دورة قصيرة من المحاضرات في الميكانيكا النظرية. القوانين والصيغ الأساسية في الميكانيكا النظرية. حل الأمثلة. روابط وردود فعل السندات

زاوية الدوران خلال هذا الوقت φ = 2πض\ u003d 2 * 3.14 * 360 = 2261 راد

4. العمل لمدة 3 أدوار:دبليو= 1 * 0.02 * 2261 = 45.2 كيلو جول

فهرس

أولوفينسكايا ، ف. "ميكانيكا التقنية" ، "منتدى" موسكو 2011

إرددي أ. إرددي ن. الميكانيكا النظرية. قوة المواد. - R-n-D ؛ فينيكس ، 2010

شريحة واحدة

دورة محاضرات عن الميكانيكا النظريةديناميكيات (الجزء الأول) Bondarenko A.N. موسكو - 2007 تمت كتابة الدورة التدريبية الإلكترونية على أساس المحاضرات التي ألقاها المؤلف للطلاب الذين يدرسون في تخصصات SZhD و PGS و SDM في NIIZhT و MIIT (1974-2006). تتوافق المادة التعليمية مع خطط التقويم في مقدار ثلاثة فصول دراسية. لتنفيذ تأثيرات الرسوم المتحركة بشكل كامل أثناء العرض التقديمي ، يجب عليك استخدام عارض Power Point ليس أقل من Microsoft Office المدمج نظام التشغيلنظام التشغيل Windows-XP Professional. يمكن إرسال التعليقات والاقتراحات عن طريق البريد الإلكتروني: [بريد إلكتروني محمي]. جامعة موسكو الحكومية لهندسة السكك الحديدية (MIIT) قسم الميكانيكا النظرية المركز العلمي والتقني لتقنيات النقل

2 شريحة

محاضرة المحتويات 1. مقدمة في الديناميات. قوانين وبديهيات ديناميكيات النقطة المادية. المعادلة الأساسية للديناميات. المعادلات التفاضلية والطبيعية للحركة. مهمتان رئيسيتان للديناميات. أمثلة على حل مشكلة الديناميكيات المباشرة. محاضرة 2. حل مشكلة الديناميكيات العكسية. تعليمات عامة لحل مشكلة الديناميكيات العكسية. أمثلة على حل المشكلة العكسية للديناميكيات. حركة جسم مُلقى بزاوية مع الأفق ، دون مراعاة مقاومة الهواء. المحاضرة 3. التذبذبات المستقيمة لنقطة مادية. شرط حدوث التذبذبات. تصنيف الاهتزازات. الاهتزازات الحرة دون مراعاة قوى المقاومة. الاهتزازات المخففة. تناقص التذبذب. المحاضرة 4. التذبذبات القسرية لنقطة مادية. صدى. تأثير مقاومة الحركة أثناء الاهتزازات القسرية. المحاضرة 5. الحركة النسبية لنقطة مادية. قوى القصور الذاتي. حالات خاصة للحركة لأنواع مختلفة من الحركة المحمولة. تأثير دوران الأرض على توازن وحركة الأجسام. المحاضرة 6. ديناميات النظام الميكانيكي. نظام ميكانيكي. القوى الخارجية والداخلية. مركز كتلة النظام. نظرية حركة مركز الكتلة. قوانين الحفظ. مثال لحل مشكلة استخدام النظرية في حركة مركز الكتلة. المحاضرة 7. دفعة القوة. مقدار الحركة. نظرية التغيير في الزخم. قوانين الحفظ. نظرية أويلر. مثال على حل المشكلة باستخدام نظرية التغيير في الزخم. لحظة الزخم. نظرية تغيير الزخم الزاوي محاضرة 8. قوانين الحفظ. عناصر نظرية لحظات القصور الذاتي. اللحظة الحركية لجسم صلب. معادلة تفاضلية لدوران جسم صلب. مثال لحل مشكلة استخدام النظرية في تغيير الزخم الزاوي للنظام. النظرية الأولية للجيروسكوب. الأدبيات الموصى بها 1. Yablonsky A.A. دورة الميكانيكا النظرية. الجزء 2. م: المدرسة العليا. 1977. 368 ص. 2. ميشيرسكي آي في. مجموعة من المشاكل في الميكانيكا النظرية. م: العلوم. 1986 416 ص. 3. مجموعة التعيينات لأوراق الفصل / إد. أ. يابلونسكي. م: المدرسة العليا. 1985. 366 ص. 4 - بوندارينكو أ. "الميكانيكا النظرية في الأمثلة والمهام. Dynamics "(دليل إلكتروني www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm) ، 2004

3 شريحة

المحاضرة 1 ديناميكيات هي قسم من الميكانيكا النظرية يدرس الحركة الميكانيكية من وجهة نظر عامة. تعتبر الحركة مرتبطة بالقوى المؤثرة على الجسم. يتكون القسم من ثلاثة أقسام: ديناميات نقطة مادة ديناميكيات نظام ميكانيكي ميكانيكا تحليلية ■ ديناميات نقطة - يدرس حركة نقطة مادة ، مع الأخذ في الاعتبار القوى التي تسبب هذه الحركة. الهدف الرئيسي هو نقطة مادية - جسم مادي مع كتلة ، يمكن إهمال أبعادها. الافتراضات الأساسية: - هناك فضاء مطلق (له خصائص هندسية بحتة لا تعتمد على المادة وحركتها. - هناك زمن مطلق (لا يعتمد على المادة وحركتها) ويترتب على ذلك: - يوجد إطار مرجعي ثابت تمامًا. - الوقت لا يعتمد على حركة الإطار المرجعي. - لا تعتمد كتل النقاط المتحركة على حركة الإطار المرجعي.تستخدم هذه الافتراضات في الميكانيكا الكلاسيكية التي أنشأها جاليليو ونيوتن . لا يزال لها نطاق واسع إلى حد ما ، لأن الأنظمة الميكانيكية التي يتم النظر فيها في العلوم التطبيقية لا تحتوي على مثل هذه الكتل الكبيرة وسرعات الحركة ، والتي من الضروري مراعاة تأثيرها على هندسة المكان والزمان والحركة ، مثل تم إجراؤه في الميكانيكا النسبية (نظرية النسبية) ■ تشكل القوانين الأساسية للديناميكيات - التي اكتشفها غاليليو لأول مرة وصاغها نيوتن الأساس لجميع الطرق لوصف وتحليل حركة الأنظمة الميكانيكية وتفاعلها الديناميكي العمل تحت تأثير القوى المختلفة. ■ قانون القصور الذاتي (قانون جاليليو - نيوتن) - تحتفظ النقطة المادية المعزولة للجسم بحالة الراحة أو الحركة المستقيمة المنتظمة حتى تجبرها القوى المطبقة على تغيير هذه الحالة. وهذا يعني تكافؤ حالة السكون والحركة بالقصور الذاتي (قانون النسبية لغاليليو). يُطلق على الإطار المرجعي ، فيما يتعلق بالوفاء بقانون القصور الذاتي ، بالقصور الذاتي. تسمى خاصية النقطة المادية التي تسعى جاهدة للحفاظ على سرعة حركتها (حالتها الحركية) دون تغيير بالقصور الذاتي. ■ قانون تناسب القوة والتسارع (المعادلة الأساسية للديناميكيات - قانون نيوتن الثاني) - التسارع الذي يتم نقله إلى نقطة مادية بالقوة يتناسب طرديًا مع القوة ويتناسب عكسيًا مع كتلة هذه النقطة: أو هنا m هو كتلة النقطة (مقياس القصور الذاتي) ، مقاسة بالكيلو جرام ، مساوية عدديًا للوزن مقسومًا على تسارع الجاذبية: F هي القوة المؤثرة ، مقاسة بـ N (1 N تضفي تسارعًا قدره 1 م / ث 2 إلى نقطة مع a كتلة 1 كجم ، 1 N \ u003d 1/9. 81 كجم). ■ ديناميكيات النظام الميكانيكي - يدرس حركة مجموعة من نقاط المواد والأجسام الصلبة مجتمعة القوانين العامةالتفاعلات ، مع مراعاة القوى المسببة لهذه الحركة. ■ الميكانيكا التحليلية - يدرس حركة الأنظمة الميكانيكية غير الحرة باستخدام طرق التحليل العامة. واحد

4 شريحة

المحاضرة 1 (تابع - 1.2) المعادلات التفاضلية لحركة نقطة مادية: - المعادلة التفاضلية لحركة نقطة في شكل متجه. - المعادلات التفاضلية للحركة النقطية في شكل إحداثيات. يمكن الحصول على هذه النتيجة من خلال الإسقاط الرسمي للمعادلة التفاضلية المتجهة (1). بعد التجميع ، تتحلل علاقة المتجه إلى ثلاث معادلات عددية: في شكل إحداثيات: نستخدم علاقة متجه نصف القطر بالإحداثيات ومتجه القوة مع الإسقاطات: معادلة تفاضلية للحركة على محاور إحداثيات طبيعية (متحركة): أو: - المعادلات الطبيعية لحركة نقطة. ■ المعادلة الأساسية للديناميكيات: - تتوافق مع طريقة المتجه لتحديد حركة نقطة. ■ قانون استقلالية عمل القوى - تسريع نقطة مادية تحت تأثير عدة قوى يساوي المجموع الهندسي لتسارع نقطة من عمل كل قوة على حدة: أو القانون ساري المفعول لأي حالة حركية للأجسام. قوى التفاعل المطبقة على نقاط (أجسام) مختلفة ليست متوازنة. ■ قانون المساواة في الفعل ورد الفعل (قانون نيوتن الثالث) - كل فعل يتوافق مع رد فعل متساوٍ وموجه بشكل معاكس: 2

5 شريحة

مشكلتان رئيسيتان في الديناميات: 1. مشكلة مباشرة: تعطى الحركة (معادلات الحركة ، المسار). من الضروري تحديد القوى التي تحدث بموجبها حركة معينة. 2. المشكلة المعكوسة: يتم إعطاء القوى التي تحدث الحركة بموجبها. مطلوب للعثور على معلمات الحركة (معادلات الحركة ، مسار الحركة). يتم حل كلتا المشكلتين باستخدام المعادلة الأساسية للديناميكيات وإسقاطها على محاور الإحداثيات. إذا تم اعتبار حركة النقطة غير الحرة ، عندئذٍ ، كما هو الحال في الإحصائيات ، يتم استخدام مبدأ التحرير من الروابط. نتيجة للتفاعل ، يتم تضمين الروابط في تكوين القوى المؤثرة على نقطة المادة. حل المشكلة الأولى مرتبط بعمليات التفاضل. يتطلب حل المسألة العكسية تكامل المعادلات التفاضلية المقابلة ، وهذا أصعب بكثير من التفاضل. المشكلة العكسية أصعب من المشكلة المباشرة. حل مشكلة الديناميكيات المباشرة - لنلق نظرة على أمثلة: مثال 1. كابينة بوزن G للمصعد يتم رفعها بواسطة كابل مع تسارع a. تحديد شد الكابل. 1. حدد شيئًا (تتحرك عربة المصعد للأمام ويمكن اعتبارها نقطة مادية). 2. نتجاهل الوصلة (الكبل) ونستبدلها بالتفاعل R. 3. قم بتجميع المعادلة الأساسية للديناميكيات: حدد رد فعل الكبل: حدد شد الكبل: بحركة موحدة للكابينة ay = 0 و شد الكابل يساوي الوزن: T = G. عندما ينكسر الكابل T = 0 ويكون تسارع المقصورة مساوياً لتسارع السقوط الحر: ay = -g. 3 4. نسقط المعادلة الأساسية للديناميكيات على المحور y: y مثال 2. تتحرك نقطة الكتلة m على طول سطح أفقي (مستوى Oxy) وفقًا للمعادلات: x = a coskt ، y = b coskt. أوجد القوة المؤثرة على النقطة. 1. حدد كائنًا (نقطة مادية). 2. نتجاهل الوصلة (المستوي) ونستبدلها بالتفاعل N. 3. أضف قوة غير معروفة F إلى نظام القوى. المحاور س ، ص: تحديد إسقاطات القوة: معامل القوة: جيب التمام للاتجاه: وبالتالي ، يتناسب حجم القوة مع مسافة النقطة إلى مركز الإحداثيات ويتجه نحو المركز على طول الخط الذي يربط النقطة بالمركز. مسار حركة النقطة هو شكل بيضاوي متمركز في الأصل: O r المحاضرة 1 (تابع - 1.3)

6 شريحة

المحاضرة 1 (تتمة 1.4) مثال 3: حمولة بوزن G معلقة على كابل طوله l وتتحرك على طول مسار دائري في مستوى أفقي بسرعة معينة. زاوية انحراف الكابل عن العمودي تساوي. حدد شد الكابل وسرعة الحمل. 1. حدد كائنًا (حمولة). 2. تجاهل الوصلة (الحبل) واستبدله بالتفاعل R. 3. كوّن المعادلة الأساسية للديناميكيات: من المعادلة الثالثة ، حدد رد فعل الكابل: حدد شد الكابل: استبدل قيمة التفاعل من الكبل ، التسارع العادي في المعادلة الثانية وتحديد سرعة الحمل: 4. قم بإبراز ديناميات محور المعادلة الرئيسية ، n ، b: مثال 4: تتحرك سيارة بوزن G على جسر محدب (نصف قطر الانحناء هو R ) بسرعة V. تحديد ضغط السيارة على الجسر. 1. نختار شيئًا (سيارة ، نهمل الأبعاد ونعتبرها نقطة). 2. نتجاهل الوصلة (السطح الخشن) ونستبدلها بالتفاعلات N وقوة الاحتكاك Ffr. 3. نؤلف المعادلة الأساسية للديناميكيات: 4. نضع المعادلة الأساسية للديناميكيات على المحور n: من هنا نحدد التفاعل الطبيعي: نحدد ضغط السيارة على الجسر: من هنا يمكننا تحديد السرعة المقابلة للضغط الصفري على الجسر (س = 0): 4

7 شريحة

المحاضرة 2 بعد استبدال القيم الموجودة للثوابت ، نحصل على: وهكذا ، تحت تأثير نفس نظام القوى ، يمكن لنقطة مادية أن تؤدي فئة كاملة من الحركات التي تحددها الشروط الأولية. تأخذ الإحداثيات الأولية في الاعتبار الموضع الأولي للنقطة. تأخذ السرعة الأولية ، المعطاة من الإسقاطات ، في الاعتبار التأثير على حركتها على طول المقطع المدروس لمسار القوى التي تصرفت في النقطة قبل الوصول إلى هذا القسم ، أي الحالة الحركية الأولية. حل المشكلة العكسية للديناميكيات - في الحالة العامة لحركة نقطة ، فإن القوى المؤثرة على النقطة هي متغيرات تعتمد على الوقت والإحداثيات والسرعة. يتم وصف حركة النقطة بنظام من ثلاث معادلات تفاضلية من الدرجة الثانية: بعد دمج كل منها ، سيكون هناك ستة ثوابت C1 ، C2 ،…. ، C6: قيم الثوابت C1 ، C2 ، ... . ، تم العثور على C6 من ستة شروط أولية عند t = 0: مثال 1 من حل المسألة العكسية: تتحرك نقطة مادة حرة كتلتها m تحت تأثير القوة F ، وهي ثابتة في الحجم والمقدار. . في اللحظة الأولى ، كانت سرعة النقطة v0 وتزامنت في اتجاه القوة. حدد معادلة حركة نقطة. 1. قم بتكوين المعادلة الأساسية للديناميكيات: 3. خفض ترتيب المشتق: 2. اختر نظامًا مرجعيًا ديكارتيًا ، موجهًا المحور x على طول اتجاه القوة وعرض المعادلة الأساسية للديناميكيات على هذا المحور: أو x y z 4 افصل بين المتغيرات: 5. احسب تكاملات كلا الجزأين من المعادلة: 6. دعنا نمثل إسقاط السرعة كمشتق للإحداثيات فيما يتعلق بالوقت: 8. احسب تكاملات كلا الجزأين من المعادلة: 7. افصل المتغيرات: 9. لتحديد قيم الثوابت C1 و C2 ، نستخدم الشروط الأولية t = 0 ، vx = v0 ، x = x0: نتيجة لذلك ، نحصل على معادلة الحركة المتغيرة المنتظمة (على طول المحور س): 5

8 شريحة

تعليمات عامة لحل المشاكل المباشرة والمعكوسة. إجراءات الحل: 1. تجميع المعادلة التفاضلية للحركة: 1.1. اختر نظام إحداثيات - مستطيل (ثابت) مع مسار غير معروف للحركة ، طبيعي (متحرك) بمسار معروف ، على سبيل المثال ، دائرة أو خط مستقيم. في الحالة الأخيرة ، يمكن استخدام إحداثي مستقيم واحد. يجب دمج النقطة المرجعية مع الموضع الأولي للنقطة (عند t = 0) أو مع موضع توازن النقطة ، إذا كانت موجودة ، على سبيل المثال ، عندما تتقلب النقطة. 6 1.2. ارسم نقطة في موضع يقابل لحظة زمنية عشوائية (بالنسبة إلى t> 0) بحيث تكون الإحداثيات موجبة (s> 0 ، x> 0). نفترض أيضًا أن إسقاط السرعة في هذا الموضع موجب أيضًا. في حالة التذبذبات ، يتغير إسقاط السرعة ، على سبيل المثال ، عند العودة إلى وضع التوازن. هنا يجب أن نفترض أنه في اللحظة الزمنية المدروسة تتحرك النقطة بعيدًا عن موضع التوازن. إن تنفيذ هذه التوصية مهم في المستقبل عند العمل مع قوى المقاومة التي تعتمد على السرعة. 1.3 حرر نقطة المادة من الروابط ، واستبدل عملها بردود فعل ، وأضف قوى نشطة. 1.4 اكتب القانون الأساسي للديناميكيات في شكل متجه ، واسقط على المحاور المختارة ، وعبر عن القوى المعطاة أو التفاعلية من حيث متغيرات الوقت والإحداثيات أو السرعات ، إذا كانت تعتمد عليها. 2. حل المعادلات التفاضلية: 2.1. اختصر المشتق إذا لم يتم اختزال المعادلة إلى الشكل القياسي (القياسي). على سبيل المثال: أو 2.2. متغيرات منفصلة ، على سبيل المثال: أو 2.4. لا تحسب تكاملات محددةفي الجزأين الأيمن والأيسر من المعادلة ، على سبيل المثال: 2.3. إذا كانت هناك ثلاثة متغيرات في المعادلة ، فقم بإجراء تغيير في المتغيرات ، على سبيل المثال: ثم افصل المتغيرات. تعليق. بدلا من الحساب تكاملات غير محددةمن الممكن حساب التكاملات المحددة بحد أعلى متغير. تمثل الحدود الدنيا القيم الأولية للمتغيرات (الشروط الأولية) ، ثم لا داعي لإيجاد الثابت بشكل منفصل ، والذي يتم تضمينه تلقائيًا في الحل ، على سبيل المثال: استخدام الشروط الأولية ، على سبيل المثال ، t = 0 ، vx = vx0 ، حدد ثابت التكامل: 2.5. عبر عن السرعة من حيث مشتق التوقيت للإحداثيات ، على سبيل المثال ، وكرر الخطوتين 2.2 -2.4 ملاحظة. إذا تم تقليل المعادلة إلى شكل أساسي يحتوي على حل قياسي ، فسيتم استخدام هذا الحل الجاهز. لا تزال توجد ثوابت التكامل من الشروط الأولية. انظر ، على سبيل المثال ، التذبذبات (المحاضرة 4 ، ص 8). المحاضرة 2 (تتمة 2.2)

9 شريحة

المحاضرة 2 (تتمة 2.3) مثال 2 لحل المسألة العكسية: القوة تعتمد على الوقت. يبدأ حمل الوزن P بالتحرك على طول سطح أفقي أملس تحت تأثير القوة F ، يتناسب حجمها مع الوقت (F = kt). أوجد المسافة التي يقطعها الحمل في الزمن t. 3. نؤلف المعادلة الرئيسية للديناميكيات: 5. نخفض ترتيب المشتق: 4. نسقط المعادلة الرئيسية للديناميكيات على المحور x: أو 7 6. نفصل المتغيرات: 7. نحسب التكاملات من كلا الجزأين في المعادلة: 9. نمثل إسقاط السرعة كمشتق للإحداثيات بالنسبة للوقت: 10. احسب تكاملات كلا الجزأين من المعادلة: 9. افصل بين المتغيرات: 8. حدد القيمة للثابت C1 من الحالة الأولية t = 0 ، vx = v0 = 0: نتيجة لذلك ، نحصل على معادلة الحركة (على طول المحور x) ، والتي تعطي قيمة المسافة المقطوعة للوقت t: 1. نحن اختر النظام المرجعي (الإحداثيات الديكارتية) بحيث يكون للجسم إحداثيات موجبة: 2. نأخذ موضوع الحركة كنقطة مادية (يتحرك الجسم للأمام) ، ثم نحرره من الاتصال (المستوى المرجعي) واستبدله بـ رد الفعل (رد فعل عادي لسطح أملس): 11. حدد قيمة الثابت C2 من الحالة الأولية t = 0 ، x = x0 = 0: مثال 3 لحل المسألة العكسية: تعتمد القوة على الإحداثي. تُلقى نقطة مادية كتلتها m إلى أعلى من سطح الأرض بسرعة v0. تتناسب قوة جاذبية الأرض عكسًا مع مربع المسافة من النقطة إلى مركز الجاذبية (مركز الأرض). أوجد اعتماد السرعة على المسافة ص إلى مركز الأرض. 1. نختار نظامًا مرجعيًا (الإحداثيات الديكارتية) بحيث يكون للجسم إحداثيات موجبة: 2. نؤلف المعادلة الأساسية للديناميكيات: 3. نعرض المعادلة الأساسية للديناميكيات على المحور y: أو يمكن لمعامل التناسب يمكن العثور عليها باستخدام وزن نقطة على سطح الأرض: R ومن هنا تبدو المعادلة كما يلي: أو 4. خفض ترتيب المشتق: 5. قم بتغيير المتغير: 6. افصل بين المتغيرات: 7. احسب تكاملات طرفي المعادلة: 8. استبدل الحدود: نتيجة لذلك ، نحصل على تعبير للسرعة كدالة للإحداثي y: يمكن إيجاد أقصى ارتفاع للطيران من خلال معادلة السرعة بالصفر: أقصى ارتفاع للطيران عندما يتحول المقام إلى الصفر: من هنا ، عند تحديد نصف قطر الأرض وتسريع السقوط الحر ، يتم الحصول على السرعة الكونية الثانية:

10 شريحة

المحاضرة 2 (تتمة 2.4) مثال 2 لحل المسألة العكسية: تعتمد القوة على السرعة. كان لسفينة كتلتها m سرعة v0. تتناسب مقاومة الماء لحركة السفينة مع السرعة. حدد الوقت الذي تستغرقه سرعة السفينة في الانخفاض بمقدار النصف بعد إيقاف تشغيل المحرك ، وكذلك المسافة التي تقطعها السفينة حتى التوقف التام. 8 1. نختار نظامًا مرجعيًا (الإحداثيات الديكارتية) بحيث يكون للجسم إحداثيات موجبة: 2. نأخذ موضوع الحركة كنقطة مادية (تتحرك السفينة للأمام) ، ونحرره من الروابط (الماء) ونستبدله مع رد فعل (قوة الطفو - قوة أرخميدس) ، وكذلك قوة مقاومة الحركة. 3. أضف القوة النشطة (الجاذبية). 4. نؤلف المعادلة الرئيسية للديناميكيات: 5. نسقط المعادلة الرئيسية للديناميكيات على المحور السيني: أو 6. نخفض ترتيب المشتق: 7. نفصل المتغيرات: 8. نحسب التكاملات من كلا الجزأين من المعادلة: 9. نستبدل الحدود: يتم الحصول على تعبير يربط السرعة والوقت t ، والذي يمكنك من خلاله تحديد وقت الحركة: وقت الحركة ، حيث تنخفض السرعة خلاله بمقدار النصف: من المثير للاهتمام ملاحظة أنه عندما تقترب السرعة من الصفر ، فإن وقت الحركة يميل إلى اللانهاية ، أي لا يمكن أن تكون السرعة النهائية صفرًا. لماذا لا تكون "الحركة الدائمة"؟ ومع ذلك ، في هذه الحالة ، فإن المسافة المقطوعة حتى نقطة التوقف هي قيمة محدودة. لتحديد المسافة المقطوعة ، ننتقل إلى التعبير الذي تم الحصول عليه بعد خفض ترتيب المشتق ، وإجراء تغيير في المتغير: بعد التكامل واستبدال الحدود ، نحصل على: المسافة المقطوعة إلى نقطة توقف: ■ حركة نقطة تم إلقاؤها عند زاوية باتجاه الأفق في مجال جاذبية موحد دون مراعاة مقاومة الهواء. القضاء على الوقت من معادلات الحركة ، نحصل على معادلة المسار: يتم تحديد وقت الرحلة من خلال معادلة إحداثي y بالصفر: يتم تحديد نطاق الرحلة عن طريق الاستبدال وقت الرحلة:

11 شريحة

المحاضرة 3 التذبذبات المستقيمة الخطية لنقطة مادية - تحدث الحركة التذبذبية لنقطة مادية في ظل الحالة: هناك قوة استعادة تميل إلى إرجاع النقطة إلى موضع التوازن لأي انحراف عن هذا الموضع. 9 هناك قوة استعادة ، وضع التوازن مستقر لا توجد قوة استعادة ، موضع التوازن غير مستقر لا توجد قوة استعادة ، موضع التوازن غير مبال يتم توجيهه دائمًا نحو وضع التوازن ، والقيمة تتناسب طرديًا مع الاستطالة الخطية (تقصير) الربيع ، والتي تساوي انحراف الجسم عن موضع التوازن: c هو معامل صلابة الزنبرك ، يساوي عدديًا القوة التي يغير الزنبرك من خلالها طوله بواحد ، وتُقاس بوحدة N / m في النظام SI. x y O أنواع اهتزازات النقطة المادية: 1. الاهتزازات الحرة (دون مراعاة مقاومة الوسط). 2. التذبذبات الحرة مع مراعاة مقاومة الوسط (التذبذبات المثبطة). 3. الاهتزازات القسرية. 4. التذبذبات القسرية مع مراعاة مقاومة الوسط. ■ التذبذبات الحرة - تحدث تحت تأثير قوة الاستعادة فقط. دعنا نكتب القانون الأساسي للديناميكيات: دعنا نختار نظام إحداثيات يتمحور حول موضع التوازن (النقطة O) ونعرض المعادلة على المحور x: لنجلب المعادلة الناتجة إلى النموذج القياسي (المتعارف عليه): هذه المعادلة متجانسة المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية ، يتم تحديد شكل حلها من خلال جذور خاصية المعادلة التي تم الحصول عليها باستخدام الاستبدال الشامل: جذور المعادلة المميزة خيالية ومتساوية: الحل العام للمعادلة التفاضلية لها الشكل: سرعة النقطة: الشروط الأولية: تحديد الثوابت: إذن ، فإن معادلة الاهتزازات الحرة لها الشكل: يمكن تمثيل المعادلة بتعبير مفرد: حيث a هي السعة ، - المرحلة الأولية. الثوابت الجديدة a و - مرتبطة بالثابتين C1 و C2 من خلال العلاقات: دعنا نحدد a و: سبب حدوث التذبذبات الحرة هو الإزاحة الأولية x0 و / أو السرعة الابتدائية v0.

12 شريحة

10 المحاضرة 3 (تتمة 3.2) التذبذبات الخافتة لنقطة مادية - تحدث الحركة التذبذبية لنقطة مادية في وجود قوة استعادة وقوة مقاومة للحركة. يتم تحديد اعتماد قوة المقاومة للحركة على الإزاحة أو السرعة من خلال الطبيعة المادية للوسيط أو الاتصال الذي يعيق الحركة. أبسط اعتماد هو الاعتماد الخطي على السرعة (المقاومة اللزجة): - معامل اللزوجة x y O من قيم الجذور: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >ك - حالة المقاومة عالية اللزوجة: - جذور حقيقية مختلفة. أو - هذه الوظائف غير دورية: 3. n = k: - الجذور حقيقية ومتعددة. هذه الوظائف هي أيضًا غير دورية:

13 شريحة

المحاضرة 3 (تتمة 3.3) تصنيف حلول التذبذبات الحرة. وصلات الربيع. صلابة مكافئة. y y 11 فرق. حرف المعادلة. جذر المعادلة حرف. المعادلة حل المعادلة التفاضلية الرسم البياني nk n = k

14 شريحة

المحاضرة 4 الاهتزازات الإجبارية لنقطة مادية - جنبًا إلى جنب مع قوة الاستعادة ، تعمل قوة متغيرة دوريًا تسمى القوة المضطربة. يمكن أن يكون للقوة المقلقة طبيعة مختلفة. على سبيل المثال ، في حالة معينة ، يؤدي التأثير القصور الذاتي للكتلة غير المتوازنة m1 لدوار دوار إلى إسقاطات القوة المتغيرة بشكل متناسق: المعادلة الرئيسية للديناميكيات: إسقاط معادلة الديناميكيات على المحور: لنجلب المعادلة إلى المعيار الشكل: 12 يتكون حل هذه المعادلة التفاضلية غير المتجانسة من جزأين x = x1 + x2: x1 هو الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة و x2 هو حل خاص للمعادلة غير المتجانسة: نختار الحل المعين في شكل الجانب الأيمن: يجب تحقيق المساواة الناتجة لأي ر. ثم: أو هكذا ، مع العمل المتزامن لقوى الاستعادة والمزعجة ، تؤدي نقطة المادة حركة تذبذبية معقدة ، والتي تنتج عن إضافة (تراكب) الاهتزازات الحرة (x1) والقسرية (x2). إذا كان ص< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >ك (تذبذبات قسرية عالية التردد) ، فإن مرحلة التذبذبات تكون معاكسة لمرحلة القوة المزعجة:

15 شريحة

المحاضرة 4 (تتمة 4.2) 13 المعامل الديناميكي - نسبة اتساع التذبذبات القسرية إلى الانحراف الثابت لنقطة تحت تأثير قوة ثابتة H = const: اتساع التذبذبات القسرية: يمكن العثور على الانحراف الثابت من معادلة التوازن: هنا: ومن هنا: هكذا ، عند p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >ك (التردد العالي للتذبذبات القسرية) المعامل الديناميكي: الرنين - يحدث عندما يتزامن تواتر التذبذبات القسرية مع تواتر التذبذبات الطبيعية (ع = ك). يحدث هذا غالبًا عند بدء وإيقاف دوران الدوارات غير المتوازنة المثبتة على معلقات مرنة. المعادلة التفاضلية للتذبذبات ذات الترددات المتساوية: لا يمكن أخذ حل معين على شكل الجانب الأيمن ، لأن سيتم الحصول على حل يعتمد خطيًا (انظر الحل العام). الحل العام: استبدل في المعادلة التفاضلية: خذ حلاً معينًا في الصورة واحسب المشتقات: وهكذا ، يتم الحصول على الحل: أو التذبذبات القسرية عند الرنين لها سعة تزيد إلى أجل غير مسمى بما يتناسب مع الوقت. تأثير مقاومة الحركة أثناء الاهتزازات القسرية. المعادلة التفاضلية في وجود المقاومة اللزجة لها الشكل: يتم اختيار الحل العام من الجدول (المحاضرة 3 ، ص 11) اعتمادًا على نسبة n و k (انظر). نأخذ حلاً معينًا في الشكل ونحسب المشتقات: عوض في المعادلة التفاضلية: معادلة معاملات الدوال المثلثية المتطابقة ، نحصل على نظام من المعادلات: رفع المعادلتين إلى قوة وإضافةهما ، نحصل على سعة التذبذبات القسرية: بقسمة المعادلة الثانية على الأولى ، نحصل على انزياح الطور للتذبذبات القسرية: وهكذا ، فإن معادلة الحركة للتذبذبات القسرية ، مع مراعاة مقاومة الحركة ، على سبيل المثال ، لـ n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 شريحة

المحاضرة 5 الحركة النسبية لنقطة مادية - لنفترض أن نظام الإحداثيات المتحرك (غير القصور الذاتي) Oxyz يتحرك وفقًا لبعض القوانين المتعلقة بنظام الإحداثيات الثابت (بالقصور الذاتي) O1x1y1z1. حركة النقطة المادية M (x ، y ، z) بالنسبة إلى النظام المحمول Oxyz هي حركة نسبية ، بالنسبة إلى النظام غير المتحرك O1x1y1z1 مطلقة. حركة نظام Oxyz المحمول بالنسبة للنظام الثابت O1x1y1z1 هي حركة محمولة. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O المعادلة الأساسية للديناميكيات: التسارع المطلق للنقطة: استبدل التسارع المطلق للنقطة في المعادلة الأساسية للديناميكيات: لننقل المصطلحات مع تسريع الترجمة وكوريوليس إلى الجانب الأيمن: المصطلحات المنقولة لها أبعاد القوى وتعتبر بمثابة قوى القصور الذاتي المقابلة ، متساوية: ثم يمكن اعتبار الحركة النسبية لنقطة ما مطلقة ، إذا أضفنا قوى القصور الانتقالي وكوريوليس للقوى المؤثرة: في الإسقاطات على محاور نظام الإحداثيات المتحركة لدينا: نوع مختلفالحركة الانتقالية: 1. الدوران حول محور ثابت: إذا كان الدوران منتظمًا ، فإن e = 0: 2. حركة منحنية انتقالية: إذا كانت الحركة مستقيمة ، إذن =: إذا كانت الحركة مستقيمة وموحدة ، فإن النظام المتحرك يكون يمكن اعتبار الحركة بالقصور الذاتي والحركة النسبية مطلقة: لا توجد ظواهر ميكانيكية يمكنها اكتشاف حركة موحدة مستقيمة (مبدأ النسبية للميكانيكا الكلاسيكية). تأثير دوران الأرض على توازن الأجسام - لنفترض أن الجسم في حالة توازن على سطح الأرض عند خط عرض عشوائي φ (المتوازيات). تدور الأرض حول محورها من الغرب إلى الشرق بسرعة زاوية: يبلغ نصف قطر الأرض حوالي 6370 كم. S R هو التفاعل الكلي لسطح غير أملس. ز - قوة جذب الأرض إلى المركز. Ф - قوة الطرد المركزي من القصور الذاتي. حالة التوازن النسبي: ناتج قوى الجذب والقصور الذاتي هي قوة الجاذبية (الوزن): حجم قوة الجاذبية (الوزن) على سطح الأرض هو P = mg. قوة الطرد المركزي للقصور الذاتي هي جزء صغير من قوة الجاذبية: إن انحراف قوة الجاذبية عن اتجاه قوة الجاذبية صغير أيضًا: وبالتالي ، يكون تأثير دوران الأرض على توازن الأجسام ضئيلًا للغاية ولا تؤخذ بعين الاعتبار في الحسابات العملية. الحد الأقصى لقيمة القوة بالقصور الذاتي (عند φ = 0 - عند خط الاستواء) هي 0.00343 فقط من قيمة الجاذبية

17 شريحة

المحاضرة 5 (تتمة 5.2) 15 تأثير دوران الأرض على حركة الأجسام في مجال جاذبية الأرض - لنفترض أن جسمًا يسقط على الأرض من ارتفاع معين H فوق سطح الأرض عند خط العرض φ. دعنا نختار إطارًا مرجعيًا متحركًا ، مرتبطًا بشكل صارم بالأرض ، موجهًا المحورين x و y بشكل عرضي إلى خط الطول والتوازي: معادلة الحركة النسبية: هنا ، يتم أخذ صغر قوة الطرد المركزي للقصور الذاتي مقارنة بالجاذبية في الاعتبار . وهكذا ، يتم تحديد قوة الجاذبية مع قوة الجاذبية. بالإضافة إلى ذلك ، نفترض أن الجاذبية موجهة بشكل عمودي على سطح الأرض بسبب صغر انحرافها ، كما نوقش أعلاه. تسارع كوريوليس يساوي المحور y في الغرب وموجهًا له. يتم توجيه قوة القصور الذاتي كوريوليس في الاتجاه المعاكس. نقوم بإسقاط معادلة الحركة النسبية على المحور: يعطي حل المعادلة الأولى: الشروط الأولية: يعطي حل المعادلة الثالثة: الشروط الأولية: تأخذ المعادلة الثالثة الشكل: الشروط الأولية: يعطي الحل: الحل الناتج يدل على أن الجسم ينحرف نحو الشرق عندما يسقط. دعونا نحسب قيمة هذا الانحراف ، على سبيل المثال ، عند السقوط من ارتفاع 100 متر.نجد وقت السقوط من حل المعادلة الثانية: وبالتالي ، فإن تأثير دوران الأرض على حركة الأجسام ضئيل للغاية للارتفاعات والسرعات العملية ولا تؤخذ في الاعتبار في الحسابات الفنية. يعني حل المعادلة الثانية أيضًا وجود سرعة على طول المحور y ، والتي يجب أن تسبب أيضًا وتسبب التسارع المقابل وقوة كوريوليس القصور الذاتي. سيكون تأثير هذه السرعة وقوة القصور الذاتي المرتبطة بها على التغيير في الحركة أقل حتى من قوة القصور الذاتي كوريوليس المرتبطة بالسرعة الرأسية.

18 شريحة

المحاضرة 6 ديناميات النظام الميكانيكي. نظام نقاط المواد أو النظام الميكانيكي - مجموعة من النقاط المادية أو تلك النقاط المادية التي توحدها قوانين التفاعل العامة (يعتمد موضع أو حركة كل نقطة أو جسم على موضع وحركة جميع النقاط الأخرى). النقاط الحرة - التي لا تقتصر حركتها على أي اتصالات (على سبيل المثال ، نظام كوكبي ، حيث تُعتبر الكواكب نقاطًا مادية). نظام النقاط غير الحرة أو النظام الميكانيكي غير الحر - حركة النقاط أو الأجسام المادية محدودة بالقيود المفروضة على النظام (على سبيل المثال ، آلية ، آلة ، إلخ). 16 قوى تعمل على النظام. بالإضافة إلى التصنيف الموجود سابقًا للقوى (القوى النشطة والمتفاعلة) ، تم تقديم تصنيف جديد للقوى: 1. القوى الخارجية (هـ) - التي تعمل على نقاط وأجسام النظام من نقاط أو هيئات ليست جزءًا من هذا النظام. 2. القوى الداخلية (1) - قوى التفاعل بين النقاط المادية أو الهيئات المدرجة في نظام معين. يمكن أن تكون نفس القوة قوة خارجية وداخلية. كل هذا يتوقف على أي نظام ميكانيكي يعتبر. على سبيل المثال: في نظام الشمس والأرض والقمر ، كل قوى الجاذبية بينهما داخلية. عند النظر إلى نظام الأرض والقمر ، تكون قوى الجاذبية المطبقة من جانب الشمس خارجية: C Z L بناءً على قانون الفعل ورد الفعل ، كل قوة داخلية Fk تقابل قوة داخلية أخرى Fk '، متساوية في القيمة المطلقة ومعاكسة في اتجاه. من هذا يتبع اثنين خصائص رائعةالقوى الداخلية: المتجه الرئيسي لجميع القوى الداخلية للنظام هو صفر: اللحظة الرئيسية لجميع القوى الداخلية للنظام بالنسبة إلى أي مركز هي صفر: أو في الإسقاطات على محاور الإحداثيات: ملاحظة. على الرغم من أن هذه المعادلات تشبه معادلات التوازن ، إلا أنها ليست كذلك ، حيث يتم تطبيق القوى الداخلية على نقاط أو أجسام مختلفة في النظام ويمكن أن تتسبب في تحرك هذه النقاط (الأجسام) بالنسبة لبعضها البعض. ويترتب على هذه المعادلات أن القوى الداخلية لا تؤثر على حركة النظام ككل. مركز كتلة نظام النقاط المادية. لوصف حركة النظام ككل ، يتم إدخال نقطة هندسية ، تسمى مركز الكتلة ، يتم تحديد متجه نصف القطر من خلال التعبير ، حيث M هي كتلة النظام بأكمله: أو في الإسقاطات على الإحداثيات المحاور: صيغ مركز الكتلة مماثلة لتلك الخاصة بمركز الثقل. ومع ذلك ، فإن مفهوم مركز الكتلة أكثر عمومية ، لأنه لا يرتبط بقوى الجاذبية أو قوى الجاذبية.

19 شريحة

المحاضرة 6 (تتمة 6.2) 17 نظرية حول حركة مركز كتلة النظام - ضع في اعتبارك نظامًا من ن نقاط مادية. نقسم القوى المطبقة على كل نقطة إلى قوى خارجية وداخلية ونستبدلها بالنتيجة المقابلة Fke و Fki. دعنا نكتب لكل نقطة المعادلة الأساسية للديناميكيات: أو لنجمع هذه المعادلات على جميع النقاط: في الجانب الأيسر من المعادلة ، سنقدم الكتل تحت علامة المشتق ونستبدل مجموع المشتقات بالمشتق من المجموع: من تعريف مركز الكتلة: استبدل في المعادلة الناتجة: نحصل على أو: ناتج كتلة النظام وتسارع كتلته المركزية يساوي المتجه الرئيسي للقوى الخارجية. في الإسقاطات على محاور الإحداثيات: يتحرك مركز كتلة النظام كنقطة مادية مع كتلة تساوي كتلة النظام بأكمله ، حيث يتم تطبيق جميع القوى الخارجية المؤثرة على النظام. النتائج من النظرية على حركة مركز كتلة النظام (قوانين الحفظ): 1. إذا كان المتجه الرئيسي للقوى الخارجية للنظام في الفترة الزمنية يساوي صفرًا ، Re = 0 ، فإن سرعة مركز الكتلة ثابت ، vC = const (يتحرك مركز الكتلة بشكل موحد في خط مستقيم - قانون حفظ مركز الحركة للكتلة). 2. إذا كان إسقاط المتجه الرئيسي للقوى الخارجية للنظام على المحور x في الفترة الزمنية يساوي صفرًا ، Rxe = 0 ، فإن سرعة مركز الكتلة على طول المحور x تكون ثابتة ، vCx = const (يتحرك مركز الكتلة بشكل موحد على طول المحور). عبارات مماثلة صحيحة بالنسبة لمحور y و z. مثال: يوجد شخصان كتلتهما m1 و m2 في قارب كتلته m3. في اللحظة الأولى ، كان القارب الذي يحمل الناس في حالة راحة. أوجد إزاحة القارب إذا تحرك شخص كتلته م 2 إلى قوس القارب على مسافة أ. 3. إذا كان المتجه الرئيسي للقوى الخارجية للنظام في الفترة الزمنية يساوي صفرًا ، Re = 0 ، وفي اللحظة الأولى كانت سرعة مركز الكتلة تساوي صفرًا ، vC = 0 ، فإن متجه نصف القطر يظل مركز الكتلة ثابتًا ، rC = const (مركز الكتلة في حالة سكون هو قانون الحفاظ على موضع مركز الكتلة). 4. إذا كان إسقاط المتجه الرئيسي للقوى الخارجية للنظام على المحور x في الفترة الزمنية يساوي صفرًا ، Rxe = 0 ، وفي اللحظة الأولى تكون سرعة مركز الكتلة على طول هذا المحور صفرًا ، vCx = 0 ، ثم يظل إحداثيات مركز الكتلة على طول المحور x ثابتًا ، xC = const (لا يتحرك مركز الكتلة على طول هذا المحور). عبارات مماثلة صحيحة بالنسبة لمحور y و z. 1. كائن الحركة (قارب مع أشخاص): 2. تجاهل التوصيلات (الماء): 3. استبدل الاتصال برد الفعل: 4. أضف القوى النشطة: 5. اكتب النظرية حول مركز الكتلة: المشروع على المحور السيني : O حدد المسافة التي تريد نقلها إلى شخص كتلته m1 ، بحيث يظل القارب في مكانه: سيتحرك القارب مسافة l في الاتجاه المعاكس.

20 شريحة

المحاضرة 7 - نبضة القوة هي مقياس للتفاعل الميكانيكي الذي يميز انتقال الحركة الميكانيكية من القوى المؤثرة على النقطة لفترة زمنية معينة: 18 في الإسقاطات على محاور الإحداثيات: في حالة وجود قوة ثابتة: في الإسقاطات على محاور الإحداثيات: إلى نقطة القوة في نفس الفترة الزمنية: الضرب في dt: الدمج خلال فترة زمنية معينة: مقدار حركة النقطة هو مقياس للحركة الميكانيكية ، يحدده متجه يساوي منتج كتلة النقطة ومتجه سرعتها: نظرية حول التغيير في مقدار حركة النظام - ضع في اعتبارك النظام n من النقاط المادية. نقسم القوى المطبقة على كل نقطة إلى قوى خارجية وداخلية ونستبدلها بالنتيجة المقابلة Fke و Fki. دعنا نكتب لكل نقطة المعادلة الأساسية للديناميات: أو زخم نظام النقاط المادية هو المجموع الهندسي لكميات حركة نقاط المواد: من خلال تعريف مركز الكتلة: متجه زخم النظام هو يساوي حاصل ضرب كتلة النظام بأكمله ومتجه السرعة لمركز كتلة النظام. ثم: في الإسقاطات على محاور الإحداثيات: المشتق الزمني لمتجه الزخم للنظام يساوي المتجه الرئيسي للقوى الخارجية للنظام. دعونا نجمع هذه المعادلات على جميع النقاط: في الجانب الأيسر من المعادلة ، نقدم الكتل تحت علامة المشتق ونستبدل مجموع المشتقات بمشتق المجموع: من تعريف زخم النظام: في الإسقاطات على محاور الإحداثيات:

21 شريحة

نظرية أويلر - تطبيق النظرية على التغيير في زخم النظام لحركة وسط مستمر (ماء). 1. نختار حجم الماء الموجود في القناة المنحنية للتوربينات كهدف للحركة: 2. نتجاهل الروابط ونستبدل تأثيرها بتفاعلات (Rpov - الناتج عن قوى السطح) 3. أضف القوى النشطة (Rb - ناتج قوى الجسم): 4. اكتب النظرية حول التغيير في زخم النظام: يتم تمثيل زخم الماء في الأوقات t0 و t1 كمجموع: التغيير في زخم الماء في الفترة الزمنية: التغيير في زخم الماء على مدى فترة زمنية متناهية الصغر dt: ، حيث F1 F2 بأخذ ناتج الكثافة ومساحة المقطع العرضي والسرعة لكل كتلة ثانية ، نحصل على: استبدال تفاضل زخم النظام في نظرية التغيير ، نحصل على : النتائج من النظرية على التغيير في زخم النظام (قوانين الحفظ): 1. إذا كان المتجه الرئيسي للقوى الخارجية للنظام في الفاصل الزمني يساوي صفرًا ، Re = 0 ، ثم حركة متجه الكمية ثابت ، Q = const هو قانون الحفاظ على زخم النظام). 2. إذا كان إسقاط المتجه الرئيسي للقوى الخارجية للنظام على المحور x في الفترة الزمنية يساوي صفرًا ، Rxe = 0 ، فإن إسقاط زخم النظام على المحور x يكون ثابتًا ، Qx = const. عبارات مماثلة صحيحة بالنسبة لمحور y و z. المحاضرة 7 (تتمة 7.2) مثال: قنبلة يدوية كتلتها M ، تطير بسرعة v ، انفجرت إلى جزأين. زادت سرعة إحدى شظايا الكتلة m1 في اتجاه الحركة إلى القيمة v1. حدد سرعة الجزء الثاني. 1. موضوع الحركة (القنبلة): 2. الكائن هو نظام حر ، لا توجد اتصالات وردود أفعالهم. 3. أضف القوى النشطة: 4. اكتب النظرية حول التغيير في الزخم: المشروع على المحور: اقسم المتغيرات ودمج: التكامل الصحيح هو صفر تقريبًا ، لأن وقت الانفجار ر

22 شريحة

المحاضرة 7 (تتمة 7.3) 20 الزخم الزاوي لنقطة ما أو العزم الحركي للحركة بالنسبة إلى مركز معين هو مقياس للحركة الميكانيكية ، يتم تحديده بواسطة متجه يساوي منتج متجه لمتجه نصف القطر لنقطة مادية و متجه زخمها: إن اللحظة الحركية لنظام النقاط المادية بالنسبة إلى مركز معين هندسية مجموع لحظات الزخم لجميع نقاط المواد بالنسبة إلى نفس المركز: في الإسقاطات على المحور: في الإسقاطات على المحور : نظرية التغيير في لحظة زخم النظام - لنفكر في نظام ن من النقاط المادية. نقسم القوى المطبقة على كل نقطة إلى قوى خارجية وداخلية ونستبدلها بالنتيجة المقابلة Fke و Fki. دعنا نكتب لكل نقطة المعادلة الأساسية للديناميكيات: أو لنجمع هذه المعادلات على جميع النقاط: دعنا نستبدل مجموع المشتقات بمشتق المجموع: التعبير بين الأقواس هو لحظة زخم النظام. من هنا: نقوم بضرب كل من المساواة في متجه نصف القطر على اليسار: دعونا نرى ما إذا كان من الممكن أخذ علامة المشتق إلى ما وراء حدود المنتج المتجه: وهكذا ، حصلنا على: المركز. في الإسقاطات على محاور الإحداثيات: مشتق لحظة زخم النظام بالنسبة إلى بعض المحاور في الوقت المناسب يساوي اللحظة الرئيسية للقوى الخارجية للنظام بالنسبة إلى نفس المحور.

23 شريحة

المحاضرة 8 21 ■ النتائج المستمدة من النظرية على التغيير في الزخم الزاوي للنظام (قوانين الحفظ): 1. إذا كان متجه اللحظة الرئيسية للقوى الخارجية للنظام بالنسبة إلى مركز معين في الفاصل الزمني متساويًا إلى الصفر ، MOe = 0 ، ثم يكون متجه الزخم الزاوي للنظام بالنسبة لنفس المركز ثابتًا ، KO = const هو قانون الحفاظ على زخم النظام). 2. إذا كانت اللحظة الرئيسية للقوى الخارجية للنظام بالنسبة للمحور x في الفترة الزمنية تساوي صفرًا ، Mxe = 0 ، فإن الزخم الزاوي للنظام بالنسبة إلى المحور x ثابت ، Kx = const. عبارات مماثلة صحيحة بالنسبة لمحور y و z. 2. لحظة القصور الذاتي لجسم صلب حول المحور: إن عزم القصور الذاتي لنقطة مادية حول المحور يساوي حاصل ضرب كتلة النقطة ومربع مسافة النقطة إلى المحور. تساوي لحظة القصور الذاتي لجسم صلب حول المحور مجموع حاصل ضرب كتلة كل نقطة ومربع مسافة هذه النقطة من المحور. ■ عناصر نظرية لحظات القصور الذاتي - مع الحركة الدورانية لجسم صلب ، فإن مقياس القصور الذاتي (مقاومة التغيير في الحركة) هو لحظة القصور الذاتي حول محور الدوران. ضع في اعتبارك المفاهيم الأساسية للتعريف وطرق حساب لحظات القصور الذاتي. 1. لحظة القصور الذاتي لنقطة مادية حول المحور: في الانتقال من كتلة صغيرة منفصلة إلى كتلة صغيرة غير محدودة من نقطة ما ، يتم تحديد حد هذا المجموع بالتكامل: عزم محوري من القصور الذاتي لجسم صلب . بالإضافة إلى العزم المحوري من القصور الذاتي للجسم الصلب ، هناك أنواع أخرى من لحظات القصور الذاتي: لحظة الطرد المركزي من القصور الذاتي للجسم الصلب. لحظة قطبية من القصور الذاتي لجسم صلب. 3. النظرية حول لحظات القصور الذاتي لجسم صلب حول محاور متوازية - صيغة الانتقال إلى محاور متوازية: لحظة القصور الذاتي حول المحور المرجعي.

24 شريحة

المحاضرة 8 (تتمة 8.2) 22 لحظة القصور الذاتي لقضيب منتظم ذي مقطع ثابت حول المحور: x z L حدد الحجم الأولي dV = Adx على مسافة x: x dx الكتلة الأولية: لحساب لحظة القصور الذاتي حول المحور المركزي (بالمرور عبر مركز الثقل) ، يكفي تغيير موقع المحور وضبط حدود التكامل (-L / 2 ، L / 2). نوضح هنا صيغة الانتقال إلى المحاور المتوازية: zС 5. لحظة القصور الذاتي لأسطوانة صلبة متجانسة حول محور التناظر: H dr r دعونا نفرد الحجم الأولي dV = 2πrdrH (أسطوانة رفيعة نصف قطرها r) : الكتلة الأولية: هنا نستخدم صيغة حجم الأسطوانة V = πR2H. لحساب عزم القصور الذاتي لأسطوانة مجوفة (سميكة) ، يكفي تعيين حدود التكامل من R1 إلى R2 (R2> R1): 6. لحظة القصور الذاتي لأسطوانة رقيقة حول محور التناظر (t

25 شريحة

المحاضرة 8 (تتمة 8.3) 23 ■ معادلة تفاضلية لدوران جسم صلب حول محور: لنكتب نظرية حول تغيير الزخم الزاوي لجسم صلب يدور حول محور ثابت: زخم جسم صلب دوار هو: اللحظة القوى الخارجية حول محور الدوران تساوي عزم الدوران (التفاعلات والقوة لا تخلق لحظات الجاذبية): نستبدل العزم الحركية وعزم الدوران في النظرية مثال: شخصان لهما نفس الوزن G1 = G2 معلقان على حبل تم إلقاؤها فوق كتلة صلبة بوزن G3 = G1 / 4. في مرحلة ما ، بدأ أحدهم في تسلق الحبل بسرعة نسبية. حدد سرعة الرفع لكل شخص. 1. نختار موضوع الحركة (كتلة مع الأشخاص): 2. نتجاهل الوصلات (جهاز دعم الكتلة): 3. نستبدل الاتصال بردود الفعل (تحمل): 4. أضف قوى نشطة (الجاذبية): 5. اكتب نظرية التغيير في اللحظة الحركية للنظام بالنسبة لمحور دوران الكتلة: R نظرًا لأن لحظة القوى الخارجية تساوي صفرًا ، يجب أن تظل العزم الحركية ثابتة: في اللحظة الأولى من الزمن t = 0 ، كان هناك توازن و Kz0 = 0. بعد بدء حركة شخص واحد بالنسبة للحبل ، بدأ النظام بأكمله في التحرك ، ولكن يجب أن تظل العزم الحركية للنظام مساوية للصفر: Kz = 0. الزخم الزاوي للنظام هو مجموع الزخم الزاوي لكل من الأشخاص والكتلة: هنا v2 هي سرعة الشخص الثاني ، مساوية لسرعة طرف الكابل لمحور دوران ثابت. أو: في حالة التذبذبات الصغيرة sinφ φ: فترة التذبذب: لحظة القصور الذاتي للشريط:

26 شريحة

المحاضرة 8 (تتمة 8.4 - مادة إضافية) 24 ■ النظرية الأولية للجيروسكوب: الجيروسكوب عبارة عن جسم صلب يدور حول محور تناظر المادة ، إحدى نقاطه ثابتة. يتم إصلاح الجيروسكوب الحر بحيث يظل مركز كتلته ثابتًا ، ويمر محور الدوران عبر مركز الكتلة ويمكن أن يتخذ أي موضع في الفضاء ، أي. يغير محور الدوران موضعه مثل محور دوران الجسم أثناء الحركة الكروية. الافتراض الرئيسي للنظرية التقريبية (الأولية) للجيروسكوب هو أن متجه الزخم (العزم الحركي) للدوار يعتبر موجهًا على طول محور الدوران الخاص به. وهكذا ، على الرغم من حقيقة أن الدوار في الحالة العامة يشارك في ثلاث دورات ، يتم أخذ السرعة الزاوية لدورانه فقط ω = dφ / dt في الاعتبار. والسبب في ذلك هو أنه في التكنولوجيا الحديثة يدور دوار الجيروسكوب بسرعة زاوية تتراوح من 5000 إلى 8000 راد / ثانية (حوالي 50000-80000 دورة في الدقيقة) ، بينما ترتبط السرعتان الزاويتان الأخريان بالدوران وتحريك المحور الخاص بهما من دوران أقل بعشرات الآلاف من هذه السرعة. الخاصية الرئيسية للجيروسكوب الحر هي أن محور الدوار يحافظ على اتجاه ثابت في الفضاء فيما يتعلق بالنظام المرجعي بالقصور الذاتي (النجمي) (تم توضيحه بواسطة بندول فوكو ، الذي يحافظ على مستوى التأرجح دون تغيير فيما يتعلق بالنجوم ، 1852). هذا يتبع من قانون الحفاظ على اللحظة الحركية بالنسبة لمركز كتلة الدوار ، بشرط أن يتم إهمال الاحتكاك في محامل محاور تعليق الدوار ، والإطار الخارجي والداخلي: جيروسكوب. في حالة القوة المطبقة على محور الدوار ، فإن لحظة القوى الخارجية بالنسبة لمركز الكتلة لا تساوي الصفر: ω ω С ، وباتجاه متجه لحظة هذه القوة ، أي لن يدور حول المحور السيني (التعليق الداخلي) ، ولكن حول المحور الصادي (التعليق الخارجي). عند إنهاء القوة ، سيبقى محور الدوار في نفس الموضع ، بما يتوافق مع آخر وقت للقوة ، لأن من هذه النقطة الزمنية ، تصبح لحظة القوى الخارجية مرة أخرى مساوية للصفر. في حالة عمل القوة (التأثير) قصير المدى ، فإن محور الجيروسكوب عمليًا لا يغير موضعه. وبالتالي ، فإن الدوران السريع للدوار يمنح الجيروسكوب القدرة على مواجهة التأثيرات العشوائية التي تسعى إلى تغيير موضع محور دوران الدوار ، ومع العمل المستمر للقوة ، فإنه يحافظ على موضع المستوى المتعامد مع القوة المؤثرة التي يكمن فيها محور الدوار. تستخدم هذه الخصائص في تشغيل أنظمة الملاحة بالقصور الذاتي.

محاضرات في الميكانيكا النظرية

ديناميات النقطة

محاضرة 1

المفاهيم الأساسية للديناميات

في الفصل دينامياتتتم دراسة حركة الأجسام تحت تأثير القوى المطبقة عليها. لذلك بالإضافة إلى تلك المفاهيم التي تم عرضها في القسم معادلات الحركة،هنا من الضروري استخدام مفاهيم جديدة تعكس خصوصيات تأثير القوى على مختلف الهيئات واستجابة الهيئات لهذه التأثيرات. دعونا ننظر في أهم هذه المفاهيم.

قوة

القوة هي النتيجة الكمية لتأثير الهيئات الأخرى على جسم معين.القوة هي كمية متجهة (الشكل 1).

النقطة أ من بداية متجه القوة Fاتصل نقطة تطبيق القوة. الخط MN الذي يقع عليه متجه القوة خط القوة.يتم استدعاء طول متجه القوة ، المقاس على مقياس معين القيمة العددية أو معامل القوة المتجه. يُشار إلى معامل القوة على أنه أو. يتجلى عمل القوة على الجسم إما في تشوهه ، إذا كان الجسم ثابتًا ، أو في نقل التسارع إليه عندما يتحرك الجسم. بناءً على مظاهر القوة هذه ، يعتمد جهاز الأدوات المختلفة (عدادات القوة أو مقاييس الدينامومتر) لقياس القوى.

ب) نظام القوات

مجموعة أشكال القوى المدروسة نظام القوة.يمكن كتابة أي نظام يتكون من قوى n بالشكل التالي:

ج) الجسم الحر

يسمى الجسم الذي يمكن أن يتحرك في الفضاء في أي اتجاه دون التعرض للتفاعل المباشر (الميكانيكي) مع الأجسام الأخرى مجاناأو معزول. لا يمكن توضيح تأثير نظام واحد أو آخر من القوى على الجسم إلا إذا كان هذا الجسم حراً.

د) القوة الناتجة

إذا كان لأي قوة نفس التأثير على الجسم الحر مثل بعض أنظمة القوى ، فإن هذه القوة تسمى نتيجة هذا النظام من القوات. هذا مكتوب على النحو التالي:

,

مما يعني التكافؤالتأثير على نفس الجسم الحر للنتيجة وبعض نظام القوى n.

دعونا ننتقل الآن إلى النظر في مفاهيم أكثر تعقيدًا تتعلق بالتحديد الكمي لآثار دوران القوات.

ه) لحظة القوة بالنسبة إلى نقطة (مركز)

إذا كان الجسم تحت تأثير القوة يمكن أن يدور حول نقطة ثابتة O (الشكل 2) ، ثم لتقدير هذا التأثير الدوراني ، يتم إدخال كمية فيزيائية ، والتي تسمى لحظة القوة حول نقطة (وسط).

الطائرة التي تمر عبر نقطة ثابتة معينة وخط عمل القوة يسمى طائرة القوة. في الشكل 2 ، هذا هو المستوى АВ.

لحظة القوة بالنسبة إلى نقطة (مركز) هي كمية متجهية تساوي حاصل الضرب المتجه لمتجه نصف القطر لنقطة تطبيق القوة بواسطة متجه القوة:

( 1)

وفقًا لقاعدة الضرب المتجه لمتجهين ، يكون منتج المتجهين متجهًا عموديًا على مستوى موقع متجهات العامل (في هذه الحالة ، مستوى المثلث OAB) ، موجهًا في الاتجاه الذي منه أقصر دورة من متجه العامل الأول إلى متجه العامل الثاني مرئي على مدار الساعة (الشكل 2).بهذا الترتيب لمتجهات عوامل الضرب العرضي (1) ، سيكون دوران الجسم تحت تأثير القوة مرئيًا مقابل الساعة (الشكل 2). نظرًا لأن المتجه عمودي على مستوى القوة ، موقعها في الفضاء يحدد موضع مستوى القوة. القيمة العددية لمتجه لحظة القوة بالنسبة إلى المركز تساوي ضعف المنطقة АВ ويمكن تحديدها بالصيغة:

, (2)

أين ضخامةح، التي تساوي أقصر مسافة من نقطة معينة O إلى خط عمل القوة ، تسمى ذراع القوة.

إذا كان موضع مستوى عمل القوة في الفضاء غير ضروري لتوصيف الفعل الدوراني للقوة ، ففي هذه الحالة ، لتوصيف الفعل الدوراني للقوة ، بدلاً من متجه لحظة القوة ، لحظة القوة الجبرية:

(3)

العزم الجبري للقوة بالنسبة لمركز معين يساوي حاصل ضرب معامل القوة وكتفه ، مأخوذ بعلامة زائد أو ناقص. في هذه الحالة ، تقابل اللحظة الإيجابية دوران الجسم تحت تأثير قوة معينة ضد الساعة ، واللحظة السلبية تقابل دوران الجسم في اتجاه الساعة. من الصيغ (1) و (2) و (3) يتبع ذلك لحظة القوة بالنسبة إلى نقطة ما تساوي الصفر فقط إذا كان ذراع هذه القوةحصفر. مثل هذه القوة لا يمكنها أن تدور حول نقطة معينة.

و) لحظة القوة حول المحور

إذا كان بإمكان جسم تحت تأثير القوة أن يدور حول بعض المحاور الثابتة (على سبيل المثال ، دوران باب أو إطار نافذة في المفصلات عند فتحها أو إغلاقها) ، عندئذ يتم إدخال كمية مادية لتحديد تأثير الدوران ، والذي يسمى لحظة القوة حول محور معين.

ض

 ب Fxy

يوضح الشكل 3 مخططًا يتم بموجبه تحديد لحظة القوة حول المحور z:

تتكون الزاوية  من اتجاهين عموديين z وعلى مستويات المثلثات O أبو OAV ، على التوالي. منذ  O أبهو إسقاط АВ على المستوى xy ، ثم وفقًا لنظرية القياس الفراغي على إسقاط شكل مسطح على مستوى معين ، لدينا:

حيث تتوافق علامة الجمع مع قيمة موجبة لـ cos ، أي الزوايا الحادة  ، وعلامة الطرح تقابل قيمة سالبة لـ cos ، أي الزوايا المنفرجة  ، بسبب اتجاه المتجه. بدوره ، SO أب=1/2أبه، أين ح  أب . قيمة المقطع أبيساوي إسقاط القوة على المستوى xy ، أي . أب = F س ص .

بناءً على ما سبق ، بالإضافة إلى المساواة (4) و (5) ، نحدد لحظة القوة حول المحور z على النحو التالي:

تسمح لنا المساواة (6) بصياغة التعريف التالي لعزم القوة حول أي محور: لحظة القوة حول محور معين تساوي الإسقاط على هذا المحور لمتجه لحظة هذه القوة بالنسبة إلى أي نقطة من محور معين ويتم تعريفه على أنه ناتج إسقاط القوة على مستوى عمودي على المحور المحدد ، ويتم التقاطه بعلامة زائد أو ناقص على كتف هذا الإسقاط بالنسبة إلى نقطة تقاطع المحور مع مستوى الإسقاط. في هذه الحالة ، تعتبر علامة اللحظة موجبة إذا كان دوران الجسم حول هذا المحور مرئيًا مقابل الساعة ، بالنظر من الاتجاه الإيجابي للمحور. خلاف ذلك ، يتم اعتبار لحظة القوة حول المحور سالبة. نظرًا لصعوبة تذكر هذا التعريف لعزم القوة بالنسبة للمحور ، يوصى بتذكر الصيغة (6) والشكل 3 ، الذي يفسر هذه الصيغة.

من الصيغة (6) يتبع ذلك لحظة القوة حول المحور صفر إذاإنه موازٍ للمحور (في هذه الحالة ، يكون إسقاطه على مستوى عمودي على المحور مساوياً للصفر) ، أو أن خط عمل القوة يتقاطع مع المحور (ثم ذراع الإسقاط ح=0). يتوافق هذا تمامًا مع المعنى المادي للحظة القوة حول المحور كخاصية كمية للعمل الدوراني للقوة على جسم بمحور دوران.

ز) وزن الجسم

لقد لوحظ منذ فترة طويلة أنه تحت تأثير القوة ، يكتسب الجسم السرعة تدريجياً ويستمر في التحرك إذا تمت إزالة القوة. تم استدعاء خاصية الأجسام هذه ، لمقاومة التغيير في حركتها القصور الذاتي أو القصور الذاتي للجثث. المقياس الكمي لقصور الجسم هو كتلته.بجانب، كتلة الجسم هي مقياس كمي لتأثير قوى الجاذبية على جسم معين كلما زادت كتلة الجسم ، زادت قوة الجاذبية على الجسم.كما هو مبين أدناه ، أوههذان التعريفان لوزن الجسم مرتبطان.

ستتم مناقشة المفاهيم والتعريفات الأخرى للديناميكيات لاحقًا في الأقسام التي حدثت فيها لأول مرة.

2. روابط وردود فعل السندات

في وقت سابق في القسم 1 ، تم إعطاء النقطة (ج) مفهوم الجسد الحر ، كجسم يمكنه التحرك في الفضاء في أي اتجاه دون أن يكون على اتصال مباشر بأجسام أخرى. معظم الأجسام الحقيقية التي تحيط بنا هي على اتصال مباشر بأجسام أخرى ولا يمكنها التحرك في اتجاه أو آخر. لذلك ، على سبيل المثال ، يمكن للأجسام الموجودة على سطح الطاولة أن تتحرك في أي اتجاه ، باستثناء الاتجاه العمودي على سطح الطاولة لأسفل. يمكن أن تدور الأبواب المفصلية ، ولكن لا يمكنها التحرك للأمام ، وما إلى ذلك. تسمى الأجسام التي لا يمكنها التحرك في الفضاء في اتجاه أو آخر ليس حر.

كل ما يحد من حركة جسم معين في الفضاء يسمى روابط.يمكن أن تكون هذه بعض الهيئات الأخرى التي تمنع حركة هذا الجسم في بعض الاتجاهات ( اتصالات فيزيائية) ؛ وبشكل أوسع ، قد تكون هناك بعض الشروط المفروضة على حركة الجسم ، مما يحد من هذه الحركة. لذلك ، يمكنك تعيين شرط لحركة نقطة مادية على طول منحنى معين. في هذه الحالة ، يتم تحديد الاتصال رياضيًا في شكل معادلة ( معادلة الاتصال). سيتم النظر في مسألة أنواع الروابط بمزيد من التفصيل أدناه.

معظم الروابط المفروضة على الأجسام هي عمليا روابط مادية. لذلك ، فإن السؤال الذي يطرح نفسه حول تفاعل هيئة معينة والعلاقة المفروضة على هذا الجسم. تتم الإجابة على هذا السؤال من خلال البديهية حول تفاعل الأجسام: جسمان يعملان على بعضهما البعض بقوة متساوية في الحجم ، وعكس الاتجاه ويقعان على نفس الخط المستقيم. تسمى هذه القوى قوى التفاعل. يتم تطبيق قوى التفاعل على أجسام متفاعلة مختلفة. لذلك ، على سبيل المثال ، أثناء تفاعل جسم واتصال معين ، يتم تطبيق إحدى قوى التفاعل من جانب الجسم على الاتصال ، ويتم تطبيق قوة التفاعل الأخرى من جانب الاتصال بالجسم المحدد . هذه القوة الأخيرة تسمى قوة رد فعل السنداتأو ببساطة، رد فعل الاتصال.

عند حل المشكلات العملية للديناميكيات ، من الضروري أن تكون قادرًا على إيجاد اتجاه تفاعلات أنواع مختلفة من الروابط. يمكن أن تساعد القاعدة العامة لتحديد اتجاه تفاعل السندات في بعض الأحيان في هذا: يتم توجيه رد فعل الرابطة دائمًا عكس الاتجاه الذي تمنع فيه هذه الرابطة حركة جسم معين. إذا كان من الممكن تحديد هذا الاتجاه بشكل مؤكد ، فسيتم تحديد رد فعل الاتصال حسب الاتجاه. خلاف ذلك ، يكون اتجاه تفاعل الرابطة غير محدد ولا يمكن العثور عليه إلا من المعادلات المقابلة للحركة أو توازن الجسم. بمزيد من التفصيل ، يجب دراسة مسألة أنواع الروابط واتجاه ردود أفعالها وفقًا للكتاب المدرسي: S.M. Targ دورة قصيرة في الميكانيكا النظرية "المدرسة العليا" ، M. ، 1986. الفصل 1 ، §3.

في القسم 1 ، النقطة (ج) ، قيل إن تأثير أي نظام قوى لا يمكن تحديده بالكامل إلا إذا تم تطبيق نظام القوى هذا على جسم حر. نظرًا لأن معظم الأجسام ، في الواقع ، ليست حرة ، فمن أجل دراسة حركة هذه الأجسام ، فإن السؤال الذي يطرح نفسه هو كيفية جعل هذه الأجسام حرة. تمت الإجابة على هذا السؤال بديهية صلات المحاضرات علىالفلسفة في المنزل. محاضراتكانت ... علم النفس الاجتماعي وعلم النفس العرقي. 3. نظريالنتائج في الداروينية الاجتماعية كانت ...