Display (funzioni)

Le funzioni svolgono un ruolo centrale in matematica, dove vengono utilizzate per descrivere qualsiasi processo mediante il quale gli elementi di un insieme vengono in qualche modo trasformati in elementi di un altro. Tali trasformazioni di elementi sono un'idea fondamentale che è di fondamentale importanza per tutti i processi computazionali.

Definizione. Viene chiamata la relazione f su AB Mappatura (funzione) da A a B se per ogni xA c'è una e una sola yB. impostare l'equivalenza della relazione binaria

f: AB o y=f(x)

Viene chiamato l'insieme A dominio di definizione. Serie B - gamma.

Se y=f(x), allora viene chiamato x discussione, e y - valore della funzione.

Sia f: AB, allora

insieme di definizione caratteristiche:

insieme di valori caratteristiche:

Il set di definizione della funzione è un sottoinsieme del dominio di definizione, ad es. Dom f A, e l'insieme dei valori della funzione è un sottoinsieme dell'intervallo della funzione, ad es. Im f B. Se, allora la funzione è chiamata funzione totale, e se, funzione parziale. Pertanto, un diagramma di Venn funge da comoda illustrazione di una funzione definita sull'insieme A con valori nell'insieme B.

Modi per impostare una funzione:

• 1) Verbale.
• 2) Analitica.
• 3) Con l'aiuto di un grafico, un disegno.
• 4) Con l'ausilio di tabelle.

Definizione. Se MA, allora viene chiamato l'insieme f(M)=y f(x)=y per qualche x da M modo imposta M.

Se KB, viene chiamato l'insieme f -1 (K)=x f(x)K prototipo imposta K.

Definizione La funzione è chiamata funzione di n argomenti o funzione di n posizioni. Tale funzione associa una tupla a un elemento bB, .

Proprietà delle mappature (funzioni).

1) Viene chiamata la mappatura f: AB iniettiva, se mappa elementi diversi da A a elementi diversi da B: .

Questa proprietà può essere mostrata usando i diagrammi di Venn.

2) Viene chiamata la mappatura f: AB suriettivo o mappatura all'intero insieme B, se almeno un elemento di A è mappato a ciascun elemento dell'insieme B: .

Questa proprietà può anche essere mostrata usando i diagrammi di Venn.

3) Viene chiamata una mappatura f: AB che è sia iniettiva che suriettiva biettivo o una mappatura uno-a-uno di un insieme A su un insieme B.

Esempio. Sia data una mappatura f: RR, che sia definita in modo tale che. Scopri quali proprietà ha questa mappatura.

Soluzione. La funzione f non è iniettiva, perché f(2)=f(2), ma 2 2.

Anche la funzione f non è suriettiva, poiché non esiste un numero reale x per cui f (x) = 1.

Definizione. Sia f una mappatura biiettiva da un insieme A a un insieme B. Se associamo ogni elemento di B con un elemento associato di A, allora tale corrispondenza è una mappatura da B ad A. Questa mappatura è denotata e chiamata mappatura inversa alla mappatura f.

La mappatura inversa ha alcune proprietà, che formuliamo nel seguente teorema.

Teorema 3. Se f: AB è una biiezione, allora

1) per qualsiasi y da B;

2) per ogni x da A.

Prova. 1) Sia yB e. Allora f(x)=y. Ma da allora

2) Si dimostra similmente che per ogni x di A.

Definizione. Composizione (sovrapposizione, prodotto) mappature f: AB e g: BC è chiamata mappatura h: , che è scritta h=g f.

Questo modo di scrivere la sovrapposizione delle funzioni è spiegato dal fatto che la designazione della funzione è solitamente scritta a sinistra dell'elenco degli argomenti:

Il concetto di mappatura degli insiemi gioca un ruolo importante in tutte le aree della matematica.

Definizione 1. Lascia X e Y sono alcuni set e. Se ogni elemento
abbinato uno e un solo elemento
, poi dicono che dato Schermo da X in Y con area di attività A .

Le mappature sono generalmente indicate da piccole lettere latine
.

Esempio 1. Lascia Xè l'insieme dei numeri naturali. Ogni numero
metti in corrispondenza il resto della sua divisione per 2:
. Ottieni una mappatura da X nell'insieme dei numeri reali R, in cui ciascuno
corrisponde a 0 o 1.

Molti X chiamato anche molte partenze , e l'insieme Y –tanti arrivi .

Definizione 2. Elemento
, corrispondente all'elemento
in esposizione f, è chiamato modo elemento X e indicato
. Tuttavia, l'elemento stesso X chiamato prototipo elemento a. Se una MA– area attività quando visualizzata f, quindi viene chiamato il set impostare A quando visualizzato f o gamma Schermo f.

Definizione 3. Se l'area di attività è la stessa dell'area di partenza, ad es.
, poi f si chiama mappatura X in Y designare
. Se una
, poi f si chiama mappatura XsulY.

Definizione 4. Visualizza
chiamato reversibile se elementi diversi

, cioè. per ogni
noi abbiamo
.

Ad esempio, mostra
con area di lavoro R non è reversibile perché
e
, cioè.
, Sebbene
.

Definizione 5. Mappatura reversibile X sul Y chiamato uno a uno Schermo.

Illustreremo i concetti introdotti con delle figure.

f non è un display

Permettere f è una mappatura invertibile da X in Y con area di lavoro MA. Poi ogni elemento
corrisponde a uno e un solo elemento
, e diversi elementi
abbinare diversi elementi a. Pertanto, la mappatura
imposta
in X(sul MA). Definito così.

Definizione 6. Se visualizzato f da X in Y reversibile, quindi la mappatura
da Y in X, definito dal rapporto, viene chiamato invertire a f .

Lascia ora f- Schermo X in Y, un g- Schermo Y in Z. Definiamo la mappatura X in Z nel seguente modo:. In questo modo,
, questo è
. Si chiama tale visualizzazione composizione mappature f e g e indicato
. Quindi per tutti

L'operazione di composizione della mappatura ha le seguenti proprietà.

Associatività:

Infatti, se
, poi

.

Infatti, lasciate
e
. A causa della reversibilità f
. A causa della reversibilità g e quindi il display
reversibile. Se una
, poi
, che è ciò che doveva essere dimostrato.

La funzione reale è un caso speciale di mappatura quando gli insiemi X e Y sono insiemi numerici.

Definizione 7. Lascia X - numero impostato. Schermo
, abbinando ogni numero
numero
, è chiamato valido funzione definita sul set X. in cui X chiamato discussione funzioni f,X–la sua portata ,
–significato funzioni. Molti
chiamato insieme di valori funzioni.

Definizione 8. Se funzione f corrisponde a ciascun numero
lo stesso valore un, quindi la funzione f chiamato permanente .

Dalla definizione di una funzione reale deriva quella di definire una funzione f è necessario impostare il suo dominio di definizione - un insieme X e la legge con cui ogni numero
il numero è abbinato
.

A seconda di come viene specificata la legge di dipendenza funzionale, esistono diversi modi per specificare una funzione.

modo analitico. La legge di dipendenza funzionale viene specificata utilizzando una formula che indica quali azioni devono essere eseguite sull'argomento X per ottenere il valore della funzione.

Esempi:
eccetera.

Nel caso di un modo analitico di definire una funzione, l'insieme X spesso non indicato. In questo caso, il dominio della funzione è naturale l'ambito di una funzione è l'insieme dei valori degli argomenti per i quali ha senso l'espressione analitica data.

Ad esempio, per la funzione
dominio
, per la funzione
.

Se una funzione riflette la relazione tra quantità specifiche (fisiche, geometriche e altre), l'area della sua definizione potrebbe non coincidere con l'area in cui la formula ha senso. Ad esempio, la funzione
, considerato astrattamente, è definito su R, ma se esprime la legge della caduta libera di un corpo, allora
.

Si noti che una funzione può essere definita non da una, ma da più formule.

Per esempio,
Per questa caratteristica
.

modo tabulare. Con questo metodo di impostazione, la legge di dipendenza funzionale è stabilita da una tabella in cui i valori corrispondenti della funzione vengono confrontati con diversi valori dell'argomento.

Il metodo tabulare viene utilizzato negli studi sperimentali, quando, ad esempio, le letture dello strumento vengono eseguite a determinati intervalli.

Vengono compilate tabelle di valori di molte funzioni, che vengono spesso utilizzate nei calcoli tecnici, che consentono di trovare i valori delle funzioni senza calcoli.

Lo svantaggio del metodo tabulare è che nella tabella puoi trovare i valori della funzione solo per quei valori dell'argomento che sono in essa. Altri valori possono essere trovati per interpolazione approssimativamente.

Modo grafico.

Definizione 9.orario funzioni
definito sul set X, è l'insieme di tutti i punti del piano
, le cui coordinate X e a legati dal rapporto
. Uguaglianza
chiamato equazione questo grafico.

Una funzione è considerata data graficamente se il suo grafico è disegnato. Ad esempio, per misurare la pressione atmosferica a diverse altitudini, viene utilizzato uno speciale apparato di autoregistrazione: un barografo, che registra la variazione di pressione in funzione dell'altitudine come una curva su un nastro in movimento.

Non tutte le curve possono fungere da grafico di alcune funzioni. È necessario che non contenga due punti con le stesse ascisse.

La curva definisce La curva non definisce

funzione nessuna funzione

Il vantaggio del metodo grafico per impostare una funzione rispetto ad altre è nella chiarezza, lo svantaggio è che i valori della funzione possono essere trovati solo approssimativamente. Non tutte le funzioni possono essere rappresentate graficamente. Ad esempio, è impossibile rappresentare graficamente la funzione di Dirichlet (Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859) - matematico tedesco)

poiché tra due valori qualsiasi X ci sono infiniti punti razionali e irrazionali.

modo verbale. La funzione è data in parole. Ad esempio, la parte intera di un numero Xè il più grande intero non eccedente X.

Definizione 10. Funzioni
e
, dato su un certo intervallo X, sono chiamati identicamente uguale in questo intervallo:
, se i loro valori in ogni punto
incontro.

Esempio. Le funzioni sono identiche?

1)
e
;

2)
e
per
;

3)
e
?

Soluzione. 1), cioè, cioè le funzioni sono identiche.

2) per proprietà
.

3) , cioè
, le funzioni non sono identiche.

Un ruolo importante in matematica è la creazione di collegamenti tra due insiemi e associati alla considerazione di coppie di oggetti formati da elementi del primo insieme e gli elementi corrispondenti del secondo insieme. L'esposizione dei set è di particolare importanza.

Siano insiemi arbitrari. visualizzando imposta X da impostare Y qualsiasi regola viene chiamata f, secondo cui ogni elemento dell'insieme è associato ad un elemento ben definito (unico) dell'insieme .

Il fatto che f c'è una mappatura , brevemente scritta come: .

Viene utilizzata anche la notazione. Più spesso, i display sono indicati da lettere f, q, F.

Quindi, per impostare la visualizzazione del set X in un insieme, ogni elemento deve essere associato a uno e un solo elemento.

Se allo stesso tempo l'elemento X da X elemento abbinato da Y, quindi chiamato elementi , un X – preimmagine dell'elemento durante la visualizzazione, che è scritto come .

Ne consegue dalla definizione di mappatura che ogni elemento da X l'immagine è unica, tuttavia, per un elemento possono esserci molti prototipi, o non esistere affatto. L'insieme di tutte le preimmagini di un elemento è chiamato suo prototipo completo ed è indicato da . In questo modo, .

L'immagine di un sottoinsieme da MA e preimmagine di un sottoinsieme da A quando visualizzato:

Per esempio, lascia e sia una mappatura MA in MA, che esegue il mapping a ciascun elemento un da MA resto della divisione un al numero 4. Allora abbiamo:

A seconda delle proprietà, delle immagini e delle preimmagini, le mappature sono suriettive, iniettive e biiettive.

Viene chiamato il display suriettivo , se quelli. ogni elemento da mostra almeno un elemento da X, o per qualsiasi .

Viene chiamato il display iniettiva se diversi elementi dell'insieme X sono mappati a diversi elementi del set, ad es. , o è vuoto o è un set di un elemento per qualsiasi . Vengono anche chiamate mappature iniettive investimenti .

Viene chiamato il display biettivo , o uno a uno mappare su se è suriettiva e iniettiva, cioè se esiste un set di un elemento per qualsiasi . In questo caso, le mappature possono essere definite impostando qualsiasi : . È chiamato inversione a ed è indicato come .

Per chiarezza, descriviamo i tipi di mappature.

Suriettiva Iniettiva Biiettiva

Figura 12

Imposta visualizzazione MA di per sé è chiamato impostare la trasformazione MA. Trasformazione biiettiva di un insieme MA chiamato impostare la sostituzione MA.

Un esempio di sostituzione di un insieme di interi è la mappatura definita dall'uguaglianza.

Si noti inoltre che la mappatura dell'insieme MA in A chiamato anche funzione definito sul set MA con valori nel set A. L'elemento è chiamato significato funzioni punto un. Il set stesso MA chiamato regione definizioni funzioni e l'insieme è l'intervallo della funzione.

Una funzione viene spesso trattata come una variabile che prende valori da A e quindi dipendente dalla variabile X, che prende valori da MA, che ogni valore un variabile X corrisponde ad un valore ben definito della quantità. Allo stesso tempo, scrivono e invece di "funzione" dicono" funzione».

Considera varie mappature e definisci i loro tipi.

1) Lascia Xè l'insieme dei cerchi nel piano. Associando ogni cerchio al suo centro, otteniamo la mappatura X sul . Questa mappatura non è iniettiva, poiché lo stesso punto può essere il centro di un numero infinito di cerchi. Ma è suriettivo, poiché ogni punto è il centro di un cerchio. Pertanto, la corrispondenza inversa è definita ovunque, soggettivamente, ma non funzionalmente.

2) La corrispondenza è una funzione numerica data sull'intero insieme dei numeri reali. L'insieme di valori di questa funzione è un insieme di numeri non negativi. Poiché , la funzione non è suriettiva. Non è nemmeno iniettivo, poiché . Pertanto, non ha funzione inversa.

3) La mappatura è suriettiva e iniettiva: per ogni c'è uno e un solo numero tale che . Questo numero è .

4) La mappatura (è l'insieme dei numeri non negativi) di un insieme in sé è ovunque definita, iniettiva, ma non suriettiva. Infatti, per la frazione, abbiamo .

Pertanto, l'insieme dei valori di questa funzione è l'intervallo. La funzione inversa è definita su questo intervallo e assume valori non negativi.

5) La mappatura definita dalla regola è una mappatura iniettiva. Non è biunivoca perché . Tuttavia, se definiamo la mappatura allo stesso modo, otteniamo una mappatura biiettiva. . ; la suriettività implica solo la suriettività e l'iniettività implica solo l'iniettività.

3. Se e sono impostate trasformazioni MA, quindi anche la loro composizione è una trasformazione dell'insieme MA.

Siano $X$ e $Y$ due insiemi arbitrari.

Definizione. Viene chiamata una corrispondenza in cui ciascuno degli elementi dell'insieme $X$ è associato ad un unico elemento dell'insieme $Y$ Mappatura.

La mappatura dall'insieme $X$ all'insieme $Y$ è indicata da $X \stackrel(f)(\longrightarrow) Y$.

Viene chiamato l'insieme $X$ dominio di definizione mappatura ed è indicato da $X=D(f)$.

Viene chiamato $E(f)$ insieme di valori mappe e $E(f) = \( y \in Y \; | \; \esiste x \in X, y = f(x) \)$.

Viene chiamato l'insieme $\Gamma(f)$ orario Schermo. $\Gamma(f)=\((x,y) \in X \times Y, y=f(x), \forall x \in X, y \in Y \)$.

Sia $f$ una mappatura dall'insieme $X$ all'insieme $Y$. Se $x$ è mappato su $y$ in questa mappatura, allora $y=f(x)$. Qui viene chiamato $y$ modo$x$, o significato mappatura $f$ nel punto $x$. E $x$, rispettivamente, prototipo elemento $y$.

In base alla definizione della mappatura, è chiaro che non è richiesto che tutti gli elementi dell'insieme $Y$ siano immagini di alcuni $x$ e, inoltre, unici.

Esempio.

Dati due insiemi $X=\( c, e, n, m, i, b, p, b \)$ e $Y=\( 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 \)$

La mappatura dall'insieme $X$ all'insieme $Y$ ha la forma seguente:

$\begin(matrice) \( c, & e, & n, & t, & i, & b, & p, & b \) \\ \;\; \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow \;\; \\ \( 1, & 2, & 3, & 4, & 5, & 9, & 10 e 11 \) \end(matrice)$

Definizione. Viene chiamato l'insieme di tutti gli elementi dell'insieme $X$ la cui immagine è $y$ da $Y$ prototipo completo$y$ su $X$. Indicato: $f^(-1)(y)$.

Definizione. Sia $A \subset X$. Viene chiamato l'insieme di tutti gli elementi $f(a)$, $a \in A$ in toto imposta $A$ sotto la mappatura $f$.

Definizione. Sia $B \sottoinsieme Y$. L'insieme di tutti gli elementi di $X$ le cui immagini appartengono all'insieme $B$ è chiamato immagine inversa completa dell'insieme $B$.

Esempio.

$X=Y=R$, $y=x^2$.

$A=[-1; 1]\sottoinsiemeX$

Immagine completa $f(A)=$

$B= \sottoinsieme Y$

Preimmagine completa $f^(-1)(B)=[-1; 1]$

Definizione. Viene chiamata la mappatura $f$ iniettiva mappatura se $\forall\; y \in Y$ $y=f(x)$ è l'immagine dell'unico $x$.

Definizione. Viene chiamata la mappatura $f$ suriettivo mappatura se tutti gli elementi nell'insieme $Y$ sono immagini di alcuni $x$. (Questa è una mappatura dell'insieme $X$ sull'insieme $Y$).

Definizione. Viene chiamata la mappatura $f$ biettivo, se è iniettiva e suriettiva, altrimenti tale mappatura è chiamata corrispondenza uno-a-uno.

Definizione. Vengono chiamati gli insiemi $X$ e $Y$ equivalente(equivalenti) se sono in corrispondenza uno a uno. Denotato: $X Y$ (l'insieme $X$ è equivalente all'insieme $Y$ o l'insieme $X$ è equivalente all'insieme $Y$).

1. Grafico di conformità. Schermo. Iniettivo, non suriettivo.

Analizziamo ora alcune questioni legate alle relazioni tra insiemi.

Lo diremo tra i set atteggiamento(e sono in relazione) se alcuni (forse tutti) elementi di from corrispondono ad alcuni elementi di. Se un insieme è in relazione a un insieme, allora scriveremo:

Se, in questo caso, un elemento è associato a un elemento, lo indicheremo

Definizione 1.1.2. Viene chiamata la relazione tra gli insiemi Mappatura, se a ciascuno di è associato uno ed un solo elemento di (vedi Fig. 1.1.2. e 1.1.3). Con la specializzazione della natura dell'insieme, sorgono tipi speciali di mappature, che hanno i nomi speciali di "funzione", " funzione vettoriale", "operatore", "misura", "funzionale", ecc. Li incontreremo più avanti.

Per denotare una funzione (mappatura) da w, useremo la notazione

Fig.1.1.2. Display Fig.1.1.3 Relazione che non c'è

Mappatura

Definizione 1.1.3. Se è un elemento da, allora l'elementoz corrispondente è chiamato immagine (quando visualizzato), e l'insieme di tutti quelli per cui è chiamato pre-immagine ed è indicato (vedi Fig. 1.1.4).

Fig.1.1.4. prototipob

Definizione 1.1.4. Viene chiamato il display mappatura uno a uno, se ogni elemento di from ha un'immagine univoca sotto la mappatura e ogni elemento ha una pre-immagine univoca sotto questa mappatura.

Fig.1.1.5. Mappatura uno a uno

In quanto segue, considereremo solo le mappature, poiché ci sono trucchi che riducono le mappature multivalore a quelle a valore singolo, che chiamiamo semplicemente mappature.

Il concetto di mappatura gioca un ruolo cruciale in matematica; in particolare, nell'analisi matematica, il posto centrale è occupato dal concetto funzioni, che è una mappatura da un numero impostato a un altro.

1.7. Imposta la potenza

Quando si studiano le relazioni tra insiemi, il "volume" degli insiemi, il numero di elementi in essi contenuti, è di grande interesse. Ma parlare del numero di elementi è comprensibile e giustificato se questo numero è finito. Verranno chiamati insiemi costituiti da un numero finito di elementi finale . Tuttavia, molti degli insiemi considerati in matematica non sono finiti, ad esempio l'insieme dei numeri reali, l'insieme dei punti sul piano, l'insieme delle funzioni continue definite su un certo intervallo, ecc. Per caratterizzare quantitativamente insiemi infiniti (e finiti) nella teoria degli insiemi, viene utilizzato il concetto cardinalità dell'insieme .

Diremo che i set e hanno stessa potenza , se esiste un mapping uno a uno di un insieme a un insieme (notare che in questo caso esiste anche un mapping uno a uno di un insieme B a un insieme A).

Se gli insiemi u hanno la stessa cardinalità, allora diciamo che loro sono equivalenti , questo è indicato da: .

Siano quindi insiemi arbitrari

quelli. ogni insieme è equivalente a se stesso; se un insieme è equivalente a un insieme, allora è equivalente; se, infine, un insieme è equivalente a un insieme equivalente a un insieme, allora è equivalente.

Viene chiamato un insieme equivalente ad alcuni dei suoi sottoinsiemi infinito .

Se gli insiemi finiti hanno un numero diverso di elementi, allora è chiaro che uno di essi contiene meno elementi dell'altro. Ma come confrontare insiemi infiniti in questo senso? Diciamo che la cardinalità di un insieme è minore della cardinalità di un insieme se esiste un sottoinsieme dell'insieme equivalente all'insieme, ma gli insiemi stessi non sono equivalenti.

Cardinalità di un insieme finito è uguale al numero dei suoi elementi. Per insiemi infiniti, il concetto di "potere" è una generalizzazione del concetto di "numero di elementi".

Segnaliamo alcune classi di insiemi utili per quanto segue.

L'insieme è chiamato numerabile. , se ha la stessa cardinalità di un sottoinsieme dell'insieme (l'insieme dei numeri naturali). Un insieme numerabile può essere finito o infinito.

Un insieme infinito è numerabile se e solo se è equivalente all'insieme dei numeri naturali.

Si noti che qualsiasi insieme la cui cardinalità è inferiore alla cardinalità di un insieme numerabile infinito è finito.

L'insieme dei numeri reali nell'intervallo da zero a uno ha continuità di potenza , ed è spesso chiamato continuum . La cardinalità di questo insieme è maggiore della cardinalità di un insieme numerabile infinito. Sorge la domanda: esiste un insieme la cui cardinalità è maggiore della cardinalità di un insieme numerabile infinito, ma minore della cardinalità del continuo. Questo problema fu formulato nel 1900 da uno dei più grandi matematici del mondo, David Hilbert. Si è scoperto che questo problema ha una risposta in qualche modo inaspettata: possiamo presumere che un tale insieme esista o possiamo presumere che non esista. Le teorie matematiche risultanti saranno coerenti. La prova di questo fatto fu presentata dallo scienziato americano Cohen nel 1965 al Congresso mondiale dei matematici a Mosca. Si noti che la situazione con questo problema assomiglia alla situazione con il quinto postulato di Euclide: attraverso un punto che giace al di fuori di una data linea, si può tracciare solo una linea parallela a quella data. Come ha mostrato Lobachevsky, il rifiuto di questo postulato non porta a contraddizioni. Possiamo costruire una geometria per la quale vale questo postulato e geometrie per le quali non è vero.

In conclusione, diamo diversi esempi che dimostrano la tecnica per dimostrare l'equivalenza degli insiemi.

Esempio 1.11. L'insieme degli interi è numerabile.

È chiaro che l'insieme in esame è infinito (l'insieme dei numeri naturali è il suo sottoinsieme).

Per dimostrare la numerabilità dell'insieme degli interi, è necessario costruire una mappatura uno-a-uno tra l'insieme dei numeri naturali e l'insieme in esame. La mappatura richiesta è data dalla regola: sistemiamo gli interi come segue:

e rinumerarli con numeri naturali, assegnando loro dei numeri (sono indicati accanto agli interi considerati). Ovviamente, ogni intero riceverà il proprio numero, con numeri diversi che ottengono numeri diversi. Vale anche il contrario: per ogni numero naturale (per ogni numero) c'è anche un solo intero sotto questo numero. Pertanto, è stata costruita la mappatura uno-a-uno richiesta.

Esempio 1.12. L'insieme dei numeri razionali è numerabile.

È noto che qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come una frazione irriducibile p/q, utilizzando questa rappresentazione si dispongono i numeri razionali secondo lo schema:

. . . . . .

Rinumeriamo questi numeri più o meno allo stesso modo dell'esempio precedente (i numeri sono indicati in alto tra parentesi accanto ai numeri). È facile vedere che la regola di numerazione formulata per i numeri razionali fornisce la necessaria mappatura uno-a-uno dell'insieme dei numeri naturali nell'insieme dei numeri razionali.

Esempio 1.13. L'unione di un insieme numerabile di insiemi numerabili è un insieme numerabile.

La prova di questo fatto è simile alla prova dell'asserzione dell'esempio precedente.

In conclusione, presentiamo un'affermazione importante per quanto segue. Ma per questo abbiamo bisogno di un'altra operazione sui set.

Prodotto diretto di set e( prodotto cartesiano ) è l'insieme di tutte le coppie ordinate, dove e. Questo set è etichettato. In questo modo:

Denota , sarà indicato il prodotto di fattori.

Teorema 1.1. per qualsiasi insieme infinito Inoltre.

In particolare, cioè l'insieme dei punti sulla retta ha la stessa cardinalità dell'insieme dei punti sul piano. Inoltre, ci sono tanti punti nello spazio quanti sono su una retta.

Questo conclude la nostra conoscenza dei concetti di base della logica matematica e della teoria degli insiemi, i fondamenti della matematica moderna. Notiamo che, sfortunatamente, molti aspetti di queste teorie sono rimasti al di fuori dello scopo di questo capitolo; è possibile conoscerli, ad esempio, tramite e .