Эсрэг дериватив ба тодорхойгүй интеграл сэдвийн талаархи танилцуулга. Тодорхой бус интеграл, түүний шинж чанар, тооцоо. Эсрэг дериватив ба тодорхойгүй интеграл. Тодорхой интеграл, түүний үндсэн шинж чанарууд. Ньютон-Лейбницийн томъёо. Тодорхой int-ийн програмууд

Балар эртний. Дифференциал тооцооллын даалгавар бол өгөгдсөн функцтэй холбоотойгоор түүний деривативыг олох явдал юм. Интеграл тооцооллын даалгавар: түүний уламжлалыг мэдэж функцийг олох. F(x) функцийг өгөгдсөн интервал дээрх f(x) функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэнэ, хэрэв энэ интервалын аль нэг х-ийн хувьд F ʹ (x)=f(x) тэгшитгэл үнэн бол.

Теорем. Хэрэв F(x) функц нь зарим интервал дээр f(x) функцийн эсрэг дериватив бол энэ функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлог нь F(x)+C хэлбэртэй байх ба энд C R. y x 0 Геометрийн хувьд: F( x)+C нь OS тэнхлэгийн дагуу параллель хөрвүүлэх замаар тус бүрээс олж авсан гэр бүлийн муруй юм. C интеграл муруй

Жишээ 2. Бүх эсрэг үүсмэл f(x)=2x функцийг олоод геометрээр дүрсэл. у х

Интеграл - интеграл - тодорхойгүй интегралын тэмдэг х - интеграл хувьсагч F (х) + С - бүх эсрэг деривативуудын олонлог C - интегралын тогтмол Эсрэг үүсмэл функцийг олох үйл явцыг интеграл гэж нэрлэдэг ба математикийн хэсэг интеграл тооцоо гэж нэрлэдэг.

Тодорхой бус интегралын шинж чанарууд Тодорхой бус интегралын дифференциал нь интегралтай тэнцүү, тодорхойгүй интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү байна.

Интеграцийн үндсэн аргууд. Шууд нэгтгэх арга. Шууд интеграл гэдэг нь тодорхойгүй интегралын үндсэн шинж чанарыг ашиглах замаар тэдгээрийг хүснэгтэн хэлбэрт оруулдаг интегралуудыг тооцоолох арга юм. Энэ тохиолдолд интеграл нь ихэвчлэн тохирох арга замаар өөрчлөгддөг.

GBOU SPO "Навашинскийн хөлөг онгоцны механикийн коллеж" Тодорхой бус интеграл. Тооцооллын аргууд

Книдосын Евдокс в. 408 - ойролцоогоор. МЭӨ 355 он д. Интеграл тооцоо нь математикийн шинжлэх ухааны хөгжлийн эртний үед гарч ирсэн бөгөөд математикчдын боловсруулсан ядрах аргаас эхэлсэн. Эртний Грек, мөн Книдын Евдокс боловсруулсан дүрэм журмын багц байв. Эдгээр дүрмийн дагуу талбай, эзлэхүүнийг тооцоолсон

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) ∫ тэмдгийг Лейбниц (1675) нэвтрүүлсэн. Энэ тэмдэг нь өөрчлөлт юм латин үсэг S (summale гэдэг үгийн эхний үсэг).

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) Исаак Ньютон (1643 - 1727) Ньютон, Лейбниц нар Ньютон-Лейбницийн томьёо гэгддэг баримтыг бие даан нээсэн.

Августин Луи Коши (1789 - 1857) Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 1897) Коши, Вейерштрасс нарын бүтээл интеграл тооцооллын олон зуун жилийн хөгжлийг дүгнэсэн.

Оросын математикчид интеграл тооцоолол боловсруулахад оролцсон: M.V. Остроградский (1801 - 1862) В.Я. Буняковский (1804 - 1889) П.Л. Чебышев (1821 - 1894)

ТОДОРХОЙГҮЙ ИНТЕГРАЛ (a; b) интервал дээрх f(x) тасралтгүй функцийн тодорхойгүй интеграл нь түүний эсрэг дериватив функцүүд юм. Энд C нь дурын тогтмол (const) юм.

1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x)= sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx + C 2 F (x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x + C 5. F(x) = c tg x + C 6. F (x) = - cos x + C 5. f( x) = cosx Тохирох. Нэгийг нь ол ерөнхий хэлбэрөгөгдсөн функцтэй тохирч буй эсрэг дериватив. tgx +С

Интеграл шинж чанарууд

Интеграл шинж чанарууд

Интеграцийн үндсэн аргууд Хүснэгт. 2. Интегралыг нийлбэр эсвэл зөрүү болгон хүснэгт хэлбэрээр хувиргах. 3.Хувьсагчийн өөрчлөлт (орлуулах) ашиглан интеграци хийх. 4. Хэсэгээр нь нэгтгэх.

Функцийн эсрэг деривативыг ол: F(x) = 5 x ² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x + C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x ² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x ² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f (x) \u003d 6 x ² 6) f (x) \u003d 3-2x

Энэ үнэн үү: a) c) b) d)

Жишээ 1. Илэрхийллийн нийлбэрийн интеграл нь эдгээр илэрхийллийн интегралын нийлбэртэй тэнцүү байна.Интеграл тэмдэгээс тогтмол хүчин зүйлийг гаргаж авч болно.

Жишээ 2. Уусмалыг шалгах Шийдэл бичих:

Жишээ 3. Уусмалыг шалгах Шийдэл бичих:

Жишээ 4. Шийдлийг шалгана уу Шийдлийг бичнэ үү: Шинэ хувьсагч оруулж, дифференциалуудыг илэрхийлнэ үү.

Жишээ 5. Уусмалыг шалгах Шийдэл бичих:

C бие даасан ажил Тодорхой бус интегралыг олох Шийдвэрийг шалгах "А" түвшин ("3"-аар) "В" түвшин ("4"-ээр) "С" түвшин ("5"-аар)

Даалгавар Тохиромжтой болгох. Өгөгдсөн функцэд тохирох эсрэг деривативын ийм ерөнхий хэлбэрийг ол.

Аношина О.В.

Үндсэн уран зохиол

1. V. S. Шипачев, Дээд математик. Үндсэн курс: сурах бичиг ба
Бакалавруудад зориулсан семинар [ОХУ-ын Боловсролын яамны гэрчилгээ] / V. S.
Шипачев; ed. А.Н. Тихонова. - 8 дахь хэвлэл, шинэчилсэн. болон нэмэлт Москва: Юрайт, 2015. - 447 х.
2. V. S. Шипачев, Дээд математик. Бүрэн курс: сурах бичиг
академийн хувьд. Бакалаврын зэрэг [UMO-ийн гэрчилгээ] / V. S. Шипачев; ed. ГЭХДЭЭ.
Н.Тихонова. - 4-р хэвлэл, Илч. болон нэмэлт - Москва: Юрайт, 2015. - 608
-тай
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т..Я. дээд математик
дасгал, даалгаварт. [Текст] / П.Э. Данко, А.Г. Попов, Т.Я.
Кожевников. 2 цагт - М .: Дээд сургууль, 2007. - 304 + 415c.

Тайлан мэдээлэх

1.
Туршилт. Үүний дагуу гүйцэтгэнэ:
Шалгалтын гүйцэтгэлийн даалгавар, заавар
"ХЭРЭГЛЭЭНИЙ МАТЕМАТИК" чиглэлээр, Екатеринбург, ФГАОУ
VO "Оросын улсын мэргэжлийн сурган хүмүүжүүлэгч
Их сургууль", 2016 - 30-аад он.
Тооны сүүлийн цифрээр хяналтын ажлын сонголтыг сонгоно уу
бичлэгийн дэвтэр.
2.
Шалгалт

Тодорхой бус интеграл, түүний шинж чанар, тооцоо Антидериватив ба тодорхойгүй интеграл

Тодорхойлолт. F x функцийг дуудна
эсрэг дериватив функц f x дээр тодорхойлогдсон
зарим интервал нь F x f x for
энэ интервалаас х бүр.
Жишээлбэл, cos x функц нь
эсрэг дериватив функц sin x , оноос хойш
cos x sin x .

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв F x нь эсрэг дериватив бол
f x , дараа нь F x C функцууд, энд C нь тогтмол байна
эсрэг дериватив функц f x .
Хэрэв F x нь эсрэг дериватив бол
функц f x , дараа нь хэлбэрийн дурын функц
F x F x C бас байна
эсрэг дериватив функц f x ба дурын
командыг энэ хэлбэрээр төлөөлж болно.

Тодорхойлолт. Бүх зүйлийн нийлбэр
f x функцийн эсрэг деривативууд,
заримд нь тодорхойлсон
хооронд гэж нэрлэдэг
тодорхойгүй интеграл
Энэ интервал дээр f x функцууд ба
f x dx гэж тэмдэглэнэ.

Хэрэв F x нь функцийн эсрэг дериватив бол
f x , дараа нь тэд f x dx F x C бичнэ, гэхдээ
f x dx F x C гэж бичих нь илүү зөв байх болно.
Бид тогтсон уламжлалын дагуу бичнэ
f x dx F x C.
Тиймээс ижил тэмдэг
f x dx нь бүхэлд нь илэрхийлнэ
f x функцийн эсрэг деривативуудын багц,
мөн энэ багцын аль ч элемент.

Интеграл шинж чанарууд

Дериватив биш тодорхой интегралтэнцүү байна
интеграл ба түүний интегралын дифференциал. Үнэхээр:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Интеграл шинж чанарууд

3. -ийн тодорхойгүй интеграл
тасралтгүй дифференциал (x)
ялгах функц нь өөртэй нь тэнцүү байна
тогтмол хүртэл энэ функц:
d (x) (x) dx (x) C,
(х) нь (х)-ийн эсрэг дериватив учраас.

Интеграл шинж чанарууд

4. Хэрэв f1 x ба f 2 x функцууд байвал
эсрэг деривативууд, дараа нь f1 x f 2 x функц
мөн эсрэг деривативтай, ба
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx Kf x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
a 1
x
2. x a dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
а
4.a x dx
C.
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8.2 ctgx C.
гэм х
dx
9. 2tgx C .
cos x
dx
arctgx C.
10.
2
1 х

Тодорхой бус интегралын хүснэгт

11.
dx
arcsin x C.
1х2
dx
1
x
12. 2 2 арктан С.
а
а
а х
13.
14.
15.
dx
a2x2
x
арксин С ..
а
dx
1
х а
ln
C
2
2
2a x a
х а
dx
1
а х
a 2 x 2 2a log a x C .
dx
16.
x2 a
log x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C.
dx
cthx C.
2
sh x

Дифференциалуудын шинж чанарууд

Интеграцчлах үед хэрэглэхэд тохиромжтой
шинж чанарууд: 1
1. dx d (сүх)
а
1
2. dx d (ax b),
а
1 2
3.xdxdx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

Жишээ

Жишээ. cos 5xdx-ийг тооцоол.
Шийдэл. Интегралын хүснэгтээс бид олдог
cos xdx sin x C .
Энэ интегралыг хүснэгт болгон хувиргацгаая.
давуу талыг ашиглан d ax adx .
Дараа нь:
d5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= нүгэл 5 х С.
5

Жишээ

Жишээ. х-г тооцоол
3x x 1 dx.
Шийдэл. Интеграл тэмдгийн дор
нь дөрвөн гишүүний нийлбэр юм
интегралыг дөрвийн нийлбэр болгон өргөжүүл
интеграл:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx.
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

Хувьсагчийн төрлөөс хамаарах бие даасан байдал

Интегралыг тооцоолохдоо энэ нь тохиромжтой
дараах шинж чанаруудыг ашиглана уу
интеграл:
Хэрэв f x dx F x C байвал
f x b dx F x b C .
Хэрэв f x dx F x C байвал
1
f ax b dx F ax b C .
а

Жишээ

Тооцоолох
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5

Интеграцийн аргууд Хэсэгээр нь нэгтгэх

Энэ арга нь udv uv vdu томъёонд тулгуурладаг.
Дараах интегралуудыг хэсгүүдээр интеграцийн аргаар авна.
a) x n sin xdx, энд n 1.2...k;
b) x n e x dx, энд n 1,2...k ;
в) x n arctgxdx , энд n 0, 1, 2,... k . ;
d) x n ln xdx , энд n 0, 1, 2,... k .
a) ба b) интегралыг тооцоолохдоо оруулна
n 1
тэмдэглэгээ: x n u , дараа нь du nx dx , мөн жишээ нь
sin xdx dv , дараа нь v cos x .
Интегралыг тооцоолохдоо c), d) u функцийг тэмдэглэнэ
arctgx, ln x ба dv-ийн хувьд тэд x n dx-ийг авдаг.

Жишээ

Жишээ. x cos xdx-ийг тооцоол.
Шийдэл.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Жишээ

Жишээ. Тооцоол
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 х
x2
1
x2
1х2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2

Хувьсах солих арга

f x dx , ба олох шаардлагатай байг
командыг шууд авах
f x-ийн хувьд бид чадахгүй, гэхдээ бид үүнийг мэднэ
тэр байдаг. Ихэнхдээ олддог
шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх замаар эсрэг дериватив,
томъёоны дагуу
f x dx f t t dt , энд x t ба t нь шинэ
хувьсагч

Квадрат гурвалсан тоо агуулсан функцүүдийн интеграцчлал

Интегралыг авч үзье
ахб
dx,
x px q
дөрвөлжин гурвалжинг агуулсан
интегралын хуваагч
илэрхийллүүд. Ийм интегралыг бас авдаг
хувьсагчдыг өөрчлөх арга,
өмнө нь тодорхойлсон
хуваагч бүтэн дөрвөлжин.
2

Жишээ

Тооцоол
dx
.
x4x5
Шийдэл. x 2 4 x 5-ийг хувиргацгаая.
2
a b 2 a 2 2ab b 2 томъёоны дагуу бүтэн квадратыг сонгох.
Дараа нь бид:
x2 4x5 x2 2x2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
х 2 т
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x4x5
t1
arctgt C arctg x 2 C.

Жишээ

Хай
1 х
1 х
2
dx
tdt
1 т
2
x t, x t 2,
dx2tdt
2
t2
1 т
2
dt
1 т
1 т
d (t 2 1)
т
2
1
2
2тдт
2
dt
log(t 1) 2 dt 2
2
1 т
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 т 2 1
1 т
2
dt

Тодорхой интеграл, түүний үндсэн шинж чанарууд. Ньютон-Лейбницийн томъёо. Тодорхой интегралын хэрэглээ.

Тодорхой интеграл гэдэг ойлголт нь хүргэдэг
муруй шугамын талбайг олох асуудал
трапец.
Хэсэг хугацааны интервал өгье
тасралтгүй функц y f (x) 0
Даалгавар:
Түүний графикийг зурж, зургийн F талбайг ол.
энэ муруйгаар хязгаарлагдсан хоёр шулуун x = a ба x
= b, мөн доороос - цэгүүдийн хоорондох абсцисса тэнхлэгийн сегмент
x = a ба x = b.

aABb дүрсийг нэрлэнэ
муруй шугаман трапец

Тодорхойлолт

б
f(x)dx
Тодорхой интеграл дор
а
өгөгдсөн тасралтгүй функцээс f(x) дээр
Энэ сегментийг ойлгож байна
харгалзах өсөлт
анхдагч, өөрөөр хэлбэл
F (б) F (а) F (х) /
б
а
a ба b тоонууд нь интегралын хязгаар юм.
интеграцийн интервал юм.

Дүрэм:

Тодорхой интеграл нь зөрүүтэй тэнцүү байна
эсрэг дериватив интегралын утгууд
дээд ба доод хязгаарт зориулсан функцууд
интеграци.
Ялгааны тэмдэглэгээг танилцуулж байна
б
F (b) F (a) F (x) / a
б
f (x)dx F (b) F (a)
а
Ньютон-Лейбницийн томъёо.

Тодорхой интегралын үндсэн шинж чанарууд.

1) Тодорхой интегралын утга нь үүнээс хамаардаггүй
интеграцийн хувьсагчийн тэмдэглэгээ, i.e.
б
б
а
а
f (x)dx f (t)dt
Энд x ба t нь дурын үсэг юм.
2) Ижилтэй тодорхой интеграл
гадна
интеграци нь тэг байна
а
f (x)dx F (a) F (a) 0
а

3) Интеграцийн хязгаарыг дахин зохицуулах үед
тодорхой интеграл тэмдэгээ урвуулна
б
а
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
а
б
(нэмэлт шинж чанар)
4) Хэрэв интервал нь төгсгөлтэй тоонд хуваагдвал
хэсэгчилсэн интервал, дараа нь тодорхой интеграл,
интервал дээр авсан нь тодорхойлсон нийлбэртэй тэнцүү байна
бүх хэсэгчилсэн интервалууд дээр авсан интегралууд.
б
в
б
f(x)dx f(x)dx
в
а
а
f(x)dx

5) Тогтмол үржүүлэгчийг гаргаж авч болно
тодорхой интегралын тэмдгийн хувьд.
6) Алгебрийн тодорхой интеграл
хязгаарлагдмал тооны тасралтгүй тоонуудын нийлбэр
функцууд нь ижил алгебртай тэнцүү байна
эдгээрийн тодорхой интегралуудын нийлбэр
функцууд.

3. Тодорхой интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт.

3. Тодорхой хэмжээнд хувьсагчийг орлуулах
интеграл.
б
f (x)dx f (t) (t)dt
а
a(), b(), (t)
хаана
t[; ] , (t) ба (t) функцууд тасралтгүй дээр;
5
Жишээ:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t04
x 1 т
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Буруу интеграл.

Буруу интеграл.
Тодорхойлолт. f(x) функц дээр тодорхойлогдоно
хязгааргүй интервал , энд b< + . Если
байдаг
б
лим
f(x)dx,
б
а
тэгвэл энэ хязгаарыг зохисгүй гэж нэрлэдэг
интервал дээрх f(x) функцийн интеграл
}