Дэлгэц (функц)

Функцууд нь математикт гол үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд тэдгээр нь нэг багцын элементүүдийг өөр олонлогийн элемент болгон хувиргах аливаа үйл явцыг тодорхойлоход хэрэглэгддэг. Ийм элементийн хувиргалт нь бүх тооцооллын процесст нэн чухал ач холбогдолтой үндсэн санаа юм.

Тодорхойлолт. AB дээрх f харьцааг нэрлэнэ зураглал (функц)Хэрэв xA тус бүрд нэг yB байвал А-аас В хүртэл. хоёртын харилцааны эквивалентыг тогтоох

f: AB эсвэл y=f(x)

А олонлогийг нэрлэдэг тодорхойлолтын домэйн. B багц - хүрээ.

Хэрэв y=f(x) бол x-г дуудна маргаан, мөн у - функцийн утга.

Дараа нь f: AB гэж үзье

тодорхойлолтын багцонцлог:

утгуудын багцонцлог:

Функцийн тодорхойлолтын багц нь тодорхойлолтын домэйны дэд олонлог юм, i.e. Dom f A ба функцийн утгуудын багц нь функцийн хүрээний дэд олонлог юм, өөрөөр хэлбэл. Im f B. Хэрэв, тэгвэл функцийг нийт, хэрэв бол хэсэгчилсэн функц гэнэ. Тиймээс Венн диаграм нь В багц дахь утгууд бүхий А олонлог дээр тодорхойлсон функцийн тохиромжтой дүрслэл болж өгдөг.

Функцийг тохируулах арга замууд:

• 1) аман.
• 2) Аналитик.
• 3) График, зургийн тусламжтайгаар.
• 4) Хүснэгтийн тусламжтайгаар.

Тодорхойлолт.Хэрэв MA бол М-ийн зарим х-ийн f(M)=y f(x)=y олонлогийг нэрлэнэ арга замбагц М.

Хэрэв KB бол f -1 (K)=x f(x)K олонлогийг дуудна прототипбагц К.

ТодорхойлолтУг функцийг n аргументын функц буюу n-байрлалын функц гэж нэрлэдэг. Ийм функц нь tuple-ийг bB, .

Зураглалын шинж чанар (функц).

1) f: AB зураглалыг дуудна тарилга, хэрэв энэ нь А-аас өөр өөр элементүүдийг B-ээс өөр элемент рүү буулгавал: .

Энэ шинж чанарыг Венн диаграм ашиглан харуулж болно.

2) f: AB зураглалыг дуудна сурьективэсвэл Б олонлогийн элемент бүрт А-аас ядаж нэг элементийг буулгасан бол бүхэл бүтэн В-д зураглал хийх: .

Мөн энэ шинж чанарыг Венн диаграм ашиглан харуулж болно.

3) Тарилгын болон дагалдах шинж чанартай f: AB зураглалыг нэрлэнэ хоёрдмол утгатайэсвэл А олонлогийг В олонлогт нэг нэгээр нь буулгах.

Жишээ.гэж тодорхойлогдсон f: RR зураглалыг өгье. Энэ зураглал ямар шинж чанартай болохыг олж мэдээрэй.

Шийдэл. f функц нь тарилга биш, учир нь f(2)=f(2), гэхдээ 2 2.

f (x) = 1 гэсэн бодит х тоо байхгүй тул f функц нь бас сурьектив биш юм.

Тодорхойлолт. f нь А олонлогоос В олонлогт хоёр талт зураглал байг. Хэрэв бид В-ийн элемент бүрийг А-ийн холбогдох элементтэй холбовол ийм харгалзах нь В-ээс А хүртэлх зураглал болно. Энэ зураглалыг тэмдэглэж, гэж нэрлэдэг. зураглалыг урвуу зураглал хийх f.

Урвуу зураглал нь зарим шинж чанартай байдаг бөгөөд бид үүнийг дараах теоремоор томъёолдог.

Теорем 3.Хэрэв f: AB нь хоёр утгатай бол

1) В-ийн аль нэг y-ийн хувьд;

2) А-аас дурын x-ийн хувьд.

Баталгаа. 1) yB ба гэж үзье. Дараа нь f(x)=y. Гэхдээ түүнээс хойш

2) А-аас дурын x-ийн хувьд мөн адил батлагдсан.

Тодорхойлолт. Найрлага (суперпозиция, бүтээгдэхүүн) f: AB ба g: BC зураглалыг h: -ийн зураглал гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг h=g f гэж бичнэ.

Функцийн дээд байрлалыг бичих ийм арга нь функцийн тэмдэглэгээг аргументуудын жагсаалтын зүүн талд ихэвчлэн бичдэгтэй холбон тайлбарладаг.

Олонлогийн зураглал гэдэг ойлголт нь математикийн бүх салбарт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.

Тодорхойлолт 1. Болъё Xболон Юзарим багцууд ба. Хэрэв элемент бүр
нэг бөгөөд зөвхөн нэг элемент таарч байна
, дараа нь тэд өгсөн гэж хэлдэг харуулах X-ээс in Ю ажлын талбартай А .

Зураглалыг ихэвчлэн жижиг латин үсгээр тэмдэглэдэг
.

Жишээ 1. Болъё Xнатурал тоонуудын олонлог юм. Тоо бүр
2-т хуваах үлдэгдлийг захидал харилцаанд оруулна.
. -аас газрын зураг авах Xбодит тоонуудын багц руу оруулна Р, үүнд тус бүр
0 эсвэл 1-тэй тохирч байна.

Маш их Xбас дууддаг олон явах , болон багц Ю –олон ирэлт .

Тодорхойлолт 2. Элемент
, элементтэй харгалзах
дэлгэцэнд е, гэж нэрлэдэг арга зам элемент Xболон тэмдэглэсэн
. Гэсэн хэдий ч элемент өөрөө Xдуудсан прототип элемент цагт. Хэрвээ ГЭХДЭЭ– харуулах үед ажлын талбар е, дараа нь олонлогийг дуудна багц А харуулах үед е эсвэл хүрээ харуулах е.

Тодорхойлолт 3. Хэрэв даалгаврын хэсэг нь явах газартай ижил бол, i.e.
, дараа нь е зураглал гэж нэрлэдэг X in Ютомилох
. Хэрвээ
, дараа нь е зураглал гэж нэрлэдэг XдээрЮ.

Тодорхойлолт 4. Дэлгэц
дуудсан буцаах боломжтой өөр өөр элементүүд байвал

, өөрөөр хэлбэл ямар ч хувьд
бидэнд байгаа
.

Жишээлбэл, дэлгэц
ажлын талбайтай Р буцах боломжгүй учраас
болон
, өөрөөр хэлбэл
, хэдий ч
.

Тодорхойлолт 5. Буцах боломжтой зураглал Xдээр Ю дуудсан Нэгийг харьцах нэгийн харуулах.

Бид танилцуулсан ойлголтуудыг тоогоор харуулах болно.

е дэлгэц биш

Болъё е -аас урвуу зураглал юм X in Ю ажлын талбайтай ГЭХДЭЭ. Дараа нь элемент бүр
зөвхөн нэг элементтэй таарч байна
, болон өөр өөр элементүүд
өөр өөр элементүүдтэй таарах цагт. Тиймээс зураглал
багц
in X(дээр ГЭХДЭЭ). Ингэж тодорхойлсон.

Тодорхойлолт 6. Хэрэв дэлгэц дээр байвал е-аас X in Ю урвуу, дараа нь зураглал
-аас Ю in Xхарьцаагаар тодорхойлогддог , гэж нэрлэдэг эсрэг е .

Одоо зөвшөөр е- дэлгэц X in Ю, a g- дэлгэц Ю in З. Зураглалыг тодорхойлъё X in З дараах байдлаар:. Энэ замаар,
, тэр бол
. Ийм дэлгэцийг нэрлэдэг найрлага зураглал е болон gболон тэмдэглэсэн
. Тиймээс хүн бүрт

Зураглалын найрлага үйл ажиллагаа нь дараах шинж чанаруудтай.

Нийгэмлэг:

Үнэхээр, хэрэв
, дараа нь

.

Нээрээ л байя
болон
. Буцах чадвартай учраас е
. Буцах чадвартай учраас g тэгээд дэлгэц
буцаах боломжтой. Хэрвээ
, дараа нь
, энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм.

Бодит функц нь олонлогийн үед зураглалын онцгой тохиолдол юм X болон Ютоон олонлогууд юм.

Тодорхойлолт 7. Болъё X - тоо тогтоосон. Дэлгэц
, тоо тус бүрт таарч байна
тоо
, гэж нэрлэдэг хүчинтэй олонлог дээр тодорхойлсон функц X. Хаана Xдуудсан маргаан функцууд е,X–түүний хамрах хүрээ ,
–үнэ цэнэ функцууд. Маш их
дуудсан утгуудын багц функцууд.

Тодорхойлолт 8. Хэрэв функц е тоо бүртэй таарч байна
ижил утгатай а, дараа нь функц е дуудсан байнгын .

Энэ нь функцийг тодорхойлохын тулд бодит функцийн тодорхойлолтоос гардаг е түүний тодорхойлолтын домэйн - багцыг тохируулах шаардлагатай Xмөн тоо болгоны хууль
тоо таарч байна
.

Функциональ хамаарлын хуулийг хэрхэн тодорхойлсоноос хамааран функцийг тодорхойлох хэд хэдэн арга байдаг.

аналитик арга.Функциональ хамаарлын хуулийг аргумент дээр ямар үйлдэл хийх шаардлагатайг харуулсан томьёо ашиглан тодорхойлсон болно. Xфункцийн утгыг авахын тулд.

Жишээ нь:
гэх мэт.

Функцийг тодорхойлох аналитик аргын хувьд олонлог Xихэвчлэн заадаггүй. Энэ тохиолдолд функцийн домэйн нь байна байгалийн функцийн хамрах хүрээ нь өгөгдсөн аналитик илэрхийлэл нь утга учиртай аргументуудын утгуудын багц юм.

Жишээлбэл, функцийн хувьд
домэйн
, функцийн хувьд
.

Хэрэв функц нь тодорхой хэмжигдэхүүнүүдийн (физик, геометр болон бусад) хоорондын хамаарлыг тусгасан бол түүний тодорхойлолтын талбар нь томъёоны утга учиртай хэсэгтэй давхцахгүй байж болно. Жишээлбэл, функц
, хийсвэрээр авч үзсэн, дээр тодорхойлсон байна Р, гэхдээ энэ нь биеийн чөлөөт уналтын хуулийг илэрхийлдэг бол
.

Функцийг нэг биш, хэд хэдэн томъёогоор тодорхойлж болохыг анхаарна уу.

Жишээлбэл,
Энэ онцлогийн хувьд
.

хүснэгтийн арга.Энэхүү тохируулах аргын тусламжтайгаар функциональ хамаарлын хуулийг функцийн харгалзах утгуудыг аргументийн өөр өөр утгатай харьцуулсан хүснэгтээр тогтооно.

Хүснэгтийн аргыг туршилтын судалгаанд, жишээлбэл, багаж хэрэгслийн уншилтыг тодорхой интервалаар авах үед ашигладаг.

Техникийн тооцоололд ихэвчлэн ашиглагддаг олон функцүүдийн утгын хүснэгтийг эмхэтгэсэн бөгөөд энэ нь функцүүдийн утгыг тооцоололгүйгээр олох боломжийг олгодог.

Хүснэгтийн аргын сул тал нь хүснэгтэд байгаа аргументуудын утгуудын функцийн утгыг олох боломжтой юм. Бусад утгыг ойролцоогоор интерполяци хийх замаар олж болно.

График арга.

Тодорхойлолт 9.хуваарь функцууд
багц дээр тодорхойлсон X, хавтгайн бүх цэгүүдийн олонлог юм
, хэний координат Xболон цагтхарьцаатай холбоотой
. Тэгш байдал
дуудсан тэгшитгэл энэ график.

Графикийг нь зурсан бол функцийг графикаар өгсөн гэж үзнэ. Жишээлбэл, янз бүрийн өндөрт атмосферийн даралтыг хэмжихийн тулд өөрөө бичих тусгай төхөөрөмж - барограф ашигладаг бөгөөд энэ нь өндрийн функцээр даралтын өөрчлөлтийг хөдөлгөөнт соронзон хальсны муруй хэлбэрээр бүртгэдэг.

Муруй бүр зарим функцийн график болж чаддаггүй. Энэ нь ижил абсцисс бүхий хоёр цэг агуулаагүй байх шаардлагатай.

Curve тодорхойлно Муруй нь тодорхойлохгүй

функц байхгүй

Функцийг тохируулах график аргын давуу тал нь тодорхой, сул тал нь функцийн утгыг зөвхөн ойролцоогоор олох боломжтой юм. Функц бүрийг графикаар зурах боломжгүй. Жишээлбэл, Дирихлегийн функцийг графикаар илэрхийлэх боломжгүй (Германы математикч Петр Густав Лежеун-Дирихлет (1805-1859))

Учир нь дурын хоёр утгын хооронд Xхязгааргүй олон оновчтой, иррациональ цэгүүд байдаг.

аман арга.Функцийг үгээр өгдөг. Жишээлбэл, тооны бүхэл хэсэг X-ээс хэтрэхгүй хамгийн том бүхэл тоо юм X.

Тодорхойлолт 10. Функцууд
болон
, тодорхой интервалаар өгсөн X, гэж нэрлэдэг адилхан тэнцүү Энэ интервал дээр:
, хэрэв цэг бүрт тэдгээрийн үнэ цэнэ
таарах.

Жишээ. Функцүүд нь адилхан уу?

1)
болон
;

2)
болон
төлөө
;

3)
болон
?

Шийдэл. 1), өөрөөр хэлбэл, i.e. функцууд нь адилхан.

2) эд хөрөнгөөр
.

3) , i.e.
, функцууд нь ижил тэнцүү биш байна.

Математикийн чухал үүрэг бол хоёр багцын хоорондох холбоосыг тогтоох явдал бөгөөд эхний багцын элементүүд болон хоёр дахь олонлогийн харгалзах элементүүдээс үүссэн хос объектуудыг авч үзэхтэй холбоотой юм. Багцуудыг харуулах нь онцгой ач холбогдолтой юм.

Дурын олонлог байцгаая. харуулах замаар багц X тохируулах Юямар ч дүрэм гэж нэрлэдэг е, үүний дагуу олонлогийн элемент бүр нь олонлогийн тодорхой (өвөрмөц) элементтэй холбоотой байдаг.

Баримт гэж езураглал байдаг бөгөөд товчхондоо: .

Тэмдэглэгээг мөн ашигладаг. Ихэнх тохиолдолд дэлгэцийг үсгээр тэмдэглэдэг е, q, Ф.

Тиймээс, багцын дэлгэцийг тохируулах Xолонлог болгохын тулд элемент бүр зөвхөн нэг элементтэй холбоотой байх ёстой.

Хэрэв нэгэн зэрэг элемент байвал X-аас X-аас тохирох элемент Ю, дараа нь дуудсан элементүүд , a X – элементийн урьдчилсан зураг гэж бичсэн байх үед харуулах үед .

Энэ нь зураглалын тодорхойлолтоос үзэхэд элемент бүрээс гардаг Xзураг нь өвөрмөц боловч элементийн хувьд олон прототип байж болно, эсвэл огт байхгүй байж болно. Элементийн бүх урьдчилсан дүрсүүдийн багцыг түүний гэж нэрлэдэг бүрэн прототип ба -аар тэмдэглэгдсэн байна. Энэ замаар, .

Дэд олонлогийн зураг ГЭХДЭЭболон дэд олонлогийн урьдчилсан зураг ATхаруулах үед:

Жишээлбэл, let and be a mapping ГЭХДЭЭ in ГЭХДЭЭ, аль нь элемент тус бүртэй харагдана а-аас ГЭХДЭЭхэлтсийн үлдсэн хэсэг а 4-ийн тоонд. Дараа нь бидэнд:

Шинж чанар, зураг, урьдчилсан зураг зэргээс хамааран зураглал нь surjective, injective, bijective байдаг.

Дэлгэцийг дуудаж байна сурьектив , хэрэв тэдгээр. элемент бүр дор хаяж нэг элементийг харуулна X, эсвэл аль ч .

Дэлгэцийг дуудаж байна тарилга хэрэв олонлогийн өөр өөр элементүүд Xолонлогийн өөр өөр элементүүдэд дүрслэгдсэн байдаг, өөрөөр хэлбэл. , эсвэл аль нэг нь хоосон эсвэл нэг элементийн багц юм. Тарилгын зураглалыг мөн гэж нэрлэдэг хөрөнгө оруулалт .

Дэлгэцийг дуудаж байна хоёрдмол утгатай , эсвэл Нэгийг харьцах нэгийн энэ нь surjective болон injective байгаа эсэхийг зураглал, i.e. хэрэв нэг элементийн олонлог байгаа бол аль нэг . Энэ тохиолдолд зураглалыг дурын :-д тохируулж тодорхойлж болно. Энэ нь гэж нэрлэгддэг урвуу to болон гэж тэмдэглэгдсэн байна.

Тодорхой болгохын тулд бид зураглалын төрлүүдийг дүрсэлсэн.

Surjective Injective Bijective

Зураг 12

Дэлгэцийг тохируулах ГЭХДЭЭөөрөө гэж нэрлэдэг хувиргалтыг тохируулах ГЭХДЭЭ. Олонлогийн биектив хувиргалт ГЭХДЭЭдуудсан орлуулахыг тогтоосон ГЭХДЭЭ.

Бүхэл тооны багцыг орлуулах жишээ бол тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон зураглал юм.

Мөн багцын зураглалыг анхаарна уу ГЭХДЭЭ in ATбас дууддаг функц багц дээр тодорхойлсон ГЭХДЭЭбагц дахь утгуудтай AT. Элемент гэж нэрлэдэг үнэ цэнэ функцууд цэг а. Багц өөрөө ГЭХДЭЭдуудсан талбай тодорхойлолтууд функцууд ба олонлог нь функцийн муж юм.

Функцийг ихэвчлэн утгыг авдаг хувьсагч гэж үздэг ATмөн хувьсагчаас хамааралтай X-аас утгыг авдаг ГЭХДЭЭ, утга тус бүр ахувьсагч Xхэмжигдэхүүний сайн тодорхойлсон утгатай тохирч байна. Үүний зэрэгцээ тэд бичиж, "функц"-ын оронд "функц" гэж хэлдэг».

Төрөл бүрийн зураглалыг авч үзэх, тэдгээрийн төрлийг тодорхойлох.

1) Болъё Xнь хавтгай дээрх тойргийн багц юм. Тойрог бүрийг төвтэй нь холбож, бид зураглалыг олж авдаг Xдээр . Нэг цэг нь хязгааргүй тооны тойргийн төв байж болох тул энэ зураглал нь тарилга биш юм. Гэхдээ аль ч цэг нь ямар нэгэн тойргийн төв байдаг тул энэ нь тодорхой юм. Тиймээс урвуу захидал харилцааг хаа сайгүй, далд хэлбэрээр тодорхойлдог боловч функциональ байдлаар биш юм.

2) Корреспонденци гэдэг нь бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц дээр өгөгдсөн тоон функц юм. Энэ функцийн утгуудын багц нь сөрөг бус тоонуудын багц юм. -ээс хойш функц нь далд шинж биш юм. Энэ нь бас тарилга биш, учир нь . Тиймээс энэ нь урвуу функцгүй.

3) Зураглал нь дагалдах шинжтэй ба injective байдаг: аль ч тоонд нэг бөгөөд зөвхөн нэг тоо байдаг. Энэ тоо нь .

4) Олонлогийн зураглал (сөрөг бус тоонуудын олонлог) нь хаа сайгүй тодорхойлогддог, injective, гэхдээ surjective биш. Үнэн хэрэгтээ, бутархайн хувьд бид .

Тиймээс энэ функцийн утгуудын багц нь интервал юм. Урвуу функц нь энэ интервал дээр тодорхойлогддог бөгөөд сөрөг бус утгыг авдаг.

5) Дүрэмд тодорхойлсон зураглал нь тарилгын зураглал юм. Учир нь энэ нь хоёрдмол утгатай биш юм. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид зураглалыг ижил аргаар тодорхойлох юм бол бид хоёр талт зураглалыг олж авна. . ; surjectivity зөвхөн surjectivity, injectivity нь зөвхөн injectivity гэсэн үг юм.

3. If and are тохируулагдсан хувиргалтууд ГЭХДЭЭ, дараа нь тэдний найрлага нь мөн багцын өөрчлөлт юм ГЭХДЭЭ.

$X$ ба $Y$ хоёр дурын олонлог байг.

Тодорхойлолт.$X$ олонлогийн элемент бүрийг $Y$ олонлогийн өвөрмөц элементтэй холбосон захидал харилцааг нэрлэдэг. зураглал.

$X$ багцаас $Y$ багц хүртэлх зураглалыг $X \stackrel(f)(\longrightarrow) Y$ гэж тэмдэглэнэ.

$X$ багцыг дуудна тодорхойлолтын домэйнзураглал хийх ба $X=D(f)$ гэж тэмдэглэнэ.

$E(f)$ гэж нэрлэдэг утгуудын багцгазрын зураг, $E(f) = \( y \in Y \; | \; \exists x \ in X, y = f(x) \)$.

$\Гамма(f)$ багцыг дуудна хуваарьхаруулах. $\Гамма(f)=\((x,y) \X in \times Y, y=f(x), \forall x \in X, y \in Y \)$.

$f$ нь $X$ багцаас $Y$ багц хүртэлх зураглал байг. Хэрэв энэ зураглалын дор $x$-г $y$-д буулгасан бол $y=f(x)$. Энд $y$ гэж нэрлэдэг арга зам$x$, эсвэл үнэ цэнэ$f$ цэг дээр $x$ зураглал хийх. Мөн $x$ тус тус прототипэлемент $y$.

Зураглалын тодорхойлолт дээр үндэслэн $Y$ багцын бүх элементүүд нь зарим $x$-ийн дүрс байх шаардлагагүй, үүнээс гадна өвөрмөц байх нь тодорхой байна.

Жишээ.

$X=\( c, e, n, m, i, b, p, b \)$ ба $Y=\( 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 \)$ гэсэн хоёр багц өгөгдсөн.

$X$ багцаас $Y$ багц хүртэлх зураглал дараах хэлбэртэй байна.

$\begin(матриц) \( c, & e, & n, & t, & i, & b, & p, & b \) \\ \;\; \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow \;\; \\ \( 1, & 2, & 3, & 4, & 5, & 9, & 10, & 11 \) \төгсгөл(матриц)$

Тодорхойлолт.Зураг нь $Y$-аас $y$ болсон $X$ олонлогийн бүх элементүүдийн багцыг дуудна бүрэн прототип$X$-с $y$. Тэмдэглэсэн: $f^(-1)(y)$.

Тодорхойлолт.$A \дэд олонлог X$ байг. $f(a)$, $a \in A$, бүх элементүүдийн багцыг дуудна бүрэн$f$ зураглалын доор $A$-г тохируулна.

Тодорхойлолт.$B \дэд олонлог Y$ гэж үзье. Зураг нь $B$ олонлогт хамаарах $X$-ын бүх элементүүдийн олонлогийг $B$ олонлогийн бүрэн урвуу дүрс гэнэ.

Жишээ.

$X=Y=R$, $y=x^2$.

$A=[-1; 1]\subsetX$

Бүтэн зураг $f(A)=$

$B= \ дэд багц Y $

Бүрэн урьдчилсан зураг $f^(-1)(B)=[-1; 1]$

Тодорхойлолт.$f$ зураглалыг гэж нэрлэдэг тарилгазураглал хэрэв $\forall \; y \in Y$ $y=f(x)$ нь өвөрмөц $x$-ийн дүрс юм.

Тодорхойлолт.$f$ зураглалыг гэж нэрлэдэг сурьектив$Y$ багцын бүх элементүүд зарим $x$ хэмжээтэй зураг байвал зураглал хийх. (Энэ бол $X$ багцыг $Y$ багц дээр буулгасан зураглал юм).

Тодорхойлолт.$f$ зураглалыг гэж нэрлэдэг хоёрдмол утгатай, хэрэв энэ нь injective болон surjective бол, өөрөөр хэлбэл, ийм зураглалыг нэгээс нэг захидал гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт.$X$ болон $Y$ багцуудыг дууддаг тэнцүү(тэнцэхүйц) хэрэв тэд ганцаарчилсан захидал харилцаанд байгаа бол. Тэмдэглэсэн: $X Y$ ($X$ багц нь $Y$ багцтай тэнцүү эсвэл $X$ нь $Y$ багцтай тэнцүү).

1. Дагаж мөрдөх график. Дэлгэц. Сурьектив бус тарилга.

Одоо олонлог хоорондын харилцаатай холбоотой зарим асуултуудыг судалцгаая.

Бид үүнийг багцын хооронд хэлэх болно хандлага-ийн зарим (магадгүй бүх) элементүүд нь -ийн зарим элементтэй тохирч байвал (болон хамааралтай). Хэрэв олонлог нь олонлогтой холбоотой бол бид бичнэ:

Хэрэв энэ тохиолдолд элемент нь элементтэй холбоотой байвал бид үүнийг тэмдэглэнэ

Тодорхойлолт 1.1.2.Олонлогуудын хоорондын хамаарлыг гэнэ зураглал, хэрэв тус бүр нь зөвхөн нэг элементтэй холбоотой бол (Зураг 1.1.2. ба 1.1.3-ыг үз). Багцын шинж чанараар мэргэшсэнээр "функц" гэсэн тусгай нэртэй зураглалын тусгай төрлүүд гарч ирдэг. " вектор функц", "оператор", "хэмжих", "функциональ" гэх мэт. Бид дараа нь тэдэнтэй тулгарах болно.

Функцийг (зураглал) w-ээс тэмдэглэхийн тулд бид тэмдэглэгээг ашиглана

Зураг 1.1.2. Зураг 1.1.3. Үгүй харилцаа

зураглал

Тодорхойлолт 1.1.3. Хэрэв элемент бол харгалзах элементийг түүний дүрс (харагдах үед) гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн бүх багцыг урьдчилсан зураг гэж нэрлэж, тэмдэглэнэ (1.1.4-р зургийг үз).

Зураг 1.1.4. прототипб

Тодорхойлолт 1.1.4.Дэлгэцийг дуудаж байна ганцаарчилсан зураглал, хэрэв -ийн элемент бүр зураглалын доор өвөрмөц зурагтай, элемент бүр энэ зураглалын доор өвөрмөц өмнөх зурагтай бол.

Зураг.1.1.5. Ганцаарчилсан зураглал

Дараах зүйлд бид зөвхөн зураглалыг авч үзэх болно, учир нь бид зүгээр л зураглал гэж нэрлэдэг олон утгатай зураглалыг нэг утгатай болгон бууруулсан заль мэх байдаг.

Математикийн шинжлэх ухаанд газрын зургийн үзэл баримтлал чухал үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд ялангуяа математикийн шинжилгээнд уг ойлголт гол байр суурийг эзэлдэг. функцууд, энэ нь нэг тооноос нөгөө тоонд зураглал хийх явдал юм.

1.7. Эрчим хүчийг тохируулах

Олонлогуудын хоорондын харилцааг судлахдаа олонлогийн "эзлэхүүн", тэдгээрийн доторх элементийн тоо ихээхэн сонирхол татдаг. Гэхдээ энэ тоо хязгаарлагдмал байвал элементийн тооны талаар ярих нь ойлгомжтой бөгөөд үндэслэлтэй юм. Хязгаарлагдмал тооны элементүүдээс бүрдэх олонлогуудыг дуудах болно эцсийн . Гэсэн хэдий ч математикт авч үзсэн олонлогуудын ихэнх нь хязгаарлагдмал биш, жишээлбэл, бодит тоонуудын багц, хавтгай дээрх цэгүүдийн олонлог, зарим сегмент дээр тодорхойлогдсон тасралтгүй функцуудын олонлог гэх мэт. Олонлогийн онолд хязгааргүй (болон төгсгөлтэй) олонлогийг тоон байдлаар тодорхойлохын тулд уг ойлголтыг ашигладаг. багцын үндсэн байдал .

Бид багц болон байна гэж хэлэх болно ижил хүч , хэрэв олонлогоос олонлогт нэгийг харьцах зураглал байгаа бол (энэ тохиолдолд В олонлогоос А олонлог руу нэг нэгийг харьцах зураглал бас байдгийг анхаарна уу).

Хэрэв иж бүрдэл нь ижил үндсэн шинж чанартай бол бид тэдгээрийг гэж хэлдэг тэнцүү байна , үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

Тэгвэл дурын олонлог байцгаая

тэдгээр. аливаа багц нь өөртэй нь тэнцүү байна; хэрэв олонлог нь олонлогтой тэнцүү бол энэ нь тэнцүү байна; хэрэв эцэст нь олонлог нь олонлогтой тэнцэх олонлогтой тэнцүү бол тэнцүү байна.

Өөрийнхөө зарим дэд олонлогтой тэнцэх олонлогийг нэрлэнэ эцэс төгсгөлгүй .

Хязгаарлагдмал олонлогууд өөр өөр тооны элементтэй бол тэдгээрийн аль нэг нь нөгөөгөөсөө цөөн элементтэй байх нь ойлгомжтой. Гэхдээ энэ утгаараа хязгааргүй олонлогийг хэрхэн харьцуулах вэ? Олонлогтой дүйцэх олонлогийн дэд олонлог байгаа бол олонлогийн кардинал чанар нь олонлогийн кардинал чанараас бага гэж бид хэлдэг, гэхдээ олонлогууд нь өөрөө тэнцүү биш юм.

Хязгаарлагдмал олонлогийн кардинал байдал түүний элементүүдийн тоотой тэнцүү байна. Хязгааргүй олонлогийн хувьд "хүч" гэсэн ойлголт нь "элементийн тоо" гэсэн ойлголтын ерөнхий ойлголт юм.

Дараах зүйлд хэрэгтэй багцын зарим ангиллыг онцлон үзье.

Олонлогийг тоолох боломжтой гэж нэрлэдэг. , хэрэв энэ нь олонлогийн зарим дэд олонлогтой (натурал тооны олонлог) ижил үндсэн шинж чанартай бол. Тоолж болох олонлог нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно.

Хязгааргүй олонлогийг натурал тооны олонлогтой тэнцүү байх тохиолдолд л тоолж болно.

Хязгааргүй тоолж болох олонлогийн үндсэн чанараас бага аливаа олонлог нь төгсгөлтэй гэдгийг анхаарна уу.

Тэгээс нэг хүртэлх интервал дээрх бодит тоонуудын багц байна эрчим хүчний тасралтгүй байдал , ихэвчлэн гэж нэрлэдэг тасралтгүй . Энэ олонлогийн үндсэн чанар нь хязгааргүй тоолж болох олонлогийн үндсэн чанараас их байна. Асуулт гарч ирнэ: үндсэн чанар нь хязгааргүй тоолж болох олонлогийн үндсэн чанараас их, харин үргэлжиллийн үндсэн байдлаас бага олонлог байдаг уу? Энэ асуудлыг 1900 онд дэлхийн хамгийн агуу математикчдын нэг Дэвид Хилберт томъёолжээ. Энэ асуудал нь зарим талаараа гэнэтийн хариулттай болох нь тогтоогдсон: бид ийм багц байдаг гэж үзэж болно, эсвэл байхгүй гэж таамаглаж болно. Үүний үр дүнд бий болсон математикийн онолууд нь нийцтэй байх болно. Энэ баримтыг нотлох баримтыг Америкийн эрдэмтэн Коэн 1965 онд Москвад болсон Дэлхийн математикчдийн их хурал дээр танилцуулсан. Энэ асуудлын нөхцөл байдал нь Евклидийн тав дахь постулатын нөхцөл байдалтай төстэй болохыг анхаарна уу: өгөгдсөн шугамын гадна байрлах цэгээр дамжуулан зөвхөн өгөгдсөн шугамтай параллель нэг шугам зурж болно. Лобачевскийн харуулсанчлан энэхүү постулатыг үгүйсгэх нь зөрчилдөөнд хүргэдэггүй. Бид энэ постулатыг баримтлах геометрийг, мөн энэ нь үнэн биш геометрийг барьж болно.

Дүгнэж хэлэхэд бид олонлогийн эквивалентийг батлах техникийг харуулсан хэд хэдэн жишээг өгсөн.

Жишээ 1.11.Бүхэл тоонуудын багцыг тоолох боломжтой.

Харж байгаа олонлог нь хязгааргүй байх нь тодорхой байна (натурал тооны олонлог нь түүний дэд олонлог юм).

Бүхэл тооны олонлогийг тоолох боломжтойг батлахын тулд натурал тооны олонлог болон авч үзэж буй олонлогийн хооронд нэг нэгээр нь зураглал хийх шаардлагатай. Шаардлагатай зураглалыг дүрмээр өгөгдсөн: бид бүхэл тоог дараах байдлаар байрлуулна.

мөн тэдгээрийг натурал тоогоор дахин дугаарлаж, тэдэнд дугаар өгөх (тэдгээрийг бүхэл тоонуудын хажууд зааж өгсөн болно). Мэдээжийн хэрэг, бүхэл тоо бүр өөрийн гэсэн дугаарыг авах бөгөөд өөр өөр тоо өөр өөр тоо авах болно. Мөн эсрэгээр нь үнэн: натурал тоо бүрийн хувьд (тоо бүрийн хувьд) энэ тооны доор нэг бүхэл тоо байна. Тиймээс шаардлагатай ганцаарчилсан зураглал хийгдсэн болно.

Жишээ 1.12. Рационал тооны багцыг тоолох боломжтой.

Аливаа рационал тоог p/q бууруулж болохгүй бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ дүрслэлийг ашиглан бид оновчтой тоонуудыг схемийн дагуу байрлуулна.

. . . . . .

Эдгээр тоонуудыг өмнөх жишээний адилаар дахин дугаарлацгаая (тоонуудыг дээд талд, тоонуудын хажууд хаалтанд тэмдэглэсэн болно). Рационал тоонуудын дугаарлах томъёолсон дүрэм нь натурал тоонуудын багцыг рационал тоонуудын багц болгон шаардлагатай нэгээс нэгээр нь буулгах боломжийг олгодог болохыг харахад хялбар байдаг.

Жишээ 1.13. Тоолж болох олонлогийн нэгдэл нь тоолж болох олонлог юм.

Энэ баримтын нотолгоо нь өмнөх жишээний нотолгоотой төстэй юм.

Эцэст нь хэлэхэд, бид дараах зүйлийн талаар чухал мэдэгдлийг танилцуулж байна. Гэхдээ үүний тулд бидэнд багц дээр дахин нэг үйлдэл хэрэгтэй.

Багцын шууд бүтээгдэхүүн ба( Декарт бүтээгдэхүүн ) нь бүх эрэмбэлэгдсэн хосуудын багц бөгөөд хаана ба. Энэ багц шошготой. Энэ замаар:

Тэмдэглээрэй, хүчин зүйлийн үржвэрийг тэмдэглэнэ.

Теорем 1.1. ямар ч хязгааргүй багцын хувьд.

Ялангуяа, i.e. шулуун дээрх цэгүүдийн олонлог нь хавтгай дээрх цэгүүдийн олонлогтой ижил үндсэн шинж чанартай байна. Түүгээр ч зогсохгүй сансар огторгуйд шулуун дээр байгаа олон цэгүүд байдаг.

Үүгээр манай математикийн логик, олонлогын онолын үндсэн ойлголтууд болох орчин үеийн математикийн үндэс суурьтай танилцсан үе өндөрлөж байна. Харамсалтай нь эдгээр онолын олон тал нь энэ бүлгийн хамрах хүрээнээс гадуур үлдсэн тул та тэдэнтэй танилцаж болно, жишээлбэл, болон .