La lunghezza del segmento sull'asse delle coordinate si trova con la formula:
La lunghezza del segmento sul piano delle coordinate è cercata dalla formula:
Per trovare la lunghezza di un segmento in un sistema di coordinate tridimensionale, viene utilizzata la seguente formula:
Le coordinate del centro del segmento (per l'asse delle coordinate viene utilizzata solo la prima formula, per il piano delle coordinate - le prime due formule, per il sistema di coordinate tridimensionale - tutte e tre le formule) sono calcolate dalle formule:
Funzioneè una corrispondenza della forma si= F(X) tra variabili, a causa della quale ciascuna considerava il valore di una variabile X(argomento o variabile indipendente) corrisponde a un certo valore di un'altra variabile, si(variabile dipendente, a volte questo valore è chiamato semplicemente il valore della funzione). Si noti che la funzione presuppone che un valore dell'argomento X ci può essere solo un valore della variabile dipendente A. Tuttavia, lo stesso valore A può essere ottenuto con vari X.
Ambito di funzione sono tutti i valori della variabile indipendente (argomento della funzione, solitamente X) per cui la funzione è definita, cioè il suo significato esiste. Il dominio di definizione è indicato D(si). In generale, hai già familiarità con questo concetto. L'ambito di una funzione è altrimenti chiamato il dominio dei valori validi, o ODZ, che sei stato in grado di trovare per molto tempo.
Gamma di funzioni sono tutti i possibili valori della variabile dipendente di questa funzione. Denotato E(A).
La funzione aumenta sull'intervallo in cui il valore maggiore dell'argomento corrisponde al valore maggiore della funzione. Funzione Decrescente sull'intervallo in cui il valore maggiore dell'argomento corrisponde al valore minore della funzione.
Intervalli di funzioni sono gli intervalli della variabile indipendente in cui la variabile dipendente mantiene il suo segno positivo o negativo.
Funzione zeri sono quei valori dell'argomento per i quali il valore della funzione è uguale a zero. In questi punti, il grafico della funzione interseca l'asse delle ascisse (asse OX). Molto spesso, la necessità di trovare gli zeri di una funzione significa semplicemente risolvere l'equazione. Inoltre, spesso la necessità di trovare intervalli di segno costante comporta la necessità di risolvere semplicemente la disuguaglianza.
Funzione si = F(X) sono chiamati Anche X
Ciò significa che per qualsiasi valore opposto dell'argomento, i valori della funzione pari sono uguali. Il grafico di una funzione pari è sempre simmetrico rispetto all'asse y dell'amplificatore operazionale.
Funzione si = F(X) sono chiamati strano, se è definito su un insieme simmetrico e per qualsiasi X dal dominio di definizione l'uguaglianza è soddisfatta:
Ciò significa che per qualsiasi valore opposto dell'argomento, anche i valori della funzione dispari sono opposti. Il grafico di una funzione dispari è sempre simmetrico rispetto all'origine.
La somma delle radici delle funzioni pari e dispari (punti di intersezione dell'asse delle ascisse OX) è sempre uguale a zero, perché per ogni radice positiva X ha una radice negativa X.
È importante notare che alcune funzioni non devono essere pari o dispari. Ci sono molte funzioni che non sono né pari né dispari. Tali funzioni sono chiamate funzioni vista generale , e nessuna delle suddette uguaglianze o proprietà vale per loro.
Funzione lineareè chiamata una funzione che può essere data dalla formula:
Il grafico di una funzione lineare è una linea retta e nel caso generale si presenta così (un esempio è dato per il caso in cui K> 0, in questo caso la funzione è crescente; per l'occasione K < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Grafico della funzione quadratica (parabola)
Il grafico di una parabola è dato da una funzione quadratica:
Una funzione quadratica, come qualsiasi altra funzione, interseca l'asse OX nei punti che sono le sue radici: ( X 1 ; 0) e ( X 2; 0). Se non ci sono radici, la funzione quadratica non interseca l'asse OX, se c'è una radice, quindi a questo punto ( X 0; 0) la funzione quadratica tocca solo l'asse OX, ma non lo interseca. Una funzione quadratica interseca sempre l'asse OY in un punto con coordinate: (0; C). Il grafico di una funzione quadratica (parabola) può apparire così (la figura mostra esempi che lungi dall'esaurire tutti i possibili tipi di parabole):
In cui:
- se il coefficiente UN> 0, nella funzione si = ascia 2 + bx + C, quindi i rami della parabola sono diretti verso l'alto;
- Se UN < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Le coordinate del vertice della parabola possono essere calcolate utilizzando le seguenti formule. X in cima (P- nelle figure sopra) di una parabola (ovvero il punto in cui il trinomio quadrato raggiunge il suo valore massimo o minimo):
Y in cima (Q- nelle figure sopra) di una parabola o il massimo se i rami della parabola sono rivolti verso il basso ( UN < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (UN> 0), il valore del trinomio quadrato:
Grafici di altre funzioni
funzione di potenza
Ecco alcuni esempi di grafici di funzioni di potenza:
Dipendenza inversamente proporzionale chiama la funzione data dalla formula:
A seconda del segno del numero K Un grafico inversamente proporzionale può avere due opzioni fondamentali:
Asintotoè la retta alla quale la retta del grafico della funzione si avvicina infinitamente, ma non si interseca. Gli asintoti per i grafici di proporzionalità inversa mostrati nella figura sopra sono gli assi delle coordinate, a cui il grafico della funzione si avvicina infinitamente vicino, ma non li interseca.
funzione esponenziale con basamento UN chiama la funzione data dalla formula:
UN il grafico di una funzione esponenziale può avere due opzioni fondamentali (daremo anche degli esempi, vedi sotto):
funzione logaritmica chiama la funzione data dalla formula:
A seconda che il numero sia maggiore o minore di uno UN Il grafico di una funzione logaritmica può avere due opzioni fondamentali:
Grafico delle funzioni si = |X| come segue:
Grafici di funzioni periodiche (trigonometriche).
Funzione A = F(X) è chiamato periodico, se esiste un tale numero diverso da zero T, Che cosa F(X + T) = F(X), per chiunque X fuori dall'ambito della funzione F(X). Se la funzione F(X) è periodico con punto T, quindi la funzione:
Dove: UN, K, B sono numeri costanti e K diverso da zero, anch'esso periodico con punto T 1 , che è determinato dalla formula:
La maggior parte degli esempi di funzioni periodiche sono funzioni trigonometriche. Ecco i grafici delle principali funzioni trigonometriche. La figura seguente mostra parte del grafico della funzione si= peccato X(l'intero grafico continua indefinitamente a sinistra ea destra), il grafico della funzione si= peccato X chiamato sinusoidale:
Grafico delle funzioni si= cos X chiamato onda del coseno. Questo grafico è mostrato nella figura seguente. Dal momento che il grafico del seno, continua indefinitamente lungo l'asse OX a sinistra ea destra:
Grafico delle funzioni si= tg X chiamato tangenteide. Questo grafico è mostrato nella figura seguente. Come i grafici di altre funzioni periodiche, questo grafico si ripete indefinitamente lungo l'asse OX a sinistra ea destra.
E infine, il grafico della funzione si=ctg X chiamato cotangentoide. Questo grafico è mostrato nella figura seguente. Come i grafici di altre funzioni periodiche e trigonometriche, questo grafico si ripete indefinitamente lungo l'asse OX a sinistra ea destra.
L'attuazione riuscita, diligente e responsabile di questi tre punti ti consentirà di mostrare un risultato eccellente sul CT, il massimo di ciò di cui sei capace.
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1) Ambito e gamma di funzioni.
L'ambito di una funzione è l'insieme di tutti i valori validi validi dell'argomento X(variabile X) per cui la funzione y = f(x) definito. L'intervallo di una funzione è l'insieme di tutti i valori reali si che la funzione accetta.
Nella matematica elementare le funzioni si studiano solo sull'insieme dei numeri reali.
2) Funzione zeri.
Lo zero della funzione è il valore dell'argomento in corrispondenza del quale il valore della funzione è uguale a zero.
3) Intervalli di costanza di segno di una funzione.
Gli intervalli di segno costante di una funzione sono tali insiemi di valori argomento sui quali i valori della funzione sono solo positivi o solo negativi.
4) Monotonia della funzione.
Una funzione crescente (in un certo intervallo) è una funzione in cui un valore maggiore dell'argomento da questo intervallo corrisponde a un valore maggiore della funzione.
Funzione decrescente (in un intervallo) - una funzione in cui un valore maggiore dell'argomento da questo intervallo corrisponde a un valore minore della funzione.
5) Funzioni pari (dispari)..
Una funzione pari è una funzione il cui dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine e per qualsiasi X dal dominio di definizione l'uguaglianza f(-x) = f(x). Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y.
Una funzione dispari è una funzione il cui dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine e per qualsiasi X dal dominio di definizione l'uguaglianza f(-x) = - f(x). Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine.
6) Funzioni limitate e illimitate.
Una funzione si dice limitata se esiste un numero positivo M tale che |f(x)| ≤ M per tutti i valori di x . Se non esiste tale numero, la funzione è illimitata.
7) Periodicità della funzione.
Una funzione f(x) è periodica se esiste un numero T diverso da zero tale che per ogni x dal dominio della funzione, f(x+T) = f(x). Questo numero più piccolo è chiamato il periodo della funzione. Tutte le funzioni trigonometriche sono periodiche. (Formule trigonometriche).
19. Funzioni elementari di base, loro proprietà e grafici. Applicazione delle funzioni nell'economia.
Funzioni elementari di base. Loro proprietà e grafici
1. Funzione lineare.
Funzione lineare è chiamata funzione della forma , dove x è una variabile e eb sono numeri reali.
Numero UN detta pendenza di una retta, è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione di questa retta rispetto alla direzione positiva dell'asse x. Il grafico di una funzione lineare è una retta. È definito da due punti.
Proprietà delle funzioni lineari
1. Dominio di definizione: l'insieme di tutti i numeri reali: D (y) \u003d R
2. L'insieme dei valori è l'insieme di tutti i numeri reali: E(y)=R
3. La funzione assume un valore zero per o.
4. La funzione aumenta (diminuisce) nell'intero dominio di definizione.
5. La funzione lineare è continua su tutto il dominio di definizione, differenziabile e .
2. Funzione quadratica.
Viene chiamata una funzione della forma, dove x è una variabile, i coefficienti a, b, c sono numeri reali quadratico.
Scegliamo un sistema di coordinate rettangolare sul piano e tracciamo i valori dell'argomento sull'asse delle ascisse X e sull'asse y - i valori della funzione y = f(x).
Grafico delle funzioni y = f(x) viene chiamato l'insieme di tutti i punti, per i quali le ascisse appartengono al dominio della funzione e le ordinate sono uguali ai corrispondenti valori della funzione.
In altre parole, il grafico della funzione y \u003d f (x) è l'insieme di tutti i punti nel piano, le coordinate X, A che soddisfano la relazione y = f(x).
Sulla fig. 45 e 46 sono grafici di funzioni y = 2x + 1 E y \u003d x 2 - 2x.
A rigor di termini, si dovrebbe distinguere tra il grafico di una funzione (la cui esatta definizione matematica è stata data sopra) e la curva disegnata, che fornisce sempre solo uno schizzo più o meno accurato del grafico (e anche allora, di regola, non l'intero grafico, ma solo la sua parte situata nelle parti finali del piano). In quanto segue, tuttavia, ci riferiremo solitamente a "grafico" piuttosto che a "schizzo grafico".
Usando un grafico, puoi trovare il valore di una funzione in un punto. Vale a dire, se il punto x = a rientra nell'ambito della funzione y = f(x), quindi per trovare il numero fa)(ovvero i valori della funzione nel punto x = a) dovrebbe farlo. Bisogno attraverso un punto con un'ascissa x = a tracciare una linea retta parallela all'asse y; questa linea intersecherà il grafico della funzione y = f(x) a un certo punto; l'ordinata di questo punto sarà, in virtù della definizione del grafico, uguale a fa)(figura 47).
Ad esempio, per la funzione f(x) = x 2 - 2x utilizzando il grafico (Fig. 46) troviamo f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, ecc.
Un grafico di funzione illustra visivamente il comportamento e le proprietà di una funzione. Ad esempio, da una considerazione di Fig. 46 è chiaro che la funzione y \u003d x 2 - 2x assume valori positivi quando X< 0 e a x > 2, negativo - a 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x accetta a x = 1.
Per tracciare una funzione f(x) devi trovare tutti i punti dell'aereo, le coordinate X,A che soddisfano l'equazione y = f(x). Nella maggior parte dei casi, questo è impossibile, poiché ci sono infiniti punti di questo tipo. Pertanto, il grafico della funzione è rappresentato approssimativamente, con maggiore o minore precisione. Il più semplice è il metodo di tracciamento multipunto. Consiste nel fatto che l'argomento X dare un numero finito di valori - diciamo, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k e creare una tabella che includa i valori selezionati della funzione.
La tabella si presenta così:
Dopo aver compilato una tale tabella, possiamo delineare diversi punti sul grafico della funzione y = f(x). Quindi, collegando questi punti con una linea liscia, otteniamo una vista approssimativa del grafico della funzione y = f(x).
Tuttavia, va notato che il metodo di tracciamento multipunto è molto inaffidabile. Rimane infatti sconosciuto il comportamento del grafico tra i punti segnati e il suo comportamento al di fuori del segmento tra i punti estremi presi.
Esempio 1. Per tracciare una funzione y = f(x) qualcuno ha compilato una tabella di valori di argomenti e funzioni:
I cinque punti corrispondenti sono mostrati in Fig. 48.
Sulla base della posizione di questi punti, ha concluso che il grafico della funzione è una linea retta (mostrata in Fig. 48 da una linea tratteggiata). Questa conclusione può essere considerata attendibile? A meno che non ci siano ulteriori considerazioni a sostegno di questa conclusione, difficilmente può essere considerata attendibile. affidabile.
Per confermare la nostra affermazione, consideriamo la funzione
.
I calcoli mostrano che i valori di questa funzione nei punti -2, -1, 0, 1, 2 sono appena descritti dalla tabella sopra. Tuttavia, il grafico di questa funzione non è affatto una linea retta (è mostrato in Fig. 49). Un altro esempio è la funzione y = x + l + sinx; i suoi significati sono descritti anche nella tabella sopra.
Questi esempi mostrano che nella sua forma "pura", il metodo di plottaggio multipunto è inaffidabile. Pertanto, per tracciare una data funzione, di norma, procedere come segue. Innanzitutto vengono studiate le proprietà di questa funzione, con l'aiuto della quale è possibile costruire uno schizzo del grafico. Quindi, calcolando i valori della funzione in più punti (la cui scelta dipende dalle proprietà impostate della funzione), si trovano i punti corrispondenti del grafico. E, infine, viene disegnata una curva attraverso i punti costruiti usando le proprietà di questa funzione.
Prenderemo in considerazione alcune proprietà (le più semplici e frequentemente utilizzate) delle funzioni utilizzate per trovare uno schizzo di un grafico in seguito, e ora analizzeremo alcuni metodi comunemente usati per tracciare grafici.
Grafico della funzione y = |f(x)|.
Spesso è necessario tracciare una funzione y = |f(x)|, dove f(x) - data funzione. Ricorda come è fatto. Per definizione del valore assoluto di un numero si può scrivere
Ciò significa che il grafico della funzione y=|f(x)| può essere ottenuto dal grafico, funzioni y = f(x) come segue: tutti i punti del grafico della funzione y = f(x), le cui ordinate non sono negative, vanno lasciate invariate; inoltre, invece dei punti del grafico della funzione y = f(x), avendo coordinate negative, si dovrebbero costruire i corrispondenti punti del grafico della funzione y = -f(x)(cioè parte del grafico della funzione
y = f(x), che si trova sotto l'asse X, dovrebbe essere riflessa simmetricamente rispetto all'asse X).
Esempio 2 Tracciare una funzione y = |x|.
Prendiamo il grafico della funzione y = x(Fig. 50, a) e parte di questo grafico con X< 0 (sdraiato sotto l'asse X) è riflessa simmetricamente attorno all'asse X. Di conseguenza, otteniamo il grafico della funzione y = |x|(figura 50, b).
Esempio 3. Tracciare una funzione y = |x 2 - 2x|.
Per prima cosa tracciamo la funzione y = x 2 - 2x. Il grafico di questa funzione è una parabola, i cui rami sono diretti verso l'alto, la parte superiore della parabola ha coordinate (1; -1), il suo grafico interseca l'asse delle ascisse nei punti 0 e 2. Nell'intervallo (0; 2 ) la funzione assume valori negativi, quindi questa parte del grafico si riflette simmetricamente rispetto all'asse x. La Figura 51 mostra un grafico della funzione y \u003d |x 2 -2x |, basato sul grafico della funzione y = x 2 - 2x
Grafico della funzione y = f(x) + g(x)
Considera il problema di tracciare la funzione y = f(x) + g(x). se sono forniti grafici di funzioni y = f(x) E y = g(x).
Si noti che il dominio della funzione y = |f(x) + g(x)| è l'insieme di tutti quei valori di x per i quali sono definite entrambe le funzioni y = f(x) e y = g(x), cioè questo dominio di definizione è l'intersezione dei domini di definizione, le funzioni f(x ) e g(x).
Lasciamo i punti (x 0, y 1) E (x 0, y 2) appartengono rispettivamente ai grafici delle funzioni y = f(x) E y = g(x), cioè a 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Allora il punto (x0;. y1 + y2) appartiene al grafico della funzione y = f(x) + g(x)(per f(x0)+g(x0) = a 1+y2),. e qualsiasi punto del grafico della funzione y = f(x) + g(x) può essere ottenuto in questo modo. Pertanto, il grafico della funzione y = f(x) + g(x) può essere ottenuto dai grafici delle funzioni y = f(x). E y = g(x) sostituendo ogni punto ( x n, y 1) grafica delle funzioni y = f(x) punto (x n, y 1 + y 2), Dove y 2 = g(x n), cioè spostando ogni punto ( x n, y 1) grafico della funzione y = f(x) lungo l'asse A dall'importo y 1 \u003d g (x n). In questo caso, vengono considerati solo tali punti. X n per il quale sono definite entrambe le funzioni y = f(x) E y = g(x).
Questo metodo di tracciare un grafico di funzione y = f(x) + g(x) è chiamata addizione di grafici di funzioni y = f(x) E y = g(x)
Esempio 4. Nella figura, con il metodo dell'aggiunta di grafici, viene costruito un grafico della funzione
y = x + sinx.
Quando si traccia una funzione y = x + sinx lo abbiamo ipotizzato f(x) = x, UN g(x) = sinx. Per costruire un grafico di funzione, selezioniamo punti con ascisse -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Valori f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx calcoleremo nei punti selezionati e posizioneremo i risultati nella tabella.
1. Funzione frazionaria lineare e suo grafico
Una funzione della forma y = P(x) / Q(x), dove P(x) e Q(x) sono polinomi, è chiamata funzione razionale frazionaria.
Probabilmente hai già familiarità con il concetto di numeri razionali. Allo stesso modo funzioni razionali sono funzioni che possono essere rappresentate come quoziente di due polinomi.
Se una funzione razionale frazionaria è un quoziente di due funzioni lineari– polinomi di primo grado, cioè funzione di visualizzazione
y = (ax + b) / (cx + d), allora si dice lineare frazionaria.
Si noti che nella funzione y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (altrimenti la funzione diventa lineare y = ax/d + b/d) e che a/c ≠ b/d (altrimenti la la funzione è una costante). La funzione lineare-frazionaria è definita per tutti i numeri reali, ad eccezione di x = -d/c. I grafici delle funzioni lineari-frazionarie non differiscono nella forma dal grafico che conosci y = 1/x. Si chiama la curva che è il grafico della funzione y = 1/x iperbole. Con un aumento illimitato di x in valore assoluto, la funzione y = 1/x diminuisce indefinitamente in valore assoluto ed entrambi i rami del grafico si avvicinano all'asse delle ascisse: quello di destra si avvicina dall'alto, quello di sinistra dal basso. Le rette a cui si avvicinano i rami di un'iperbole sono dette sue asintoti.
Esempio 1
y = (2x + 1) / (x - 3).
Soluzione.
Selezioniamo la parte intera: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Ora è facile vedere che il grafico di questa funzione è ottenuto dal grafico della funzione y = 1/x mediante le seguenti trasformazioni: spostamento verso destra di 3 segmenti unitari, allungamento lungo l'asse Oy di 7 volte e spostamento di 2 segmenti unitari in alto.
Qualsiasi frazione y = (ax + b) / (cx + d) può essere scritta allo stesso modo, evidenziando la “parte intera”. Di conseguenza, i grafici di tutte le funzioni lineari-frazionarie sono iperboli spostate lungo gli assi delle coordinate in vari modi e allungate lungo l'asse Oy.
Per tracciare un grafico di una funzione frazionaria lineare arbitraria, non è affatto necessario trasformare la frazione che definisce questa funzione. Poiché sappiamo che il grafico è un'iperbole, basterà trovare le rette a cui si avvicinano le sue diramazioni - gli asintoti dell'iperbole x = -d/c e y = a/c.
Esempio 2
Trova gli asintoti del grafico della funzione y = (3x + 5)/(2x + 2).
Soluzione.
La funzione non è definita, per x = -1. Quindi, la linea x = -1 funge da asintoto verticale. Per trovare l'asintoto orizzontale, scopriamo a cosa si avvicinano i valori della funzione y(x) quando l'argomento x aumenta in valore assoluto.
Per fare ciò, dividiamo il numeratore e il denominatore della frazione per x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Per x → ∞ la frazione tende a 3/2. Quindi, l'asintoto orizzontale è la retta y = 3/2.
Esempio 3
Traccia la funzione y = (2x + 1)/(x + 1).
Soluzione.
Selezioniamo la “parte intera” della frazione:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Ora è facile vedere che il grafico di questa funzione è ottenuto dal grafico della funzione y = 1/x mediante le seguenti trasformazioni: uno spostamento di 1 unità a sinistra, una visualizzazione simmetrica rispetto a Ox e uno spostamento di intervalli di 2 unità lungo l'asse Oy.
Dominio di definizione D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Intervallo di valori E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Punti di intersezione con assi: c Oy: (0; 1); c Bue: (-1/2; 0). La funzione aumenta su ciascuno degli intervalli del dominio di definizione.
Risposta: figura 1.
2. Funzione frazionaria-razionale
Si consideri una funzione razionale frazionaria della forma y = P(x) / Q(x), dove P(x) e Q(x) sono polinomi di grado superiore al primo.
Esempi di tali funzioni razionali:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) o y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Se la funzione y = P(x) / Q(x) è un quoziente di due polinomi di grado superiore al primo, allora il suo grafico sarà, di regola, più complicato e talvolta può essere difficile costruirlo esattamente , con tutti i dettagli. Tuttavia, spesso è sufficiente applicare tecniche simili a quelle che abbiamo già incontrato sopra.
Sia corretta la frazione (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x) / Q(x) \u003d LA 1 / (x - K 1) m1 + LA 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + LA m1 / (x - K 1) + . .. +
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (SI 1 x + DO 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (SI m1 x + DO m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Ovviamente il grafico di una funzione razionale frazionaria può essere ottenuto come somma di grafici di frazioni elementari.
Rappresentazione grafica di funzioni razionali frazionarie
Considera diversi modi per tracciare una funzione razionale frazionaria.
Esempio 4
Traccia la funzione y = 1/x 2 .
Soluzione.
Usiamo il grafico della funzione y \u003d x 2 per tracciare il grafico y \u003d 1 / x 2 e usiamo il metodo di "dividere" i grafici.
Dominio D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Intervallo di valori E(y) = (0; +∞).
Non ci sono punti di intersezione con gli assi. La funzione è pari. Aumenta per ogni x dall'intervallo (-∞; 0), diminuisce per x da 0 a +∞.
Risposta: figura 2.
Esempio 5
Traccia la funzione y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Soluzione.
Dominio D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
Qui abbiamo utilizzato la tecnica della fattorizzazione, riduzione e riduzione a una funzione lineare.
Risposta: figura 3.
Esempio 6
Traccia la funzione y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Soluzione.
Il dominio di definizione è D(y) = R. Poiché la funzione è pari, il grafico è simmetrico rispetto all'asse y. Prima di tracciare, trasformiamo nuovamente l'espressione evidenziando la parte intera:
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
Si noti che la selezione della parte intera nella formula di una funzione razionale-frazionaria è una delle principali quando si tracciano grafici.
Se x → ±∞, allora y → 1, cioè, la linea y = 1 è un asintoto orizzontale.
Risposta: figura 4.
Esempio 7
Considera la funzione y = x/(x 2 + 1) e prova a trovare esattamente il suo valore più grande, cioè il punto più alto nella metà destra del grafico. Per costruire con precisione questo grafico, la conoscenza di oggi non è sufficiente. È ovvio che la nostra curva non può "salire" molto in alto, poiché il denominatore inizia rapidamente a "superare" il numeratore. Vediamo se il valore della funzione può essere uguale a 1. Per fare ciò, devi risolvere l'equazione x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Questa equazione non ha radici reali. Quindi la nostra ipotesi è sbagliata. Per trovare il massimo Grande importanza funzione, devi scoprire per quale A più grande l'equazione A \u003d x / (x 2 + 1) avrà una soluzione. Sostituiamo l'equazione originale con una quadratica: Ax 2 - x + A \u003d 0. Questa equazione ha una soluzione quando 1 - 4A 2 ≥ 0. Da qui troviamo il valore più grande A \u003d 1/2. 
Risposta: Figura 5, max y(x) = ½.
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