Derivato
Il calcolo della derivata di una funzione matematica (differenziazione) è un compito molto comune nella risoluzione della matematica superiore. Per le funzioni matematiche semplici (elementari), questa è una questione abbastanza semplice, poiché le tabelle delle derivate per le funzioni elementari sono state compilate da tempo e sono facilmente accessibili. Tuttavia, trovare la derivata di una funzione matematica complessa non è un compito banale e spesso richiede sforzi e tempo significativi.
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L'operazione per trovare una derivata è chiamata differenziazione.
Come risultato della risoluzione dei problemi di trovare derivate delle funzioni più semplici (e non molto semplici) definendo la derivata come il limite del rapporto tra l'incremento e l'incremento dell'argomento, è apparsa una tabella di derivate e regole di differenziazione definite con precisione . Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) furono i primi a lavorare nel campo della ricerca di derivati.
Pertanto, ai nostri tempi, per trovare la derivata di una qualsiasi funzione, non è necessario calcolare il suddetto limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, ma basta usare la tabella delle derivate e le regole di differenziazione. Il seguente algoritmo è adatto per trovare la derivata.
Per trovare la derivata, hai bisogno di un'espressione sotto il segno del tratto scomporre semplici funzioni e determinare quali azioni (prodotto, somma, quoziente) queste funzioni sono correlate. Inoltre, troviamo le derivate delle funzioni elementari nella tabella delle derivate e le formule per le derivate del prodotto, somma e quoziente - nelle regole di differenziazione. La tabella delle derivate e le regole di differenziazione sono riportate dopo i primi due esempi.
Esempio 1 Trova la derivata di una funzione
Soluzione. Dalle regole di differenziazione scopriamo che la derivata della somma delle funzioni è la somma delle derivate delle funzioni, cioè
Dalla tabella delle derivate, scopriamo che la derivata di "X" è uguale a uno e la derivata del seno è coseno. Sostituiamo questi valori nella somma delle derivate e troviamo la derivata richiesta dalla condizione del problema:
Esempio 2 Trova la derivata di una funzione
Soluzione. Differenziare come derivata della somma, in cui il secondo termine con fattore costante, può essere dedotto dal segno della derivata:
Se ci sono ancora domande su da dove viene qualcosa, di norma diventano chiare dopo aver letto la tabella dei derivati e le regole di differenziazione più semplici. Stiamo andando da loro proprio ora.
Tabella delle derivate di funzioni semplici
| 1. Derivata di una costante (numero). Qualsiasi numero (1, 2, 5, 200...) che si trova nell'espressione della funzione. Sempre zero. Questo è molto importante da ricordare, poiché è richiesto molto spesso | |
| 2. Derivata della variabile indipendente. Molto spesso "x". Sempre uguale a uno. Anche questo è importante da ricordare | |
| 3. Derivato di laurea. Quando si risolvono i problemi, è necessario convertire le radici non quadrate in una potenza. | |
| 4. Derivata di una variabile alla potenza di -1 | |
| 5. Derivata della radice quadrata | |
| 6. Derivata seno | |
| 7. Derivata del coseno |  |
| 8. Derivata tangente |  |
| 9. Derivato di cotangente |  |
| 10. Derivata dell'arcoseno |  |
| 11. Derivata dell'arcocoseno |  |
| 12. Derivata dell'arcotangente |  |
| 13. Derivata della tangente inversa |  |
| 14. Derivata del logaritmo naturale | |
| 15. Derivata di una funzione logaritmica |  |
| 16. Derivata dell'esponente | |
| 17. Derivata di funzione esponenziale |
Regole di differenziazione
| 1. Derivata della somma o della differenza |  |
| 2. Derivato di un prodotto |  |
| 2a. Derivata di un'espressione moltiplicata per un fattore costante | |
| 3. Derivata del quoziente |  |
| 4. Derivata di una funzione complessa |  |
Regola 1Se funziona
ad un certo punto sono differenziabili, quindi nello stesso punto le funzioni
e
quelli. la derivata della somma algebrica delle funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di queste funzioni.
Conseguenza. Se due funzioni differenziabili differiscono per una costante, allora lo sono le loro derivate, cioè.
Regola 2Se funziona
sono differenziabili ad un certo punto, quindi anche il loro prodotto è differenziabile nello stesso punto
e
quelli. la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni e della derivata dell'altra.
Conseguenza 1. Il fattore costante può essere estratto dal segno della derivata:
Conseguenza 2. La derivata del prodotto di più funzioni differenziabili è uguale alla somma dei prodotti della derivata di ciascuno dei fattori e di tutti gli altri.
Ad esempio, per tre moltiplicatori:
Regola 3Se funziona
differenziabile a un certo punto e , allora a questo punto anche il loro quoziente è differenziabile.u/v , e
quelli. la derivata di un quoziente di due funzioni è uguale a una frazione il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore, e il denominatore è il quadrato del numeratore precedente .
Dove cercare in altre pagine
Quando si trova la derivata del prodotto e il quoziente in problemi reali, è sempre necessario applicare più regole di differenziazione contemporaneamente, quindi nell'articolo ci sono più esempi su queste derivate."La derivata di un prodotto e un quoziente".
Commento. Non dovresti confondere una costante (cioè un numero) come un termine nella somma e come un fattore costante! Nel caso di un termine, la sua derivata è uguale a zero, e nel caso di un fattore costante, è tolta dal segno delle derivate. Questo è un errore tipico che si verifica nella fase iniziale dello studio delle derivate, ma poiché lo studente medio risolve diversi esempi a due componenti, lo studente medio non commette più questo errore.
E se, nel differenziare un prodotto o un quoziente, hai un termine tu"v, in cui tu- un numero, ad esempio 2 o 5, cioè una costante, quindi la derivata di questo numero sarà uguale a zero e, quindi, l'intero termine sarà uguale a zero (un caso del genere è analizzato nell'esempio 10) .
Un altro errore comune è la soluzione meccanica della derivata di una funzione complessa come derivata di una funzione semplice. Ecco perchè derivata di una funzione complessa dedicato ad un articolo a parte. Ma prima impareremo a trovare le derivate di funzioni semplici.
Lungo la strada, non puoi fare a meno di trasformazioni di espressioni. Per fare ciò, potrebbe essere necessario aprire nuovi manuali di Windows Azioni con poteri e radici e Azioni con frazioni .
Se stai cercando soluzioni per derivate con poteri e radici, cioè quando appare la funzione 
, quindi segui la lezione "Derivata della somma delle frazioni con poteri e radici".
Se hai un compito come 
, allora sei nella lezione "Derivati di semplici funzioni trigonometriche".
Esempi passo passo: come trovare la derivata
Esempio 3 Trova la derivata di una funzione
Soluzione. Determiniamo le parti dell'espressione della funzione: l'intera espressione rappresenta il prodotto e i suoi fattori sono somme, nella seconda delle quali uno dei termini contiene un fattore costante. Applichiamo la regola di differenziazione del prodotto: la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni e la derivata dell'altra:
Successivamente, applichiamo la regola di differenziazione della somma: la derivata della somma algebrica delle funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di queste funzioni. Nel nostro caso, in ogni somma, il secondo termine con il segno meno. In ogni somma vediamo sia una variabile indipendente, la cui derivata è uguale a uno, sia una costante (numero), la cui derivata è uguale a zero. Quindi, "x" diventa uno e meno 5 - zero. Nella seconda espressione, "x" è moltiplicato per 2, quindi moltiplichiamo due per la stessa unità della derivata di "x". Otteniamo i seguenti valori di derivate:
Sostituiamo le derivate trovate nella somma dei prodotti e otteniamo la derivata dell'intera funzione richiesta dalla condizione del problema:
E puoi verificare la soluzione del problema sulla derivata su .
Esempio 4 Trova la derivata di una funzione
Soluzione. Dobbiamo trovare la derivata del quoziente. Applichiamo la formula per differenziare un quoziente: la derivata di un quoziente di due funzioni è uguale a una frazione il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore, e il denominatore è il quadrato del precedente numeratore. Noi abbiamo:
Abbiamo già trovato la derivata dei fattori nel numeratore nell'esempio 2. Non dimentichiamo inoltre che il prodotto, che è il secondo fattore nel numeratore nell'esempio corrente, è preso con un segno meno:
Se stai cercando soluzioni a tali problemi in cui devi trovare la derivata di una funzione, dove c'è un mucchio continuo di radici e gradi, come, ad esempio, 
allora benvenuto in classe "La derivata della somma delle frazioni con potenze e radici" .
Se hai bisogno di saperne di più sulle derivate di seno, coseno, tangente e altre funzioni trigonometriche, cioè quando la funzione appare , allora hai una lezione "Derivati di semplici funzioni trigonometriche" .
Esempio 5 Trova la derivata di una funzione
Soluzione. In questa funzione vediamo un prodotto, uno dei cui fattori è la radice quadrata della variabile indipendente, con la derivata di cui abbiamo familiarizzato nella tabella delle derivate. In base alla regola di differenziazione del prodotto e al valore tabulare della derivata della radice quadrata, otteniamo:
Puoi controllare la soluzione del problema della derivata su calcolatrice derivati online .
Esempio 6 Trova la derivata di una funzione
Soluzione. In questa funzione vediamo il quoziente, il cui dividendo è la radice quadrata della variabile indipendente. Secondo la regola di differenziazione del quoziente, che abbiamo ripetuto e applicato nell'esempio 4, e il valore tabulare della derivata della radice quadrata, otteniamo:
Per eliminare la frazione nel numeratore, moltiplica il numeratore e il denominatore per .
Se seguiamo la definizione, allora la derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto di incremento della funzione Δ y all'incremento dell'argomento Δ X:
Tutto sembra essere chiaro. Ma prova a calcolare con questa formula, diciamo, la derivata della funzione f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X peccato X. Se fai tutto per definizione, dopo un paio di pagine di calcoli ti addormenterai semplicemente. Pertanto, ci sono modi più semplici ed efficaci.
Per cominciare, notiamo che le cosiddette funzioni elementari possono essere distinte dall'intera varietà di funzioni. Si tratta di espressioni relativamente semplici, le cui derivate sono state a lungo calcolate e inserite nella tabella. Tali funzioni sono abbastanza facili da ricordare, insieme alle loro derivate.
Derivate di funzioni elementari
Le funzioni elementari sono tutte elencate di seguito. I derivati di queste funzioni devono essere conosciuti a memoria. Inoltre, non è difficile memorizzarli: ecco perché sono elementari.
Quindi, le derivate delle funzioni elementari:
| Nome | Funzione | Derivato |
| Costante | f(X) = C, C ∈ R | 0 (sì, sì, zero!) |
| Laurea con esponente razionale | f(X) = X n | n · X n − 1 |
| Seno | f(X) = peccato X | cos X |
| Coseno | f(X) = cos X | − peccato X(meno seno) |
| Tangente | f(X) = tg X | 1/cos 2 X |
| Cotangente | f(X) = ctg X | − 1/peccato2 X |
| logaritmo naturale | f(X) = registro X | 1/X |
| Logaritmo arbitrario | f(X) = registro un X | 1/(X ln un) |
| Funzione esponenziale | f(X) = e X | e X(niente è cambiato) |
Se una funzione elementare viene moltiplicata per una costante arbitraria, allora si calcola facilmente anche la derivata della nuova funzione:
(C · f)’ = C · f ’.
In generale, le costanti possono essere estratte dal segno della derivata. Per esempio:
(2X 3)' = 2 ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .
Ovviamente le funzioni elementari possono essere sommate, moltiplicate, divise e molto altro. Così appariranno nuove funzioni, non più molto elementari, ma anche differenziabili secondo determinate regole. Queste regole sono discusse di seguito.
Derivata di somma e differenza
Passiamo alle funzioni f(X) e g(X), i cui derivati ci sono noti. Ad esempio, puoi prendere le funzioni elementari discusse sopra. Quindi puoi trovare la derivata della somma e della differenza di queste funzioni:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Quindi, la derivata della somma (differenza) di due funzioni è uguale alla somma (differenza) delle derivate. Potrebbero esserci più termini. Per esempio, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
A rigor di termini, non esiste il concetto di "sottrazione" in algebra. C'è un concetto di "elemento negativo". Pertanto, la differenza f − g può essere riscritto come somma f+ (-1) g, e quindi rimane solo una formula: la derivata della somma.
f(X) = X 2 + sinx; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.
Funzione f(X) è la somma di due funzioni elementari, quindi:
f ’(X) = (X 2+ peccato X)’ = (X 2)' + (peccato X)’ = 2X+ cosx;
Parliamo in modo simile per la funzione g(X). Solo ci sono già tre termini (dal punto di vista dell'algebra):
g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).
Risposta:
f ’(X) = 2X+ cosx;
g ’(X) = 4X · ( X
2 + 1).
Derivato di un prodotto
La matematica è una scienza logica, quindi molte persone credono che se la derivata della somma è uguale alla somma delle derivate, allora la derivata del prodotto colpire"\u003e uguale al prodotto dei derivati. Ma fichi per te! Il derivato del prodotto viene calcolato utilizzando una formula completamente diversa. Vale a dire:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
La formula è semplice, ma spesso dimenticata. E non solo gli scolari, ma anche gli studenti. Il risultato sono problemi risolti in modo errato.
Un compito. Trova le derivate di funzioni: f(X) = X 3 cosx; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .
Funzione f(X) è un prodotto di due funzioni elementari, quindi tutto è semplice:
f ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)' cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (-peccato X) = X 2 (3cos X − X peccato X)
Funzione g(X) il primo moltiplicatore è un po' più complicato, ma lo schema generale non cambia da questo. Ovviamente, il primo moltiplicatore della funzione g(X) è un polinomio e la sua derivata è la derivata della somma. Abbiamo:
g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .
Risposta:
f ’(X) = X 2 (3cos X − X peccato X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e
X
.
Si noti che nell'ultimo passaggio, la derivata viene fattorizzata. Formalmente, questo non è necessario, ma la maggior parte delle derivate non vengono calcolate da sole, ma per esplorare la funzione. Ciò significa che ulteriormente la derivata sarà uguale a zero, i suoi segni verranno scoperti e così via. In tal caso, è meglio avere un'espressione scomposta in fattori.
Se ci sono due funzioni f(X) e g(X), e g(X) ≠ 0 sull'insieme di nostro interesse, possiamo definire una nuova funzione h(X) = f(X)/g(X). Per tale funzione, puoi anche trovare la derivata:
Non debole, giusto? Da dove viene il meno? Perché g 2? Ma così! Questa è una delle formule più complesse: non puoi capirla senza una bottiglia. Pertanto, è meglio studiarlo con esempi specifici.
Un compito. Trova le derivate di funzioni:
Ci sono funzioni elementari nel numeratore e nel denominatore di ogni frazione, quindi tutto ciò di cui abbiamo bisogno è la formula per la derivata del quoziente:
Per tradizione, fattoriamo il numeratore in fattori: questo semplificherà notevolmente la risposta:
Una funzione complessa non è necessariamente una formula lunga mezzo chilometro. Ad esempio, è sufficiente prendere la funzione f(X) = peccato X e sostituire la variabile X, diciamo, su X 2+ln X. Si scopre f(X) = peccato ( X 2+ln X) è una funzione complessa. Ha anche un derivato, ma non funzionerà per trovarlo secondo le regole discusse sopra.
Come essere? In questi casi, la sostituzione di una variabile e la formula per la derivata di una funzione complessa aiutano:
f ’(X) = f ’(t) · t', Se Xè sostituito da t(X).
Di norma, la situazione con la comprensione di questa formula è ancora più triste che con la derivata del quoziente. Pertanto, è anche meglio spiegarlo con esempi specifici, con descrizione dettagliata ogni passo.
Un compito. Trova le derivate di funzioni: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = peccato ( X 2+ln X)
Si noti che se nella funzione f(X) invece dell'espressione 2 X+ 3 sarà facile X, quindi otteniamo una funzione elementare f(X) = e X. Pertanto, facciamo una sostituzione: sia 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Cerchiamo la derivata di una funzione complessa con la formula:
f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
E ora - attenzione! Esecuzione di una sostituzione inversa: t = 2X+ 3. Otteniamo:
f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3
Ora diamo un'occhiata alla funzione g(X). Ovviamente è da sostituire. X 2+ln X = t. Abbiamo:
g ’(X) = g ’(t) · t' = (peccato t)’ · t' = cos t · t ’
Sostituzione inversa: t = X 2+ln X. Quindi:
g ’(X) = cos( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = cos ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).
È tutto! Come si evince dall'ultima espressione, l'intero problema è stato ridotto al calcolo della derivata della somma.
Risposta:
f ’(X) = 2 e
2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) cos ( X 2+ln X).
Molto spesso nelle mie lezioni, al posto del termine “derivato”, uso la parola “ictus”. Ad esempio, il tratto della somma è uguale alla somma dei tratti. È più chiaro? Va bene.
Pertanto, il calcolo della derivata si riduce a sbarazzarsi di questi stessi tratti secondo le regole discusse sopra. Come ultimo esempio, torniamo alla potenza derivata con esponente razionale:
(X n)’ = n · X n − 1
Pochi lo sanno nel ruolo n potrebbe benissimo essere un numero frazionario. Ad esempio, la radice è X 0,5. Ma cosa succede se c'è qualcosa di complicato sotto la radice? Ancora una volta, risulterà una funzione complessa: a loro piace fornire tali costruzioni in test ed esami.
Un compito. Trova la derivata di una funzione:
Per prima cosa, riscriviamo la radice come una potenza con un esponente razionale:
f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .
Ora facciamo una sostituzione: sia X 2 + 8X − 7 = t. Troviamo la derivata con la formula:
f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t-0,5 t ’.
Facciamo una sostituzione inversa: t = X 2 + 8X− 7. Abbiamo:
f ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .
Infine, torniamo alle radici:
