تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي في حل مسائل قابلية قسمة الأعداد الطبيعية. طريقة الاستقراء الرياضي وتطبيقاته في حل المشكلات

يساعد درس الفيديو "طريقة الاستقراء الرياضي" على إتقان طريقة الاستقراء الرياضي. يحتوي الفيديو على مادة تساعد على فهم جوهر الطريقة ، وتذكر ميزات تطبيقها ، وتعلم كيفية تطبيق هذه الطريقة في حل المشكلات. الغرض من هذا الفيديو التعليمي هو تسهيل تطوير المادة ، لتكوين القدرة على حل المشكلات الرياضية عن طريق الاستقراء.

لإبقاء انتباه الطلاب على دراسة المواد ، يتم استخدام تأثيرات الرسوم المتحركة والرسوم التوضيحية وعرض المعلومات بالألوان. يوفر درس الفيديو وقت المعلم في الفصل الدراسي لتحسين جودة العمل الفردي وحل المشكلات التعليمية الأخرى.

يتم تقديم مفهوم طريقة الاستقراء الرياضي في مثال النظر في التسلسل a n ، حيث 1 = 4 و a n + 1 = a n + 2n + 3. وفقًا للتمثيل العام لعضو في التسلسل ، تم تحديد أن 1 = 4 ، أ 2 = 4 + 2 1 + 3 = 9 ، أ 3 = 9 + 2 2 + 3 = 16 ، أي تسلسل الأرقام 4 ، 9 ، 16 ، ... من المفترض أن n = (n + 1) 2 صحيح بالنسبة للتسلسل المحدد. بالنسبة لأعضاء التسلسل المحددين - الأول والثاني والثالث - الصيغة صحيحة. من الضروري إثبات صحة هذه الصيغة لأي n كبير بشكل تعسفي. يشار إلى أنه في مثل هذه الحالات يتم تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي ، مما يساعد على إثبات العبارة.

تم الكشف عن جوهر الطريقة. يفترض صحة صيغة n = k ، القيمة a k = (k + 1) 2. من الضروري إثبات أن المساواة ستكون صالحة أيضًا لـ k + 1 ، مما يعني k +1 = (k + 2) 2. للقيام بذلك ، في الصيغة a k +1 = a k + 2k + 3 ، نستبدل a k بـ (k + 1) 2. بعد استبدال وتقليل متشابهة ، نحصل على المساواة a k +1 = (k + 2) 2. هذا يعطي الحق في التأكيد على أن صحة صيغة n تجعلها صحيحة لـ n = k + 1 أيضًا. الدليل المدروس فيما يتعلق بالتسلسل a n ، والذي يتم تمثيله بالأرقام 4 ، 9 ، 16 ، ... والمصطلح المشترك a n = (n + 1) 2 ، يعطي الحق في التأكيد على أنه إذا تحولت الصيغة إلى المساواة الحقيقية لـ n = 1 ، ثم أيضًا لـ n = 1 + 1 = 2 ، و 3 ، إلخ ، أي لأي n طبيعي.

علاوة على ذلك ، فإن جوهر طريقة الاستقراء مذكور في اللغة الرياضية. يعتمد مبدأ الطريقة على صحة العبارة التي تفيد بأن الحقيقة تنطبق على رقم طبيعي تعسفي n تحت شرطين: 1) العبارة صحيحة لـ n = 1 2) من صحة هذه الصيغة لـ n = k يتبع صلاحيتها لـ n = k + 1. من هذا المبدأ يتبع هيكل البرهان ، باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي. من الملاحظ أن هذه الطريقة تفترض أن n = 1 دليل على صحة البيان ، وفي ظل افتراض صحة إثبات n = k ، ثبت أنه صحيح أيضًا لـ n = k + 1.

تم تحليل مثال لإثبات صيغة أرخميدس بطريقة الاستقراء الرياضي. بالنظر إلى الصيغة 1 2 +2 2 +3 2 + ... + n 2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6. يتم إجراء الحسابات على الشاشة ، واستخلاص صلاحية صيغة n = 1. النقطة الثانية من الإثبات هي افتراض أن الصيغة n = k صالحة ، أي أنها تأخذ الشكل 1 2 +2 2 +3 2 + ... + k 2 = k (k + 1) (2k + 1 ) / 6. بناءً على ذلك ، نثبت أن الصيغة صحيحة أيضًا لـ n = k + 1. بعد استبدال n = k + 1 ، نحصل على قيمة الصيغة 1 2 +2 2 +3 2 + ... + k 2 + (k + 1) 2 = (k + 1) (k + 2) (2k + 3 ) / 6. وهكذا ، ثبتت صيغة أرخميدس.

يعتبر مثال آخر إثبات تعدد 7 لمجموع 15 n +6 لأي n طبيعي. في الدليل نستخدم طريقة الاستقراء الرياضي. أولاً ، نتحقق من صحة التأكيد لـ n = 1. في الواقع ، 15 1 + 6 = 21. ثم نعترف بصلاحية n = k. هذا يعني أن 15 k +6 من مضاعفات الرقم 7. بالتعويض عن n = k + 1 في الصيغة ، نثبت أن 15 k +1 +6 من مضاعفات 7. بعد تحويل التعبير نحصل على: 15 ك +1 + 6 = 15 ك +1 14+ (15 ك +6). إذن ، مجموع 15 n +6 هو مضاعف 7.

يكشف درس الفيديو "طريقة الاستقراء الرياضي" بشكل واضح ومفصل عن جوهر وآلية تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي في البرهان. لذلك ، لا يمكن لمواد الفيديو هذه أن تخدم فقط كأداة مساعدة بصرية في درس الجبر ، ولكنها ستكون مفيدة عندما يدرس الطالب المادة بمفرده ، وسوف تساعد في شرح الموضوع للمعلم أثناء التعلم عن بعد.

المحاضرة 6. طريقة الاستقراء الرياضي.

يتم الحصول على المعرفة الجديدة في العلوم والحياة بطرق مختلفة ، ولكن جميعها (إذا لم تخوض في التفاصيل) تنقسم إلى نوعين - الانتقال من العام إلى الخاص ومن الخاص إلى العام. الأول هو الاستنتاج ، والثاني هو الاستقراء. المنطق الاستنتاجي هو ما يسمى عادة في الرياضيات التفكير المنطقي، وفي علم الرياضيات ، يعتبر الاستنتاج هو الطريقة الشرعية الوحيدة للتحقيق. صاغ العالم اليوناني القديم أرسطو قواعد التفكير المنطقي منذ ألفي سنة ونصف. لقد أنشأ قائمة كاملة من أبسط التفكير الصحيح ، القياس- "لبنات" المنطق ، في نفس الوقت تشير إلى التفكير النموذجي ، مشابه جدًا للأفكار الصحيحة ، ولكنه خاطئ (غالبًا ما نلتقي بمثل هذا التفكير "الزائف" في وسائل الإعلام).

الاستقراء (الحث - باللاتينية إرشاد) من خلال الأسطورة المعروفة لكيفية صياغة إسحاق نيوتن لقانون الجاذبية الكونية بعد سقوط تفاحة على رأسه. مثال آخر من الفيزياء: في ظاهرة مثل الحث الكهرومغناطيسي ، يخلق مجال كهربائي ، "يحفز" مجالًا مغناطيسيًا. "تفاحة نيوتن" هي مثال نموذجي لموقف تكون فيه حالة خاصة واحدة أو أكثر ، أي الملاحظات، "يؤدي" إلى بيان عام ، يتم إجراء الاستنتاج العام على أساس حالات معينة. الطريقة الاستقرائية هي الطريقة الرئيسية للحصول على الأنماط العامة في كل من العلوم الطبيعية والإنسانية. لكن له عيبًا مهمًا للغاية: على أساس أمثلة معينة ، يمكن استخلاص نتيجة غير صحيحة. الفرضيات الناشئة عن الملاحظات الخاصة ليست صحيحة دائمًا. تأمل في مثال يرجع إلى أويلر.

سنحسب قيمة ثلاثي الحدود لبعض القيم الأولى ن:

لاحظ أن الأرقام التي تم الحصول عليها نتيجة الحسابات أولية. ويمكن للمرء أن يتحقق مباشرة من ذلك لكل منهما نمن 1 إلى 39 قيمة كثيرة الحدود
هو عدد أولي. رغم ذلك، متى ن= 40 نحصل على الرقم 1681 = 41 2 ، وهو ليس عددًا أوليًا. وبالتالي ، الفرضية التي يمكن أن تنشأ هنا ، أي الفرضية لكل منهما نرقم
بسيط ، اتضح أنه خاطئ.

أثبت لايبنيز في القرن السابع عشر أنه لكل عدد صحيح موجب نرقم
يقبل القسمة على 3
يقبل القسمة على 5 ، وهكذا. وبناءً على ذلك ، اقترح ذلك لكل فرد كوأي طبيعي نرقم
مقسومة على ك، ولكن سرعان ما لاحظت ذلك
لا يقبل القسمة على 9.

تتيح لنا الأمثلة المدروسة استخلاص نتيجة مهمة: يمكن أن يكون البيان صحيحًا في عدد من الحالات الخاصة وفي نفس الوقت غير عادل بشكل عام. يمكن حل مسألة صحة البيان في الحالة العامة من خلال تطبيق طريقة خاصة للتفكير تسمى عن طريق الاستقراء الرياضي(الحث الكامل ، الحث المثالي).

6.1 مبدأ الاستقراء الرياضي.

تعتمد طريقة الاستقراء الرياضي على مبدأ الاستقراء الرياضي وتتكون مما يلي:

1) تم التحقق من صحة هذا البيانن=1 (أساس الاستقراء) ,

2) من المفترض أن تكون هذه العبارة صحيحةن= ك، أينكهو رقم طبيعي تعسفي 1(افتراض الاستقراء) ، ومع الأخذ في الاعتبار هذا الافتراض ، تم إثبات صحتهن= ك+1.

دليل - إثبات. افترض العكس ، أي افترض أن التأكيد ليس صحيحًا لكل الطبيعي ن. ثم هناك مثل هذا طبيعي م، ماذا او ما:

1) الموافقة على ن=مليس عدلا،

2) للجميع ن، أصغر م، التأكيد صحيح (بمعنى آخر ، مهو أول رقم طبيعي يفشل فيه التأكيد).

من الواضح أن م> 1 ، لأن إلى عن على ن= 1 البيان صحيح (الشرط 1). بالتالي،
- عدد طبيعي. اتضح أنه لعدد طبيعي
العبارة صحيحة ، وللعدد الطبيعي التالي مهذا ليس عدلا. هذا يتعارض مع الشرط 2. ■

لاحظ أن الدليل استخدم البديهية القائلة بأن أي مجموعة من الأعداد الطبيعية تحتوي على أصغر عدد.

يسمى الدليل القائم على مبدأ الاستقراء الرياضي عن طريق الاستقراء الرياضي الكامل .

 مثال6.1. إثبات ذلك لأي شيء طبيعي نرقم
يقبل القسمة على 3.

المحلول.

1) متى ن= 1 ، إذن أ 1 يقبل القسمة على 3 والبيان صحيح بالنسبة له ن=1.

2) افترض أن العبارة صحيحة ن=ك,
، هذا هو الرقم
يقبل القسمة على 3 وتجد ذلك ن=ك+1 رقم قابل للقسمة على 3.

في الواقع،

لان كل مصطلح يقبل القسمة على 3 ، ثم مجموعهم أيضا قابل للقسمة على 3. ■ 

 مثال6.2. اثبات ان مجموع اول نالأعداد الفردية الطبيعية تساوي مربع عددها ، أي.

المحلول.نستخدم طريقة الاستقراء الرياضي الكامل.

1) نتحقق من صحة هذا البيان ل ن= 1: 1 = 1 2 صحيح.

2) افترض أن مجموع الأول ك (
) من الأعداد الفردية يساوي مربع عدد هذه الأرقام ، أي. بناءً على هذه المساواة ، نثبت أن مجموع الأول ك+1 الأرقام الفردية تساوي
، هذا هو .

نستخدم افتراضنا ونحصل على

. ■ 

يتم استخدام طريقة الاستقراء الرياضي الكامل لإثبات بعض عدم المساواة. دعونا نثبت عدم مساواة برنولي.

 مثال6.3. إثبات ذلك متى
وأي طبيعي نعدم المساواة
(عدم المساواة في برنولي).

المحلول. 1) متى ن= 1 نحصل عليه
، ايهم صحيح.

2) نفترض أن في ن=كهناك عدم مساواة
(*). باستخدام هذا الافتراض ، نثبت ذلك
. لاحظ أن متى
هذا التفاوت صحيح ، وبالتالي يكفي النظر في القضية
.

اضرب كلا جزأي المتباينة (*) في العدد
واحصل على:

هذا هو (1+
.■ 

إثبات بالطريقة الاستقراء الرياضي غير المكتمل بعض التأكيد اعتمادا على ن، أين
بطريقة مماثلة ، ولكن في البداية ، يتم تأسيس العدالة لأصغر قيمة ن.

لا تصوغ بعض المسائل صراحةً عبارة يمكن إثباتها بالاستقراء الرياضي. في مثل هذه الحالات ، من الضروري إنشاء انتظام والتعبير عن فرضية حول صحة هذا الانتظام ، ثم اختبار الفرضية المقترحة عن طريق الاستقراء الرياضي.

 مثال6.4. أوجد المبلغ
.

المحلول.لنجد المبالغ س 1 , س 2 , س 3. نملك
,
,
. نحن نفترض أن أي شيء طبيعي نالصيغة صحيحة
. لاختبار هذه الفرضية ، نستخدم طريقة الاستقراء الرياضي الكامل.

1) متى ن= 1 الفرضية صحيحة لأن
.

2) افترض أن الفرضية صحيحة ن=ك,
، هذا هو
. باستخدام هذه الصيغة ، نثبت صحة الفرضية ولصالحها ن=ك+1 ، هذا هو

في الواقع،

لذلك ، على افتراض أن الفرضية صحيحة ن=ك,
، ثبت أنه صحيح ن=ك+1 ، واستناداً إلى مبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن الصيغة صالحة لأي طبيعي ن. ■ 

 مثال6.5. في الرياضيات ، ثبت أن مجموع وظيفتين مستمرتين بشكل منتظم هو دالة مستمرة بشكل منتظم. بناءً على هذا البيان ، نحتاج إلى إثبات أن مجموع أي رقم
من الوظائف المستمرة بشكل منتظم هي وظيفة مستمرة بشكل منتظم. ولكن نظرًا لأننا لم نقدم مفهوم "الوظيفة المستمرة بشكل منتظم" ، فلنقم بتعيين المشكلة بشكل أكثر تجريدًا: دعنا نعرف أن مجموع وظيفتين لهما بعض الخصائص س، نفسه لديه الخاصية س. دعنا نثبت أن مجموع أي عدد من الوظائف له خاصية س.

المحلول.ويرد أساس الاستقراء هنا في صياغة المشكلة ذاتها. جعل الافتراض الاستقرائي ، ضع في اعتبارك
المهام F 1 , F 2 , …, F ن , F ن+1 التي لها خاصية س. ثم . على الجانب الأيمن ، المصطلح الأول له خاصية سمن خلال فرضية الاستقراء ، فإن المصطلح الثاني له خاصية سحسب الشرط. لذلك ، مجموعهم له خاصية س- لفترتين ، أساس "الأشغال" التعريفي.

هذا يثبت التأكيد وسيستخدمه أكثر. ■ 

 مثال6.6. تجد كل شيء طبيعي ن، والتي من أجلها عدم المساواة

.

المحلول.انصح ن= 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6. لدينا: 2 1> 1 2 ، 2 2 = 2 2 ، 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2 ، 2 6> 6 2. وبالتالي ، يمكننا وضع فرضية: عدم المساواة
مكان للجميع
. لإثبات صحة هذه الفرضية ، نستخدم مبدأ الاستقراء الرياضي غير المكتمل.

1) كما هو مذكور أعلاه ، هذه الفرضية صحيحة ل ن=5.

2) افترض أنه صحيح ل ن=ك,
، وهذا هو ، عدم المساواة
. باستخدام هذا الافتراض ، نثبت أن المتباينة
.

T. إلى.
وعلى
هناك عدم مساواة

في
,

ثم نحصل على ذلك
. إذن ، حقيقة الفرضية ن=ك 1+ يتبع من افتراض أنها صحيحة ن=ك,
.

من ص. 1 و 2 ، بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي غير المكتمل ، يترتب على ذلك عدم المساواة
صحيح لكل طبيعي
. ■ 

 مثال6.7. إثبات ذلك لأي رقم طبيعي نصيغة التفاضل صالحة
.

المحلول.في ن= 1 هذه الصيغة لها الشكل
، أو 1 = 1 ، هذا صحيح. بعمل الافتراض الاستقرائي ، لدينا:

Q.E.D. ■ 

 مثال6.8. إثبات أن المجموعة تتكون من نالعناصر مجموعات فرعية.

المحلول.مجموعة من عنصر واحد أ، مجموعتين فرعيتين. هذا صحيح لأن جميع مجموعاتها الفرعية هي المجموعة الفارغة والمجموعة نفسها ، و 2 1 = 2.

نحن نفترض أن أي مجموعة من نالعناصر مجموعات فرعية. إذا كانت المجموعة A تتكون من ن+1 عناصر ، ثم نصلح عنصرًا واحدًا فيه - قم بالإشارة إليه د، وقسم كل المجموعات الفرعية إلى فئتين - لا تحتوي على دوتحتوي على د. جميع المجموعات الفرعية من الفئة الأولى هي مجموعات فرعية من المجموعة B التي تم الحصول عليها من A عن طريق إزالة العنصر د.

تتكون المجموعة ب من نالعناصر ، وبالتالي ، من خلال فرضية الاستقراء ، لديها مجموعات فرعية ، لذلك في الدرجة الأولى مجموعات فرعية.

ولكن يوجد في الفئة الثانية نفس عدد المجموعات الفرعية: يتم الحصول على كل منها من مجموعة فرعية واحدة بالضبط من الفئة الأولى عن طريق إضافة العنصر د. لذلك ، في المجموع ، المجموعة أ
مجموعات فرعية.

وهكذا تم إثبات التأكيد. لاحظ أنه صالح أيضًا لمجموعة تتكون من عناصر 0 - مجموعة فارغة: تحتوي على مجموعة فرعية واحدة - نفسها ، و 2 0 = 1. ■ 

مدرسة MBOU الثانوية "الفنية والاقتصادية"

طريقة الحث الرياضي

طريقة الحث الرياضي.

ملاحظة توضيحية

تم تجميع "طريقة الاستقراء الرياضي" للتطوير المنهجي لطلبة الصف العاشر من الملف الرياضي.

الأهداف الأساسية: تعريف الطلاب بطريقة الاستقراء الرياضي وتعليم كيفية تطبيقها في حل المشكلات المختلفة.

في التطوير المنهجييتم النظر في أسئلة الرياضيات الابتدائية: مشاكل القابلية للقسمة ، وإثبات الهويات ، وإثبات عدم المساواة ، ومشاكل بدرجات متفاوتة من التعقيد مقترحة ، بما في ذلك المشاكل المعروضة في الأولمبياد.

دور الاستدلالات الاستقرائية في العلوم التجريبية كبير جدًا. أنها تعطي تلك الأحكام ، والتي من ثم يتم التوصل إلى مزيد من الاستنتاجات عن طريق الخصم. اسم طريقة الاستقراء الرياضيمخادع - في الواقع ، هذه الطريقة استنتاجية وتعطي دليلًا صارمًا على العبارات التي تم تخمينها عن طريق الاستقراء. تساهم طريقة الاستقراء الرياضي في تحديد الروابط بين أقسام الرياضيات المختلفة ، وتساعد على تطوير الثقافة الرياضية للطالب.

تعريف طريقة الاستقراء الرياضي. الاستقراء الكامل وغير الكامل. إثبات عدم المساواة. إثبات الهويات. حل مشاكل القسمة. حل مسائل مختلفة حول موضوع "طريقة الاستقراء الرياضي".

الآداب للمعلم

1. ML جاليتسكي. دراسة معمقة لمسار الجبر والتحليل الرياضي. - م التنوير .1986.

2. L.I. Zvavich. الجبر وبدايات التحليل. المواد التعليمية. دروفا .2001.

3. نيا فيلينكين. الجبر والتحليل الرياضي. التنوير م. 1995.

4. يو في ميخيف. طريقة الاستقراء الرياضي. NGU 1995.

آداب الطلاب

1. نيا فيلينكين. الجبر والتحليل الرياضي. التنوير م. 1995.

2. يو في ميخيف. طريقة الاستقراء الرياضي. NGU 1995.

الكلمات الدالة

الاستقراء ، البديهية ، مبدأ الاستقراء الرياضي ، الاستقراء الكامل ، الاستقراء غير الكامل ، التأكيد ، الهوية ، عدم المساواة ، القابلية للقسمة.

الملحق DIDACTIC للموضوع

"طريقة الاستدلال الرياضي".

الدرس 1

تعريف طريقة الاستقراء الرياضي.

تعد طريقة الاستقراء الرياضي إحدى الطرق الفعالة للغاية لإيجاد نتائج جديدة وإثبات صحة الافتراضات المطروحة. على الرغم من أن هذه الطريقة ليست جديدة في الرياضيات ، إلا أن الاهتمام بها لا يتضاءل. لأول مرة في عرض واضح ، تم تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي في القرن السابع عشر من قبل العالم الفرنسي المتميز بليز باسكال في إثبات خصائص مثلث الأرقام ، الذي سمي بعده باسمه. ومع ذلك ، فإن فكرة الاستقراء الرياضي كانت معروفة لدى الإغريق القدماء. تعتمد طريقة الاستقراء الرياضي على مبدأ الاستقراء الرياضي ، والذي يتم قبوله كبديهية. سننظر في فكرة الاستقراء الرياضي مع الأمثلة.

مثال 1.

يُقسم المربع بقطعة إلى جزأين ، ثم يُقسم أحد الأجزاء الناتجة إلى جزأين ، وهكذا. حدد عدد الأجزاء المقسمة إلى المربع صخطوات؟

المحلول.

بعد الخطوة الأولى ، نحصل على جزأين حسب الشرط. في الخطوة الثانية ، نترك جزءًا واحدًا دون تغيير ، ونقسم الجزء الثاني إلى جزأين ونحصل على 3 أجزاء. في الخطوة الثالثة ، نترك جزأين دون تغيير ، ونقسم الجزء الثالث إلى قسمين ونحصل على 4 أجزاء. في الخطوة الرابعة ، نترك 3 أجزاء دون تغيير ، ونقسم الجزء الأخير إلى قسمين ونحصل على 5 أجزاء. في الخطوة الخامسة ، سنحصل على 6 أجزاء. يتم تقديم هذا الاقتراح من خلال صخطوات نحصل عليها (ن + 1)جزء. لكن هذا الاقتراح يحتاج إلى إثبات. دعنا نفترض ذلك من خلال إلىخطوات ينقسم المربع إليها (ك + 1)جزء. ثم على (ك + 1)خطوة نحن إلىالأجزاء ستترك دون تغيير ، و (ك + 1)قسّم الجزء إلى قسمين واحصل على (ك + 2)القطع. ستلاحظ أنه يمكنك المجادلة بهذه الطريقة طالما أردت ، بلا حدود. هذا هو ، افتراضنا هو ذلك صسيتم تقسيم مربع الخطوات إلى (ن + 1)الجزء ، يصبح مثبتًا.

المثال رقم 2.

كان لجدتي حفيدة كانت مولعة جدًا بالمربى ، وخاصة تلك الموجودة في وعاء لتر. لكن الجدة لم تسمح له بلمس. وقررت الحفيدات أن يخدعن جدتهن. قرر أن يأكل كل يوم 1/10 لتر من هذا البرطمان وأن يعلوه بالماء ويخلط جيدًا. بعد كم يوم تكتشف الجدة الخداع إذا ظل المربى كما هو في المظهر عند تخفيفه بالماء بمقدار النصف؟

المحلول.

اكتشف مقدار المربى النقي المتبقي في البرطمان بعد ذلك صأيام. بعد اليوم الأول سيبقى الخليط في البرطمان المكون من 9/10 مربى و 1/10 ماء. بعد يومين ، يختفي 1/10 من خليط الماء والمربى من البرطمان ويتبقى (1 لتر من الخليط يحتوي على 9/10 لتر من المربى ، 1/10 لتر من الخليط تحتوي على 9/100 لتر من المربى)

9/10 - 9/100 = 81/100 = (9/10) 2 لتر من المربى. في اليوم الثالث ، يختفي من البرطمان 1/10 لتر من الخليط المكون من 81/100 مربى و 19/100 ماء. في 1 لتر من الخليط يوجد 81/100 لتر من المربى ، في 1/10 لتر من الخليط 81/1000 لتر من المربى. 81/100 - 81/1000 =

729/1000 = (9/10) 3 لترات من المربى ستبقى بعد 3 أيام ، والباقي سيشرب بالماء. يظهر نمط. خلال صالأيام المتبقية في البنك (9/10) صالمربى. لكن مرة أخرى ، هذا مجرد تخميننا.

يترك إلىهو رقم طبيعي تعسفي. دعنا نفترض ذلك من خلال إلىستبقى الأيام في البنك (9/10) إلى المربى. دعونا نرى ماذا سيكون في البنك في يوم آخر ، أي في (ك + 1)يوم. سوف تختفي من البنك 1/10 لترخليط من (9/10) إلى لالمربى والماء. في 1 لترالخليط (9/10) إلى لمربى في 1/10 لترمخاليط (9/10) ك + 1 لمربى. الآن يمكننا أن نقول ذلك بأمان من خلال صالأيام المتبقية في البنك (9/10) ص لمربى. في غضون 6 أيام ، سيكون لدى البنك 531444/1000000 لترالمربيات ، بعد 7 أيام - 4782969/10000000 لترمربى ، أي أقل من النصف.

إجابه:بعد 7 أيام تكتشف الجدة الخداع.

دعونا نحاول تحديد أبسط الحلول للمشكلات المدروسة. بدأنا في حل كل منها من خلال النظر في حالات منفصلة أو ، كما يقولون ، خاصة. بعد ذلك ، بناءً على ملاحظاتنا ، قمنا ببعض الافتراضات ف (ن)اعتمادا على الطبيعة ص.

تم التحقق من التأكيد ، أي تم إثباته ف (1) ، ف (2) ، ف (3) ؛

اقترح ذلك ف (ن)صالحة ل ن = كواستنتج أنه سيكون ساري المفعول في اليوم التالي ن ، ن = ك + 1.

ثم جادلوا بشيء مثل هذا: ص (1)حقا، ص (2)حقا، ص (3)حقا، ص (4)صحيح ... هذا صحيح ف (ن).

مبدأ الاستقراء الرياضي.

بيان - تصريح ف (ن)اعتمادا على الطبيعة ص، صالحة لجميع الطبيعية ص، إذا

1) صحة التوكيد ل ن = 1 ؛

2) من افتراض صحة البيان ف (ن)في ن = كينبغي

العدل ف (ن)في ن = ك + 1.

في الرياضيات ، يتم اختيار مبدأ الاستقراء الرياضي ، كقاعدة عامة ، كواحدة من البديهيات التي تحدد سلسلة الأرقام الطبيعية ، وبالتالي ، يتم قبولها بدون دليل. عادة ما تسمى طريقة الإثبات بمبدأ الاستقراء الرياضي طريقة الاستقراء الرياضي. لاحظ أن هذه الطريقة تستخدم على نطاق واسع في إثبات النظريات والهويات وعدم المساواة في حل مشاكل القسمة والعديد من المشاكل الأخرى.

الدرس 2

الاستقراء الكامل وغير الكامل.

في الحالة التي تتعلق فيها العبارة الرياضية بعدد محدد من العناصر ، يمكن إثباتها بالتحقق من كل كائن ، على سبيل المثال ، العبارة "كل رقم زوجي مكون من رقمين هو مجموع عددين أوليين". طريقة الإثبات التي نختبر فيها عبارة لعدد محدود من الحالات تسمى الاستقراء الرياضي الكامل. نادرًا ما تُستخدم هذه الطريقة نسبيًا ، نظرًا لأن العبارات غالبًا ما يتم اعتبارها في مجموعات لا نهائية. على سبيل المثال ، نظرية "أي عدد زوجي يساوي مجموع عددين أوليين" لم يتم إثباتها أو دحضها حتى الآن. حتى لو اختبرنا هذه النظرية للمليار الأول ، فلن يقربنا خطوة واحدة من إثباتها.

في العلوم الطبيعية ، يتم استخدام الاستقراء غير المكتمل ، واختبار التجربة عدة مرات ، ونقل النتيجة إلى جميع الحالات.

المثال رقم 3

خمن باستخدام صيغة الاستقراء غير المكتملة لمجموع مكعبات الأعداد الطبيعية.

المحلول.

1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;

1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) 2 ؛ … ؛ 1 3 +2 3 + ... + ن 3 = (1 + 2 + ... + ن) 2.

دليل - إثبات.

فليكن صحيحا ل ن = ك.

دعنا نثبت صحة ذلك ن = ك + 1.

الخلاصة: صيغة مجموع مكعبات الأعداد الطبيعية صحيحة لأي طبيعي ص.

المثال رقم 4

ضع في اعتبارك المساواة وخمن أي منها القانون العامأعط هذه الأمثلة.

المحلول.

1=0+1

2+3+4=1+8

5+6+7+8+9=8+27

10+11+12+13+14+15+16=27+64

17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125

……………………………………………………………..

المثال الخامس

اكتب العبارات التالية كمجموع:

1)
2)
3)
; 4)
.

الحرف اليوناني "سيجما".

المثال رقم 6.

اكتب المجاميع التالية باستخدام العلامة
:

2)

المثال رقم 7.

اكتب العبارات التالية كمنتجات:

1)

3)
4)

المثال الثامن.

اكتب الأعمال التالية باستخدام العلامة

(الحرف اليوناني الكبير "pi")

1)
2)

المثال رقم 9.

حساب قيمة كثير الحدود F ( ن )= ن 2 + ن +11 ، في ن = 1،2،3،4.5،6،7 يمكن الافتراض أنه لأي طبيعيصرقم F ( ن ) بسيط.

هل هذا الافتراض صحيح؟

المحلول.

إذا كان كل مجموع قابل للقسمة على رقم ، فإن المجموع قابل للقسمة على هذا الرقم ،
ليس عددًا أوليًا لأي عدد طبيعيص.

يلعب تحليل عدد محدود من الحالات دورًا مهمًا في الرياضيات: دون تقديم دليل على بيان أو آخر ، فإنه يساعد على تخمين الصياغة الصحيحة لهذه العبارة ، إذا لم تكن معروفة بعد. هذه هي الطريقة التي توصل بها جولدباخ ، وهو عضو في أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم ، إلى التخمين بأن أي عدد طبيعي ، بدءًا من اثنين ، هو مجموع على الأكثر ثلاثة بسيطةأعداد.

الدرس 3

تتيح لنا طريقة الاستقراء الرياضي إثبات الهويات المختلفة.

المثال رقم 10.دعونا نثبت ذلك للجميع صالهوية

المحلول.

هيا نضع

نحن بحاجة لإثبات ذلك

دعونا نثبت ذلك إذن من حقيقة الهوية

تتبع حقيقة الهوية

بمبدأ الاستقراء الرياضي ، حقيقة الهوية للجميع ص.

المثال رقم 11.

دعنا نثبت الهوية

دليل - إثبات.

المساواة على حده.

;
. لذا فهذه الهوية صحيحة للجميعص .

الدرس رقم 4.

إثبات الهويات بالاستقراء الرياضي.

المثال رقم 12. دعنا نثبت الهوية

دليل - إثبات.

بتطبيق مبدأ الاستقراء الرياضي ، أثبتنا أن المساواة صحيحة للجميع ص.

المثال رقم 13. دعنا نثبت الهوية

دليل - إثبات.

بتطبيق مبدأ الاستقراء الرياضي ، أثبتنا أن العبارة صحيحة لأي شيء طبيعي ص.

المثال رقم 14. دعنا نثبت الهوية

دليل - إثبات.

المثال الخامس عشر. دعنا نثبت الهوية

1) ن = 1 ؛

2) من أجل ن = ك المساواة

3) إثبات أن المساواة تصح عليه ن = ك + 1:

الخلاصة: الهوية صالحة لأي طبيعي ص.

المثال رقم 16.دعنا نثبت الهوية

دليل - إثبات.

اذا كان ن = 1 ، ومن بعد

دع الهوية تحمل ل ن = ك.

دعونا نثبت أن الهوية صحيحة ن = ك + 1.

ثم الهوية صالحة لأي طبيعي ص.

الدرس رقم 5.

إثبات الهويات بالاستقراء الرياضي.

المثال رقم 17.دعنا نثبت الهوية

دليل - إثبات.

اذا كان ن = 2 ، ثم نحصل على المساواة الصحيحة:

دع المساواة تكون صحيحة لن = ك:

دعونا نثبت صحة التوكيد ل ن = ك + 1.

وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، تم إثبات الهوية.

المثال رقم 18. دعنا نثبت الهوية
لـ n≥2.

في ن = 2 يمكن إعادة كتابة هذه الهوية في شكل بسيط للغاية

ومن الواضح أنه صحيح.

دعونا في ن = كحقًا

.

دعونا نثبت صحة التوكيد لن = ك + 1 ، أي تتحقق المساواة:.

لذلك ، أثبتنا أن الهوية صحيحة لأي طبيعة رقم 2.

المثال رقم 19. دعنا نثبت الهوية

في ن = 1 نحصل على المساواة الصحيحة:

لنفترض ذلك في ن = كنحصل أيضًا على المساواة الصحيحة:

دعونا نثبت أن صحة المساواة محترمة ن = ك + 1:

ثم الهوية صالحة لأي طبيعي ص.

رقم الدرس 6.

حل مشاكل القسمة.

المثال رقم 20.يثبت ذلك بالاستقراء الرياضي

مقسومة على 6 دون أن يترك أثرا.

دليل - إثبات.

في ن = 1 هناك تقسيم إلى6 دون أن يترك أثرا،
.

دعونا في ن = ك التعبير
مضاعف6.

دعونا نثبت ذلك متى ن = ك + 1 التعبير
مضاعف6 .

كل مصطلح متعدد 6 ، لذلك يكون المجموع من مضاعفات 6 .

رقم المثال 21.
على ال5 دون أن يترك أثرا.

دليل - إثبات.

في ن = 1 التعبير قابل للقسمة
.

دعونا في ن = ك التعبير
أيضا مقسمة إلى5 دون أن يترك أثرا.

في ن = ك + 1مقسومة على 5 .

المثال رقم 22. إثبات قابلية التعبير للقسمة
على ال16.

دليل - إثبات.

في ن = 1مضاعف 16 .

دعونا في ن = ك
مضاعف16.

في ن = ك + 1

جميع المصطلحات قابلة للقسمة على 16: من الواضح أن الأول هو الثاني من خلال الافتراض ، والثالث لديه رقم زوجي بين قوسين.

المثال رقم 23. إثبات القابلية للقسمة
على ال676.

دليل - إثبات.

دعونا أولا نثبت ذلك
مقسومة على
.

في ن = 0
.

دعونا في ن = ك
مقسومة على26 .

ثم في ن = ك + 1مقسومة على 26 .

دعونا الآن نثبت التأكيد الذي تمت صياغته في حالة المشكلة.

في ن = 1مقسومة على 676.

في ن = ك صحيح ان
مقسومة على26 2 .

في ن = ك + 1 .

كلا المصطلحين يقبلان القسمة على 676 ؛ الأول لأننا أثبتنا القابلية للقسمة بواسطة 26 التعبير بين قوسين ، والثاني قابل للقسمة على الفرضية الاستقرائية.

الدرس رقم 7.

حل مشاكل القسمة.

رقم المثال 24.

اثبت ذلك
مقسومة على5 دون أن يترك أثرا.

دليل - إثبات.

في ن = 1
مقسومة على5.

في ن = ك
مقسومة على5 دون أن يترك أثرا.

في ن = ك + 1 كل مصطلح يقبل القسمة عليه5 دون أن يترك أثرا.

المثال رقم 25.

اثبت ذلك
مقسومة على6 دون أن يترك أثرا.

دليل - إثبات.

في ن = 1
مقسومة على6 دون أن يترك أثرا.

دعونا في ن = ك
مقسومة على6 دون أن يترك أثرا.

في ن = ك + 1مقسومة على 6 لا يوجد باقي ، لأن كل مصطلح يقبل القسمة عليه6 بدون باقي: المصطلح الأول ، بالافتراض الاستقرائي ، الثاني ، من الواضح ، الثالث ، لأن
رقم زوجي.

المثال رقم 26.

اثبت ذلك
عند القسمة على9 يعطي الباقي 1 .

دليل - إثبات.

دعنا نثبت ذلك
مقسومة على9 .

في ن = 1
مقسومة على 9 . دعونا في ن = ك
مقسومة على9 .

في ن = ك + 1مقسومة على 9 .

رقم المثال 27.

يثبت أنه يقبل القسمة على15 دون أن يترك أثرا.

دليل - إثبات.

في ن = 1مقسومة على 15 .

دعونا في ن = كمقسومة على 15 دون أن يترك أثرا.

في ن = ك + 1

المصطلح الأول متعدد15 من خلال فرضية الاستقراء ، فإن المصطلح الثاني هو من مضاعفات15 - من الواضح أن الحد الثالث هو من مضاعفات15 ، لان
مضاعف5 (ثبت في المثال رقم 21) ، المصطلحان الرابع والخامس هما أيضًا مضاعفات5 ، وهو أمر واضح ، فالمجموع من مضاعفات15 .

عدد الدرس 8-9.

إثبات عدم المساواة عن طريق الاستقراء الرياضي

المثال رقم 28.
.

في ن = 1نملك
- حقا.

دعونا في ن = ك
هو عدم مساواة حقيقي.

في ن = ك + 1

ثم تكون المتباينة صالحة لأي طبيعي ص.

المثال رقم 29.إثبات أن التفاوت صحيح
لأي ص.

في ن = 1نحصل على المتباينة الصحيحة 4 >1.

دعونا في ن = كعدم المساواة
.

دعونا نثبت ذلك متى ن = ك + 1عدم المساواة

لأي طبيعي إلىلوحظ عدم المساواة.

اذا كان
في
ومن بعد

المثال رقم 30.

لأي طبيعي صوأي

يترك ن = 1
، حقا.

دعونا نفترض أن عدم المساواة تصح ن = ك:
.

في ن = ك + 1

رقم المثال 31.إثبات صحة عدم المساواة

لأي طبيعي ص.

دعونا أولا نثبت ذلك لأي طبيعي رعدم المساواة

اضرب طرفي المتباينة في
. نحصل على عدم مساواة مكافئة أو
;
؛ - هذا التفاوت ينطبق على أي طبيعي ر.

في ن = 1عدم المساواة الأصلية صحيحة
;
;
.

دع عدم المساواة تصمد ل ن = ك:
.

في ن = ك + 1

عدد الدرس 10.

حل المشاكل المتعلقة بالموضوع

طريقة الاستقراء الرياضي.

المثال رقم 32.إثبات عدم مساواة برنولي.

اذا كان
، ثم لجميع القيم الطبيعيةص عدم المساواة

دليل - إثبات.

في ن = 1 يتم إثبات عدم المساواة يأخذ الشكل
ومن الواضح أنه على حق. لنفترض أن هذا صحيحن = ك ، هذا هو ما
.

منذ ذلك الحين حسب الحالة
، ومن بعد
، وبالتالي فإن المتباينة لا تغير معناها عندما يتم ضرب كلا أجزائها
:

لان
، ثم نحصل على ذلك

.

لذا فإن التفاوت صحيح ل ن = 1، ومن حقيقته في ن = كيتبع ذلك أنه صحيح و ن = ك + 1.ومن ثم ، من خلال الاستقراء الرياضي ، فإنه ينطبق على كل شيء طبيعي ص.

فمثلا،

رقم المثال 33. ابحث عن كل القيم الطبيعيةص ، والتي من أجلها عدم المساواة

المحلول.

في ن = 1عدم المساواة هو حق. في ن = 2عدم المساواة هو أيضا صحيح.

في ن = 3عدم المساواة لم تعد راضية. فقط عندما ن = 6المتباينة صحيحة ، لذلك يمكننا أن نأخذ على أساس الاستقراء ن = 6.

افترض أن عدم المساواة صحيح بالنسبة لبعض الطبيعي إلى:

ضع في اعتبارك عدم المساواة

آخر عدم المساواة ينطبق إذا
عمل الاختبار على الموضوع n = 1 يعطى بشكل متكرر: n≥5 ، أين ص- -عدد طبيعي.

كانت المعرفة الحقيقية في جميع الأوقات مبنية على إنشاء نموذج وإثبات صحته في ظروف معينة. خلال هذه الفترة الطويلة من وجود التفكير المنطقي ، تم تقديم صيغ القواعد ، وقام أرسطو حتى بتجميع قائمة "بالتفكير الصحيح". تاريخيًا ، من المعتاد تقسيم جميع الاستنتاجات إلى نوعين - من الملموس إلى الجمع (الاستقراء) والعكس صحيح (الاستنتاج). وتجدر الإشارة إلى أن أنواع الأدلة من خاص إلى عام ومن عام إلى خاص موجودة فقط في الترابط ولا يمكن تبادلها.

الاستقراء في الرياضيات

مصطلح "الاستقراء" (الاستقراء) له جذور لاتينية ويترجم حرفيا على أنه "توجيه". عند الدراسة الدقيقة ، يمكن للمرء أن يميز بنية الكلمة ، أي البادئة اللاتينية - in- (تشير إلى الفعل الموجه إلى الداخل أو الداخل) و -duction - المقدمة. تجدر الإشارة إلى أن هناك نوعين - الاستقراء الكامل وغير الكامل. يتميز الشكل الكامل باستنتاجات مستخلصة من دراسة جميع الموضوعات من فئة معينة.

غير مكتمل - استنتاجات مطبقة على جميع موضوعات الفصل ، ولكن تم إجراؤها على أساس دراسة بعض الوحدات فقط.

الاستقراء الرياضي الكامل هو استنتاج يستند إلى استنتاج عام حول الفئة الكاملة لأي كائنات مرتبطة وظيفيًا بعلاقات السلسلة الطبيعية للأرقام بناءً على معرفة هذا الاتصال الوظيفي. في هذه الحالة ، تتم عملية الإثبات على ثلاث مراحل:

• في المرحلة الأولى ، ثبت صحة بيان الاستقراء الرياضي. مثال: f = 1 ، الاستقراء ؛
• تعتمد المرحلة التالية على افتراض أن الموضع صالح لجميع الأعداد الطبيعية. وهذا يعني ، f = h ، هذا هو الافتراض الاستقرائي ؛
• في المرحلة الثالثة ، يتم إثبات صحة الموضع للرقم f = h + 1 ، بناءً على صحة موضع الفقرة السابقة - هذا انتقال استقرائي ، أو خطوة من الاستقراء الرياضي. مثال على ذلك هو ما يسمى إذا سقط أول عظم في الصف (الأساس) ، فإن كل العظام في الصف تسقط (الانتقال).

على حد سواء مازحا وجديا

لتسهيل الإدراك ، يتم استنكار أمثلة الحلول بطريقة الاستقراء الرياضي في شكل مشاكل مزحة. هذه هي مهمة قائمة الانتظار المهذبة:

• تحظر قواعد السلوك على الرجل أن يأخذ دورًا أمام امرأة (في مثل هذه الحالة ، يُسمح لها بالمقدمة). وبناءً على هذا القول ، إذا كان الأخير رجلاً ، فكل البقية رجال.

من الأمثلة الصارخة على طريقة الاستقراء الرياضي مشكلة "رحلة بلا أبعاد":

• مطلوب إثبات أن أي عدد من الأشخاص يناسب الحافلة الصغيرة. صحيح أنه يمكن لشخص واحد أن يتسع داخل وسيلة النقل دون صعوبة (أساس). ولكن بغض النظر عن مدى امتلاء الحافلة الصغيرة ، فإن راكبًا واحدًا سيكون مناسبًا لها دائمًا (خطوة الاستقراء).

دوائر مألوفة

أمثلة حل المشكلات والمعادلات عن طريق الاستقراء الرياضي شائعة جدًا. كتوضيح لهذا النهج ، يمكننا النظر في المشكلة التالية.

حالة: ح يتم وضع الدوائر على المستوى. يجب إثبات أنه ، لأي ترتيب للأشكال ، يمكن تلوين الخريطة التي شكلوها بشكل صحيح بلونين.

المحلول: بالنسبة إلى h = 1 ، فإن حقيقة العبارة واضحة ، لذلك سيتم بناء الدليل لعدد الدوائر h + 1.

لنفترض أن العبارة صحيحة لأي خريطة ، وأن دوائر h + 1 معطاة على المستوى. من خلال إزالة إحدى الدوائر من الإجمالي ، يمكنك الحصول على خريطة ملونة بشكل صحيح بلونين (أبيض وأسود).

عند استعادة دائرة محذوفة ، يتغير لون كل منطقة إلى العكس (في هذه الحالة ، داخل الدائرة). اتضح أن الخريطة ملونة بشكل صحيح بلونين ، وهو ما كان مطلوبًا لإثباته.

أمثلة مع الأعداد الطبيعية

يظهر تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي بوضوح أدناه.

أمثلة الحل:

إثبات أن المساواة ستكون صحيحة لأي ساعة:

1 2 +2 2 +3 2 + ... + h 2 = h (h + 1) (2h + 1) / 6.

1. دع h = 1 ، ثم:

R 1 \ u003d 1 2 \ u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

ويترتب على ذلك أن العبارة h = 1 صحيحة.

2. بافتراض أن h = d ، يتم الحصول على المعادلة التالية:

R 1 \ u003d د 2 \ u003d د (د + 1) (2d + 1) / 6 \ u003d 1

3. بافتراض أن h = d + 1 ، اتضح أن:

R د + 1 = (د + 1) (د + 2) (2 د + 3) / 6

R د + 1 = 1 2 +2 2 +3 2 + ... + د 2 + (د + 1) 2 = د (د + 1) (2 د + 1) / 6 + (د + 1) 2 = (د ( د + 1) (2d + 1) +6 (د + 1) 2) / 6 = (د + 1) (د (2 د + 1) +6 (ك + 1)) / 6 =

(د + 1) (2d 2 + 7d + 6) / 6 = (د + 1) (2 (د + 3/2) (د + 2)) / 6 = (د + 1) (د + 2) ( 2d + 3) / 6.

وبالتالي ، تم إثبات صحة المساواة لـ h = d + 1 ، وبالتالي فإن العبارة صحيحة بالنسبة لأي رقم طبيعي ، والذي يظهر في مثال الحل بواسطة الاستقراء الرياضي.

مهمة

حالة: مطلوب إثبات أنه لأي قيمة لـ h ، فإن التعبير 7 h -1 يقبل القسمة على 6 بدون باقي.

المحلول:

1. لنفترض أن h = 1 ، في هذه الحالة:

R 1 \ u003d 7 1 -1 \ u003d 6 (أي مقسومة على 6 بدون باقي)

لذلك ، بالنسبة إلى h = 1 ، تكون العبارة صحيحة ؛

2. لنفترض أن h = d و 7 d -1 قابلة للقسمة على 6 بدون الباقي ؛

3. الدليل على صحة بيان h = d + 1 هو الصيغة:

ص د +1 = 7 د +1 -1 = 7 7 د -7 + 6 = 7 (7 د -1) +6

في هذه الحالة ، المصطلح الأول قابل للقسمة على 6 بافتراض الفقرة الأولى ، والحد الثاني يساوي 6. العبارة القائلة بأن 7 h -1 قابلة للقسمة على 6 دون الباقي لأي h طبيعي صحيحة.

مغالطة الحكم

في كثير من الأحيان ، يتم استخدام التفكير غير الصحيح في البراهين ، بسبب عدم دقة التركيبات المنطقية المستخدمة. في الأساس ، يحدث هذا عندما يتم انتهاك هيكل ومنطق الدليل. مثال على التفكير غير الصحيح هو الرسم التوضيحي التالي.

مهمة

حالة: يتطلب إثبات أن أي كومة من الحجارة ليست كومة.

المحلول:

1. لنفترض أن h = 1 ، في هذه الحالة يوجد حجر واحد في الكومة والبيان صحيح (الأساس) ؛

2. ليكن صحيحًا بالنسبة إلى h = d أن كومة الحجارة ليست كومة (افتراض) ؛

3. لنفترض أن h = d + 1 ، والتي يتبعها أنه عند إضافة حجر آخر ، لن تكون المجموعة كومة. يقترح الاستنتاج نفسه أن الافتراض صالح لجميع h الطبيعي.

يكمن الخطأ في حقيقة أنه لا يوجد تعريف لعدد الحجارة التي تشكل كومة. يسمى هذا الإغفال التعميم المتسرع في طريقة الاستقراء الرياضي. مثال يوضح هذا بوضوح.

الاستقراء وقوانين المنطق

تاريخيًا ، هم دائمًا "يسيرون جنبًا إلى جنب". التخصصات العلمية مثل المنطق ، والفلسفة تصفهم في شكل الأضداد.

من وجهة نظر قانون المنطق ، تستند التعريفات الاستقرائية إلى الحقائق ، ولا تحدد صحة المقدمات صحة البيان الناتج. غالبًا ما يتم الحصول على الاستنتاجات بدرجة معينة من الاحتمال والمعقولية ، والتي ، بالطبع ، يجب التحقق منها وتأكيدها من خلال بحث إضافي. مثال على الاستقراء في المنطق سيكون البيان:

جفاف في إستونيا ، جفاف في لاتفيا ، جفاف في ليتوانيا.

إستونيا ولاتفيا وليتوانيا هي دول البلطيق. الجفاف في جميع دول البلطيق.

من المثال ، يمكننا أن نستنتج أنه لا يمكن الحصول على معلومات أو حقيقة جديدة باستخدام طريقة الاستقراء. كل ما يمكن الاعتماد عليه هو بعض صحة الاستنتاجات الممكنة. علاوة على ذلك ، فإن حقيقة المبنى لا تضمن نفس الاستنتاجات. ومع ذلك ، فإن هذه الحقيقة لا تعني أن نباتات الاستقراء في الفناء الخلفي للاستنباط: تم إثبات عدد كبير من الأحكام والقوانين العلمية باستخدام طريقة الاستقراء. يمكن أن تكون الرياضيات وعلم الأحياء والعلوم الأخرى بمثابة مثال. هذا يرجع بشكل أساسي إلى طريقة الحث الكامل ، ولكن في بعض الحالات يكون الجزئي قابلاً للتطبيق أيضًا.

سمح عصر الاستقراء الموقر له بالتغلغل في جميع مجالات النشاط البشري تقريبًا - وهذا هو العلم والاقتصاد والاستنتاجات اليومية.

الاستقراء في البيئة العلمية

تتطلب طريقة الاستقراء موقفًا صارمًا ، نظرًا لأن الكثير يعتمد على عدد التفاصيل المدروسة للكل: كلما زاد العدد المدروس ، كانت النتيجة أكثر موثوقية. بناءً على هذه الميزة ، يتم اختبار القوانين العلمية التي تم الحصول عليها بطريقة الاستقراء لفترة طويلة بما فيه الكفاية على مستوى الافتراضات الاحتمالية من أجل عزل ودراسة جميع العناصر الهيكلية والوصلات والتأثيرات الممكنة.

في العلم ، يعتمد الاستنتاج الاستقرائي على ميزات مهمة ، باستثناء الأحكام العشوائية. هذه الحقيقة مهمة فيما يتعلق بخصوصيات المعرفة العلمية. يظهر هذا بوضوح في أمثلة الاستقراء في العلم.

هناك نوعان من الاستقراء في العالم العلمي (فيما يتعلق بطريقة الدراسة):

1. اختيار الحث (أو الاختيار) ؛
2. الاستقراء - الاستبعاد (الإقصاء).

النوع الأول يتميز بأخذ عينات منهجي (دقيق) لفئة (فئات فرعية) من مناطقها المختلفة.

مثال على هذا النوع من الحث كما يلي: الفضة (أو أملاح الفضة) تنقي الماء. يستند الاستنتاج إلى ملاحظات طويلة المدى (نوع من اختيار التأكيدات والتفنيد - الاختيار).

النوع الثاني من الاستقراء يعتمد على الاستنتاجات التي تؤسس العلاقات السببية وتستبعد الظروف التي لا تتوافق مع خصائصها ، وهي الشمولية ، ومراعاة التسلسل الزمني ، والضرورة وعدم الغموض.

الاستقراء والاستنباط من وجهة نظر الفلسفة

إذا نظرت إلى الماضي بأثر رجعي ، فإن مصطلح "الاستقراء" كان أول من ذكره سقراط. وصف أرسطو أمثلة الاستقراء في الفلسفة في قاموس مصطلحات أكثر تقريبية ، لكن مسألة الاستقراء غير الكامل تظل مفتوحة. بعد اضطهاد القياس المنطقي الأرسطي ، بدأ الاعتراف بالطريقة الاستقرائية على أنها مثمرة والأسلوب الوحيد الممكن في العلوم الطبيعية. يعتبر بيكون أب الاستقراء كطريقة خاصة مستقلة ، لكنه فشل ، كما طالب معاصروه ، في الفصل بين الاستقراء والطريقة الاستنتاجية.

تم إجراء مزيد من التطوير للحث بواسطة J. Mill ، الذي نظر في نظرية الحث من وجهة نظر أربع طرق رئيسية: الاتفاق ، والاختلاف ، والمخلفات والتغييرات المقابلة. ليس من المستغرب أن تكون الأساليب المدرجة اليوم ، عند النظر فيها بالتفصيل ، استنتاجية.

أدى الوعي بعدم اتساق نظريات بيكون وميل إلى قيام العلماء بالتحقيق في الأساس الاحتمالي للاستقراء. ومع ذلك ، حتى هنا كانت هناك بعض التطرف: بذلت محاولات لتقليل الاستقراء لنظرية الاحتمال ، مع كل النتائج المترتبة على ذلك.

يحصل الاستقراء على ثقة في التطبيق العملي في مجالات معينة وبفضل الدقة المترية للأساس الاستقرائي. يمكن اعتبار مثال الاستقراء والاستنباط في الفلسفة قانون الجاذبية الكونية. في تاريخ اكتشاف القانون ، تمكن نيوتن من التحقق منه بدقة تبلغ 4 في المائة. وعند التدقيق بعد أكثر من مائتي عام تأكدت صحته بدقة قدرها 0.0001٪ ، على الرغم من أن الفحص تم بنفس التعميمات الاستقرائية.

تولي الفلسفة الحديثة مزيدًا من الاهتمام للاستنتاج ، الذي تمليه رغبة منطقية لاشتقاق معرفة جديدة (أو حقيقة) مما هو معروف بالفعل ، دون اللجوء إلى الخبرة ، والحدس ، ولكن باستخدام التفكير "الخالص". عند الإشارة إلى المقدمات الصحيحة في الطريقة الاستنتاجية ، في جميع الحالات ، يكون الناتج عبارة صحيحة.

هذه الخاصية الهامة جدا لا ينبغي أن تلقي بظلالها على قيمة الطريقة الاستقرائية. منذ الاستقراء ، بناءً على إنجازات الخبرة ، يصبح أيضًا وسيلة لمعالجتها (بما في ذلك التعميم والتنظيم).

تطبيق الاستقراء في الاقتصاد

لطالما استخدم الاستقراء والاستقراء كوسائل لدراسة الاقتصاد والتنبؤ بتطوره.

نطاق استخدام طريقة الاستقراء واسع جدًا: دراسة استيفاء مؤشرات التنبؤ (الربح ، الاستهلاك ، إلخ) وتقييم عام لحالة المؤسسة ؛ تشكيل سياسة ترويج فعالة للمؤسسة على أساس الحقائق وعلاقاتهم.

يتم استخدام نفس طريقة الاستقراء في مخططات Shewhart ، حيث ، في ظل افتراض أن العمليات مقسمة إلى خاضعة للرقابة وغير مُدارة ، يُذكر أن إطار العملية الخاضعة للرقابة غير نشط.

وتجدر الإشارة إلى أن القوانين العلمية مبررة ومثبتة بطريقة الاستقراء ، وبما أن الاقتصاد علم يستخدم غالبًا التحليل الرياضي ونظرية المخاطر والبيانات الإحصائية ، فليس من المستغرب أن يتم تضمين الاستقراء في قائمة الأساليب الرئيسية.

يمكن أن تكون الحالة التالية بمثابة مثال على الاستقراء والخصم في الاقتصاد. تدفع الزيادة في أسعار المواد الغذائية (من سلة المستهلك) والسلع الأساسية المستهلك إلى التفكير في التكلفة المرتفعة الناشئة في الدولة (الاستقراء). في الوقت نفسه ، من حقيقة التكلفة العالية بمساعدة الطرق الرياضيةمن الممكن اشتقاق مؤشرات نمو الأسعار للسلع الفردية أو فئات السلع (الخصم).

في أغلب الأحيان ، يلجأ موظفو الإدارة والمديرون والاقتصاديون إلى طريقة الاستقراء. من أجل التمكن من التنبؤ بتطور المؤسسة وسلوك السوق وعواقب المنافسة بصدق كافٍ ، من الضروري اتباع نهج استقرائي استنتاجي لتحليل المعلومات ومعالجتها.

مثال توضيحي للاستقراء في الاقتصاد ، بالإشارة إلى الأحكام الخاطئة:

• انخفض ربح الشركة بنسبة 30٪ ؛
  قام أحد المنافسين بتوسيع خط إنتاجه ؛
  لم يتغير شيء آخر.
• تسببت سياسة الإنتاج لشركة منافسة في خفض الأرباح بنسبة 30٪ ؛
• لذلك ، يجب تنفيذ نفس سياسة الإنتاج.

هذا المثال هو توضيح ملون لكيفية مساهمة الاستخدام غير الكفؤ لطريقة الاستقراء في خراب المؤسسة.

الاستنتاج والاستقراء في علم النفس

نظرًا لوجود طريقة ، فمن المنطقي أن يكون هناك أيضًا تفكير منظم بشكل صحيح (لاستخدام الطريقة). علم النفس كعلم يدرس العمليات العقلية ، وتكوينها ، وتطورها ، وعلاقاتها ، وتفاعلاتها ، يهتم بالتفكير "الاستنتاجي" كأحد أشكال إظهار الاستنتاج والاستقراء. لسوء الحظ ، على صفحات علم النفس على الإنترنت ، لا يوجد عمليًا أي مبرر لسلامة الأسلوب الاستنتاجي الاستقرائي. على الرغم من أنه من المرجح أن يواجه علماء النفس المحترفون مظاهر الاستقراء ، أو بالأحرى ، استنتاجات خاطئة.

مثال على الاستقراء في علم النفس ، كتوضيح للأحكام الخاطئة ، هو البيان: أمي مخادعة ، لذلك كل النساء مخادعات. هناك المزيد من الأمثلة "الخاطئة" للاستقراء من الحياة:

• لا يكون الطالب قادرًا على أي شيء إذا حصل على شيطان في الرياضيات ؛
• إنه أحمق.
• إنه ذكي؛
• انا استطيع عمل كل شىء؛

واشياء أخرى عديدة أحكام القيمة، مشتقة من رسائل عشوائية تمامًا وفي بعض الأحيان غير مهمة.

وتجدر الإشارة إلى: عندما تصل مغالطة أحكام الشخص إلى حد السخافة ، تظهر أمام المعالج النفسي واجهة عمل. مثال واحد للتحريض في موعد متخصص:

"المريض على يقين تام من أن اللون الأحمر يحمل خطرا عليه فقط في أي مظهر من مظاهره. نتيجة لذلك ، استبعد الشخص مخطط الألوان هذا من حياته - قدر الإمكان. في بيئة المنزل ، هناك العديد من الفرص لحياة مريحة. يمكنك رفض جميع العناصر الحمراء أو استبدالها بنظائرها المصنوعة في شكل مختلف نظام الألوان. لكن في الأماكن العامة ، في العمل ، في المتجر - هذا مستحيل. عند الدخول في حالة من التوتر ، يعاني المريض في كل مرة من "موجة" مختلفة تمامًا حالات عاطفيةمما قد يشكل خطرا على الآخرين ".

هذا المثال من الاستقراء ، وبغير وعي ، يسمى "الأفكار الثابتة". إذا حدث هذا لشخص يتمتع بصحة نفسية ، فيمكننا التحدث عن نقص التنظيم نشاط عقلى. يمكن أن يصبح التطور الأولي للتفكير الاستنتاجي وسيلة للتخلص من حالات الهوس. في حالات أخرى ، يعمل الأطباء النفسيون مع هؤلاء المرضى.

تشير أمثلة الاستقراء المذكورة أعلاه إلى أن "الجهل بالقانون لا يعفي من العواقب (الأحكام الخاطئة)".

قام علماء النفس ، الذين يعملون في موضوع التفكير الاستنتاجي ، بتجميع قائمة من التوصيات المصممة لمساعدة الناس على إتقان هذه الطريقة.

الخطوة الأولى هي حل المشكلة. كما يتضح ، يمكن اعتبار شكل الاستقراء المستخدم في الرياضيات "كلاسيكيًا" ، واستخدام هذه الطريقة يساهم في "انضباط" العقل.

الشرط التالي لتطور التفكير الاستنتاجي هو توسيع الآفاق (أولئك الذين يفكرون بوضوح ويذكرون بوضوح). توجه هذه التوصية "المعاناة" إلى خزائن العلم والمعلومات (المكتبات ، المواقع الإلكترونية ، المبادرات التعليمية ، السفر ، إلخ).

بشكل منفصل ، يجب ذكر ما يسمى "الاستقراء النفسي". يمكن العثور على هذا المصطلح ، على الرغم من ندرة حدوثه ، على الإنترنت. لا تقدم جميع المصادر تعريفًا موجزًا ​​لهذا المصطلح على الأقل ، ولكنها تشير إلى "أمثلة من الحياة" ، مع تقديم إما اقتراح ، أو بعض أشكال المرض العقلي ، أو الحالات المتطرفة للنفسية البشرية كنوع جديد من الاستقراء. من كل ما سبق ، يتضح أن محاولة اشتقاق "مصطلح جديد" استنادًا إلى فرضيات خاطئة (غالبًا غير صحيحة) يحكم على المجرب أن يتلقى بيانًا خاطئًا (أو متسرعًا).

وتجدر الإشارة إلى أن الإشارة إلى تجارب 1960 (دون الإشارة إلى المكان ، وأسماء المجربين ، وعينة الأشخاص ، والأهم من ذلك ، الغرض من التجربة) تبدو ، بعبارة ملطفة ، غير مقنعة ، والبيان أن الدماغ يدرك المعلومات التي تتجاوز جميع أعضاء الإدراك (فإن عبارة "ذوي الخبرة" في هذه الحالة تتلاءم بشكل عضوي أكثر) ، تجعل المرء يفكر في سذاجة وعدم انتقاد كاتب البيان.

بدلا من الاستنتاج

تستخدم ملكة العلوم - الرياضيات ، ليس عبثًا ، جميع الاحتياطيات الممكنة لطريقة الاستقراء والاستنتاج. تتيح لنا الأمثلة المدروسة أن نستنتج أن التطبيق السطحي وغير الكفؤ (كما يقولون) حتى أكثر الأساليب دقة وموثوقية يؤدي دائمًا إلى نتائج خاطئة.

في الوعي الجماعي ، ترتبط طريقة الاستنتاج بشيرلوك هولمز الشهير ، الذي غالبًا ما يستخدم في بناياته المنطقية أمثلة على الاستقراء ، باستخدام الاستنتاج في المواقف الضرورية.

تناولت المقالة أمثلة على تطبيق هذه الأساليب في مختلف العلوم ومجالات الحياة البشرية.

الاستقراء هو طريقة للحصول على بيان عام من ملاحظات معينة. في الحالة التي يتعلق فيها البيان الرياضي بعدد محدود من العناصر ، يمكن إثبات ذلك بالتحقق من كل كائن. على سبيل المثال ، العبارة: "كل رقم زوجي مكون من رقمين هو مجموع عددين أوليين" ، يتبع سلسلة من المساواة الواقعية تمامًا في تحديدها:

10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 . . . 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79.

يُطلق على طريقة الإثبات ، التي يتم فيها التحقق من بيان لعدد محدود من الحالات ، واستنفاد جميع الاحتمالات ، الاستقراء الكامل. نادرًا ما تكون هذه الطريقة قابلة للتطبيق نسبيًا ، نظرًا لأن البيانات الرياضية ، كقاعدة عامة ، لا تتعلق بمجموعات الكائنات المحدودة ، بل اللانهائية. على سبيل المثال ، العبارة المتعلقة بالأعداد المكونة من رقمين والتي تم إثباتها أعلاه عن طريق الاستقراء الكامل ليست سوى حالة خاصة للنظرية: "أي رقم زوجي هو مجموع عددين أوليين". هذه النظرية لم يتم إثباتها أو دحضها بعد.

الاستقراء الرياضي هو طريقة لإثبات عبارة معينة لأي n طبيعي بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي: "إذا كانت العبارة صحيحة لـ n = 1 ومن صحتها لـ n = k ، فيترتب على ذلك أن هذه العبارة صحيحة لـ n = k + 1 ، فهذا صحيح لكل n ". طريقة الإثبات بالاستقراء الرياضي هي كما يلي:

1) أساس الاستقراء: إثبات أو التحقق مباشرة من صحة العبارة لـ n = 1 (أحيانًا n = 0 أو n = n 0) ؛

2) خطوة الاستقراء (الانتقال): يفترضون صحة العبارة لبعض الطبيعي n = k ، وبناءً على هذا الافتراض ، يثبت صحة العبارة لـ n = k + 1.

مشاكل الحلول

1. أثبت أنه لأي عدد طبيعي n فإن الرقم 3 2n + 1 +2 n + 2 يقبل القسمة على 7.

دلالة أ (ن) = 3 2 ن + 1 +2 ن + 2.

قاعدة الاستقراء. إذا كان n = 1 ، فإن A (1) = 3 3 +2 3 = 35 ومن الواضح أنه قابل للقسمة على 7.

فرضية الاستقراء. لنفترض أن أ (ك) يقبل القسمة على 7.

الانتقال الاستقرائي. دعنا نثبت أن A (k + 1) قابلة للقسمة على 7 ، أي صحة بيان المشكلة لـ n = k.

А (ك + 1) = 3 2 (ك + 1) +1 +2 (ك + 1) +2 = 3 2 ك + 1 3 2 +2 ك + 2 2 1 = 3 2 ك + 1 9 + 2 ك + 2 2 =

3 2 ك + 1 9 + 2 ك + 2 (9-7) = (3 2 ك + 1 +2 ك + 2) 9-7 2 ك + 2 = 9 أ (ك) –7 2 ك +2.

الرقم الأخير يقبل القسمة على 7 ، لأنه الفرق بين عددين صحيحين يقبل القسمة على 7. لذلك ، 3 2n + 1 +2 n + 2 يقبل القسمة على 7 لأي عدد طبيعي n.

2. أثبت أنه بالنسبة لأي عدد صحيح موجب n فإن الرقم 2 3 n +1 يقبل القسمة على 3 n + 1 ولا يقبل القسمة على 3 n + 2.

دعنا نقدم الترميز: أ i = 2 3 i +1.

بالنسبة إلى n = 1 لدينا ، و 1 = 2 3 + 1 = 9. إذن ، 1 يقبل القسمة على 3 2 ولا يقبل القسمة على 3 3.

لنفترض أن n = k الرقم a k قابل للقسمة على 3 k + 1 ولا يقبل القسمة على 3 k + 2 ، أي k = 2 3 k + 1 = 3 k + 1 m ، حيث m لا يقبل القسمة على 3. ثم

و k + 1 = 2 3 ك + 1 + 1 = (2 3 ك) 3 + 1 = (2 3 ك +1) (2 3 ك 2 –2 3 ك +1) = 3 ك + 1 م م ((2 3 ك +1) 2 –3 2 3 ك) = 3 ك + 1 م ((3 ك + 1 م) 2 –3 2 3 ك) =

3 ك + 2 م (3 2 ك + 1 م 2 –2 3 ك).

من الواضح أن a k + 1 يقبل القسمة على 3 k + 2 ولا يقبل القسمة على 3 k + 3.

لذلك ، تم إثبات التأكيد على أي n طبيعي.

3. من المعروف أن x + 1 / x عدد صحيح. أثبت أن х n + 1 / х n هو أيضًا عدد صحيح لأي عدد صحيح n.

دعنا نقدم التدوين: a i \ u003d x i +1 / x i ولاحظ على الفور أن i \ u003d a -i ، لذلك سنستمر في الحديث عن المؤشرات الطبيعية.

ملاحظة: و 1 عدد صحيح حسب الشرط ؛ أ 2 عدد صحيح ، منذ 2 \ u003d (أ 1) 2 -2 ؛ و 0 = 2.

افترض أن a k هو عدد صحيح لأي عدد صحيح موجب k لا يتجاوز n. إذن ، a 1 · a n هو عدد صحيح ، لكن 1 · a n = a n + 1 + a n – 1 و a n + 1 = a 1 · a n –a n – 1. ومع ذلك ، و n – 1 عدد صحيح بفرضية الاستقراء. ومن ثم ، فإن а n + 1 هو أيضًا عدد صحيح. لذلك ، х n + 1 / х n هو عدد صحيح لأي عدد صحيح n ، والذي كان من المقرر إثباته.

4. برهن على أن المتباينة المزدوجة لأي عدد صحيح موجب n أكبر من 1

5. أثبت أن لـ n> 1 و | |

(1 - س) ن + (1 + س) ن

بالنسبة إلى n = 2 ، تكون المتباينة صحيحة. حقًا،

(1 - س) 2 + (1 + س) 2 \ u003d 2 + 2 × 2

إذا كانت المتباينة صحيحة لـ n = k ، فعندئذٍ بالنسبة لـ n = k + 1 لدينا

(1 –x) ك + 1 + (1 + س) ك + 1

تم إثبات عدم المساواة لأي عدد طبيعي ن> 1.

6. هناك n من الدوائر على المستوى. إثبات أنه لأي ترتيب لهذه الدوائر ، يمكن تلوين الخريطة التي شكلوها بشكل صحيح بلونين.

دعنا نستخدم طريقة الاستقراء الرياضي.

بالنسبة إلى n = 1 ، يكون التأكيد واضحًا.

افترض أن العبارة صحيحة بالنسبة لأي خريطة مكونة من دوائر n ، ودع n + 1 تظهر على المستوى. عند إزالة إحدى هذه الدوائر ، نحصل على خريطة يمكن تلوينها بشكل صحيح باستخدام لونين (انظر الشكل الأول أدناه).

ثم نقوم باستعادة الدائرة المهملة وعلى جانب واحد منها ، على سبيل المثال في الداخل ، نغير لون كل منطقة إلى العكس (انظر الصورة الثانية). من السهل أن نرى أنه في هذه الحالة نحصل على خريطة ملونة بشكل صحيح بلونين ، ولكن الآن فقط بدوائر n + 1 ، والتي كان من المقرر إثباتها.

7. سنطلق على المضلع المحدب "جميل" إذا تم استيفاء الشروط التالية:

1) كل رأس من رؤوسها مطلية بواحد من ثلاثة ألوان ؛

2) يتم رسم أي رأسين متجاورين بألوان مختلفة ؛

3) رأس واحد على الأقل من المضلع ملون في كل من الألوان الثلاثة.

أثبت أن أي n-gon جميل يمكن تقطيعه بأقطار غير متقاطعة إلى مثلثات "جميلة".

دعنا نستخدم طريقة الاستقراء الرياضي.

قاعدة الاستقراء. بالنسبة لأصغر n = 3 ، فإن بيان المشكلة واضح: رؤوس المثلث "الجميل" ملونة بثلاثة ألوان مختلفةولا حاجة للتخفيضات.

فرضية الاستقراء. لنفترض أن بيان المشكلة صحيح بالنسبة لأي شخص "جميل" n-gon.

خطوة الاستقراء. فكر في استخدام "جميل" (n + 1) عشوائيًا وأثبت ، باستخدام فرضية الاستقراء ، أنه يمكن تقطيعها بواسطة بعض الأقطار إلى مثلثات "جميلة". دلالة بواسطة А1 ، 2 ، 3 ، ... n ، n + 1 - الرؤوس المتتالية لـ (n + 1) -gon. إذا كان رأس واحد فقط من اللون (n + 1) ملونًا بأي من الألوان الثلاثة ، فعند توصيل هذا الرأس بالأقطار بجميع القمم غير المجاورة له ، نحصل على القسم الضروري لـ (n + 1) - الذهاب إلى مثلثات "جميلة".

إذا تم رسم رأسين على الأقل من حرف (n + 1) في كل من الألوان الثلاثة ، فإننا نشير إلى لون الرأس A 1 بالرقم 1 ، ولون الرأس A 2 بالرقم 2 . لنفترض أن k هو أصغر رقم بحيث يكون الرأس A k ملونًا باللون الثالث. من الواضح أن ك> 2. دعونا نقطع المثلث ك – 2 А ك – 1 А ك من (ن + 1) - مع القطر А ك – 2 А ك. وفقًا لاختيار الرقم k ، تم رسم جميع رؤوس هذا المثلث بثلاثة ألوان مختلفة ، أي أن هذا المثلث "جميل". المحدب n-gon A 1 A 2 ... A k – 2 A k A k + 1 ... A n + 1 ، الذي يبقى ، سيكون أيضًا ، بسبب الافتراض الاستقرائي ، "جميلًا" ، مما يعني أنه مقسمة إلى مثلثات "جميلة" ، والتي تحتاج إلى إثبات.

8. أثبت أنه في n-gon المحدب يستحيل اختيار أكثر من n قطري بحيث يكون لأي اثنين منهما نقطة مشتركة.

دعونا نجري البرهان بطريقة الاستقراء الرياضي.

دعنا نثبت عبارة أكثر عمومية: في n-gon المحدب ، من المستحيل اختيار أكثر من n من الأضلاع والأقطار بحيث يكون لأي منهما نقطة مشتركة. بالنسبة إلى n = 3 ، يكون التأكيد واضحًا. دعنا نفترض أن هذا التأكيد صحيح بالنسبة لـ n-gon التعسفي ، وباستخدام هذا ، نثبت صحته من أجل (n + 1) -gon.

افترض أن هذه العبارة غير صحيحة بالنسبة إلى (n + 1). إذا لم يظهر أكثر من جانبين أو قطرين مختارين من كل رأس من مضلع (n + 1) ، فسيكون هناك على الأكثر n + 1 المختارون. لذلك ، يظهر على الأقل ثلاثة جوانب أو أقطار مختارة AB ، AC ، AD من بعض الرؤوس A. دع AC تقع بين AB و AD. نظرًا لأن أي جانب أو قطري يخرج من C بخلاف CA لا يمكنه عبور AB و AD في نفس الوقت ، فإن CA قطريًا واحدًا فقط هو الذي يخرج من C.

بتجاهل النقطة C جنبًا إلى جنب مع CA المائل ، نحصل على n-gon محدب يتم فيه اختيار أكثر من n من الأضلاع والأقطار ، أي اثنين منها لهما نقطة مشتركة. وهكذا ، نصل إلى تناقض مع الافتراض القائل بأن التأكيد صحيح بالنسبة لمحدب تعسفي n-gon.

لذلك ، بالنسبة لعصر (n + 1) ، فإن العبارة صحيحة. وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، فإن العبارة صحيحة بالنسبة لأي محدب n-gon.

9. هناك عدد n من الخطوط المرسومة في المستوى ، لا يوجد خطان متوازيان ولا يوجد ثلاثة خطوط تمر عبر نفس النقطة. كم عدد الأجزاء التي تقسمها هذه الخطوط المستوى.

بمساعدة الرسومات الأولية ، من السهل التأكد من أن خطًا مستقيمًا واحدًا يقسم الطائرة إلى جزأين ، وخطين مستقيمين إلى 4 أجزاء ، وثلاثة خطوط مستقيمة إلى 7 أجزاء ، وأربعة خطوط مستقيمة إلى 11 جزءًا.

قم بالإشارة بواسطة N (n) إلى عدد الأجزاء التي تقسم إليها n خطوط المستوى. ويمكن أن نرى أن

ن (2) = ن (1) + 2 = 2 + 2 ،

ن (3) = ن (2) + 3 = 2 + 2 + 3 ،

ن (4) = ن (3) + 4 = 2 + 2 + 3 + 4.

من الطبيعي أن نفترض ذلك

N (n) = N (n – 1) + n = 2 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + n ،

أو ، كما يسهل تحديده ، باستخدام الصيغة لمجموع أول n من التقدم الحسابي ،

N (n) = 1 + n (n + 1) / 2.

دعونا نثبت صحة هذه الصيغة بطريقة الاستقراء الرياضي.

بالنسبة إلى n = 1 ، تم التحقق من الصيغة بالفعل.

بعد إجراء الافتراض الاستقرائي ، ضع في اعتبارك أن خطوط k + 1 تفي بشرط المشكلة. نختار بشكل تعسفي k خطوط مستقيمة منها. من خلال الفرضية الاستقرائية ، يقومون بتقسيم الطائرة إلى أجزاء 1+ k (k + 1) / 2. سيتم تقسيم الخط المتبقي (k + 1) -th بواسطة خطوط k المحددة إلى أجزاء k + 1 ، وبالتالي ، سيمر عبر الجزء (k + 1) الذي تم تقسيم المستوى إليه بالفعل ، وكل من سيتم تقسيم هذه الأجزاء إلى جزأين ، أي ، سيتم إضافة k + 1 أجزاء أخرى. لذا،

N (k + 1) = N (k) + k + 1 = 1 + k (k + 1) / 2 + k + 1 = 1 + (k + 1) (k + 2) / 2،

Q.E.D.

10. في التعبير x 1: x 2: ...: x n ، يتم وضع الأقواس للإشارة إلى ترتيب الإجراءات ويتم كتابة النتيجة في صورة كسر:

(في هذه الحالة ، يكون كل حرف من الأحرف x 1 ، x 2 ، ... ، x n إما في بسط الكسر أو في المقام). كم عدد التعبيرات المختلفة التي يمكن الحصول عليها بهذه الطريقة بكل الطرق الممكنة لترتيب الأقواس؟

بادئ ذي بدء ، من الواضح أنه في الكسر الناتج x 1 سيكون في البسط. من الواضح تقريبًا أن x 2 ستكون في المقام لأي ترتيب للأقواس (تشير علامة القسمة قبل x 2 إما إلى x 2 نفسها ، أو إلى أي تعبير يحتوي على x 2 في البسط).

يمكن افتراض أن جميع الأحرف الأخرى x 3 ، x 4 ، ... ، x n يمكن وضعها في البسط أو المقام بطريقة عشوائية تمامًا. ويترتب على ذلك أنه يمكنك الحصول إجمالاً على 2 n-2 كسرين: كل حرف من حرف n-2 x 3 ، x 4 ، ... ، x n يمكن أن يكون مستقلاً عن الآخرين في البسط أو المقام.

دعونا نثبت هذا التأكيد عن طريق الاستقراء.

باستخدام n = 3 ، يمكنك الحصول على كسرين:

لذلك البيان صحيح.

نفترض أنه صالح لـ n = k ونثبت ذلك لـ n = k + 1.

دع التعبير x 1: x 2: ...: x k ، بعد ترتيب بعض الأقواس ، يتم كتابته في صورة كسر Q. إذا تم استبدال x k: x k + 1 في هذا التعبير بدلاً من x k ، فسيكون x k في نفس المكان الذي كان عليه في الكسور Q ، ولن يكون x k + 1 مكان x k (إذا كان x k في المقام ، فسيكون x k + 1 في البسط والعكس صحيح).

لنثبت الآن أنه يمكننا إضافة x k + 1 في نفس المكان مثل x k. في الكسر Q ، بعد وضع الأقواس ، سيكون هناك بالضرورة تعبير بالصيغة q: x k ، حيث q هو الحرف x k – 1 أو تعبير ما بين قوسين. استبدال q: x k بالتعبير (q: x k): x k + 1 = q: (x k x k + 1) ، من الواضح أننا نحصل على نفس الكسر Q ، حيث بدلاً من x k هو x k x k + 1.

وبالتالي ، فإن عدد الكسور المحتملة في حالة n = k + 1 أكبر بمرتين مما في حالة n = k ويساوي 2 k – 2 · 2 = 2 (k + 1) –2. وهكذا تم إثبات التأكيد.

الجواب: 2 ن -2 كسور.

مشاكل بلا حلول

1. إثبات أن لأي ن طبيعي:

أ) الرقم 5 ن -3 ن + 2 ن يقبل القسمة على 4 ؛

ب) الرقم ن 3 + 11 ن يقبل القسمة على 6 ؛

ج) الرقم 7 n + 3n – 1 يقبل القسمة على 9 ؛

د) الرقم 6 2n +19 n –2 n + 1 يقبل القسمة على 17 ؛

ه) الرقم 7 ن + 1 +8 2n – 1 يقبل القسمة على 19 ؛

و) الرقم 2 2n – 1 –9n 2 + 21n – 14 يقبل القسمة على 27.

2. أثبت أن (n + 1) · (n + 2) · ... · (n + n) = 2 n · 1 · 3 · 5 · ... · (2n – 1).

3. إثبات عدم المساواة | sin nx | ن | sinx | لأي ن طبيعي.

4. أوجد الأعداد الطبيعية أ ، ب ، ج التي لا تقبل القسمة على 10 ، بحيث يكون للأعداد n + b n و c n نفس الرقمين الأخيرين بالنسبة لأي عدد n طبيعي.

5. أثبت أنه إذا كانت n من النقاط لا تقع على نفس الخط ، فعندئذ من بين الخطوط التي تربطها ، توجد على الأقل ن نقاط مختلفة.