائج معينة إلى نتائج عامة ، أي هو عكس الطريقة الاستنتاجية.

يمكن مقارنة طريقة الاستقراء الرياضي بالتقدم. نبدأ من الأدنى ، نتيجة للتفكير المنطقي نصل إلى الأعلى. لقد سعى الإنسان دائمًا للتقدم ، من أجل القدرة على تطوير فكره بشكل منطقي ، مما يعني أن الطبيعة نفسها قد وجهته إلى التفكير الاستقرائي.

على الرغم من نمو مجال تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي ، إلا أنه لم يخصص وقتًا طويلاً لها في المناهج المدرسية. حسنًا ، لنفترض أن الشخص المفيد سيحضر من خلال هذين الدرسين أو الثلاثة دروس التي يسمع من خلالها خمس كلمات نظرية ، ويحل خمس مشاكل بدائية ، ونتيجة لذلك ، يحصل على خمسة لأنه لا يعرف شيئًا.

لكن هذا مهم جدًا - أن تكون قادرًا على التفكير بشكل استقرائي.

الجزء الرئيسي

في معناها الأصلي ، يتم تطبيق كلمة "الاستقراء" على الاستدلال الذي يتم من خلاله الحصول على استنتاجات عامة بناءً على عدد من العبارات الخاصة. إن أبسط طريقة من هذا النوع للتفكير هي الاستقراء الكامل. هنا مثال على هذا المنطق.

دع الأمر يتطلب إثبات أن كل عدد زوجي طبيعي n ضمن 4 يمكن تمثيله كمجموع عددين أوليين. للقيام بذلك ، نأخذ كل هذه الأرقام ونكتب التوسعات المقابلة:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

توضح هذه المعادلات التسع أن كل رقم من الأرقام التي تهمنا يتم تمثيله بالفعل على أنه مجموع حدين أوليين.

وبالتالي ، فإن الاستقراء الكامل هو أن البيان العام يتم إثباته بشكل منفصل في كل من عدد محدود من الحالات المحتملة.

في بعض الأحيان يمكن التنبؤ بالنتيجة العامة بعد مراعاة ليس كل شيء ، بل بالأحرى عدد كبير من الحالات الخاصة (ما يسمى الحث غير الكامل).

ومع ذلك ، تظل النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق الاستقراء غير الكامل مجرد فرضية حتى يتم إثباتها من خلال التفكير الرياضي الدقيق ، الذي يغطي جميع الحالات الخاصة. بعبارة أخرى ، لا يعتبر الاستقراء غير المكتمل في الرياضيات طريقة شرعية لإثبات صارم ، ولكنه طريقة قوية لاكتشاف الحقائق الجديدة.

دعنا ، على سبيل المثال ، مطلوب للعثور على مجموع أول n من الأرقام الفردية المتتالية. ضع في اعتبارك حالات خاصة:

1+3+5+7+9=25=5 2

بعد النظر في هذه الحالات الخاصة القليلة ، فإن الاستنتاج العام التالي يقترح نفسه:

1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = ن 2

أولئك. مجموع أول n من الأعداد الفردية المتتالية هو n 2

بالطبع ، لا يمكن أن تكون الملاحظة التي تم إجراؤها بمثابة دليل على صحة الصيغة المذكورة أعلاه.

الاستقراء الكامل له تطبيقات محدودة فقط في الرياضيات. تغطي العديد من العبارات الرياضية المثيرة للاهتمام عددًا لا حصر له من الحالات الخاصة ، ولا يمكننا اختبار عدد لا حصر له من الحالات. غالبًا ما يؤدي الاستقراء غير الكامل إلى نتائج خاطئة.

في كثير من الحالات ، يكون المخرج من هذا النوع من الصعوبة هو اللجوء إلى طريقة خاصة للتفكير تسمى طريقة الاستقراء الرياضي. وهي كالاتي.

فليكن من الضروري إثبات صحة بيان معين لأي عدد طبيعي n (على سبيل المثال ، تحتاج إلى إثبات أن مجموع أول n من الأعداد الفردية هو n 2). من المستحيل التحقق المباشر من هذه العبارة لكل قيمة n ، لأن مجموعة الأعداد الطبيعية لا نهائية. لإثبات هذه العبارة ، تحقق أولاً من صلاحيتها لـ n = 1. ثم ثبت أنه بالنسبة لأي قيمة طبيعية لـ k ، فإن صحة العبارة قيد النظر لـ n = k تعني صلاحيتها لـ n = k + 1 أيضًا.

ثم يعتبر التوكيد مثبتًا للجميع n. في الواقع ، البيان صحيح لـ n = 1. ولكن بعد ذلك يكون صالحًا أيضًا للعدد التالي n = 1 + 1 = 2. صحة التأكيد لـ n = 2 تدل على صلاحيتها لـ n = 2 +

1 = 3. هذا يعني صحة العبارة لـ n = 4 ، وهكذا. من الواضح أننا في النهاية سنصل إلى أي عدد طبيعي n. ومن ثم ، فإن العبارة صحيحة لأي ن.

تلخيصًا لما قيل ، نقوم بصياغة المبدأ العام التالي.

مبدأ الاستقراء الرياضي.

إذا كانت الجملة أ (ن) حسب العدد الطبيعين، صحيح لن= 1 ومن حقيقة أنه صحيح لن= ك (أينك-أي عدد طبيعي) ، ويترتب على ذلك أنه ينطبق أيضًا على الرقم التالين= ك+1 ، ثم الافتراض أ (ن) صحيح لأي عدد طبيعين.

إذا كانت الجملة أ (ن) صحيح لن= ص وإذا كان A (ك) Þ أ(ك+1) لأيك> ص، ثم الجملة أ (ن) صحيح لأين> ص.

يتم إثبات طريقة الاستقراء الرياضي على النحو التالي. أولاً ، يتم التحقق من التأكيد المراد إثباته لـ n = 1 ، أي ، تم إثبات حقيقة البيان أ (1). يسمى هذا الجزء من الإثبات أساس الاستقراء. يتبع ذلك جزء من الدليل يسمى خطوة الاستقراء. في هذا الجزء ، تم إثبات صحة العبارة لـ n = k + 1 على افتراض أن العبارة صحيحة لـ n = k (الافتراض الاستقرائي) ، أي إثبات أن A (k) ÞA (k + 1).

مثال 1

أثبت أن 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n 2.

الحل: 1) لدينا n = 1 = 1 2. لذلك،

العبارة صحيحة لـ n = 1 ، أي أ (1) هو الصحيح.

2) دعنا نثبت أن A (k) ÞA (k + 1).

لنفترض أن k أي عدد طبيعي ودع العبارة تكون صحيحة من أجل n = k ، أي

1 + 3 + 5 + ... + (2 ك -1) = ك 2.

دعنا نثبت أن التأكيد صحيح أيضًا بالنسبة للعدد الطبيعي التالي n = k + 1 ، أي ماذا

1 + 3 + 5 + ... + (2 ك + 1) = (ك + 1) 2.

بالفعل،

1 + 3 + 5 + ... + (2 ك -1) + (2 ك + 1) = ك 2 + 2 ك + 1 = (ك + 1) 2.

إذن A (k) ÞA (k + 1). بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن الافتراض A (n) صحيح لأي nОN.

مثال 2

اثبت ذلك

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \ u003d (x n +1 -1) / (x-1) ، حيث x¹1

الحل: 1) نحصل على n = 1

1 + س = (س 2 -1) / (س -1) = (س -1) (س + 1) / (س -1) = س + 1

لذلك ، بالنسبة لـ n = 1 الصيغة صحيحة ؛ أ (1) هو الصحيح.

2) دع k يكون أي عدد طبيعي ودع الصيغة صحيحة لـ n = k ، أي

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \ u003d (x k +1 -1) / (x-1).

دعونا نثبت ذلك ثم المساواة

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k + x k +1 \ u003d (x k +2 -1) / (x-1).

بالفعل

1 + x + x 2 + x 3 +… + x k + x k +1 = (1 + x + x 2 + x 3 +… + x k) + x k +1 =

= (س ك +1 -1) / (س -1) + س ك +1 = (س ك +2 -1) / (س -1).

إذن A (k) ÞA (k + 1). بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن الصيغة صحيحة لأي عدد طبيعي n.

مثال 3

إثبات أن عدد الأقطار المحدبة n-gon هو n (n-3) / 2.

الحل: 1) بالنسبة إلى n = 3 ، تكون العبارة صحيحة

و 3 صحيح ، لأنه في مثلث

 أ 3 = 3 (3-3) / 2 = 0 أقطار ؛

أ 2 أ (3) هو الصحيح.

2) افترض أن في أي

محدب k-gon has-

A 1 sya A k \ u003d k (k-3) / 2 قطري.

A k دعنا نثبت ذلك في محدب

(k + 1) -الرقم

الأقطار A k +1 \ u003d (k + 1) (k-2) / 2.

دعونا А 1 А 2 А 3… A k A k +1 -convex (k + 1) -corner. لنرسم قطريًا A 1 A k فيه. لحساب العدد الإجمالي للأقطار لهذا (k + 1) -gon ، تحتاج إلى حساب عدد الأقطار في k-gon A 1 A 2 ... A k ، أضف k-2 إلى الرقم الناتج ، أي يجب أن يؤخذ في الاعتبار عدد الأقطار الخاصة بـ (k + 1) المنبثقة من الرأس A k +1 ، بالإضافة إلى القطر A 1 A k.

هكذا،

 ك +1 =  ك + (ك -2) + 1 = ك (ك -3) / 2 + ك -1 = (ك + 1) (ك -2) / 2.

إذن A (k) ÞA (k + 1). نظرًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، فإن العبارة صحيحة لأي محدب n-gon.

مثال 4

إثبات أن العبارة صحيحة لأي n:

1 2 +2 2 +3 2 + ... + n 2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6.

الحل: 1) دع n = 1 ، ثم

X 1 \ u003d 1 2 \ u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \ u003d 1.

ومن ثم فإن العبارة n = 1 صحيحة.

2) افترض أن n = k

X k \ u003d k 2 \ u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6.

3) ضع في اعتبارك هذه العبارة من أجل n = k + 1

X k +1 = (k + 1) (k + 2) (2k + 3) / 6.

X ك +1 = 1 2 +2 2 +3 2 + ... + ك 2 + (ك + 1) 2 = ك (ك + 1) (2 ك + 1) / 6 + + (ك + 1) 2 = (ك (ك + 1) (2 ك + 1) +6 (ك + 1) 2) / 6 = (ك + 1) (ك (2 ك + 1) +

6 (ك + 1)) / 6 = (ك + 1) (2 ك 2 + 7 ك + 6) / 6 = (ك + 1) (2 (ك + 3/2) (ك +

2)) / 6 = (ك + 1) (ك + 2) (2 ك + 3) / 6.

لقد أثبتنا صحة المساواة لـ n = k + 1 ، لذلك ، بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، فإن العبارة صحيحة لأي n طبيعي.

مثال 5

إثبات أن المساواة صحيحة لأي نوع طبيعي:

1 3 +2 3 +3 3 + ... + ن 3 = ن 2 (ن + 1) 2/4.

الحل: 1) دع n = 1.

ثم X 1 = 1 3 = 1 2 (1 + 1) 2/4 = 1.

نرى أن العبارة n = 1 صحيحة.

2) افترض أن المساواة صحيحة لـ n = k

X ك \ u003d ك 2 (ك + 1) 2/4.

3) دعنا نثبت صحة هذا البيان لـ n = k + 1 ، أي

X k + 1 = (k + 1) 2 (k + 2) 2/4. X k + 1 = 1 3 +2 3 +… + k 3 + (k + 1) 3 = k 2 (k + 1) 2/4 + (k + 1) 3 = (k 2 (k ++ 1) 2 +4 (ك + 1) 3) / 4 = (ك + 1) 2 (ك 2 + 4k + 4) / 4 = (ك + 1) 2 (ك + 2) 2/4.

من الدليل أعلاه ، من الواضح أن العبارة صحيحة لـ n = k + 1 ، وبالتالي ، فإن المساواة صحيحة لأي n طبيعي.

مثال 6

اثبت ذلك

((2 3 +1) / (2 3 -1)) ´ ((3 3 +1) / (3 3 -1)) ´ ... ´ ((ن 3 +1) / (ن 3 -1)) = 3n (n + 1) / 2 (n 2 + n + 1) ، حيث n> 2.

الحل: 1) بالنسبة إلى n = 2 ، تبدو الهوية كما يلي: (2 3 +1) / (2 3-1) = (3´2´3) / 2 (2 2 + 2 + 1) ،

أولئك. هذا صحيح.

2) افترض أن التعبير صحيح من أجل n = k

(2 3 +1) / (2 3 -1) ´ ... ´ (ك 3 +1) / (ك 3 -1) = 3 ك (ك + 1) / 2 (ك 2 + ك + 1).

3) سنثبت صحة التعبير عن n = k + 1.

(((2 3 +1) / (2 3 -1)) ´… ´ ((ك 3 +1) / (ك 3 -1))) ´ (((ك + 1) 3 +

1) / ((k + 1) 3-1)) = (3k (k + 1) / 2 (k 2 + k + 1)) ´ ((k + 2) ((k +

1) 2 - (ك + 1) +1) / ك ((ك + 1) 2 + (ك + 1) +1)) = 3 (ك + 1) (ك + 2) / 2´

´ ((ك + 1) 2 + (ك + 1) +1).

لقد أثبتنا صحة المساواة لـ n = k + 1 ، لذلك ، نظرًا لطريقة الاستقراء الرياضي ، فإن العبارة صحيحة لأي n> 2

مثال 7

اثبت ذلك

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 + ... + (2n-1) 3 - (2n) 3 = -n 2 (4n + 3)

لأي ن طبيعي.

الحل: 1) دع n = 1 ، ثم

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.

2) افترض أن n = k ثم

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 + ... + (2k-1) 3 - (2k) 3 = -k 2 (4k + 3).

3) دعنا نثبت صحة هذه العبارة من أجل n = k + 1

(1 3-2 3 + ... + (2k-1) 3 - (2k) 3) + (2k + 1) 3 - (2k + 2) 3 = -k 2 (4k + 3) +

+ (2 ك + 1) 3 - (2 ك + 2) 3 = - (ك + 1) 3 (4 (ك + 1) +3).

ثبت أيضًا صحة المساواة لـ n = k + 1 ، وبالتالي فإن العبارة صحيحة لأي عدد طبيعي n.

مثال 8

إثبات صحة الهوية

(1 2 / 1´3) + (2 2 / 3´5) + ... + (n 2 / (2n-1) ´ (2n + 1)) = n (n + 1) / 2 (2n + 1)

لأي ن طبيعي.

1) بالنسبة إلى n = 1 ، تكون الهوية صحيحة 1 2 / 1´3 = 1 (1 + 1) / 2 (2 + 1).

2) افترض أن ن = ك

(1 2 / 1´3) + ... + (ك 2 / (2 ك -1) ´ (2 ك + 1)) = ك (ك + 1) / 2 (2 ك + 1).

3) دعنا نثبت أن الهوية صحيحة لـ n = k + 1.

(1 2 / 1´3) + ... + (ك 2 / (2 ك -1) (2 ك + 1)) + (ك + 1) 2 / (2 ك + 1) (2 ك + 3) = (ك (ك + 1) ) / 2 (2 ك + 1)) + ((ك + 1) 2 / (2 ك + 1) (2 ك + 3)) = ((ك + 1) / (2 ك + 1)) ´ ((ك / 2) + ((ك + 1) / (2 ك + 3))) = (ك + 1) (ك + 2) ´ (2 ك + 1) / 2 (2 ك + 1) (2 ك + 3) = (ك + 1) (ك + 2) / 2 (2 (ك + 1) +1).

يمكن أن نرى من الدليل أعلاه أن التأكيد صحيح بالنسبة لأي عدد طبيعي n.

مثال 9

أثبت أن (11 n + 2 +12 2n + 1) قابلة للقسمة على 133 بدون باقي.

الحل: 1) دع n = 1 ، ثم

11 3 +12 3 \ u003d (11 + 12) (11 2-132 + 12 2) \ u003d 23´133.

لكن (23´133) قابلة للقسمة على 133 بدون باقي ، لذا فإن العبارة n = 1 صحيحة ؛ أ (1) هو الصحيح.

2) افترض أن (11 k + 2 +12 2k + 1) يقبل القسمة على 133 بدون الباقي.

3) دعونا نثبت ذلك في هذه الحالة

(11 k + 3 +12 2k + 3) يقبل القسمة على 133 بدون الباقي. في الواقع ، 11 ك +3 +12 2 ك + 3 = 11´11 ك + 2 +12 2 12 2 ك + 1 = 11´11 ك + 2 +

+ (11 + 133) ´12 2 ك + 1 = 11 (11 ك + 2 +12 2 ك + 1) + 133´12 2 ك + 1.

المجموع الناتج قابل للقسمة على 133 بدون باقي ، حيث أن المصطلح الأول قابل للقسمة على 133 بدون باقي على افتراض ، وفي العامل الثاني هو 133. إذن ، А (k) ÞА (k + 1). بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تم إثبات التأكيد.

مثال 10

أثبت أن أي n 7 n -1 يقبل القسمة على 6 بدون باقي.

الحل: 1) لنفترض أن n = 1 ، ثم X 1 = 7 1 -1 = 6 مقسومة على 6 بدون الباقي. لذلك فإن العبارة n = 1 صحيحة.

2) افترض أن ن = ك

7 k -1 يقبل القسمة على 6 بدون الباقي.

3) دعنا نثبت أن العبارة صحيحة من أجل n = k + 1.

X ك + 1 = 7 ك + 1 -1 = 7´7 ك -7 + 6 = 7 (7 ك -1) +6.

الحد الأول يقبل القسمة على 6 ، لأن 7 k -1 يقبل القسمة على 6 بافتراض ، والحد الثاني هو 6. لذا فإن 7 ن -1 هو مضاعف 6 لأي ن طبيعي. بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تم إثبات التأكيد.

مثال 11

أثبت أن 3 3n-1 +2 4n-3 للطبيعي التعسفي n قابلة للقسمة على 11.
الحل: 1) دع n = 1 ، ثم

X 1 \ u003d 3 3-1 +2 4-3 \ u003d 3 2 +2 1 \ u003d 11 مقسومًا على 11 بدون باقي. ومن ثم فإن العبارة n = 1 صحيحة.

2) افترض أن ن = ك

X k \ u003d 3 3k-1 +2 4k-3 قابل للقسمة على 11 بدون الباقي.

3) دعنا نثبت أن العبارة صحيحة من أجل n = k + 1.

X ك + 1 = 3 3 (ك + 1) -1 +2 4 (ك + 1) -3 = 3 3 ك + 2 +2 4 ك + 1 = 3 3 ´3 3 ك -1 +2 4 2 4 ك -3 =

27´3 3k-1 + 16´2 4k-3 = (16 + 11) ´3 3k-1 + 16´2 4k-3 = 16´3 3k-1 +

11´3 3 ك -1 + 16´2 4 ك -3 = 16 (3 3 ك -1 +2 4 ك -3) + 11´3 3 ك -1.

المصطلح الأول يقبل القسمة على 11 بدون باقي ، حيث أن 3 3 k-1 +2 4k-3 يقبل القسمة على 11 بافتراض ، والثاني يقبل القسمة على 11 ، لأن أحد عوامله هو الرقم 11. لذا فإن المجموع هو قابلة للقسمة على 11 ولا يوجد باقٍ لأي قيمة n طبيعية. بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تم إثبات التأكيد.

مثال 12

إثبات أن 11 2n -1 لعدد صحيح موجب عشوائي n قابل للقسمة على 6 بدون باقي.

الحل: 1) لنفترض أن n = 1 ، إذن 11 2 -1 = 120 قابلة للقسمة على 6 بدون الباقي. لذلك فإن العبارة n = 1 صحيحة.

2) افترض أن ن = ك

11 2 k -1 يقبل القسمة على 6 بدون الباقي.

11 2 (ل + 1) -1 = 121´11 2 ك -1 = 120´11 2 ك + (11 2 ك -1).

كلا المصطلحين يقبلان القسمة على 6 بدون باقي: الأول يحتوي على مضاعف 6 رقم 120 ، والثاني قابل للقسمة على 6 بدون باقي الافتراض. إذن ، فإن المجموع يقبل القسمة على 6 بدون الباقي. بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تم إثبات التأكيد.

مثال 13

أثبت أن 3 3 n + 3 -26n-27 لعدد صحيح موجب عشوائي n قابل للقسمة على 26 2 (676) بدون باقي.

الحل: دعنا نثبت أولاً أن 3 3 n + 3-1 يقبل القسمة على 26 بدون الباقي.

لـ n = 0

3 3 -1 = 26 يقبل القسمة على 26

افترض أن لـ n = k

3 3k + 3-1 يقبل القسمة على 26

دعونا نثبت أن البيان

صحيح لـ n = k + 1.

3 3 k + 6-1 = 27´3 3k + 3-1 = 26´3 3k + 3 + (3 3 k +3-1) - يقبل القسمة على 26

الآن دعونا نثبت التأكيد المصاغ في حالة المشكلة.

1) من الواضح أن العبارة n = 1 صحيحة

3 3+3 -26-27=676

2) افترض أن ن = ك

التعبير 3 3 k + 3 -26k-27 يقبل القسمة على 26 2 بدون باقي.

3) دعنا نثبت أن العبارة صحيحة من أجل n = k + 1

3 3 ك + 6 -26 (ك + 1) -27 = 26 (3 3 ك + 3-1) + (3 3 ك + 3 -26 ك -27).

كلا المصطلحين يقبلان القسمة على 26 2 ؛ الأول يقبل القسمة على 26 2 لأننا أثبتنا أن التعبير بين الأقواس يقبل القسمة على 26 ، والثاني يقبل القسمة على فرضية الاستقراء. بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تم إثبات التأكيد.

مثال 14

أثبت أنه إذا كان n> 2 و x> 0 ، فإن المتباينة

(1 + x) n> 1 + n´x.

الحل: 1) بالنسبة إلى n = 2 ، فإن المتباينة صحيحة ، منذ ذلك الحين

(1 + س) 2 = 1 + 2 س + س 2> 1 + 2 س.

إذن A (2) هو الصحيح.

2) دعنا نثبت أن A (k) ÞA (k + 1) إذا ك> 2. افترض أن A (k) صحيح ، أي أن المتباينة

(1 + x) k> 1 + k´x. (3)

دعنا نثبت أن A (k + 1) صحيح أيضًا ، أي أن عدم المساواة

(1 + س) ك + 1> 1+ (ك + 1) ´x.

في الواقع ، بضرب طرفي المتباينة (3) في عدد موجب 1 + x ، نحصل على

(1 + س) ك + 1> (1 + ك´س) (1 + س).

النظر في الجانب الأيمن من الماضي غير المتكافئ

ستفا. لدينا

(1 + k´x) (1 + x) = 1 + (k + 1) ´x + k´x 2> 1+ (k + 1) ´x.

نتيجة لذلك ، حصلنا على ذلك

(1 + س) ك + 1> 1+ (ك + 1) ´x.

إذن A (k) ÞA (k + 1). استنادًا إلى مبدأ الاستقراء الرياضي ، يمكن القول إن عدم مساواة برنولي صالحة لأي شخص

مثال 15

إثبات أن التفاوت صحيح

(1 + a + a 2) m> 1 + m´a + (m (m + 1) / 2) ´a 2 لـ a> 0.

الحل: 1) بالنسبة إلى m = 1

(1 + a + a 2) 1> 1 + a + (2/2) ´a 2 كلا الجزأين متساويان.

2) افترض أن م = ك

(1 + a + a 2) k> 1 + k´a + (k (k + 1) / 2) ´a 2

3) دعنا نثبت أنه بالنسبة لـ m = k + 1 فإن عدم المساواة صحيح

(1 + a + a 2) k + 1 = (1 + a + a 2) (1 + a + a 2) k> (1 + a + a 2) (1 + k´a +

+ (ك (ك + 1) / 2) ´a 2) = 1 + (ك + 1) ´a + ((ك (ك + 1) / 2) + ك + 1) ´a 2 +

+ ((ك (ك + 1) / 2) + ك) ´a 3 + (ك (ك + 1) / 2) ´a 4> 1+ (ك + 1) ´a +

+ ((ك + 1) (ك + 2) / 2) ´a 2.

لقد أثبتنا صحة عدم المساواة لـ m = k + 1 ، لذلك ، بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، فإن عدم المساواة صحيحة لأي m طبيعي.

مثال 16

برهن على أن المتباينة لـ n> 6

الحل: لنعد كتابة المتباينة في الصورة

بالنسبة إلى n = 7 لدينا

3 7/2 7 = 2187/128> 14 = 2´7

عدم المساواة هو الصحيح.

افترض أن لـ n = k

3) دعنا نثبت صحة المتباينة لـ n = k + 1.

3k + 1 / 2k + 1 = (3k / 2k) ´ (3/2)> 2k´ (3/2) = 3k> 2 (k + 1).

بما أن k> 7 ، فإن المتباينة الأخيرة واضحة.

بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، تكون المتباينة صالحة لأي ن طبيعي.

مثال 17

برهن على أن المتباينة لـ n> 2

1+ (1/2 2) + (1/3 2) + ... + (1 / ن 2)

الحل: 1) بالنسبة إلى n = 3 ، فإن المتباينة صحيحة

1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180

افترض أن لـ n = k

1+ (1/2 2) + (1/3 2) + ... + (1 / ك 2) = 1.7- (1 / ك).

3) سنثبت صحة غير-

المساواة لـ n = k + 1

(1+ (1/2 2) + ... + (1 / ك 2)) + (1 / (ك + 1) 2)

دعنا نثبت أن 1،7- (1 / ك) + (1 / (ك + 1) 2)

Û (1 / (ك + 1) 2) + (1 / ك + 1) Û ك (ك + 2)

هذا الأخير واضح ، وبالتالي

1+ (1/2 2) + (1/3 2) + ... + (1 / (ك + 1) 2)

بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، ثبت عدم المساواة.

خاتمة

على وجه الخصوص ، بعد أن درست طريقة الاستقراء الرياضي ، قمت بتحسين معرفتي في هذا المجال من الرياضيات ، وتعلمت أيضًا كيفية حل المشكلات التي كانت خارج نطاق قوتي في السابق.

في الأساس ، كانت هذه مهام منطقية ومسلية ، أي فقط تلك التي تزيد الاهتمام بالرياضيات نفسها كعلم. يصبح حل مثل هذه المشكلات نشاطًا ترفيهيًا ويمكن أن يجذب المزيد والمزيد من الأشخاص الفضوليين إلى المتاهات الرياضية. في رأيي ، هذا هو أساس أي علم.

بالاستمرار في دراسة طريقة الاستقراء الرياضي ، سأحاول تعلم كيفية تطبيقه ليس فقط في الرياضيات ، ولكن أيضًا في حل المشكلات في الفيزياء والكيمياء والحياة نفسها.

الرياضيات:

المحاضرات والمهام والحلول

كتاب مدرسي / في. مجففات ذ م م 1996.

الجبر ومبادئ التحليل

كتاب مدرسي / آي تي ديميدوف ، إيه إن كولموغوروف ، إس آي شيفارتسبيرغ ، أو إس إيفاشيف-موساتوف ، بي إي فيتس. التنوير 1975.

باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي ، أثبت ذلك لأي شيء طبيعي نالمساواة التالية صحيحة:
أ) ;
ب) .

حل.

أ) متى ن= 1 المساواة صالحة. بافتراض صحة المساواة ل ن، دعنا نظهر أنه صالح أيضًا لـ ن+ 1. في الواقع ،

Q.E.D.

ب) متى ن= 1 صحة المساواة واضحة. من افتراض عدالتها في نيجب

بالنظر إلى المساواة 1 + 2 + ... + ن = ن(ن+ 1) / 2 ، نحصل عليه

1 3 + 2 3 + ... + ن 3 + (ن + 1) 3 = (1 + 2 + ... + ن + (ن + 1)) 2 ,

أي ، البيان صحيح أيضًا لـ ن + 1.

مثال 1إثبات المساواة التالية

أين نعن ن.

حل.أ) متى ن= 1 المساواة ستأخذ الشكل 1 = 1 ، لذلك ، ص(1) صحيح. لنفترض أن هذه المساواة صحيحة ، أي لدينا

. نحن بحاجة للتحقق (إثبات) ذلكص(ن+ 1) ، أي حقيقي. لأن (باستخدام الافتراض الاستقرائي)نحصل ، وهذا هو ، ص(ن+ 1) بيان صحيح.

وبالتالي ، وفقًا لطريقة الاستقراء الرياضي ، فإن المساواة الأصلية صالحة لأي طبيعي ن.

ملاحظة 2.يمكن حل هذا المثال بطريقة أخرى. في الواقع ، مجموع 1 + 2 + 3 + ... + نهو مجموع الأول نأعضاء التقدم الحسابي مع العضو الأول أ 1 = 1 وفرق د= 1. بحكم الصيغة المعروفة ، نحن نحصل

ب) متى ن= 1 المساواة ستأخذ الشكل: 2 1 - 1 = 1 2 أو 1 = 1 ، أي ، ص(1) صحيح. دعونا نفترض أن المساواة

1 + 3 + 5 + ... + (2ن - 1) = ن 2 وإثبات ذلكص(ن + 1): 1 + 3 + 5 + ... + (2ن - 1) + (2(ن + 1) - 1) = (ن+ 1) 2 أو 1 + 3 + 5 + ... + (2 ن - 1) + (2ن + 1) = (ن + 1) 2 .

باستخدام فرضية الاستقراء ، نحصل عليها

1 + 3 + 5 + ... + (2ن - 1) + (2ن + 1) = ن 2 + (2ن + 1) = (ن + 1) 2 .

هكذا، ص(ن+ 1) صحيح ، وبالتالي ، تم إثبات المساواة المطلوبة.

ملاحظة 3.يمكن حل هذا المثال (على غرار المثال السابق) دون استخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

ج) متى ن= 1 المساواة صحيحة: 1 = 1. افترض أن المساواة صحيحة

وتظهر ذلك هذه هي الحقيقةص(ن) يعني الحقيقةص(ن+ 1). حقًا،ومنذ 2 ن 2 + 7 ن + 6 = (2 ن + 3)(ن+ 2) ، نحصل عليه وبالتالي ، فإن المساواة الأصلية صالحة لأي طبيعين.

د) متى ن= 1 المساواة صالحة: 1 = 1. لنفترض أن هناك

وإثبات ذلك

حقًا،

هـ) الموافقة ص(1) صحيح: 2 = 2. لنفترض أن المساواة

صحيح ، ونثبت أنه يعني المساواةحقًا،

لذلك ، فإن المساواة الأصلية تحمل أي شيء طبيعي ن.

F) ص(1) صحيح: 1/3 = 1/3. يجب أن تكون هناك مساواة ص(ن):

. دعونا نظهر أن المساواة الأخيرة تعني ما يلي:

في الواقع ، بالنظر إلى ذلك ص(ن) يحدث ، نحصل عليه

وهكذا ، ثبتت المساواة.

ز) متى ن= 1 لدينا أ + ب = ب + أوبالتالي فإن المساواة صحيحة.

دع صيغة نيوتن ذات الحدين صالحة ل ن = ك، إنه،

ثم باستخدام المساواةنحن نحصل

مثال 2إثبات عدم المساواة

أ) عدم مساواة برنولي: (1 + أ) ن ≥ 1 + نأ ، أ> -1 ، نعن ن.

ب) x 1 + x 2 + ... + x ن ≥ ن، لو x 1 x 2 · ... · x ن= 1 و x أنا > 0, .

ج) عدم مساواة كوشي فيما يتعلق بالمتوسط الحسابي والمتوسط الهندسي
أين x أنا > 0, , ن ≥ 2.

د) الخطيئة 2 نأ + cos2 نأ ≤ 1 ، نعن ن.

ه)

و) 2 ن > ن 3 , نعن ن, ن ≥ 10.

حل.أ) متى ن= 1 نحصل على عدم المساواة الحقيقية

1 + أ ≥ 1 + أ. دعونا نفترض أن هناك عدم مساواة

(1 + أ) ن ≥ 1 + نأ

(1)

وتبين ذلك ثم لدينا(1 + أ) ن + 1 ≥ 1 + (ن+ 1) أ.

في الواقع ، بما أن أ> -1 تعني أ + 1> 0 ، ثم نضرب طرفي عدم المساواة (1) في (أ + 1) ، نحصل على

(1 + أ) ن(1 + أ) ≥ (1 + نأ) (1 + أ) أو (1 + أ) ن + 1 ≥ 1 + (ن+ 1) أ + نأ 2 لأن نأ 2 ≥ 0 ، لذلك ،(1 + أ) ن + 1 ≥ 1 + (ن+ 1) أ + نأ 2 ≥ 1 + ( ن+ 1) أ.

وهكذا ، إذا ص(ن) صحيح إذن ص(ن+ 1) صحيح ، لذلك ، وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، فإن عدم مساواة برنولي صحيحة.

ب) متى ن= 1 نحصل عليه x 1 = 1 وبالتالي x 1 ≥ 1 أي ص(1) بيان عادل. دعونا نتظاهر بذلك ص(ن) صحيح ، أي إذا أديكا ، x 1 ,x 2 ,...,x ن - نأرقام موجبة منتجها يساوي واحدًا ، x 1 x 2 · ... · x ن= 1 و x 1 + x 2 + ... + x ن ≥ ن.

دعنا نظهر أن هذا الافتراض يعني أن ما يلي صحيح: إذا x 1 ,x 2 ,...,x ن ,x ن+1 - (ن+ 1) أرقام موجبة مثل تلك x 1 x 2 · ... · x ن · x ن+1 = 1 إذن x 1 + x 2 + ... + x ن + x ن + 1 ≥ن + 1.

خذ بالحسبان الحالتين التاليتين:

1) x 1 = x 2 = ... = x ن = x ن+1 = 1. إذن مجموع هذه الأرقام هو ( ن+ 1) ، ويتم استيفاء التفاوت المطلوب ؛

2) يختلف رقم واحد على الأقل عن رقم واحد ، على سبيل المثال ، يكون أكبر من واحد. ثم بسبب x 1 x 2 · ... · x ن · x ن+ 1 = 1 ، يوجد على الأقل رقم آخر مختلف عن واحد (بتعبير أدق ، أقل من واحد). يترك x ن+ 1> 1 و x ن < 1. Рассмотрим نأرقام موجبة

x 1 ,x 2 ,...,x ن-1 ,(x ن · x ن+1). حاصل ضرب هذه الأرقام يساوي واحدًا ، ووفقًا للفرضية ، x 1 + x 2 + ... + x ن-1 + x ن x ن + 1 ≥ ن. تتم إعادة كتابة آخر متباينة على النحو التالي: x 1 + x 2 + ... + x ن-1 + x ن x ن+1 + x ن + x ن+1 ≥ ن + x ن + x ن+1 أو x 1 + x 2 + ... + x ن-1 + x ن + x ن+1 ≥ ن + x ن + x ن+1 - x ن x ن+1 .

بسبب ال

(1 - x ن)(x ن+1 - 1)> 0 إذن ن + x ن + x ن+1 - x ن x ن+1 = ن + 1 + x ن+1 (1 - x ن) - 1 + x ن =
= ن + 1 + x ن+1 (1 - x ن) - (1 - x ن) = ن + 1 + (1 - x ن)(x ن+1 - 1) ≥ ن+ 1. لذلك ، x 1 + x 2 + ... + x ن + x ن+1 ≥ ن+1 ، إذا ص(ن) صحيح إذنص(ن+ 1) عادل. لقد ثبت عدم المساواة.

ملاحظة 4.تظهر علامة المساواة إذا وفقط إذا x 1 = x 2 = ... = x ن = 1.

ج) دع x 1 ,x 2 ,...,x نهي أرقام موجبة عشوائية. ضع في اعتبارك ما يلي نأرقام موجبة:

بما أن منتجهم يساوي واحدًا: وفقًا لعدم المساواة المثبتة سابقًا ب) ، يتبع ذلكأين

ملاحظة 5.تبقى المساواة إذا وفقط إذا x 1 = x 2 = ... = x ن .

د) ص(1) - بيان عادل: sin 2 a + cos 2 a = 1. افترض ذلك ص(ن) بيان صحيح:

الخطيئة 2 نأ + cos2 نأ ≤ 1 وتبين أن هناكص(ن+ 1). حقًا، sin2 ( ن+ 1) أ + جا 2 ( ن+ 1) أ \ u003d الخطيئة 2 ن a sin 2 a + cos 2 نأ جيب التمام 2 أ< sin 2نأ + cos2 ن a ≤ 1 (إذا كانت sin 2 a ≤ 1 ، إذن cos 2 a < 1, и обратно: если cos 2 a ≤ 1 ثم sin 2 a < 1). Таким образом, для любого نعن نالخطيئة 2 نأ + cos2 ن ≤ 1 ويتم الوصول إلى علامة المساواة فقط عندمان = 1.

ه) متى ن= 1 البيان صحيح: 1< 3 / 2 .

لنفترض ذلك وإثبات ذلك

بسبب ال

مع مراعاة ص(ن)، نحن نحصل

و) مع أخذ الملاحظة 1 في الاعتبار ، فإننا نتحقق ص(10): 2 10> 10 3 ، 1024> 1000 ، لذلك ، من أجل ن= 10 البيان صحيح. افترض 2 ن > ن 3 (ن> 10) وإثبات ص(ن+ 1) أي 2 ن+1 > (ن + 1) 3 .

منذ في ن> 10 لدينا أو ، يتبع ذلك

2ن 3 > ن 3 + 3ن 2 + 3ن+ 1 أو ن 3 > 3ن 2 + 3ن + 1. مع مراعاة عدم المساواة (2 ن > ن 3) ، نحصل على 2 ن+1 = 2 ن 2 = 2 ن + 2 ن > ن 3 + ن 3 > ن 3 + 3ن 2 + 3ن + 1 = (ن + 1) 3 .

وهكذا ، حسب طريقة الاستقراء الرياضي ، لأي طبيعي نعن ن, ن≥ 10 لدينا 2 ن > ن 3 .

مثال 3إثبات ذلك لأي نعن ن

حل.أ) ص(1) عبارة صحيحة (0 يقبل القسمة على 6). يترك ص(ن) عادل ، هذا هو ن(2ن 2 - 3ن + 1) = ن(ن - 1)(2ن- 1) يقبل القسمة على 6. دعونا نظهر ذلك لدينا ص(ن+ 1) أي ( ن + 1)ن(2ن+ 1) يقبل القسمة على 6. في الواقع ، منذ ذلك الحين

وكيف ن(ن - 1)(2 ن- 1) و 6 ن 2 قابلة للقسمة على 6 ، ثم مجموعهان(ن + 1)(2 ن+ 1) يقبل القسمة على 6.

هكذا، ص(ن+ 1) بيان عادل ، وبالتالي ، ن(2ن 2 - 3ن+ 1) يقبل القسمة على 6 لأي نعن ن.

ب) تحقق ص(1): 6 0 + 3 2 + 3 0 = 11 ، وبالتالي ص(1) بيان عادل. يجب إثبات أنه إذا كان 6 2 ن-2 + 3 ن+1 + 3 ن-1 يقبل القسمة على 11 ( ص(ن)) ، ثم 6 2 ن + 3 ن+2 + 3 نكما أنه يقبل القسمة على 11 ( ص(ن+ 1)). في الواقع ، لأن

6 2ن + 3 ن+2 + 3 ن = 6 2ن-2+2 + 3 ن+1+1 + 3 ن-1 + 1 == 6 2 6 2 ن-2 + 3 3 ن+1 + 3 3 ن-1 = 3 (6 2 ن-2 + 3 ن+1 + 3 ن-1) + 33 6 2 ن-2 وما شابه 6 2 ن-2 + 3 ن+1 + 3 ن-1 و 33 6 2 ن-2 قابلة للقسمة على 11 ، ثم مجموعها 6 2ن + 3 ن+2 + 3 ن قابل للقسمة على 11. تم إثبات التأكيد. الاستقراء في الهندسة

مثال 4احسب ضلع 2 الصحيح ن-درجت في دائرة نصف قطرها ص.

مقدمة

الجزء الرئيسي

1. الاستقراء الكامل وغير الكامل

2. مبدأ الاستقراء الرياضي

3. طريقة الاستقراء الرياضي

4. حل الأمثلة

5. المساواة

6. تقسيم الأعداد

7. عدم المساواة

خاتمة

قائمة الأدب المستخدم

مقدمة

لكن هذا مهم جدًا - أن تكون قادرًا على التفكير بشكل استقرائي.

الجزء الرئيسي

دع الأمر مطلوبًا لإثبات أن كل عدد زوجي طبيعي ن ضمن 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

توضح هذه المعادلات التسع أن كل رقم من الأرقام التي تهمنا يتم تمثيله بالفعل على أنه مجموع حدين أوليين.

دعنا ، على سبيل المثال ، مطلوب للعثور على مجموع أول n من الأرقام الفردية المتتالية. ضع في اعتبارك حالات خاصة:

1+3+5+7+9=25=5 2

بعد النظر في هذه الحالات الخاصة القليلة ، فإن الاستنتاج العام التالي يقترح نفسه:

1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = ن 2

أولئك. مجموع أول n من الأعداد الفردية المتتالية هو n 2

بالطبع ، لا يمكن أن تكون الملاحظة التي تم إجراؤها بمثابة دليل على صحة الصيغة المذكورة أعلاه.

فليكن من الضروري إثبات صحة عبارة معينة لأي عدد طبيعي n (على سبيل المثال ، من الضروري إثبات أن مجموع أول n من الأرقام الفردية يساوي n 2). من المستحيل التحقق المباشر من هذه العبارة لكل قيمة n ، لأن مجموعة الأعداد الطبيعية لا نهائية. لإثبات هذه العبارة ، تحقق أولاً من صلاحيتها لـ n = 1. ثم ثبت أنه بالنسبة لأي قيمة طبيعية لـ k ، فإن صحة العبارة قيد النظر لـ n = k تعني صلاحيتها لـ n = k + 1 أيضًا.

تلخيصًا لما قيل ، نقوم بصياغة المبدأ العام التالي.

مبدأ الاستقراء الرياضي.

إذا كانت الجملة أ ( ن ) حسب العدد الطبيعي ن ، صحيح ل ن = 1 ومن حقيقة أنه صحيح ل ن = ك (أين ك -أي عدد طبيعي) ، ويترتب على ذلك أنه ينطبق أيضًا على الرقم التالي ن = ك + 1 ، ثم الافتراض أ ( ن ) صحيح لأي عدد طبيعي ن .

في عدد من الحالات ، قد يكون من الضروري إثبات صحة بيان معين ليس لجميع الأعداد الطبيعية ، ولكن فقط لـ n> p ، حيث p هو رقم طبيعي ثابت. في هذه الحالة ، تتم صياغة مبدأ الاستقراء الرياضي على النحو التالي. إذا كانت الجملة أ ( ن ) صحيح ل ن = ص وإذا كان A ( ك ) Þ أ( ك + 1) لأي احد ك> ص ، ثم الجملة أ ( ن) صحيح لأي شخص ن> ص.

مثال 1

أثبت أن 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n 2.

الحل: 1) لدينا n = 1 = 1 2. لذلك،

العبارة صحيحة لـ n = 1 ، أي أ (1) هو الصحيح.

2) دعنا نثبت أن A (k) ÞA (k + 1).

لنفترض أن k أي عدد طبيعي ودع العبارة تكون صحيحة من أجل n = k ، أي

1 + 3 + 5 + ... + (2 ك -1) = ك 2.

دعنا نثبت أن التأكيد صحيح أيضًا بالنسبة للعدد الطبيعي التالي n = k + 1 ، أي ماذا

1 + 3 + 5 + ... + (2 ك + 1) = (ك + 1) 2.

بالفعل،

1 + 3 + 5 + ... + (2 ك -1) + (2 ك + 1) = ك 2 + 2 ك + 1 = (ك + 1) 2.

إذن A (k) ÞA (k + 1). بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن الافتراض A (n) صحيح لأي nОN.

مثال 2

اثبت ذلك

1 + x + x 2 + x 3 +… + x n = (x n + 1 -1) / (x-1) ، حيث x¹1

الحل: 1) نحصل على n = 1

1 + س = (س 2 -1) / (س -1) = (س -1) (س + 1) / (س -1) = س + 1

لذلك ، بالنسبة لـ n = 1 الصيغة صحيحة ؛ أ (1) هو الصحيح.

2) دع k يكون أي عدد طبيعي ودع الصيغة صحيحة لـ n = k ، أي

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \ u003d (x k + 1 -1) / (x-1).

دعونا نثبت ذلك ثم المساواة

1 + س + س 2 + س 3 + ... + س ك + س ك + 1 = (س ك + 2 -1) / (س -1).

بالفعل

1 + х + х 2 + س 3 + ... + х ك + س ك + 1 = (1 + س + س 2 + س 3 + ... + س ك) + س ك + 1 =

= (س ك + 1 -1) / (س -1) + س ك + 1 = (س ك + 2 -1) / (س -1).

إذن A (k) ÞA (k + 1). بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن الصيغة صحيحة لأي عدد طبيعي n.

مثال 3

إثبات أن عدد الأقطار المحدبة n-gon هو n (n-3) / 2.

الحل: 1) بالنسبة إلى n = 3 ، تكون العبارة صحيحة

و 3 صحيح ، لأنه في مثلث

 أ 3 = 3 (3-3) / 2 = 0 أقطار ؛

أ 2 أ (3) هو الصحيح.

2) افترض أن في أي

محدب k-gon has-

A 1 sya A k \ u003d k (k-3) / 2 قطري.

A k دعنا نثبت ذلك في محدب

(k + 1) -الرقم

الأقطار A k + 1 = (k + 1) (k-2) / 2.

دعونا А 1 А 2 А 3 ... A k A k + 1 -convex (k + 1) -angle. لنرسم قطريًا A 1 A k فيه. لحساب العدد الإجمالي للأقطار لهذا (k + 1) -gon ، تحتاج إلى حساب عدد الأقطار في k-gon A 1 A 2 ... A k ، أضف k-2 إلى الرقم الناتج ، أي يجب أن يؤخذ في الاعتبار عدد الأقطار للمضلع (k + 1) المنبثق من الرأس A k + 1 ، بالإضافة إلى القطر A 1 A k.

هكذا،

 ك + 1 =  ك + (ك -2) + 1 = ك (ك -3) / 2 + ك -1 = (ك + 1) (ك -2) / 2.

إذن A (k) ÞA (k + 1). نظرًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، فإن العبارة صحيحة لأي محدب n-gon.

مثال 4

إثبات أن العبارة صحيحة لأي n:

1 2 +2 2 +3 2 + ... + n 2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6.

الحل: 1) دع n = 1 ، ثم

X 1 \ u003d 1 2 \ u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \ u003d 1.

ومن ثم فإن العبارة n = 1 صحيحة.

2) افترض أن n = k

X k \ u003d k 2 \ u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6.

3) ضع في اعتبارك هذه العبارة من أجل n = k + 1

Xk + 1 = (ك + 1) (ك + 2) (2 ك + 3) / 6.

س ك + 1 = 1 2 +2 2 +3 2 + ... + ك 2 + (ك + 1) 2 = ك (ك + 1) (2 ك + 1) / 6 + + (ك + 1) 2 = (ك (ك + 1) (2 ك + 1) +6 (ك + 1) 2) / 6 = (ك + 1) (ك (2 ك + 1) +

6 (ك + 1)) / 6 = (ك + 1) (2 ك 2 + 7 ك + 6) / 6 = (ك + 1) (2 (ك + 3/2) (ك +

2)) / 6 = (ك + 1) (ك + 2) (2 ك + 3) / 6.

لقد أثبتنا صحة المساواة لـ n = k + 1 ، لذلك ، بحكم طريقة الاستقراء الرياضي ، فإن العبارة صحيحة لأي n طبيعي.

مثال 5

إثبات أن المساواة صحيحة لأي نوع طبيعي:

1 3 +2 3 +3 3 + ... + ن 3 = ن 2 (ن + 1) 2/4.

الحل: 1) دع n = 1.

ثم X 1 = 1 3 = 1 2 (1 + 1) 2/4 = 1.

نرى أن العبارة n = 1 صحيحة.

2) افترض أن المساواة صحيحة لـ n = k

أمثلة على الاستقراء. طريقة الاستقراء الرياضي: أمثلة على الحلول. التطوير المنهجي "طريقة الاستقراء الرياضي"

اقرأ أيضا

مقبس للموقد والفرن

عيد ميلاد المشاهير 12 09 1957

سقف البوليمر: أصناف وتكنولوجيا الجهاز

الجرس