Котангенсийн тэгшитгэлийн шийдэл. Тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл. Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тухай ойлголт.

• Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд нэг буюу хэд хэдэн үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлд хөрвүүлнэ. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь эцсийн эцэст дөрвөн үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхэд хүргэдэг.

Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлийн шийдэл.

• Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлийн 4 төрөл байдаг.
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь авч үзэх явдал юм янз бүрийн заалтуудНэгж тойрог дээрх "x", түүнчлэн хөрвүүлэх хүснэгтийг (эсвэл тооцоолуур) ашиглана.
• Жишээ 1. sin x = 0.866. Хөрвүүлэх хүснэгт (эсвэл тооцоолуур) ашиглан та хариултыг авна: x = π/3. Нэгж тойрог нь өөр хариулт өгдөг: 2π/3. Санаж байгаарай: бүх тригонометрийн функцууд нь үе үе, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн утгууд давтагддаг. Жишээлбэл, sin x ба cos x-ийн үечлэл 2πn, tg x ба ctg x-ийн үечлэл πn байна. Тиймээс хариултыг дараах байдлаар бичсэн байна.
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Жишээ 2 cos x = -1/2. Хөрвүүлэх хүснэгт (эсвэл тооцоолуур) ашиглан та хариултыг авна: x = 2π/3. Нэгж тойрог нь өөр хариулт өгдөг: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Жишээ 3. tg (x - π/4) = 0.
• Хариулт: x \u003d π / 4 + πn.
• Жишээ 4. ctg 2x = 1.732.
• Хариулт: x \u003d π / 12 + πn.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг хувиргалтууд.

• Тригонометрийн тэгшитгэлийг хувиргахын тулд алгебрийн хувиргалт (факторинг, нэгэн төрлийн нэр томъёоны бууралт гэх мэт) болон тригонометрийн ижилтгэлийг ашигладаг.
• Жишээ 5. Тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан sin x + sin 2x + sin 3x = 0 тэгшитгэлийг 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 тэгшитгэлд хөрвүүлэв. Иймд дараах үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлүүд гарч ирнэ. шийдвэрлэх шаардлагатай: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Өнцөг олох мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэфункцууд.

  • Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж сурахаасаа өмнө функцүүдийн мэдэгдэж буй утгуудаас өнцгийг хэрхэн олохыг сурах хэрэгтэй. Үүнийг хөрвүүлэх хүснэгт эсвэл тооцоолуур ашиглан хийж болно.
  • Жишээ нь: cos x = 0.732. Тооцоологч х = 42.95 градусын хариултыг өгнө. Нэгж тойрог нь нэмэлт өнцгийг өгөх бөгөөд косинус нь мөн 0.732-тэй тэнцүү байна.

• Нэгж тойрог дээр уусмалыг хойш тавь.

  • Та нэгж тойрог дээр тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг тавьж болно. Нэгж тойрог дээрх тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлүүд нь ердийн олон өнцөгтийн оройнууд юм.
  • Жишээ: Нэгж тойрог дээрх x = π/3 + πn/2 шийдлүүд нь квадратын оройнууд юм.
  • Жишээ: Нэгж тойрог дээрх x = π/4 + πn/3 шийдлүүд нь жирийн зургаан өнцөгтийн оройнууд юм.

• Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга.

  • Хэрэв өгөгдсөн тригонометрийн тэгшитгэл нь зөвхөн нэг тригонометрийн функцийг агуулж байвал энэ тэгшитгэлийг үндсэн тригонометрийн тэгшитгэл болгон шийд. Хэрэв өгөгдсөн тэгшитгэлд хоёр ба түүнээс дээш тригонометрийн функц багтсан бол ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 2 арга байдаг (түүний хувиргалтын боломжоос хамааран).
    • Арга 1
  • Энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувирга: f(x)*g(x)*h(x) = 0, f(x), g(x), h(x) нь үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлүүд юм.
  • Жишээ 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Шийдэл. sin 2x = 2*sin x*cos x давхар өнцгийн томьёог ашиглан sin 2x-ийг орлуул.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Одоо cos x = 0 ба (sin x + 1) = 0 гэсэн хоёр үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
  • Жишээ 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Шийдэл: Тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан энэ тэгшитгэлийг cos 2x(2cos x + 1) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувирга. Одоо cos 2x = 0 ба (2cos x + 1) = 0 гэсэн хоёр үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
  • Жишээ 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Шийдэл: Тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан энэ тэгшитгэлийг -cos 2x*(2sin x + 1) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувирга. Одоо cos 2x = 0 ба (2sin x + 1) = 0 гэсэн хоёр үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
    • Арга 2
  • Өгөгдсөн тригонометрийн тэгшитгэлийг зөвхөн нэг тригонометрийн функц агуулсан тэгшитгэл болгон хувирга. Дараа нь энэ тригонометрийн функцийг зарим үл мэдэгдэх функцээр солино, жишээлбэл, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t гэх мэт).
  • Жишээ 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0)< x < 2π).
  • Шийдэл. Энэ тэгшитгэлд (cos^2 x)-г (1 - sin^2 x)-аар солино (тодорхойлолтын дагуу). Хувиргасан тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x-г t-ээр солино. Одоо тэгшитгэл нь: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Энэ нь t1 = -1 ба t2 = 9/5 гэсэн хоёр үндэстэй квадрат тэгшитгэл юм. Хоёрдахь язгуур t2 нь функцийн хүрээг хангахгүй (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Жишээ 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Шийдэл. tg x-г t-ээр солино. Анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичнэ үү: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Одоо t-ийг олоод t = tg x-ийн хувьд х-г ол.

Таны хувийн нууц бидэнд чухал. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын бодлогыг уншаад асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг:

• Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь тантай холбоо барьж, онцгой санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй урамшуулалд оролцох юм бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар болон / эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Хэрэв бид аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон нийтийн ашиг сонирхлын бусад зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны талаарх мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх эсвэл худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох гуравдагч этгээдийн өв залгамжлагчид шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, буруугаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хадгалах

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын талаар ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

"А авах" видео хичээл нь математикийн шалгалтыг 60-65 оноогоор амжилттай өгөхөд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно. Профайлын 1-13-р бүх даалгаврыг математикт ашиглах. Мөн математикийн үндсэн хэрэглээг давахад тохиромжтой. Шалгалтаа 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутанд алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн шалгалтын 1-р хэсэг (эхний 12 бодлого) болон 13-р асуудал (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70 гаруй оноо бөгөөд зуун оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгч ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Шалгалтын хурдан шийдэл, занга, нууц. FIPI Банкны даалгаврын 1-р хэсгийн холбогдох бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Уг сургалт нь USE-2018 стандартын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Сургалтанд 5 орно том сэдвүүд, тус бүр 2.5 цаг. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Олон зуун шалгалтын даалгавар. Текстийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Онол, лавлах материал, бүх төрлийн USE даалгаврын дүн шинжилгээ. Стереометр. Шийдвэрлэх заль мэх, хэрэгтэй хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь - 13-р даалгавар руу. Шатлахын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын визуал тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Шалгалтын 2-р хэсгийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх үндэс.

Тригонометрийн тэгшитгэл бол хамгийн хялбар сэдэв биш юм. Тэд олон янз байдаг.) ​​Жишээ нь:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

гэх мэт...

Гэхдээ эдгээр (болон бусад бүх) тригонометрийн мангасууд нь нийтлэг бөгөөд заавал байх ёстой хоёр шинж чанартай байдаг. Нэгдүгээрт - та итгэхгүй байх болно - тэгшитгэлд тригонометрийн функцууд байдаг.) ​​Хоёрдугаарт: x-тэй бүх илэрхийлэл эдгээр ижил функцүүдийн хүрээнд.Зөвхөн тэнд! Хэрэв x хаа нэгтээ гарч ирвэл гадна,Жишээлбэл, sin2x + 3x = 3,Энэ нь холимог төрлийн тэгшитгэл байх болно. Ийм тэгшитгэл нь хувь хүний ​​хандлагыг шаарддаг. Энд бид тэдгээрийг авч үзэхгүй.

Бид энэ хичээл дээр бас муу тэгшитгэлийг шийдэхгүй.) Энд бид шийдвэрлэх болно Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд.Яагаад? Тийм ээ, учир нь шийдвэр ямар чтригонометрийн тэгшитгэл нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ. Эхний шатанд муу тэгшитгэлийг янз бүрийн хувиргалтаар энгийн тэгшитгэл болгон бууруулдаг. Хоёр дахь нь - энэ хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийдсэн. Өөр арга байхгүй.

Тиймээс, хэрэв танд хоёр дахь шатанд асуудал байгаа бол эхний шат нь тийм ч их утгагүй болно.)

Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд ямар харагддаг вэ?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Энд А ямар ч тоог илэрхийлнэ. Ямар ч.

Дашрамд хэлэхэд, функц дотор цэвэр x биш, харин зарим төрлийн илэрхийлэл байж болно, тухайлбал:

cos(3x+π /3) = 1/2

гэх мэт. Энэ нь амьдралыг хүндрүүлдэг боловч тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргад нөлөөлөхгүй.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр аргаар шийдэж болно. Эхний арга: логик ба тригонометрийн тойрог ашиглах. Бид энэ замыг эндээс судлах болно. Хоёрдахь арга - санах ой, томъёог ашиглах - бид үүнийг авч үзэх болно дараагийн хичээл.

Эхний арга нь ойлгомжтой, найдвартай, мартахад хэцүү.) Энэ нь тригонометрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдал, бүх төрлийн төвөгтэй стандарт бус жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Логик нь ой санамжаас илүү хүчтэй!

Бид тригонометрийн тойрог ашиглан тэгшитгэлийг шийддэг.

Бид энгийн логик, тригонометрийн тойрог ашиглах чадварыг багтаасан. Чи чадахгүй гэж үү!? Гэсэн хэдий ч ... Тригонометрийн хувьд танд хэцүү байх болно ...) Гэхдээ энэ нь хамаагүй. Хичээлүүдийг үзээрэй "Тригонометрийн тойрог...... Энэ юу вэ?"Тэгээд "Тригонометрийн тойрог дээрх өнцгийг тоолох."Тэнд бүх зүйл энгийн байдаг. Сурах бичгээс ялгаатай нь...)

Аа, чи мэдэж байна уу!? Тэгээд бүр эзэмшсэн "Тригонометрийн тойрогтой практик ажил"!? Баяр хүргэе. Энэ сэдэв танд ойр бөгөөд ойлгомжтой байх болно.) Ялангуяа тааламжтай зүйл бол тригонометрийн тойрогт таны аль тэгшитгэлийг шийдэх нь хамаагүй. Синус, косинус, тангенс, котангенс - түүний хувьд бүх зүйл адилхан. Шийдвэрлэх зарчим нь адилхан.

Тиймээс бид аливаа энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг авдаг. Наад зах нь энэ:

cosx = 0.5

Би X-г олох хэрэгтэй байна. Хүний хэлээр ярих юм бол хэрэгтэй косинус нь 0.5 (x) өнцгийг ол.

Бид өмнө нь тойргийг хэрхэн ашигладаг байсан бэ? Бид үүн дээр булан зурсан. градус эсвэл радианаар. Тэгээд тэр даруй харсан Энэ өнцгийн тригонометрийн функцууд. Одоо эсрэгээр нь хийцгээе. Тойрог дээр 0.5-тай тэнцэх косинусыг нэн даруй зур бид харна булан. Хариултыг бичихэд л үлдлээ.) Тийм ээ, тийм!

Бид тойрог зурж, косинусыг 0.5-тай тэнцүү гэж тэмдэглэнэ. Мэдээжийн хэрэг косинусын тэнхлэг дээр. Үүн шиг:

Одоо энэ косинусын бидэнд өгч буй өнцгийг зуръя. Зурган дээр хулганаа аваач (эсвэл таблет дээрх зурган дээр хүрнэ үү). үзнэ үүяг энэ булан X.

Аль өнцгийн косинус 0.5 байх вэ?

x \u003d π / 3

cos 60°= учир( π /3) = 0,5

Зарим хүмүүс эргэлзэж гонгинох болно, тийм ээ... Тэд ямар ч байсан бүх зүйл тодорхой байхад тойргийг хаших нь үнэ цэнэтэй байсан гэж хэлдэг ... Та мэдээж гонгинож болно ...) Гэхдээ энэ бол алдаа юм. хариулах. Өөрөөр хэлбэл, хангалтгүй. Тойрог мэддэг хүмүүс 0.5-тай тэнцэх косинусыг өгдөг олон тооны өнцөг байсаар байгааг ойлгодог.

Хэрэв та хөдлөх тал OA эргүүлэх бол бүтэн эргэлт хийх, А цэг анхны байрлалдаа буцаж ирнэ. Ижил косинус нь 0.5-тай тэнцүү байна. Тэдгээр. өнцөг өөрчлөгдөнө 360° буюу 2π радиан ба косинус биш.Шинэ өнцөг 60° + 360° = 420° нь мөн бидний тэгшитгэлийн шийдэл байх болно, учир нь

Ийм бүрэн эргэлтүүд хязгааргүй олон байдаг... Мөн эдгээр бүх шинэ өнцөг нь бидний тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл байх болно. Тэгээд бүгдийг нь ямар нэгэн байдлаар бичих хэрэгтэй. Бүгд.Үгүй бол шийдвэрийг тооцохгүй, тийм ээ ...)

Математик үүнийг энгийн бөгөөд дэгжин хийж чадна. Нэг богино хариултанд бичээрэй хязгааргүй олонлогшийдлүүд. Энэ нь бидний тэгшитгэлийн хувьд дараах байдалтай байна.

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Би тайлах болно. Бичсээр л байна утга учиртайТэнэг байдлаар нууцлаг үсэг зурахаас илүү сайхан, тийм үү?)

π /3 бидэнтэй ижил өнцөг юм харсантойрог дээр ба тодорхойлсонкосинусын хүснэгтийн дагуу.

2π нь радианаар нэг бүтэн эргэлт юм.

n - энэ бол бүрэн гүйцэд тоо, i.e. бүхэлд ньхувьсгалууд. Энэ нь ойлгомжтой n 0, ±1, ±2, ±3.... гэх мэт байж болно. Богино оруулгад заасны дагуу:

n ∈ Z

n харьяалагддаг ( ∈ ) бүхэл тооны олонлогт ( З ). Дашрамд хэлэхэд, захидлын оронд n үсэг хэрэглэж болно к, м, т гэх мэт.

Энэ тэмдэглэгээ нь та ямар ч бүхэл тоо авч болно гэсэн үг юм n . Хамгийн багадаа -3, хамгийн багадаа 0, хамгийн багадаа +55. Та юу хүсч байна. Хэрэв та энэ дугаарыг хариултдаа оруулбал тодорхой өнцгийг олж авах бөгөөд энэ нь бидний хатуу тэгшитгэлийн шийдэл байх нь дамжиггүй.)

Эсвэл өөрөөр хэлбэл, x \u003d π / 3 хязгааргүй олонлогийн цорын ганц үндэс юм. Бусад бүх үндсийг авахын тулд π / 3 дээр хэдэн ч бүтэн эргэлт нэмэхэд хангалттай. n ) радианаар. Тэдгээр. 2πn радиан.

Бүгд? Үгүй Би ялангуяа таашаалыг сунгаж байна. Илүү сайн санахын тулд.) Бид тэгшитгэлийнхээ хариултуудын зөвхөн хэсгийг л хүлээн авсан. Би уг шийдлийн эхний хэсгийг дараах байдлаар бичнэ.

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - нэг үндэс биш, энэ нь богино хэлбэрээр бичигдсэн бүхэл бүтэн цуврал үндэс юм.

Гэхдээ 0.5-тай тэнцэх косинусыг өгдөг өөр өнцөгүүд байдаг!

Хариултаа бичсэн зураг руугаа буцаж орцгооё. Тэр энд байна:

Зураг дээр хулганыг хөдөлгөж, үзнэ үүөөр нэг булан мөн 0.5 косинусыг өгдөг.Энэ нь юутай тэнцүү гэж та бодож байна вэ? Гурвалжингууд нь адилхан ... Тийм ээ! Энэ нь өнцөгтэй тэнцүү байна X , зөвхөн сөрөг чиглэлд зурсан. Энэ бол булан -Х. Гэхдээ бид x-г аль хэдийн тооцоолсон. π /3 эсвэл 60°. Тиймээс бид аюулгүйгээр бичиж болно:

x 2 \u003d - π / 3

Мэдээжийн хэрэг, бид бүрэн эргэлтээр олж авсан бүх өнцгийг нэмнэ.

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Энэ бол одоо.) Тригонометрийн тойрогт бид харсан(мэдээж хэн ойлгох вэ)) Бүгд 0.5-тай тэнцүү косинусыг өгөх өнцөг. Мөн тэд эдгээр өнцгүүдийг богино математик хэлбэрээр бичжээ. Хариулт нь хоёр төгсгөлгүй цуврал үндэс юм:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Энэ бол зөв хариулт юм.

Найдвар, тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий зарчимтойргийн тусламжтайгаар ойлгомжтой. Өгөгдсөн тэгшитгэлээс бид косинусыг (синус, тангенс, котангенс) тойрог дээр тэмдэглэж, харгалзах өнцгийг зурж, хариултыг бичнэ.Мэдээжийн хэрэг, та бид ямар булантай болохыг олж мэдэх хэрэгтэй харсантойрог дээр. Заримдаа энэ нь тийм ч тодорхой биш байдаг. Миний хэлсэнчлэн энд логик хэрэгтэй.)

Жишээлбэл, өөр тригонометрийн тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийцгээе.

0.5 тоо нь тэгшитгэлийн цорын ганц боломжит тоо биш гэдгийг анхаарна уу!) Үүнийг бичих нь надад үндэс, бутархай гэхээсээ илүү тохиромжтой.

Бид ерөнхий зарчмаар ажилладаг. Бид тойрог зурж, тэмдэглэнэ (мэдээж синус тэнхлэг дээр!) 0.5. Бид энэ синустай тохирох бүх өнцгийг нэг дор зурдаг. Бид энэ зургийг авна:

Эхлээд өнцгийг нь авч үзье. X эхний улиралд. Бид санаж байна синус хүснэгтмөн энэ өнцгийн утгыг тодорхойлно. Асуудал энгийн:

x \u003d π / 6

Бид бүрэн эргэлтүүдийг санаж, цэвэр ухамсартайгаар эхний цуврал хариултуудыг бичнэ.

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ажлын тал нь дууссан. Одоо бид тодорхойлох хэрэгтэй хоёр дахь булан ...Энэ нь косинусуудаас илүү төвөгтэй, тийм ээ ... Гэхдээ логик биднийг аврах болно! Хоёр дахь өнцгийг хэрхэн тодорхойлох вэ х-ээр дамжуулан? Тиймээ амархан! Зурган дээрх гурвалжин нь адилхан, улаан булан X өнцөгтэй тэнцүү байна X . Зөвхөн энэ нь сөрөг чиглэлд π өнцгөөс тоологддог. Тийм учраас улаан өнгөтэй байна.) Мөн хариултын хувьд OX эерэг хагас тэнхлэгээс зөв хэмжсэн өнцөг хэрэгтэй, i.e. 0 градусын өнцгөөс.

Зурган дээр курсорыг аваачиж, бүх зүйлийг харна уу. Зургийг хүндрүүлэхгүйн тулд би эхний буланг арилгасан. Бидний сонирхох өнцөг (ногооноор зурсан) нь дараахтай тэнцүү байх болно.

π - x

x бид үүнийг мэднэ π /6 . Тэгэхээр хоёр дахь өнцөг нь:

π - π /6 = 5π /6

Дахин хэлэхэд бид бүрэн хувьсгалуудыг нэмж санаж, хоёр дахь цуврал хариултыг бичнэ үү.

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Тэгээд л болоо. Бүрэн хариулт нь хоёр цуврал үндэсээс бүрдэнэ.

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Тангенс ба котангенс бүхий тэгшитгэлийг тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ижил ерөнхий зарчмыг ашиглан хялбархан шийдэж болно. Мэдээжийн хэрэг та хэрхэн зурахаа мэдэхгүй л бол тригонометрийн тойрог дээрх тангенс ба котангенс.

Дээрх жишээнүүдэд би синус ба косинусын хүснэгтийн утгыг ашигласан: 0.5. Тэдгээр. оюутны мэддэг утгын нэг ёстой.Одоо боломжоо өргөжүүлье бусад бүх үнэт зүйлс.Шийдээрэй, шийдээрэй!)

Тиймээс бид дараах тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье.

Богино хүснэгтэд косинусын ийм утга байдаггүй. Бид энэ аймшигтай баримтыг үл тоомсорлодог. Бид тойрог зурж, косинусын тэнхлэг дээр 2/3-ыг тэмдэглэж, харгалзах өнцгийг зурна. Бид энэ зургийг авдаг.

Бид эхлээд эхний улиралд өнцгөөр ойлгож байна. x нь хэдтэй тэнцүү болохыг мэдэхийн тулд тэр даруй хариултыг бичнэ! Бид мэдэхгүй... Бүтэлгүйтэл!? Тайвшир! Математик өөрөө асуудалд ордоггүй! Тэрээр энэ тохиолдолд нуман косинусыг зохион бүтээжээ. Мэдэхгүй? Дэмий. Үүнийг олж мэд. Энэ нь таны бодож байгаагаас хамаагүй хялбар юм. Энэ холбоосын дагуу "урвуу тригонометрийн функцууд" -ын талаар нэг ч зальтай ид шид байхгүй ... Энэ сэдэв дээр энэ нь илүүц юм.

Хэрэв та мэдэж байгаа бол "X бол косинус нь 2/3" гэж өөртөө хэлээрэй. Тэгээд тэр даруй, арккосины тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Бид нэмэлт хувьсгалуудын талаар санаж, тригонометрийн тэгшитгэлийн язгуурын эхний цувралыг тайван бичнэ.

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Хоёр дахь цуврал үндэс нь хоёр дахь өнцгийн хувьд бараг автоматаар бичигдсэн байдаг. Бүх зүйл адилхан, зөвхөн x (arccos 2/3) хасахтай байна:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Тэгээд бүх зүйл! Энэ бол зөв хариулт юм. Хүснэгтийн утгуудаас ч хялбар. Та юу ч санах шаардлагагүй.) Дашрамд хэлэхэд, нумын косинусын уусмал бүхий энэ зургийг хамгийн анхааралтай ажиглах болно. cosx = 0.5 тэгшитгэлийн зурагнаас үндсэндээ ялгаагүй.

Яг! Ерөнхий зарчимийм учраас энэ нь нийтлэг юм! Би бараг ижилхэн хоёр зураг тусгайлан зурсан. Тойрог нь бидэнд өнцгийг харуулж байна X косинусаар. Энэ нь хүснэгтийн косинус юм уу үгүй ​​юу - тойрог мэдэхгүй. Энэ ямар өнцөг вэ, π / 3, эсвэл ямар нуман косинусыг бид шийдэх ёстой.

Синустай ижил дуу. Жишээлбэл:

Дахин бид тойрог зурж, синусыг 1/3-тай тэнцүү болгож, булангуудыг зурна. Энэ зураг гарч ирэв:

Мөн дахин зураг нь тэгшитгэлийнхтэй бараг ижил байна sinx = 0.5.Дахин бид эхний улиралд булангаас эхэлдэг. Түүний синус нь 1/3 бол х хэдтэй тэнцүү вэ? Асуудалгүй!

Тиймээс эхний багц үндэс бэлэн боллоо.

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Хоёр дахь өнцгийг харцгаая. Хүснэгтийн 0.5 утгатай жишээн дээр энэ нь дараахтай тэнцүү байв.

π - x

Тэгэхээр энд яг адилхан байх болно! Зөвхөн x нь өөр, arcsin 1/3. Тэгээд юу гэж!? Та хоёр дахь үндэсийг аюулгүйгээр бичиж болно:

x 2 = π - нумын 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Энэ бол бүрэн зөв хариулт юм. Хэдийгээр энэ нь тийм ч танил биш юм шиг санагддаг. Гэхдээ энэ нь ойлгомжтой, би найдаж байна.)

Тойрог ашиглан тригонометрийн тэгшитгэлийг ингэж шийддэг. Энэ зам нь ойлгомжтой бөгөөд ойлгомжтой. Тэр бол өгөгдсөн интервал дахь үндсийг сонгох замаар тригонометрийн тэгшитгэлд хадгалдаг хүн юм тригонометрийн тэгш бус байдал- тэдгээрийг ерөнхийдөө бараг үргэлж тойрог хэлбэрээр шийддэг. Товчхондоо, стандартаас арай илүү төвөгтэй аливаа ажилд.

Мэдлэгээ амьдралд хэрэгжүүлэх үү?

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх:

Эхлээд энэ нь илүү энгийн, шууд энэ хичээл дээр.

Одоо илүү хэцүү болсон.

Зөвлөгөө: энд та тойргийн талаар бодох хэрэгтэй. Хувь хүний ​​хувьд.)

Тэгээд одоо гаднаас нь мадаггүй зөв ... Тэднийг мөн онцгой тохиолдол гэж нэрлэдэг.

синкс = 0

синкс = 1

cosx = 0

cosx = -1

Зөвлөмж: Энд та тойрог дотор хоёр цуврал хариулт, хаана нэг хариулт байгааг олж мэдэх хэрэгтэй ... Мөн хоёр хариултын оронд нэгийг хэрхэн бичих вэ. Тийм ээ, ингэснээр хязгааргүй тооны нэг ч үндэс алга болохгүй!)

За, маш энгийн):

синкс = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Зөвлөмж: энд та мэдэх хэрэгтэй Арксинус, арксинус гэж юу вэ? Нуман тангенс, нуман тангенс гэж юу вэ?Хамгийн энгийн тодорхойлолтууд. Гэхдээ та хүснэгтийн утгыг санах шаардлагагүй!)

Хариултууд нь мэдээж эмх замбараагүй байна):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Бүх зүйл болохгүй байна уу? Болдог. Хичээлээ дахин унш. Зөвхөн бодолтойгоор(ийм зүйл байдаг хуучирсан үг...) Мөн холбоосыг дагана уу. Гол холбоосууд нь тойргийн тухай юм. Тригонометрийн хувьд үүнгүйгээр - нүдийг нь боосон замыг хэрхэн хөндлөн гарах вэ. Заримдаа энэ нь ажилладаг.)

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурах - сонирхолтой!)

функц болон деривативтай танилцах боломжтой.