Квадрат тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдлийн жишээ. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргууд. Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

Беларусь улсын Боловсролын яам

Боловсролын байгууллага

"Гомелийн улсын их сургууль

Франциск Скаринагийн нэрэмжит"

Математикийн факультет

Алгебр ба геометрийн тэнхим

Хамгаалалтад хүлээн зөвшөөрсөн

Толгой Тэнхим Шеметков Л.А.

Тригонометрийн тэгшитгэлба тэгш бус байдал

Курсын ажил

Гүйцэтгэгч:

М-51 бүлгийн оюутан

CM. Горский

Эрдэм шинжилгээний удирдагч Ph.D-M.Sc.,

Ахлах багш

В.Г. Сафонов

Гомель 2008 он

ОРШИЛ

ТРИГОНОМЕТРИЙН тэгшитгэл ШИЙДЭХ ҮНДСЭН АРГА

Факторжуулалт

Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрийг нийлбэр болгон хувиргах замаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Гурвалсан аргументын томъёо ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Зарим тригонометрийн функцээр үржүүлэх

СТАНДАРТ БУС ТРИГОНОМЕТРИЙН тэгшитгэл

тригонометрийн тэгш бус байдал

ҮНДЭСНИЙ СОНГОЛТ

БИЕ ДААН ШИЙДЭХ АЖИЛЛАГАА

ДҮГНЭЛТ

АШИГЛАСАН ЭХ ҮҮСВЭРИЙН ЖАГСААЛТ

Эрт дээр үед тригонометр нь одон орон судлал, газар судлал, барилгын хэрэгцээтэй холбоотойгоор үүссэн бөгөөд өөрөөр хэлбэл энэ нь цэвэр геометрийн шинж чанартай байсан бөгөөд голчлон төлөөлдөг байв.<<исчисление хорд>>. Цаг хугацаа өнгөрөхөд зарим аналитик мөчүүд хоорондоо холилдож эхлэв. 18-р зууны эхний хагаст огцом өөрчлөлт гарч, үүний дараа тригонометр шинэ чиглэл авч, математик анализ руу шилжсэн. Энэ үед тригонометрийн харилцааг функц гэж үзэж эхэлсэн.

Тригонометрийн тэгшитгэл бол сургуулийн математикийн хичээлийн хамгийн хэцүү сэдвүүдийн нэг юм. Тригонометрийн тэгшитгэлүүд нь планиметр, стереометр, одон орон, физик болон бусад салбарын асуудлыг шийдвэрлэхэд үүсдэг. Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдал жилээс жилд төвлөрсөн тестийн даалгавруудын дунд олддог.

Тригонометрийн тэгшитгэл ба алгебрийн тэгшитгэлийн хамгийн чухал ялгаа нь алгебрийн тэгшитгэл нь хязгаарлагдмал тооны язгууртай байдаг бол тригонометрийн тэгшитгэл нь хязгааргүй тооны үндэстэй байдаг нь үндэс сонгоход ихээхэн хүндрэл учруулдаг. Тригонометрийн тэгшитгэлийн өөр нэг онцлог шинж чанар бол хариултыг бичих өвөрмөц бус хэлбэр юм.

Энэхүү дипломын ажил нь тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргуудад зориулагдсан болно.

Диссертаци нь 6 хэсгээс бүрдэнэ.

Эхний хэсэг нь онолын үндсэн мэдээллийг өгдөг: тригонометрийн болон урвуу тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт ба шинж чанарууд; зарим аргументуудын тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгт; тригонометрийн функцийг бусад тригонометрийн функцээр илэрхийлэх нь тригонометрийн илэрхийлэл, ялангуяа урвуу тригонометрийн функцийг агуулсан илэрхийлэлийг хувиргахад маш чухал юм; Сургуулийн хичээлээс сайн мэддэг тригонометрийн үндсэн томъёоноос гадна урвуу тригонометрийн функцийг агуулсан илэрхийллийг хялбарчлах томъёог өгдөг.

Хоёр дахь хэсэгт тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг тоймлон харуулав. Анхан шатны тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл, үржвэрлэх арга, тригонометрийн тэгшитгэлийг алгебрийн тэгшитгэл болгон бууруулах аргуудыг авч үзнэ. Тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг хэд хэдэн аргаар бичиж болох ба эдгээр шийдлүүдийн хэлбэр нь эдгээр шийдлүүд ижил эсвэл өөр эсэхийг шууд тодорхойлох боломжийг олгодоггүй тул<<сбить с толку>> тестийг шийдвэрлэхдээ тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий схемийг авч үзэж, тригонометрийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдүүдийн бүлгүүдийн хувиргалтыг нарийвчлан авч үздэг.

Гурав дахь хэсэгт стандарт бус тригонометрийн тэгшитгэлүүдийг авч үзсэн бөгөөд тэдгээрийн шийдлүүд нь функциональ хандлагад суурилдаг.

Дөрөв дэх хэсэгт тригонометрийн тэгш бус байдлын талаар авч үзнэ. Анхан шатны тригонометрийн тэгш бус байдлыг нэгж тойрог болон график аргаар шийдвэрлэх аргуудыг нарийвчлан авч үзсэн болно. Анхан бус тригонометрийн тэгш бус байдлыг энгийн тэгш бус байдлын тусламжтайгаар шийдвэрлэх үйл явц, сургуулийн сурагчдад аль хэдийн сайн мэддэг интервалын аргыг тайлбарласан болно.

Тав дахь хэсэгт тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхэд төдийгүй зарим нөхцлийг хангасан олсон үндэсүүдээс үндсийг сонгох шаардлагатай үед хамгийн хэцүү даалгавруудыг танилцуулав. Энэ хэсэг нь эх сонгох ердийн ажлуудын шийдлүүдийг өгдөг. Үндэс сонгоход шаардлагатай онолын мэдээллийг өгсөн болно: бүхэл тооны багцыг салангид дэд олонлогт хуваах, бүхэл тоогоор тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (диафантин).

Зургаа дахь хэсэгт бие даан шийдвэрлэх даалгавруудыг тест хэлбэрээр үзүүлэв. 20 тестийн даалгавар нь төвлөрсөн шалгалтын явцад тулгарч болох хамгийн хэцүү даалгавруудыг агуулдаг.

Анхан шатны тригонометрийн тэгшитгэлүүд

Анхан шатны тригонометрийн тэгшитгэлүүд нь --- тригонометрийн функцүүдийн нэг нь: , , , .

Анхан шатны тригонометрийн тэгшитгэл нь хязгааргүй олон үндэстэй. Жишээлбэл, дараах утгууд нь тэгшитгэлийг хангана: , , , гэх мэт. Тэгшитгэлийн бүх язгуурыг олох ерөнхий томъёо нь дараах байдалтай байна.

Энд энэ нь бүхэл тоон утгыг авч болно, тэдгээр нь тус бүр нь тэгшитгэлийн тодорхой үндэстэй тохирч байна; Энэ томъёонд (мөн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бусад томъёонд) гэж нэрлэдэг. параметр. Тэд ихэвчлэн гэж бичдэг бөгөөд ингэснээр параметр нь бүхэл тоон утгыг хүлээн авах боломжтой гэдгийг онцолдог.

, тэгшитгэлийн шийдийг томъёогоор олно

Томьёог ашиглан тэгшитгэлийг шийддэг

ба тэгшитгэл нь томъёогоор байна

Ерөнхий томьёо ашиглахгүйгээр шийдлийг бичиж болох энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн зарим онцгой тохиолдлыг онцгойлон авч үзье.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тригонометрийн функцүүдийн үе чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Тиймээс бид хоёр ашигтай теоремыг танилцуулж байна:

Теорем Хэрэв --- функцийн үндсэн үе бол тоо нь функцийн үндсэн үе болно.

Функцийн хугацаа ба хэрэв байгаа бол харьцуулах боломжтой гэж хэлдэг бүхэл тооТэгээд юу гэж .

Теорем Хэрэв үечилсэн функц ба , тэнцүү ба -тай бол тэдгээр нь нийтлэг үетэй байх бөгөөд энэ нь , , функцүүдийн үе юм.

Теорем нь , , , функцийн үе нь үндсэн үе байх албагүй гэж заасан байдаг. Жишээлбэл, функцүүдийн үндсэн үе ба --- , тэдгээрийн бүтээгдэхүүний үндсэн үе --- .

Туслах аргументыг танилцуулж байна

Маягтын илэрхийлэлийг хувиргах стандарт аргаар нь дараах техник юм: let --- булан, тэгшитгэлээр өгөгдсөн , . Ямар ч тохиолдолд ийм өнцөг байдаг. Тиймээс . Хэрэв , эсвэл , , , бусад тохиолдолд.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх схем

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бидний баримтлах үндсэн схем нь дараах байдалтай байна.

өгөгдсөн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь энгийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд буурдаг. Шийдэл --- хөрвүүлэлт, хүчин зүйлчлэл, үл мэдэгдэхийг орлуулах. Үндсэн зарчим бол үндсээ алдахгүй байх явдал юм. Энэ нь дараагийн тэгшитгэл(үүд) рүү шилжихдээ бид нэмэлт (гадны) үндэс гарч ирэхээс айдаггүй, харин зөвхөн "гинжин хэлхээний" дараагийн тэгшитгэл бүрийг (эсвэл салаалсан тохиолдолд тэгшитгэлийн багц) анхаарч үзэх хэрэгтэй гэсэн үг юм. ) нь өмнөх үр дагавар юм. Нэг нь боломжит аргууд root сонголт бол шалгалт юм. Тригонометрийн тэгшитгэлийн хувьд үндэс сонгох, шалгахтай холбоотой бэрхшээл нь дүрмээр бол алгебрийн тэгшитгэлтэй харьцуулахад огцом нэмэгддэг гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. Эцсийн эцэст бид хязгааргүй тооны нэр томъёоноос бүрдэх цувралуудыг шалгах ёстой.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ үл мэдэгдэхийг солих талаар онцгойлон дурдах хэрэгтэй. Ихэнх тохиолдолд шаардлагатай орлуулалтын дараа алгебрийн тэгшитгэлийг олж авдаг. Түүгээр ч барахгүй тэгшитгэлүүд нь тригонометрийн шинж чанартай байдаг тул тийм ч ховор биш юм Гадаад төрх, үндсэндээ тэд тийм биш, эхний алхмаас хойш --- орлуулалтхувьсагч --- алгебр болж хувирах ба тригонометр рүү буцах нь зөвхөн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үе шатанд л тохиолддог.

Дахин нэг удаа сануулъя: үл мэдэгдэх зүйлийг солих ажлыг эхний боломжоор хийх ёстой; орлуулсны дараа үүссэн тэгшитгэлийг үндсийг сонгох үе шатыг багтаасан эцэс хүртэл шийдэж, дараа нь анхны үл мэдэгдэх зүйл рүү буцах ёстой.

Тригонометрийн тэгшитгэлийн нэг онцлог нь хариултыг олон тохиолдолд янз бүрийн аргаар бичиж болно. Тэр ч байтугай тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд хариултыг дараах байдлаар бичиж болно.

1) хоёр цуврал хэлбэрээр: , , ;

2) дотор стандарт хэлбэрЭнэ нь дээрх цувралуудын хослол юм: , ;

3) учир нь , дараа нь хариултыг хэлбэрээр бичиж болно , . (Дараах зүйлд хариултын бичлэгт , , эсвэл параметр байгаа нь автоматаар энэ параметр нь бүх боломжит бүхэл тоон утгыг хүлээн авна гэсэн үг юм. Үл хамаарах зүйлийг зааж өгнө.)

Мэдээжийн хэрэг, жагсаасан гурван тохиолдол нь хэлэлцэж буй тэгшитгэлийн хариултыг бичих бүх боломжийг шавхдаггүй (тэдгээрийн тоо хязгааргүй олон байдаг).

Жишээлбэл, тэгш байдал үнэн байх үед . Тиймээс, эхний хоёр тохиолдолд хэрэв -ээр сольж болно .

Ихэвчлэн хариултыг 2-р цэгийн үндсэн дээр бичдэг. Дараах зөвлөмжийг санах нь зүйтэй: хэрэв ажил тэгшитгэлийг шийдэхэд дуусаагүй бол судалгаа хийх, үндэс сонгох шаардлагатай хэвээр байна, дараа нь бичлэг хийх хамгийн тохиромжтой хэлбэр. 1-д заасан болно. (Тэгшитгэлийн хувьд ижил төстэй зөвлөмжийг өгөх ёстой.)

Хэлснийг харуулсан жишээг авч үзье.

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Хамгийн ойлгомжтой арга бол дараахь зүйл юм. Энэ тэгшитгэл нь хоёр хуваагдана: ба . Тэдгээрийг тус бүрээр нь шийдэж, олж авсан хариултуудыг нэгтгэснээр бид .

Өөр арга зам., дараа нь, сольж, зэрэг бууруулах томъёог ашиглаж байна. Жижиг өөрчлөлтүүдийн дараа бид хаанаас авдаг .

Эхлээд харахад хоёр дахь томъёо нь эхнийхээс онцгой давуу талтай байдаггүй. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид жишээ нь авч үзвэл, энэ нь гарч ирнэ, өөрөөр хэлбэл. тэгшитгэл нь шийдэлтэй байдаг бол эхний арга нь биднийг хариулт руу хөтөлдөг . "Харж", тэгш байдлыг батлах тийм ч амар биш.

Хариулах. .

Тригонометрийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлүүдийн бүлгийг хөрвүүлэх, нэгтгэх

Бид авч үзэх болно арифметик прогресс, хоёр чиглэлд эцэс төгсгөлгүй сунадаг. Энэ прогрессийн гишүүдийг прогрессийн төв эсвэл тэг гишүүн гэж нэрлэгддэг тодорхой гишүүний баруун ба зүүн талд байрлах хоёр бүлэг гишүүдэд хувааж болно.

Хязгааргүй прогрессийн нөхцлүүдийн аль нэгийг тэг тоогоор тогтоосноор бид үлдсэн бүх гишүүний хувьд давхар дугаарлалт хийх шаардлагатай болно: баруун талд байрлах гишүүний хувьд эерэг, тэгээс зүүн талд байгаа гишүүний хувьд сөрөг.

Ерөнхийдөө хэрэв прогрессийн зөрүү нь тэг гишүүн бол хязгааргүй арифметик прогрессийн дурын (th) гишүүний томъёо нь:

Хязгааргүй арифметик прогрессийн аль ч гишүүний томъёоны хувиргалт

1. Хэрэв та прогрессийн зөрүүг тэг гишүүн рүү нэмэх буюу хасах юм бол прогресс өөрчлөгдөхгүй, харин зөвхөн тэг гишүүн шилжих болно, өөрөөр хэлбэл. Гишүүдийн дугаарт өөрчлөлт орно.

2. Хэрэв хувьсагчийн утгын коэффициентийг -ээр үржүүлбэл энэ нь зөвхөн баруун, зүүн бүлгийн гишүүдийн байрлалыг өөрчилнө.

3. Хязгааргүй прогрессийн дараалсан гишүүн бол

жишээ нь, , , ..., , ижил зөрүүтэй прогрессийн төв гишүүнийг дараахтай тэнцүү болго.

дараа нь прогресс болон цуврал прогресс нь ижил тоог илэрхийлдэг.

Жишээ Мөрийг дараах гурван мөрөөр сольж болно: , , .

4. Хэрэв ижил зөрүүтэй хязгааргүй прогрессууд нь ялгаатай арифметик прогресс үүсгэдэг төв гишүүдийн тоотой байвал эдгээр цувааг ялгавартай нэг прогрессоор, мөн эдгээр прогрессийн төв гишүүний аль нэгэнтэй тэнцүү төв гишүүнээр сольж болно. өөрөөр хэлбэл Хэрэв

Дараа нь эдгээр прогрессуудыг нэг болгон нэгтгэнэ:

Жишээ ... хоёулаа нэг бүлэгт нэгтгэгдсэн тул .

Нийтлэг шийдэлтэй бүлгүүдийг нийтлэг шийдэлгүй бүлэг болгон хувиргахын тулд эдгээр бүлгүүдийг нийтлэг үетэй бүлэг болгон задалж, дараа нь дахин давтагдах бүлгүүдийг оруулахгүйгээр үүссэн бүлгүүдийг нэгтгэхийг оролддог.

Факторжуулалт

Үржүүлэх арга нь дараах байдалтай байна: хэрэв

Дараа нь тэгшитгэлийн шийдэл бүр

нь тэгшитгэлийн багцын шийдэл юм

Эсрэг заалт нь ерөнхийдөө худал юм: популяцийн шийдэл бүр тэгшитгэлийн шийдэл биш юм. Үүнийг тус тусын тэгшитгэлийн шийдлүүдийг функцийн тодорхойлолтын мужид оруулахгүй байж болохтой холбон тайлбарлаж байна.

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Үндсэн тригонометрийн таних тэмдгийг ашиглан бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр илэрхийлнэ

Хариулах. ; .

Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргах

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд .

Шийдэл.Томьёог ашигласнаар бид тэнцүү тэгшитгэлийг олж авна

Хариулах. .

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Энэ тохиолдолд тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийн томъёог хэрэглэхээс өмнө багасгах томъёог ашиглах хэрэгтэй. . Үүний үр дүнд бид эквивалент тэгшитгэлийг олж авна

Хариулах. , .

Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрийг нийлбэр болгон хувиргах замаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Хэд хэдэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ томъёог ашигладаг.

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл.

Хариулах. , .

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Томьёог ашигласнаар бид ижил тэгшитгэлийг олж авна.

Хариулах. .

Бууруулах томъёо ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Өргөн хүрээний тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд томьёо гол үүрэг гүйцэтгэдэг.

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Томьёог ашигласнаар бид тэнцүү тэгшитгэлийг олж авна.

Хариулах. ; .

Гурвалсан аргументын томъёо ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Томьёог ашигласнаар бид тэгшитгэлийг олж авна

Хариулах. ; .

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд .

Шийдэл.Бид олж авсан зэрэглэлийг бууруулах томъёог ашиглан: . Өргөдөл гаргаснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Хариулах. ; .

Ижил нэртэй тригонометрийн функцүүдийн тэгш байдал

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Хариулах. , .

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд .

Шийдэл.Тэгшитгэлийг өөрчилье.

Хариулах. .

Жишээ Энэ нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд тэгшитгэлийг хангана

Хэмжээг нь ол.

Шийдэл.Тэгшитгэлээс харахад ийм байна

Хариулах. .

Маягтын нийлбэрийг авч үзье

Эдгээр дүнг үржүүлж, хуваах замаар бүтээгдэхүүн болгон хувиргаж болно, дараа нь бид авна

Энэ техникийг зарим тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох боловч үр дүнд нь гадны үндэс гарч болзошгүйг анхаарах хэрэгтэй. Эдгээр томъёог нэгтгэн дүгнэж үзье:

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Олонлог нь анхны тэгшитгэлийн шийдэл гэдгийг харж болно. Тиймээс тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг үржүүлэх нь нэмэлт үндэс үүсэхэд хүргэхгүй.

Бидэнд байгаа .

Хариулах. ; .

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг үржүүлж, тригонометрийн функцүүдийн үржвэрийг нийлбэр болгон хувиргах томъёог ашиглая.

Энэ тэгшитгэл нь хоёр тэгшитгэлийн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд эндээс ба .

Тэгшитгэлийн язгуур нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул бид хасах хэрэгтэй. Энэ нь багцад хасах шаардлагатай гэсэн үг юм.

Хариулах.Мөн , .

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд .

Шийдэл.Илэрхийлэлийг өөрчилье:

Тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.

Хариулах. .

Тригонометрийн тэгшитгэлийг алгебрийн тэгшитгэл болгон багасгах

Дөрвөлжин болгон бууруулж болно

Хэрэв тэгшитгэл нь хэлбэртэй байвал

дараа нь солих нь квадрат руу хүргэдэг, оноос хойш () Мөн.

Хэрэв нэр томъёоны оронд байгаа бол шаардлагатай орлуулалт нь .

Тэгшитгэл

квадрат тэгшитгэл болгон бууруулна

хэлбэрээр танилцуулах . Аль нь тэгшитгэлийн үндэс биш болохыг шалгахад хялбар бөгөөд орлуулалтыг хийснээр тэгшитгэлийг квадрат болгон бууруулна.

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Үүнийг зүүн тал руу шилжүүлж, -ээр орлуулж, ба -аар илэрхийлье.

Хялбаршуулсаны дараа бид дараахь зүйлийг авна. Нэр томьёог нэр томъёонд хувааж, орлуулах:

- руу буцаж очоод бид олдог .

-ийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүд,

Маягтын тэгшитгэлийг авч үзье

Хаана , , , ..., , --- хүчинтэйтоо. Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа гишүүн бүрд мономиалуудын зэрэг нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл синус ба косинусын градусын нийлбэр нь ижил бөгөөд тэнцүү байна. Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийнба -тай харьцуулах ба дугаарыг дуудна нэгэн төрлийн байдлын үзүүлэлт .

Хэрэв бол тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байх нь тодорхой байна.

Үүний шийдэл нь утгууд, өөрөөр хэлбэл, тоонууд, . Хаалтанд бичсэн хоёр дахь тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн боловч градус нь 1-ээс бага байна.

Хэрэв бол эдгээр тоо нь тэгшитгэлийн үндэс биш юм.

Бид авах үед: , ба тэгшитгэлийн зүүн тал (1) утгыг авна.

Тэгэхээр, ба -ийн хувьд бид тэгшитгэлийн хоёр талыг хувааж болно. Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлийг авна.

Үүнийг орлуулах замаар алгебрийн хэлбэрт амархан буулгаж болно:

Нэг төрлийн индекстэй нэгэн төрлийн тэгшитгэл 1. Тэгшитгэлтэй байх үед .

Хэрэв , тэгвэл энэ тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна , , хаанаас , .

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Энэ тэгшитгэл нь нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн юм. Хоёр хэсгийг хуваавал: , , , .

Хариулах. .

Жишээ Бид хэлбэрийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг олж авах үед

Шийдэл.

Хэрэв бол тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваавал тэгшитгэл гарна , үүнийг орлуулах замаар квадрат болгон хялбархан багасгаж болно: . Хэрэв , тэгвэл тэгшитгэл бодит язгууртай , . Анхны тэгшитгэл нь хоёр бүлэг шийдтэй байна: , , .

Хэрэв , тэгвэл тэгшитгэлд шийдэл байхгүй болно.

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Энэ тэгшитгэл нь хоёр дахь зэрэгтэй нэгэн төрлийн юм. Тэгшитгэлийн хоёр талыг -д хуваавал: . , тэгвэл , , . , , ; ...

Хариулах. .

Тэгшитгэлийг хэлбэрийн тэгшитгэл болгон бууруулна

Үүнийг хийхийн тулд таних тэмдгийг ашиглахад хангалттай

Ялангуяа тэгшитгэлийг орлуулбал нэгэн төрлийн болж буурна , тэгвэл бид тэнцүү тэгшитгэлийг авна:

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн болгон хувиргая:

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваая , бид тэгшитгэлийг авна:

Дараа нь квадрат тэгшитгэлд хүрье. , , , , .

Хариулах. .

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Тэгшитгэлийн хоёр талыг эерэг утгатай болохыг харгалзан квадрат болгоё: , ,

Байг, тэгвэл бид авна , , .

Хариулах. .

Identities ашиглан шийдсэн тэгшитгэл

Дараахь томъёог мэдэх нь ашигтай.

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Ашиглаж, бид авдаг

Хариулах.

Бид томъёог өөрсдөө биш, харин тэдгээрийг гаргаж авах аргыг санал болгож байна.

тиймээс,

Үүний нэгэн адил, .

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд .

Шийдэл.Илэрхийлэлийг өөрчилье:

Тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.

Хүлээн зөвшөөрснөөр бид хүлээн авдаг. , . Тиймээс

Хариулах. .

Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт

Маягтын тригонометрийн тэгшитгэл

Энд --- томъёоны тусламжтайгаар рационал функцийг - , түүнчлэн томъёоны тусламжтайгаар - аргументуудын хувьд рационал тэгшитгэл болгон бууруулж, , , , дараа нь тэгшитгэлийг алгебрийн рационал болгон бууруулж болно. бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтын томъёог ашиглах тэгшитгэл

Томьёог ашиглах нь анхны тэгшитгэлийн OD-ийг нарийсгахад хүргэдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, учир нь энэ нь цэгүүд дээр тодорхойлогдоогүй тул ийм тохиолдолд өнцөг нь анхны тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг шалгах шаардлагатай. .

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Даалгаврын нөхцлийн дагуу. Томьёог хэрэглэж, орлуулалт хийснээр бид олж авна

хаанаас, тиймээс.

Маягтын тэгшитгэл

--- олон гишүүнт хэлбэрийн тэгшитгэлийг үл мэдэгдэхийн өөрчлөлтийг ашиглан шийддэг

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Сэлгээ хийж, үүнийг харгалзан үзвэл бид олж авдаг

хаана, . --- гадны үндэс, учир нь . Тэгшитгэлийн үндэс байна.

Онцлогын хязгаарлалтыг ашиглах

Төвлөрсөн туршилтын практикт шийдэл нь хязгаарлагдмал функц болон . Жишээлбэл:

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл., -ээс хойш, зүүн тал нь хэтрэхгүй ба тэнцүү, хэрэв

Хоёр тэгшитгэлийг хангасан утгыг олохын тулд бид дараах байдлаар ажиллана. Тэдгээрийн аль нэгийг нь шийдье, дараа нь олдсон утгуудын дотроос нөгөөд нь нийцэх утгуудыг сонгох болно.

Хоёр дахь нь эхэлье: , . Дараа нь, .

Зөвхөн тэгш тооны хувьд байх нь тодорхой байна.

Хариулах. .

Дараах тэгшитгэлийг шийдэх замаар өөр нэг санаа хэрэгждэг.

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд .

Шийдэл.Экспоненциал функцийн шинж чанарыг ашиглая: , .

Эдгээр тэгш бус байдлыг гишүүнээр нь нэмбэл бидэнд:

Иймд хоёр тэгшитгэл хангагдсан тохиолдолд энэ тэгшитгэлийн зүүн тал тэнцүү байна:

өөрөөр хэлбэл, , , утгыг авч болно, эсвэл , утгыг авч болно.

Хариулах. , .

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд .

Шийдэл., . Тиймээс, .

Хариулах. .

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл.Бид урвуу тригонометрийн функцийн тодорхойлолтоос -г тэмдэглэе Тэгээд .

Иймээс тэгш бус байдал нь тэгшитгэлээс үүснэ, өөрөөр хэлбэл. . Түүнээс хойш ба , дараа нь ба . Гэсэн хэдий ч ийм учраас.

Хэрэв ба, тэгвэл. Өмнө нь тогтоогдсон учраас дараа нь .

Хариулах. , .

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл.Тэгшитгэлийн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нь .

Эхлээд бид функцийг харуулж байна

Аливаа хүний ​​хувьд энэ нь зөвхөн эерэг утгыг авч болно.

Функцийг дараах байдлаар төсөөлцгөөе.

оноос хойш, дараа нь энэ нь явагддаг, i.e. .

Тиймээс тэгш бус байдлыг батлахын тулд үүнийг харуулах хэрэгтэй . Үүний тулд энэ тэгш бус байдлын хоёр талыг шоо болгоё

Үүссэн тоон тэгш бус байдал нь . Хэрэв бид мөн үүнийг харгалзан үзвэл тэгшитгэлийн зүүн тал нь сөрөг биш байна.

Одоо тэгшитгэлийн баруун талыг харцгаая.

Учир нь , Тэр

Гэсэн хэдий ч энэ нь мэдэгдэж байна . Үүнээс үзэхэд, i.e. тэгшитгэлийн баруун тал нь -ээс хэтрэхгүй. Тэгшитгэлийн зүүн тал нь сөрөг биш гэдгийг өмнө нь нотолсон тул in тэгш байдал нь зөвхөн хоёр тал тэнцүү байх тохиолдолд л боломжтой бөгөөд энэ нь зөвхөн .

Хариулах. .

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл.болон гэж тэмдэглэе . Коши-Буняковскийн тэгш бус байдлыг ашигласнаар бид . Үүнийг дагадаг . Нөгөөтэйгүүр, байдаг . Тиймээс тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Хариулах. .

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл.Тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичье.

Хариулах. .

Тригонометрийн болон хосолсон тэгшитгэлийг шийдвэрлэх функциональ аргууд

Өөрчлөлтийн үр дүнд үүссэн тэгшитгэл бүрийг нэг эсвэл өөр стандарт хэлбэрийн тэгшитгэл болгон бууруулж болохгүй, үүнийг шийдвэрлэх тодорхой арга байдаг. Ийм тохиолдолд функцүүдийн монотон байдал, хязгаарлагдмал байдал, паритет, үе үе гэх мэт шинж чанаруудыг ашиглах нь ашигтай байдаг. Тэгэхээр, хэрэв функцүүдийн аль нэг нь буурч, хоёр дахь нь интервал дээр нэмэгдвэл тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна. Энэ интервал дээр үндэс, энэ үндэс нь өвөрмөц бөгөөд дараа нь жишээлбэл, сонголтоор олж болно. Хэрэв функц нь дээр хязгаарлагдмал, ба , функц нь доор хязгаарлагдмал, ба , тэгшитгэл нь тэгшитгэлийн системтэй тэнцүү байна.

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл.Анхны тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлье

-тай квадрат харьцангуйгаар шийднэ. Дараа нь бид авах,

Хүн амын эхний тэгшитгэлийг шийдье. Функцийн хязгаарлагдмал шинж чанарыг харгалзан үзээд тэгшитгэл нь зөвхөн сегмент дээр үндэстэй байж болно гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна. Энэ интервал дээр функц нэмэгдэж, функц нэмэгдэнэ буурдаг. Тиймээс хэрэв энэ тэгшитгэл нь үндэстэй бол энэ нь өвөрмөц юм. Бид сонголтоор олдог.

Хариулах. .

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл. Let and , тэгвэл анхны тэгшитгэлийг функциональ тэгшитгэл болгон бичиж болно. Функц нь сондгой тул . Энэ тохиолдолд бид тэгшитгэлийг авна.

, ба дээр монотон байгаа тул тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. , нэг үндэстэй.

Хариулах. .

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд .

Шийдэл.Комплекс функцийн деривативын тухай теорем дээр үндэслэн функц нь тодорхой байна буурах (функц буурах, нэмэгдэх, буурах). Үүнээс харахад функц нь тодорхой байна дээр тодорхойлогдсон, буурч байна. Тиймээс энэ тэгшитгэл нь хамгийн ихдээ нэг үндэстэй. Учир нь , Тэр

Хариулах. .

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Гурван интервал дээр тэгшитгэлийг авч үзье.

a) зөвшөөрөх. Тэгвэл энэ олонлог дээр анхны тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. Аль нь интервал дээр ямар ч шийдэл байхгүй, учир нь , , А. Интервал дээр анхны тэгшитгэл нь мөн үндэсгүй, учир нь , А.

б) зөвшөөрөх. Тэгвэл энэ олонлог дээр анхны тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна

интервал дээрх язгуурууд нь , , , .

в) зөвшөөрөх. Тэгвэл энэ олонлог дээр анхны тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна

Аль нь интервал дээр шийдэлгүй, учир нь , ба . Интервал дээр тэгшитгэл нь бас шийдэлгүй, учир нь , , А.

Хариулах. , , , .

Симметрийн арга

Даалгаврын томъёолол нь тэгшитгэл, тэгш бус байдал, систем гэх мэт өвөрмөц шийдлийг шаарддаг тохиолдолд тэгш хэмийн аргыг ашиглахад тохиромжтой. эсвэл шийдлийн тоог тодорхой зааж өгсөн болно. Энэ тохиолдолд өгөгдсөн илэрхийллийн тэгш хэмийг илрүүлэх шаардлагатай.

Мөн тэгш хэмийн янз бүрийн боломжит төрлүүдийг харгалзан үзэх шаардлагатай.

Үүнтэй адил чухал зүйл бол тэгш хэмтэй сэтгэхдээ логик үе шатуудыг чанд дагаж мөрдөх явдал юм.

Ерөнхийдөө тэгш хэм нь зөвхөн шаардлагатай нөхцлийг бий болгох боломжийг олгодог бөгөөд дараа нь тэдгээрийн хүрэлцээг шалгах хэрэгтэй.

Жишээ Тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй параметрийн бүх утгыг ол.

Шийдэл.ба нь тэгш функцууд тул тэгшитгэлийн зүүн тал нь тэгш функц болохыг анхаарна уу.

Тэгэхээр хэрэв --- шийдэлтэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн шийдэл. Хэрэв --- цорын ганц зүйлДараа нь тэгшитгэлийн шийдэл шаардлагатай , .

Бид сонгох болно боломжтойтэгшитгэлийн үндэс байхыг шаарддаг утгууд.

Бусад үнэ цэнэ нь асуудлын нөхцөлийг хангаж чадахгүй гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе.

Гэхдээ сонгогдсон хүмүүс бүгд асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэх нь одоогоор тодорхойгүй байна.

Хангалттай байдал.

1) тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна .

2) тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Энэ нь мэдээжийн хэрэг, хүн бүрт болон . Тиймээс сүүлийн тэгшитгэл нь системтэй тэнцүү байна:

Тиймээс, -ийн тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй болохыг бид нотолсон.

Хариулах. .

Функцийг судлах шийдэл

Жишээ Тэгшитгэлийн бүх шийдэл гэдгийг батал

Бүхэл тоо.

Шийдэл.Анхны тэгшитгэлийн үндсэн үе нь . Тиймээс бид эхлээд энэ тэгшитгэлийг интервал дээр шалгана.

Тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлье.

Микро тооцоолуур ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв бол өмнөх тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг олж авна.

Үүссэн тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид дараахь зүйлийг авна.

Гүйцэтгэсэн тооцоолол нь тухайн сегментэд хамаарах тэгшитгэлийн язгуур нь , ба байна гэж үзэх боломжтой.

Шууд тест нь энэ таамаглалыг баталж байна. Ийнхүү тэгшитгэлийн язгуур нь зөвхөн бүхэл тоо, , байх нь батлагдсан.

Жишээ Тэгшитгэлийг шийд .

Шийдэл.Тэгшитгэлийн үндсэн үеийг олъё. Функц нь үндсэн хугацаатай тэнцүү байна. Функцийн үндсэн үе нь . ба-ийн хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь тэнцүү байна. Иймд тэгшитгэлийн үндсэн үе нь . Let .

Мэдээжийн хэрэг, энэ нь тэгшитгэлийн шийдэл юм. Интервал дээр. Функц нь сөрөг байна. Тиймээс тэгшитгэлийн бусад язгуурыг зөвхөн x ба интервалаас хайх хэрэгтэй.

Микро тооцоолуур ашиглан бид эхлээд тэгшитгэлийн язгуурын ойролцоо утгыг олдог. Үүнийг хийхийн тулд бид функцийн утгуудын хүснэгтийг эмхэтгэдэг интервалууд дээр ба ; өөрөөр хэлбэл интервалууд дээр ба .

0	0	202,5	0,85355342
3	-0,00080306	207	0,6893642
6	-0,00119426	210	0,57635189
9	-0,00261932	213	0,4614465
12	-0,00448897	216	0,34549155
15	-0,00667995	219	0,22934931
18	-0,00903692	222	0,1138931
21	-0,01137519	225	0,00000002
24	-0,01312438	228	-0,11145712
27	-0,01512438	231	-0,21961736
30	-0,01604446	234	-0,32363903
33	-0,01597149	237	-0,42270819
36	-0,01462203	240	-0,5160445
39	-0,01170562	243	-0,60290965
42	-0,00692866	246	-0,65261345
45	0,00000002	249	-0,75452006
48	0,00936458	252	-0,81805397
51	0,02143757	255	-0,87270535
54	0,03647455	258	-0,91803444
57	0,0547098	261	-0,95367586
60	0,07635185	264	-0,97934187
63	0,10157893	267	-0,99482505
66	0,1305352	270	-1
67,5	0,14644661

Хүснэгтээс дараах таамаглалыг хялбархан ялгах боломжтой: сегментэд хамаарах тэгшитгэлийн үндэс нь тоонууд юм: ; ; . Шууд тест нь энэ таамаглалыг баталж байна.

Хариулах. ; ; .

Нэгж тойргийг ашиглан тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Тригонометрийн функцүүдийн нэг болох хэлбэрийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ тэгш бус байдлын шийдлийг хамгийн тодорхой илэрхийлж, хариултыг бичихийн тулд тригонометрийн тойрог ашиглах нь тохиромжтой. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гол арга бол тэдгээрийг хамгийн энгийн төрлийн тэгш бус байдал болгон багасгах явдал юм. Ийм тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх жишээг авч үзье.

Жишээ Тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл.Тригонометрийн тойрог зураад түүн дээр ординат нь давсан цэгүүдийг тэмдэглэе.

Энэ тэгш бус байдлын шийдэл нь . Мөн тодорхой тоо нь заасан интервалаас ямар нэгэн тооноос ялгаатай байвал энэ нь мөн -ээс багагүй байх нь тодорхой байна. Тиймээс та олсон шийдлийн сегментийн төгсгөлд нэмэх хэрэгтэй. Эцэст нь бид анхны тэгш бус байдлын шийдлүүд бүгд байх болно гэдгийг олж мэдсэн .

Хариулах. .

Тангенс ба котангенстай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд шүргэгч ба котангентын шугамын тухай ойлголт хэрэгтэй. Эдгээр нь тригонометрийн тойрогт шүргэгч шулуун шугамууд ба тус тус (Зураг (1) ба (2)) юм.

Хэрэв бид координатын гарал үүсэлтэй туяаг абсцисса тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй өнцөг үүсгэвэл уг туяаг огтлолцох цэгээс тухайн сегментийн урттай болохыг харахад хялбар байдаг. шүргэгч шугам нь энэ туяа абсцисса тэнхлэгтэй хийсэн өнцгийн тангенстай яг тэнцүү байна. Үүнтэй төстэй ажиглалт котангентын хувьд тохиолддог.

Жишээ Тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл.-г тэмдэглэвэл тэгш бус байдал нь хамгийн энгийн хэлбэрийг авна: . Шүргэгчийн хамгийн бага эерэг үетэй (LPP) тэнцүү уртын интервалыг авч үзье. Энэ сегмент дээр шүргэгч шугамыг ашиглан бид үүнийг тогтооно. Одоо NPP функцээс хойш юу нэмэх хэрэгтэйг санацгаая. Тэгэхээр, . Хувьсагч руу буцаж очоод бид үүнийг олж авна.

Хариулах. .

Урвуу тригонометрийн функцтэй тэгш бус байдлыг урвуу тригонометрийн функцуудын график ашиглан шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Үүнийг хэрхэн яаж хийхийг жишээгээр харуулъя.

Тригонометрийн тэгш бус байдлыг графикаар шийдвэрлэх

Хэрэв үечилсэн функц бол тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд урт нь функцийн үетэй тэнцүү сегмент дээр түүний шийдийг олох шаардлагатай гэдгийг анхаарна уу. Анхны тэгш бус байдлын бүх шийдлүүд нь олсон утгуудаас гадна функцийн бүхэл тооны үеээр олдсоноос ялгаатай бүх утгуудаас бүрдэнэ.

Тэгш бус байдлын шийдлийг авч үзье ().

-ээс хойш тэгш бус байдал шийдэлгүй болно. Хэрэв , тэгвэл тэгш бус байдлын шийдүүдийн багц болно --- бөөнбүх бодит тоо.

Let . Синусын функц нь хамгийн бага эерэг үетэй тул тэгш бус байдлыг эхлээд уртын сегмент дээр, жишээлбэл, сегмент дээр шийдэж болно. Бид функцийн графикийг бүтээдэг ба (). хэлбэрийн тэгш бус байдлаар өгөгдсөн: ба хаанаас,

Энэхүү ажилд энгийн болон олимпиадын түвшний тригонометрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзсэн. Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг авч үзсэн бөгөөд үүнээс гадна тодорхой --- онцлогзөвхөн тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын хувьд, мөн тригонометрийн тэгшитгэлд хэрэглэсэн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх ерөнхий функциональ аргууд.

Төгсөлтийн ажил нь онолын үндсэн мэдээллийг өгдөг: тригонометрийн болон урвуу тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт, шинж чанарууд; тригонометрийн функцийг бусад тригонометрийн функцээр илэрхийлэх нь тригонометрийн илэрхийлэл, ялангуяа урвуу тригонометрийн функцийг агуулсан илэрхийлэлийг хувиргахад маш чухал юм; Сургуулийн хичээлээс сайн мэддэг тригонометрийн үндсэн томъёоноос гадна урвуу тригонометрийн функцийг агуулсан илэрхийллийг хялбарчлах томъёог өгдөг. Анхан шатны тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл, үржвэрлэх арга, тригонометрийн тэгшитгэлийг алгебрийн тэгшитгэл болгон бууруулах аргуудыг авч үзнэ. Тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг хэд хэдэн аргаар бичиж болох бөгөөд эдгээр шийдлүүдийн хэлбэр нь эдгээр шийдлүүд ижил эсвэл өөр эсэхийг шууд тодорхойлох боломжийг олгодоггүй тул тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий схемийг авч үзэж, хувиргах арга замыг авч үздэг. тригонометрийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлүүдийн бүлгүүдийг нарийвчлан авч үзсэн болно. Анхан шатны тригонометрийн тэгш бус байдлыг нэгж тойрог болон график аргаар шийдвэрлэх аргуудыг нарийвчлан авч үзсэн болно. Анхан бус тригонометрийн тэгш бус байдлыг энгийн тэгш бус байдлын тусламжтайгаар шийдвэрлэх үйл явц, сургуулийн сурагчдад аль хэдийн сайн мэддэг интервалын аргыг тайлбарласан болно. Үндэс сонгох ердийн ажлуудын шийдлүүдийг өгсөн болно. Үндэс сонгоход шаардлагатай онолын мэдээллийг өгсөн болно: бүхэл тооны багцыг салангид дэд олонлогт хуваах, бүхэл тоогоор тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (диафантин).

Энэхүү дипломын ажлын үр дүнг курсын ажил, дипломын ажил бэлтгэх, сургуулийн сурагчдад сонгон суралцах хичээл бэлтгэхэд сургалтын хэрэглэгдэхүүн болгон ашиглахаас гадна оюутнуудыг элсэлтийн шалгалт, төвлөрсөн шалгалтанд бэлтгэхэд ашиглаж болно.

Выгодский Я.Я., Анхан шатны математикийн гарын авлага. /Выгодский Я.Я. --- М.: Наука, 1970.

Игудисман О., Аман шалгалтын математик / Игудисман О. --- М.: Ирис Пресс, Рольф, 2001.

Азаров А.И., тэгшитгэлүүд / Азаров А.И., Гладун О.М., Федосенко В.С. --- Mn.: Trivium, 1994.

Литвиненко В.Н., Анхан шатны математикийн семинар / Литвиненко В.Н. --- М.: Боловсрол, 1991 он.

Шарыгин И.Ф., Математикийн нэмэлт хичээл: асуудал шийдвэрлэх / Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. --- М.: Боловсрол, 1991 он.

Бардушкин В., Тригонометрийн тэгшитгэл. Үндэс сонголт/B. Бардушкин, А.Прокофьев.// Математик, No12, 2005 х. 23--27.

Василевский А.Б., Математикийн хичээлээс гадуурх ажлын даалгавар / Василевский А.Б. --- М.: Ардын Асвета. 1988. --- 176 х.

Сапунов П.И., Тригонометрийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлүүдийн бүлгүүдийн хувиргалт ба нэгдэл / Сапунов П.И. // Математикийн боловсрол, 1935 оны №3 дугаар.

Бородин П., Тригонометр. Москвагийн Улсын Их Сургуулийн элсэлтийн шалгалтын материал [текст] / П.Бородин, В.Галкин, В.Панферов, И.Сергеев, В.Тарасов // Математик No1, 2005 х. 36--48.

Самусенко А.В., Математик: Өргөдөл гаргагчдын ердийн алдаа: Лавлах гарын авлага / Самусенко А.В., Казаченок В.В. --- Мн.: Дээд сургууль, 1991 он.

Азаров А.И., Шалгалтын асуудлыг шийдвэрлэх функциональ ба график аргууд / Азаров А.И., Барвенов С.А., --- Мн.: Аверсев, 2004.

ТОДОРХОЙЛОЛТ

Тригонометрийн тэгш бус байдал нь тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор хувьсагчийг агуулсан тэгш бус байдал юм.

Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэх нь ихэвчлэн дараах хэлбэрийн хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хүргэдэг: \(\ \sin x a \), \(\ \cos x > a \), \(\ \operatorname(tg) x > a \), \(\ \ operatorname(ctg) x > a \), \(\ \sin x \leq a \), \(\ \cos x \leq a \), \(\ \operatorname(tg) x \leq a \), \ (\ \operatorname(ctg) x \leq a \), \(\ \sin x \geq a \), \(\ \cos \geq a \), \(\ \operatorname(tg) x \geq a \ ), \(\ \операторын нэр(tg) x \geq a \)

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг графикаар эсвэл нэгж тригонометрийн тойрог ашиглан шийддэг.

Тодорхойлолтоор \(\\альфа \) өнцгийн синус нь нэгж тойргийн \(\P_(\alpha)(x, y)\) цэгийн ординат (Зураг 1), косинус нь энэ цэгийн абсцисса. Энэ баримтыг нэгж тойрог ашиглан косинус ба синус бүхий энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээ

Дасгал хийх

Тэгш бус байдлыг шийд \(\ \sin x \leq \frac(\sqrt(3))(2) \)

Шийдвэрлэсэн

\(\ \left|\frac(\sqrt(3))(2)\right| тул энэ тэгш бус байдал шийдэлтэй бөгөөд хоёр аргаар шийдэж болно.

Эхний арга. Энэ тэгш бус байдлыг графикаар шийдье. Үүний тулд синусын \(\ y=\sin x \) (Зураг 2) ба шулуун шугамын \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) графикийг байгуулъя. нэг координатын систем

\(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) шулуун шугамын графикийн доор синусоид байрлах интервалуудыг тодруулцгаая. Эдгээр графикуудын огтлолцох цэгүүдийн абсциссуудыг \(\ x_(1) \) ба \(\ x_(2) \) олъё: \(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt() 3))(2 )=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_(2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+ 2 \pi=\ frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)

Бид \(\ \left[-\frac(4 \pi)(3) ; \frac(\pi)(3)\right] \) интервалыг авсан боловч \(\ y=\sin x \) функцээс хойш. үе үе бөгөөд үетэй \(\ 2 \pi \) , тэгвэл хариулт нь интервалуудын нэгдэл байх болно: \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac( 7 \pi)(3)+ 2 \pi k\баруун]\), \(\k \in Z\)

Хоёр дахь арга зам. Нэгж тойрог ба шулуун шугам байгуулъя \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \), тэдгээрийн огтлолцлын цэгүүдийг бид \(\ P_(x_(1)) \) ба \ (\ P_(x_(2 )) \) (Зураг 3). Анхны тэгш бус байдлын шийдэл нь \(\ \frac(\sqrt(3))(2) \) -ээс бага ординатын цэгүүдийн багц байх болно. \(\ \boldsymbol(I)_(1) \) ба \(\ \boldsymbol(I)_(2) \)-ийн утгыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлж олъё, \(\ x_(1) 3-р зураг.

\(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_ (2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)

Синусын функцийн үечилсэн байдлыг харгалзан бид эцэст нь \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \ интервалуудыг олж авдаг. pi\right] \), \(\k\-д Z\)

Хариулт\(\ x \in\left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \pi\баруун] \), \(\ k \Z-д\)

Дасгал хийх

\(\ \sin x>2\) тэгш бус байдлыг шийд

Шийдэл

Синус нь хязгаарлагдмал функц юм: \(\ |\sin x| \leq 1 \) , энэ тэгш бус байдлын баруун тал нь нэгээс их тул шийдэл байхгүй.

Хариулт: шийдэл байхгүй.

Дасгал хийх

\(\ \cos x>\frac(1)(2) \) тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл

Энэ тэгш бус байдлыг график болон нэгж тойрог ашиглан хоёр аргаар шийдэж болно. Арга тус бүрийг авч үзье.

Эхний арга. Нэг координатын системд тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талыг дүрсэлсэн функцуудыг, өөрөөр хэлбэл \(\ y=\cos x \) болон \(\ y=\frac(1)(2) \) дүрсэлж үзье. \(\ y=\cos x \) косинусын функцийн график \(\ y=\frac(1)(2) \) шулуун шугамын график дээр байрлах интервалуудыг тодруулъя (Зураг 4. ).

\(\ \boldsymbol(x)_(1) \) ба \(\ x_(2) \) – \(\ y=\cos x) функцийн графикуудын огтлолцох цэгүүдийн абсциссуудыг олъё. \) болон \(\ y=\frac (1)(2) \) , эдгээр нь заасан тэгш бус байдлын аль нэг интервалын төгсгөл юм. \(\x_(1)=-\arccos \frac(1)(2)=-\frac(\pi)(3)\); \(\ x_(1)=\arccos \frac(1)(2)=\frac(\pi)(3) \)

Косинус нь \(\ 2 \pi \) үетэй үечилсэн функц гэдгийг харгалзан үзвэл хариулт нь \(\ \left(-\frac(\pi)) интервалаас \(\ x \) байх болно. (3)+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\баруун) \), \(\ k \in Z \)

Хоёр дахь арга зам. Нэгж тойрог ба шулуун шугамыг \(\x=\frac(1)(2)\) байгуулъя (абсцисса тэнхлэг нь нэгж тойрог дээрх косинусуудтай тохирч байгаа тул). \(\ P_(x_(1)) \) ба \(\ P_(x_(2)) \) (Зураг 5) – шулуун шугам ба нэгж тойргийн огтлолцлын цэгүүдийг тэмдэглэе. Анхны тэгшитгэлийн шийдэл нь \(\ \frac(1)(2) \) -ээс бага абсцисса цэгүүдийн багц байх болно. \(\ x_(1) \) ба \(\ 2 \) -ийн утгыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлж олцгооё, ингэснээр \(\ x_(1) Косинусын үечилсэн байдлыг харгалзан бид эцэст нь интервалуудыг авна \( \ \left(-\frac (\pi)(3)+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \),\(\k \in Z\)

Хариулт: \(\ x \in\left(-\frac(\pi)(3)+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \), \(\ k\in Z\)

Дасгал хийх

\(\ \operatorname(ctg) x \leq-\frac(\sqrt(3))(3) \) тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл

\(\ y=\operatorname(ctg) x \), \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3) \) функцуудын графикийг нэг координатын системд байгуулъя.

\(\ y=\operatorname(ctg) x \) функцийн график нь \(\ y=-\frac(\sqrt(3)) шулуун шугамын графикаас өндөргүй байх интервалуудыг онцолж үзье. )(3) \) (Зураг 6) .

\(\ x_(0) \) тэгш бус байдлын аль нэгийн төгсгөл болох \(\ x_(0) \) цэгийн абсциссыг олцгооё \(\ x_(0)=\operatorname(arcctg)\left(-\frac() \sqrt(3))( 3)\баруун)=\pi-\operatorname(arcctg)\left(\frac(\sqrt(3))(3)\баруун)=\pi-\frac(\pi)( 3)=\frac(2 \pi)(3)\)

Энэ интервалын нөгөө төгсгөл нь \(\ \pi \) цэг бөгөөд энэ цэг дэх \(\ y=\operatorname(ctg) x \) функц тодорхойгүй байна. Иймээс энэхүү тэгш бус байдлын шийдлүүдийн нэг нь \(\ \frac(2 \pi)(3) \leq x интервал юм.

Хариулт:\(\x \in\left[\frac(2 \pi)(3)+\pi k ; \pi+\pi k\right) \), \(\k \in Z\)

Нарийн төвөгтэй аргумент бүхий тригонометрийн тэгш бус байдал

Нарийн төвөгтэй аргументтай тригонометрийн тэгш бус байдлыг орлуулах аргыг ашиглан энгийн тригонометрийн тэгш бус байдал болгон бууруулж болно. Үүнийг шийдсэний дараа урвуу орлуулалт хийж, анхны үл мэдэгдэхийг илэрхийлнэ.

Дасгал хийх

Тэгш бус байдлыг шийд \(\ 2 \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-1 \)

Шийдэл

Энэ тэгш бус байдлын баруун талд косинусыг илэрхийлье: \(\ \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-\frac(1)(2) \)

Бид орлуулалтыг хийж \(\ t=2 x+100^(\circ) \) , үүний дараа энэ тэгш бус байдал хамгийн энгийн тэгш бус байдал болж хувирна \(\ \cos t \leq-\frac(1)(2) \)

Нэгжийн тойрог ашиглан үүнийг шийдье. Нэгж тойрог ба шулуун шугамыг байгуулъя \(\ x=-\frac(1)(2) \) . \(\P_(1)\) ба \(\P_(2)\) - шулуун шугам ба нэгж тойргийн огтлолцлын цэгүүдийг тэмдэглэе (Зураг 7).

Анхны тэгш бус байдлын шийдэл нь \(\ -\frac(1)(2)\)-ээс ихгүй абсцисса цэгүүдийн багц байх болно. \(\ P_(1) \) цэг нь өнцөгтэй тохирч байна \(\ 120^(\circ) \) , цэг \(\ P_(2) \) . Тиймээс, косинусын үеийг харгалзан бид \(\ 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq t \leq 240^(\circ)+360^(\circ)-г авна. \cdot n \) ,\(\n\Z-д)

Урвуу өөрчлөлтийг хийцгээе \(\ t=2 x+100^(\circ) 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x+100^(\circ) \leq 240^ (\ circ)+360^(\circ) \cdot n\), \(\n \in Z\)

Эхлээд \(\ 100^(\circ) 120^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \ cdot n \ -ийг хасахын тулд \(\ \mathbf(x) \) гэж илэрхийлье. leq 2 x+100^(\circ)-100^(\circ) \leq 240^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \( \n\ Z\-д); \(\ 20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x \leq 140^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z\)

дараа нь 2-т хуваана \(\ \frac(20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \leq \frac(2 x)(2) \leq \frac(140^ (\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \), \(\n \in Z\); \(\ 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \leq x \leq 70^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \), \(\n \Z-д \)

Хариулт\(\ x \in\left(10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n ; 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n\right) \), \ (\ x \in\left(10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n ; 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n\right) \)

Давхар тригонометрийн тэгш бус байдал

Дасгал хийх

Давхар тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэх \(\ \frac(1)(2)

Шийдэл

\(\ t=\frac(x)(2) \) орлуулалтыг танилцуулъя, тэгвэл анхны тэгш бус байдал \(\ \frac(1)(2) хэлбэрийг авна.

Нэгжийн тойрог ашиглан үүнийг шийдье. Нэгж тойрог дээрх ордны тэнхлэг нь синустай тохирч байгаа тул бид үүн дээр ординат нь \(\ x=\frac(1)(2) \)-ээс их, \(\-ээс бага буюу тэнцүү ординатуудыг сонгоно. \frac(\sqrt(2))(2 ) \) . Зураг 8-д эдгээр цэгүүд нь \(\P_(t_(1))\), \(\P_(t_(2))\) ба \(\P_(t_(3))\) нуман дээр байрлана. , \( \P_(t_(4))\) . \(\ t_(1) \), \(\ t_(2) \), \(\ t_(3) \), \(\ t_(4) \) гэсэн утгыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлж, \ (\t_(1)\(\t_(3)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(2))(2)=\pi-\frac(\pi)(4)=\frac(3\ pi)(4) \);\(\ t_(4)=\pi-\arcsin \frac(1)(2)=\pi-\frac(\pi)(6)=\frac(5 \pi) (6)\)

Тиймээс бид хоёр интервалыг олж авах бөгөөд синус функцийн үечлэлийг харгалзан дараах байдлаар бичиж болно \(\ \frac(\pi)(6)+2 \pi k \leq t \frac(\pi) (4)+2 \ pi k \quad \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k Урвуу өөрчлөлтийг хийцгээе \(\ t=\frac(x)(2) \frac(\pi)( 6)+2 \pi k \ leq \frac(x)(2) \frac(\pi)(4)+2 \pi k \), \(\ \frac(3 \pi)(4)+2 \ pi k \(\ \mathbf( x) \) илэрхийлье, үүний тулд хоёр тэгш бус байдлын бүх талыг 2-оор үржүүлбэл \(\ \frac(\pi)(3)+4 \pi k \leq гарна. x

Хариулт\(\ x \in\left(\frac(\pi)(3)+4 \pi k ; \frac(\pi)(2)+4 \pi k\right] \аяга\left[\frac( 3 \pi)(2)+4 \pi k ; \frac(5 \pi)(3)+4 \pi k\баруун) \), \(\k \in Z \)

ТРИГОНОМЕТРИЙН ТЭГШ БУС БАЙДЛЫГ ШИЙДЭХ АРГА

Хамааралтай байдал. Түүхээс харахад тригонометрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт онцгой байр суурь эзэлдэг. Тригонометр бол сургуулийн хичээл, ерөнхийдөө математикийн шинжлэх ухааны хамгийн чухал хэсгүүдийн нэг гэж бид хэлж чадна.

Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдал нь ерөнхий боловсролын сургуулийн математикийн хичээлд сургалтын материалын агуулга, суралцах явцад бий болох, шаардлагатай боловсролын болон танин мэдэхүйн үйл ажиллагааны арга барилын хувьд гол байруудын нэгийг эзэлдэг бөгөөд олон тооны асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. онолын болон хэрэглээний шинж чанартай асуудлуудын .

Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь тригонометрийн бүх сургалтын материалтай холбоотой оюутнуудын мэдлэгийг системчлэх урьдчилсан нөхцөлийг бүрдүүлдэг (жишээлбэл, тригонометрийн функцүүдийн шинж чанар, тригонометрийн илэрхийлэлийг хувиргах аргууд гэх мэт) бөгөөд судалж буй материалтай үр дүнтэй холбоо тогтоох боломжийг олгодог. алгебр (тэгшитгэл, тэгшитгэлийн эквивалент, тэгш бус байдал, алгебрийн илэрхийллийн ижил хувиргалт гэх мэт).

Өөрөөр хэлбэл, тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх арга техникийг авч үзэх нь эдгээр ур чадварыг шинэ агуулгад шилжүүлэх явдал юм.

Онолын ач холбогдол, түүний олон тооны хэрэглээ нь сонгосон сэдвийн хамаарлын нотолгоо юм. Энэ нь эргээд курсын ажлын зорилго, зорилт, судалгааны сэдвийг тодорхойлох боломжийг олгодог.

Судалгааны зорилго: тригонометрийн тэгш бус байдлын боломжит төрлүүд, тэдгээрийг шийдвэрлэх үндсэн ба тусгай аргуудыг нэгтгэн дүгнэх, сургуулийн сурагчдын тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх багц асуудлыг сонгох.

Судалгааны зорилго:

1. Судалгааны сэдвээр байгаа уран зохиолын дүн шинжилгээнд үндэслэн материалыг системчлэх.

2. “Тригонометрийн тэгш бус байдал” сэдвийг нэгтгэхэд шаардлагатай багц даалгавруудыг өг.

Судалгааны объект нь сургуулийн математикийн хичээлийн тригонометрийн тэгш бус байдал юм.

Судалгааны сэдэв: тригонометрийн тэгш бус байдлын төрлүүд, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга.

Онолын ач холбогдол материалыг системчлэх явдал юм.

Практик ач холбогдол: асуудлыг шийдвэрлэхэд онолын мэдлэгийг ашиглах; тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үндсэн нийтлэг аргуудын шинжилгээ.

Судалгааны аргууд : шинжлэх ухааны уран зохиолд дүн шинжилгээ хийх, олж авсан мэдлэгийг нэгтгэх, нэгтгэх, асуудлыг шийдвэрлэхэд дүн шинжилгээ хийх, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх оновчтой аргуудыг хайх.

§1. Тригонометрийн тэгш бус байдлын төрлүүд, тэдгээрийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд

1.1. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдал

эсвэл > тэмдгээр холбогдсон хоёр тригонометрийн илэрхийллийг тригонометрийн тэгш бус байдал гэнэ.

Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гэдэг нь тэгш бус байдлыг хангасан тэгш бус байдалд орсон үл мэдэгдэх утгуудын багцыг олохыг хэлнэ.

Тригонометрийн тэгш бус байдлын үндсэн хэсгийг хамгийн энгийн шийдэл болгон бууруулж шийддэг.

Энэ нь хүчин зүйлчлэл, хувьсагчийг өөрчлөх арга байж болно (
,
гэх мэт), ердийн тэгш бус байдлыг эхлээд шийдэж, дараа нь хэлбэрийн тэгш бус байдал
гэх мэт, эсвэл бусад аргууд.

Хамгийн энгийн тэгш бус байдлыг хоёр аргаар шийдэж болно: нэгж тойрог ашиглах эсвэл графикаар.

Болъёf(x  - тригонометрийн үндсэн функцүүдийн нэг. Тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд
түүний шийдлийг нэг хугацаанд олоход хангалттай, өөрөөр хэлбэл. урт нь функцийн үетэй тэнцүү аль ч сегмент дээре  x  . Тэгвэл анхны тэгш бус байдлын шийдэл бүгд олдоноx , түүнчлэн функцийн бүхэл тоогоор олдсон утгуудаас ялгаатай утгууд. Энэ тохиолдолд график аргыг ашиглах нь тохиромжтой.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритмын жишээг өгье
(
) Мөн
.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм
(
).

1. Тооны синусын тодорхойлолтыг томъёолx нэгж тойрог дээр.

3. Ординатын тэнхлэг дээр цэгийг координатаар тэмдэглэнэа .

4. Энэ цэгээр OX тэнхлэгтэй параллель шулуун зурж, огтлолцох цэгүүдийг тойрогоор тэмдэглэнэ.

5. Бүх цэгүүд нь ординатаас бага байх тойргийн нумыг сонгоа .

6. Тойргийн чиглэлийг (цагийн зүүний эсрэг) зааж, интервалын төгсгөлд функцийн үеийг нэмж хариултыг бичнэ үү.2πn ,
.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм
.

1. Тооны шүргэгчийн тодорхойлолтыг томъёолx нэгж тойрог дээр.

2. Нэгж тойрог зур.

3. Шүргэгчийн шугамыг зурж, ординат бүхий цэгийг тэмдэглэа .

4. Энэ цэгийг эхтэй холбож, үүссэн сегментийн огтлолцлын цэгийг нэгж тойрогтой тэмдэглэнэ.

5. Бүх цэгүүд нь шүргэгч шулуун дээр ординаттай байхаас бага тойргийн нумыг сонгоа .

6. Гүйлтийн чиглэлийг зааж, функцийн тодорхойлолтын мужийг харгалзан цэг нэмж хариултыг бичнэ үү.πn ,
(оруултын зүүн талд байгаа тоо нь баруун талд байгаа тооноос үргэлж бага байдаг).

Энгийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийн график тайлбар, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх томъёо ерөнхий үзэлхавсралтад (Хавсралт 1 ба 2) заасан болно.

Жишээ 1. Тэгш бус байдлыг шийд
.

Нэгж тойрог дээр шулуун шугам зур
, энэ нь тойрогтой А ба В цэгүүдээр огтлолцдог.

Бүх утгаy интервал дээр NM илүү байна , AMB нумын бүх цэгүүд энэ тэгш бус байдлыг хангаж байна. Бүх эргэлтийн өнцөгт, том , гэхдээ бага ,
илүү их үнэ цэнийг авах болно (гэхдээ нэгээс илүүгүй).

Зураг 1

Тиймээс тэгш бус байдлын шийдэл нь интервал дахь бүх утгууд байх болно
, өөрөөр хэлбэл
. Энэ тэгш бус байдлын бүх шийдлийг олж авахын тулд энэ интервалын төгсгөлд нэмэхэд хангалттай
, Хаана
, өөрөөр хэлбэл
,
. утгууд гэдгийг анхаарна уу
Тэгээд
тэгшитгэлийн үндэс юм
,

тэдгээр.
;
.

Хариулт:
,
.

1.2. График арга

Практикт тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график арга нь ихэвчлэн ашигтай байдаг. Тэгш бус байдлын жишээг ашиглан аргын мөн чанарыг авч үзье
:

1. Хэрэв аргумент нь төвөгтэй бол (хэрэвX ), дараа нь үүнийг солинот .

2. Бид нэг координатын хавтгайд бүтээдэгтоглоом функцын графикууд
Тэгээд
.

3. Бид ийм зүйл олдогграфикуудын огтлолцох хоёр зэргэлдээ цэг, тэдгээрийн хоорондсинус долгионбайрладагилүү өндөр Чигээрээ
. Бид эдгээр цэгүүдийн абсциссуудыг олдог.

4. Аргументийн давхар тэгш бус байдлыг бичт , косинусын үеийг харгалзан (т олдсон абсциссуудын хооронд байх болно).

5. Урвуу орлуулалт хийж (анхны аргумент руу буцах) утгыг илэрхийлX давхар тэгш бус байдлаас бид хариултыг тоон интервал хэлбэрээр бичнэ.

Жишээ 2. Тэгш бус байдлыг шийдэх: .

График аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ функцүүдийн графикийг аль болох нарийвчлалтай байгуулах шаардлагатай. Тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрт шилжүүлье.

Нэг координатын систем дэх функцүүдийн графикийг байгуулъя
Тэгээд
(Зураг 2).

Зураг 2

Функцийн графикууд цэг дээр огтлолцдогА координатуудтай
;
. Хооронд
график цэгүүд
график цэгүүдийн доор
. Тэгээд хэзээ
функцын утга ижил байна. Тийм ч учраас
цагт
.

Хариулт:
.

1.3. Алгебрийн арга

Ихэнх тохиолдолд анхны тригонометрийн тэгш бус байдлыг зөв сонгосон орлуулалтаар алгебрийн (рационал эсвэл иррационал) тэгш бус байдал болгон бууруулж болно. Энэ арга нь тэгш бус байдлыг хувиргах, орлуулах эсвэл хувьсагчийг орлуулахыг агуулдаг.

Энэ аргыг хэрэглэх тодорхой жишээг авч үзье.

Жишээ 3. Хамгийн энгийн хэлбэрт оруулах
.

(Зураг 3)

Зураг 3

,
.

Хариулт:
,

Жишээ 4. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх:

ОДЗ:
,
.

Томьёог ашиглах:
,

Тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрээр бичье.
.

Эсвэл итгэх
энгийн өөрчлөлтүүдийн дараа бид олж авдаг

,

,

.

Сүүлчийн тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдэж, бид дараахь зүйлийг олж авна.

Зураг 4

, тус тус
. Дараа нь Зураг дээрээс. 4 дагадаг
, Хаана
.

Зураг 5

Хариулт:
,
.

1.4. Интервалын арга

Интервалын аргыг ашиглан тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх ерөнхий схем:

Тригонометрийн томьёог ашиглах хүчин зүйл.

Функцийн тасалдлын цэг ба тэгийг олж тойрог дээр байрлуул.

Ямар ч цэгийг авTO (гэхдээ өмнө нь олдоогүй) ба бүтээгдэхүүний тэмдгийг олж мэдээрэй. Хэрэв бүтээгдэхүүн эерэг байвал тухайн өнцөгт тохирох туяан дээр нэгж тойргийн гадна цэг тавина. Үгүй бол цэгийг тойрог дотор байрлуулна.

Хэрэв цэг тэгш олон удаа тохиолдвол бид үүнийг тэгш үржвэрийн цэг гэж нэрлэдэг бол сондгой олон тооны цэг гэж нэрлэдэг. Дараах байдлаар нуман зурна: цэгээс эхэлнэTO , хэрэв дараагийн цэг нь сондгой үржвэртэй бол нум нь энэ цэг дээр тойргийг огтолно, харин цэг нь тэгш үржвэртэй бол огтлолцохгүй.

Тойргийн ард байгаа нумууд нь эерэг интервалууд юм; тойрог дотор сөрөг орон зай бий.

Жишээ 5. Тэгш бус байдлыг шийдэх

,
.

Эхний цувралын оноо:
.

Хоёр дахь цувралын оноо:
.

Цэг бүр сондгой олон удаа тохиолддог, өөрөөр хэлбэл бүх цэгүүд сондгой үржвэртэй байдаг.

Бүтээгдэхүүний тэмдгийг олж мэдье
: . Нэгж тойрог дээрх бүх цэгүүдийг тэмдэглэе (Зураг 6):

Цагаан будаа. 6

Хариулт:
,
;
,
;
,
.

Жишээ 6 . Тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл:

Илэрхийллийн тэгийг олцгооё .

Хүлээн авахaeм :

,
;

,
;

,
;

,
;

Нэгж тойргийн цувааны утгууд дээрX 1 цэгээр дүрслэгдсэн
. ЦувралX 2 оноо өгдөг
. ЦувралX 3 Бид хоёр оноо авдаг
. Эцэст нь цувралX 4 цэгүүдийг төлөөлөх болно
. Эдгээр бүх цэгүүдийг нэгж тойрог дээр зурж, тэдгээрийн үржвэрийг тус бүрийн хажууд хаалтанд оруулъя.

Одоо тоогоо өгье тэнцүү байх болно. Тэмдэгт дээр үндэслэн тооцоо хийцгээе.

Тэгэхээр, цэгА өнцгийг бүрдүүлж буй цацраг дээр сонгогдох ёстой цацрагтайӨө, нэгж тойргийн гадна. (Туслах цацраг гэдгийг анхаарна ууТУХАЙ А Үүнийг зураг дээр дүрслэх шаардлагагүй. ЦэгА ойролцоогоор сонгосон.)

Одоо цэгээсА бүх тэмдэглэгдсэн цэгүүд рүү дараалан долгионтой тасралтгүй шугам зурна. Мөн цэгүүдэд
Манай шугам нэг хэсгээс нөгөө рүү шилждэг: хэрэв энэ нь нэгж тойргийн гадна байсан бол түүний дотор ордог. Зорилгодоо ойртож байна , шугам нь дотоод бүс рүү буцаж ирдэг, учир нь энэ цэгийн олон талт тэгш байдаг. Яг л цэг дээр (тэгш олон талт) шугамыг гаднах бүс рүү эргүүлэх хэрэгтэй. Тиймээс бид Зураг дээр үзүүлсэн тодорхой зургийг зурсан. 7. Энэ нь нэгжийн тойрог дээр хүссэн хэсгүүдийг тодруулахад тусална. Тэд "+" тэмдгээр тэмдэглэгдсэн байдаг.

Зураг 7

Эцсийн хариулт:

Анхаарна уу. Хэрэв долгионы шугамыг нэгж тойрог дээр тэмдэглэсэн бүх цэгүүдийг дайруулсны дараа цэг рүү буцаах боломжгүйА , "хууль бус" газар тойргийг гатлахгүйгээр энэ нь шийдэлд алдаа гарсан, тухайлбал сондгой тооны үндэс алга болсон гэсэн үг юм.

Хариулт: .

§2. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх бодлогын багц

Сургуулийн сурагчдын тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх явцад 3 үе шатыг ялгаж салгаж болно.

1. бэлтгэл,

2. энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх;

3. бусад төрлийн тригонометрийн тэгш бус байдлын танилцуулга.

Бэлтгэл үе шатны зорилго нь сургуулийн хүүхдүүдэд тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд тригонометрийн тойрог эсвэл график ашиглах чадварыг хөгжүүлэх шаардлагатай.

Хэлбэрийн энгийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадвар
,
,
,
, синус ба косинусын функцүүдийн шинж чанарыг ашиглах;

Тоон тойргийн нуман эсвэл функцийн графикийн нумын хувьд давхар тэгш бус байдлыг бий болгох чадвар;

Тригонометрийн илэрхийллийн янз бүрийн хувиргалтыг хийх чадвар.

Сургуулийн сурагчдын тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарын талаархи мэдлэгийг системчлэх явцад энэ үе шатыг хэрэгжүүлэхийг зөвлөж байна. Гол хэрэгсэл нь оюутнуудад санал болгож, багшийн удирдлаган дор эсвэл бие даан гүйцэтгэх даалгавар, түүнчлэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ур чадвар байж болно.

Ийм ажлуудын жишээ энд байна:

1 . Нэгж тойрог дээр цэг тэмдэглэ , Хэрэв

.

2. Цэг нь координатын хавтгайн аль дөрөвний нэгт байрладаг вэ? , Хэрэв тэнцүү байна:

3. Тригонометрийн тойрог дээрх цэгүүдийг тэмдэглэ , Хэрэв:

4. Илэрхийлэлийг тригонометрийн функц болгон хувиргаIулирал.

A)
, б)
, V)

5. Arc MR өгөгдсөн.М - дундI-р улирал,Р - дундII-р улирал. Хувьсагчийн утгыг хязгаарлахт хувьд: (давхар тэгш бус байдал гаргах) a) нуман MR; б) RM нумууд.

6. Графикийн сонгосон хэсгүүдийн давхар тэгш бус байдлыг бичнэ үү.

Цагаан будаа. 1

7. Тэгш бус байдлыг шийдэх
,
,
,
.

8. Илэрхийлэл хөрвүүлэх .

Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэж сурах хоёр дахь шатанд бид оюутны үйл ажиллагааг зохион байгуулах арга зүйтэй холбоотой дараах зөвлөмжийг санал болгож болно. Энэ тохиолдолд хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад бий болсон тригонометрийн тойрог эсвэл графиктай ажиллах оюутнуудын одоо байгаа ур чадварт анхаарлаа хандуулах шаардлагатай.

Нэгдүгээрт, олж авах боломжийн талаар өдөөх ерөнхий элсэлтХамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдлийг жишээлбэл, хэлбэрийн тэгш бус байдал руу эргүүлэх замаар хүрч болно.
. Бэлтгэл үе шатанд олж авсан мэдлэг, ур чадвараа ашиглан оюутнууд санал болгож буй тэгш бус байдлыг хэлбэрт оруулна
, гэхдээ үүссэн тэгш бус байдлын цогц шийдлүүдийг олоход хэцүү байж магадгүй, учир нь Зөвхөн синус функцийн шинж чанарыг ашиглан үүнийг шийдэх боломжгүй юм. Тохиромжтой дүрслэл (тэгшитгэлийг графикаар шийдэх эсвэл нэгж тойрог ашиглан) хийх замаар энэ хүндрэлээс зайлсхийх боломжтой.

Хоёрдугаарт, багш сурагчдын анхаарлыг татах ёстой янз бүрийн арга замууддаалгаврыг гүйцээж, тэгш бус байдлыг графикаар болон тригонометрийн тойрог ашиглан шийдвэрлэх зохих жишээг өг.

Тэгш бус байдлын дараах шийдлүүдийг авч үзье
.

1. Нэгж тойргийг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.

Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх эхний хичээл дээр бид оюутнуудад тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх үндсэн ур чадварыг алхам алхмаар танилцуулах дэлгэрэнгүй алгоритмыг санал болгох болно.

1-р алхам.Нэгж тойрог зурж ординатын тэнхлэг дээр цэгийг тэмдэглэе түүгээр х тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам татна. Энэ шугам нь нэгж тойргийг хоёр цэгээр огтолно. Эдгээр цэг бүр нь синус нь тэнцүү тоонуудыг илэрхийлдэг .

Алхам 2.Энэ шулуун шугам нь тойргийг хоёр нуман болгон хуваасан. -аас их синустай тоог дүрсэлсэн тоог сонгоцгооё . Мэдээжийн хэрэг, энэ нум нь зурсан шулуун шугамын дээгүүр байрладаг.

Цагаан будаа. 2

Алхам 3.Тэмдэглэгдсэн нумын төгсгөлүүдийн аль нэгийг сонгоно уу. Нэгж тойргийн энэ цэгээр дүрслэгдсэн тоонуудын аль нэгийг бичье .

Алхам 4.Сонгосон нумын хоёр дахь төгсгөлд тохирох тоог сонгохын тулд бид энэ нумын дагуу нэрлэсэн төгсгөлөөс нөгөө рүү "алхдаг". Үүний зэрэгцээ, цагийн зүүний эсрэг хөдөлж байх үед бидний дамжин өнгөрөх тоо нэмэгдэж байгааг санаарай (эсрэг чиглэлд шилжих үед тоо буурах болно). Нэгж тойрог дээр тэмдэглэгдсэн нумын хоёр дахь төгсгөлд дүрслэгдсэн тоог бичье .

Тиймээс бид тэгш бус байдлыг харж байна
тэгш бус байдал үнэн байх тоонуудыг ханга
. Бид синусын функцийн ижил үе дээр байрлах тоонуудын тэгш бус байдлыг шийдсэн. Тиймээс тэгш бус байдлын бүх шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно

Суралцагчдаас зургийг сайтар судалж, тэгш бус байдлын бүх шийдлүүдийн шалтгааныг олж мэдэхийг хүсэх хэрэгтэй
хэлбэрээр бичиж болно
,
.

Цагаан будаа. 3

Косинусын функцийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ ординатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам татдаг болохыг оюутнуудын анхаарлыг татах шаардлагатай.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график арга.

Бид график бүтээдэг
Тэгээд
, үүнийг өгсөн
.

Цагаан будаа. 4

Дараа нь бид тэгшитгэлийг бичнэ
болон түүний шийдвэр
,
,
, томьёо ашиглан олсон
,
,
.

(Өгөхn 0, 1, 2 утгууд, бид эмхэтгэсэн тэгшитгэлийн гурван үндэсийг олдог). Үнэ цэнэ
графикуудын огтлолцох цэгүүдийн дараалсан гурван абсцисса юм
Тэгээд
. Мэдээжийн хэрэг, үргэлж интервал дээр байдаг
тэгш бус байдал бий
, мөн интервал дээр
- тэгш бус байдал
. Бид эхний тохиолдлыг сонирхож байгаа бөгөөд дараа нь энэ интервалын төгсгөлд синусын үеийн олон тооны тоог нэмснээр тэгш бус байдлын шийдлийг олж авна.
зэрэг:
,
.

Цагаан будаа. 5

Дүгнэж хэлье. Тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд
, та харгалзах тэгшитгэлийг үүсгэж, шийдвэрлэх хэрэгтэй. Үүссэн томъёоноос үндсийг ол Тэгээд , тэгш бус байдлын хариултыг дараах хэлбэрээр бичнэ үү. ,
.

Гуравдугаарт, харгалзах тригонометрийн тэгш бус байдлын язгуурын олонлогийн тухай баримтыг графикаар шийдвэрлэхэд маш тодорхой нотлогддог.

Цагаан будаа. 6

Тэгш бус байдлын шийдэл болох эргэлт нь тригонометрийн функцийн үетэй тэнцүү интервалаар давтагдаж байгааг оюутнуудад харуулах шаардлагатай. Та мөн синус функцийн графикийн ижил төстэй дүрслэлийг авч үзэж болно.

Дөрөвдүгээрт, тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг (ялгааг) үржвэр болгон хувиргах техникийг оюутнуудад шинэчлэх ажлыг хийж, тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд эдгээр аргуудын үүрэг рольд оюутнуудын анхаарлыг хандуулахыг зөвлөж байна.

Ийм ажлыг оюутнууд багшийн санал болгосон даалгаврыг бие даан гүйцэтгэх замаар зохион байгуулж болох бөгөөд үүнд бид дараахь зүйлийг онцолж байна.

Тавдугаарт, оюутнуудаас энгийн тригонометрийн тэгш бус байдал бүрийн шийдлийг график эсвэл тригонометрийн тойрог ашиглан дүрслэн харуулахыг шаардах ёстой. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед холбогдох зураглал нь өгөгдсөн тэгш бус байдлын шийдлийн багцыг бүртгэх маш тохиромжтой хэрэгсэл болдог тул та түүний зохистой байдалд, ялангуяа тойргийг ашиглахад анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.

Дараах схемийн дагуу хамгийн энгийн биш тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргуудыг оюутнуудад танилцуулахыг зөвлөж байна: тодорхой тригонометрийн тэгш бус байдал руу шилжих, холбогдох тригонометрийн тэгшитгэл рүү шилжих хамтарсан хайлт (багш - оюутнууд); шийдлийг бие даан шилжүүлэх. ижил төрлийн бусад тэгш бус байдлын олсон арга.

Тригонометрийн талаархи оюутнуудын мэдлэгийг системчлэхийн тулд бид үүнийг шийдвэрлэх явцад хэрэгжүүлж болох янз бүрийн өөрчлөлтийг шаарддаг ийм тэгш бус байдлыг тусгайлан сонгож, оюутнуудын анхаарлыг тэдгээрийн онцлогт төвлөрүүлэхийг зөвлөж байна.

Ийм бүтээмжтэй тэгш бус байдлын хувьд бид жишээлбэл дараахь зүйлийг санал болгож болно.

Дүгнэж хэлэхэд бид тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх асуудлын багцын жишээг өгье.

1. Тэгш бус байдлыг шийд:

2. Тэгш бус байдлыг шийд: 3. Тэгш бус байдлын бүх шийдлийг ол: 4. Тэгш бус байдлын бүх шийдлийг ол:

A)
, нөхцөлийг хангаж байна
;

б)
, нөхцөлийг хангаж байна
.

5. Тэгш бус байдлын бүх шийдийг ол:

A) ;

б) ;

V)
;

G)
;

г)
.

6. Тэгш бус байдлыг шийд:

A) ;

б) ;

V);

G)
;

г);

e);

ба)
.

7. Тэгш бус байдлыг шийд:

A)
;

б) ;

V);

G) .

8. Тэгш бус байдлыг шийд:

A) ;

б) ;

V);

G)
;

г)
;

e);

ба)
;

h) .

Математикийн ахисан түвшний суралцаж буй оюутнуудад 6, 7-р даалгаврыг, математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай ангийн оюутнуудад 8-р даалгаврыг санал болгохыг зөвлөж байна.

§3. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх тусгай аргууд

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тусгай аргууд - өөрөөр хэлбэл зөвхөн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох аргууд. Эдгээр аргууд нь тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарыг ашиглах, түүнчлэн янз бүрийн тригонометрийн томьёо, таних тэмдгүүдийг ашиглахад суурилдаг.

3.1. Салбарын арга

Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх секторын аргыг авч үзье. Маягтын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

, ХаанаП ( x ) ТэгээдQ ( x ) – рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхтэй адил рационал тригонометрийн функцууд (синус, косинус, тангенс ба котангенсууд нь рациональ байдлаар орно). Рационал тэгш бус байдлыг тоон шулуун дээрх интервалын аргыг ашиглан шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Рационал тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аналог нь тригонометрийн тойрог дахь секторуудын арга юм.синкс Тэгээдcosx (
) эсвэл тригонометрийн хагас тойрогtgx Тэгээдctgx (
).

Интервалын аргад хэлбэрийн тоо болон хуваагчийн шугаман хүчин зүйл бүрийг
тооны тэнхлэг дээрх цэгтэй тохирч байна , мөн энэ цэгээр дамжин өнгөрөх үед
тэмдгийг өөрчилдөг. Салбарын аргад маягтын хүчин зүйл бүр
, Хаана
- функцүүдийн нэгсинкс эсвэлcosx Тэгээд
, тригонометрийн тойрогт тохирох хоёр өнцөг байна Тэгээд
, энэ нь тойргийг хоёр секторт хуваадаг. Хажуугаар өнгөрөхдөө Тэгээд функц
тэмдгийг өөрчилдөг.

Дараахь зүйлийг санаж байх ёстой.

a) Маягтын хүчин зүйлүүд
Тэгээд
, Хаана
, бүх утгын тэмдгийг хадгална . Тоолуур ба хуваагчийн ийм хүчин зүйлийг өөрчлөх замаар устгана (хэрэв
) ийм татгалзах бүрт тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.

б) Маягтын хүчин зүйлүүд
Тэгээд
бас хаядаг. Түүнээс гадна, хэрэв эдгээр нь хуваагчийн хүчин зүйлүүд юм бол тэгш бус байдлын эквивалент системд хэлбэрийн тэгш бус байдлыг нэмнэ.
Тэгээд
. Хэрэв эдгээр нь тоологчийн хүчин зүйлүүд юм бол хязгаарлалтын эквивалент системд тэдгээр нь тэгш бус байдалд тохирно.
Тэгээд
хатуу анхны тэгш бус байдлын хувьд, мөн тэгш байдал
Тэгээд
хатуу бус анхны тэгш бус байдлын хувьд. Үржүүлэгчийг хаях үед
эсвэл
тэгш бус байдлын тэмдэг урвуу байна.

Жишээ 1. Тэгш бус байдлыг шийдэх: a)
, б)
. Бидэнд b) функц байна. Бидэнд байгаа тэгш бус байдлыг шийд,

3.2. Төвлөрсөн тойрог арга

Энэ арга нь оновчтой тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх зэрэгцээ тооны тэнхлэгийн аргын аналог юм.

Тэгш бус байдлын системийн жишээг авч үзье.

Жишээ 5. Энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлын системийг шийд

Эхлээд бид тэгш бус байдал бүрийг тусад нь шийддэг (Зураг 5). Зургийн баруун дээд буланд бид тригонометрийн тойргийг аль аргументыг авч үзэхийг зааж өгнө.

Зураг 5

Дараа нь бид аргументийн төвлөрсөн тойргийн системийг бий болгодогX . Бид тойрог зурж, эхний тэгш бус байдлын шийдлийн дагуу сүүдэрлэж, дараа нь илүү том радиустай тойрог зурж, хоёр дахь шийдлийн дагуу сүүдэрлэж, дараа нь бид гурав дахь тэгш бус байдлын тойрог ба суурийн тойрог байгуулна. Бид системийн төвөөс нумануудын төгсгөлд туяа татдаг бөгөөд ингэснээр тэдгээр нь бүх тойрогтой огтлолцдог. Бид үндсэн тойрог дээр уусмал үүсгэдэг (Зураг 6).

Зураг 6

Хариулт:
,
.

Дүгнэлт

Хичээлийн судалгааны бүх зорилго биелсэн. Онолын материалыг системчилсэн: тригонометрийн тэгш бус байдлын үндсэн төрлүүд ба тэдгээрийг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг (график, алгебр, интервалын арга, сектор ба төвлөрсөн тойргийн арга) өгсөн болно. Арга тус бүрт тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээг өгсөн. Онолын хэсгийн дараа практик хэсэг байв. Энэ нь тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх олон даалгавруудыг агуулдаг.

Энэхүү сургалтын ажлыг оюутнууд ашиглах боломжтой бие даасан ажил. Сургуулийн сурагчид энэ сэдвийг эзэмшсэн түвшинг шалгаж, янз бүрийн нарийн төвөгтэй даалгавруудыг гүйцэтгэх дадлага хийх боломжтой.

Энэ асуудлын талаархи холбогдох уран зохиолыг судалсны дараа бид сургуулийн алгебр, анхан шатны шинжилгээний хичээлд тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадвар, ур чадвар маш чухал бөгөөд үүнийг хөгжүүлэх нь математикийн багшаас ихээхэн хүчин чармайлт шаарддаг гэж бид дүгнэж болно.

Иймд энэхүү ажил нь “Тригонометрийн тэгш бус байдал” сэдвээр сурагчдын сургалтыг үр дүнтэй зохион байгуулах боломжийг олгож байгаа тул математикийн багш нарт хэрэг болно.

Судалгааг эцсийн мэргэшлийн ажил болгон өргөжүүлэх замаар үргэлжлүүлж болно.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт

Богомолов, Н.В. Математикийн асуудлын цуглуулга [Текст] / N.V. Богомолов. – М .: тоодог, 2009. – 206 х.

Выгодский, М.Я. Анхан шатны математикийн гарын авлага [Текст] / М.Я. Выгодский. – М .: тоодог, 2006. – 509 х.

Журбенко, Л.Н. Жишээ ба бодлого дахь математик [Текст] / Л.Н. Журбенко. – М.: Инфра-М, 2009. – 373 х.

Иванов, О.А. Сургуулийн сурагчид, оюутнууд, багш нарт зориулсан бага ангийн математик [Текст] / О.А. Иванов. – М.: МЦНМО, 2009. – 384 х.

Карп, А.П. 11-р ангид эцсийн давталт, баталгаажуулалтыг зохион байгуулах алгебрийн талаархи даалгавар, шинжилгээний эхлэл [Текст] / A.P. Carp. – М.: Боловсрол, 2005. – 79 х.

Куланин, Э.Д. Математикийн 3000 уралдааны бодлого [Текст] / Э.Д. Куланин. – М.: Iris-press, 2007. – 624 х.

Лейбсон, К.Л. Математикийн практик даалгаврын цуглуулга [Текст] / K.L. Лейбсон. – М .: тоодог, 2010. – 182 х.

Тохой, V.V. Параметрүүдтэй холбоотой асуудлууд ба тэдгээрийн шийдэл. Тригонометр: тэгшитгэл, тэгш бус байдал, систем. 10-р анги [Текст] / V.V. Тохой. – М.: АРКТИ, 2008. – 64 х.

Манова, А.Н. Математик. Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх экспресс багш: оюутан. гарын авлага [Текст] / A.N. Манова. – Ростов-на-Дону: Финикс, 2012. – 541 х.

Мордкович, А.Г. Алгебр ба математик анализын эхлэл. 10-11 анги. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг [Текст] / A.G. Мордкович. – М.: Iris-press, 2009. – 201 х.

Новиков, А.И. Тригонометрийн функц, тэгшитгэл ба тэгш бус байдал [Текст] / A.I. Новиков. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. – 260 х.

Оганесян, В.А. Ерөнхий боловсролын сургуульд математикийн хичээл заах арга зүй: Ерөнхий арга зүй. Сурах бичиг физикийн оюутнуудад зориулсан гарын авлага - дэвсгэр. хуурамч. ped. Инст. [Текст] / V.A. Оганесян. – М.: Боловсрол, 2006. – 368 х.

Оленик, С.Н. Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал. Стандарт бус шийдлийн аргууд [Текст] / С.Н. Оленик. – М.: Факториал хэвлэлийн газар, 1997. – 219 х.

Севрюков, П.Ф. Тригонометр, экспоненциал ба логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдал [Текст] / П.Ф. Севрюков. – М.: Ардын боловсрол, 2008. – 352 х.

Сергеев, I.N. Улсын нэгдсэн шалгалт: Математикийн хариулт, шийдэл бүхий 1000 бодлого. C бүлгийн бүх даалгавар [Текст] / I.N. Сергеев. – М.: Шалгалт, 2012. – 301 х.

Соболев, А.Б. Анхан шатны математик [Текст] / А.Б. Соболев. – Екатеринбург: Дээд мэргэжлийн боловсролын улсын боловсролын байгууллага USTU-UPI, 2005. – 81 х.

Фенко, Л.М. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх, функцийг судлах интервалын арга [Текст] / L.M. Фенко. – М .: тоодог, 2005. – 124 х.

Фридман, Л.М. Онолын үндэслэлМатематик заах арга [Текст] / Л.М. Фридман. – М.: “ЛИБРОКОМ” номын өргөө, 2009. – 248 х.

Хавсралт 1

Энгийн тэгш бус байдлын шийдлийн график тайлбар

Цагаан будаа. 1

Цагаан будаа. 2

Зураг 3

Зураг 4

Зураг 5

Зураг 6

Зураг 7

Зураг 8

Хавсралт 2

Энгийн тэгш бус байдлын шийдэл

Тэгш бус байдал нь a › b хэлбэрийн харилцаа бөгөөд a ба b нь дор хаяж нэг хувьсагч агуулсан илэрхийлэл юм. Тэгш бус байдал нь хатуу - ‹, › ба хатуу бус - ≥, ≤ байж болно.

Тригонометрийн тэгш бус байдал нь F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a хэлбэрийн илэрхийлэл бөгөөд F(x) нь нэг буюу хэд хэдэн тригонометрийн функцээр илэрхийлэгдэнэ. .

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлын жишээ бол: sin x ‹ 1/2. Ийм асуудлыг графикаар шийдвэрлэх нь заншилтай бөгөөд үүнд зориулж хоёр аргыг боловсруулсан болно.

Арга 1 - Функцийн графикаар тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

sin x ‹ 1/2 тэгш бус байдлын нөхцлийг хангах интервалыг олохын тулд та дараах алхмуудыг хийх ёстой.

1. Координатын тэнхлэг дээр y = sin x синусоид байгуулна.
2. Ижил тэнхлэг дээр тэгш бус байдлын тоон аргументын графикийг зурж, өөрөөр хэлбэл OY ординатын ½ цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамыг зур.
3. Хоёр графикийн огтлолцох цэгүүдийг тэмдэглэ.
4. Жишээний шийдэл болох сегментийг сүүдэрлэ.

Илэрхийлэлд хатуу тэмдгүүд байгаа бол огтлолцлын цэгүүд нь шийдэл биш юм. Синусоидын хамгийн бага эерэг үе нь 2π тул хариултыг дараах байдлаар бичнэ.

Хэрэв илэрхийллийн шинж тэмдгүүд нь хатуу биш бол уусмалын интервалыг дөрвөлжин хаалтанд оруулах ёстой - . Асуудлын хариултыг мөн дараах тэгш бус байдлаар бичиж болно.

Арга 2 - Нэгж тойргийг ашиглан тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Үүнтэй төстэй асуудлыг тригонометрийн тойрог ашиглан хялбархан шийдэж болно. Хариултыг олох алгоритм нь маш энгийн:

1. Эхлээд та нэгж тойрог зурах хэрэгтэй.
2. Дараа нь та тойргийн нуман дээрх тэгш бус байдлын баруун талын аргументуудын нумын функцын утгыг тэмдэглэх хэрэгтэй.
3. Нумын функцийн утгыг абсцисса тэнхлэг (OX) -тай параллель өнгөрөх шулуун шугамыг зурах шаардлагатай.
4. Үүний дараа тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдлийн багц болох тойргийн нумыг сонгох л үлдлээ.
5. Хариултыг шаардлагатай хэлбэрээр бичнэ үү.

Син x › 1/2 тэгш бус байдлын жишээн дээр шийдлийн үе шатуудад дүн шинжилгээ хийцгээе. α ба β цэгүүдийг тойрог дээр тэмдэглэсэн - утгууд

α ба β-ээс дээш байрлах нумын цэгүүд нь өгөгдсөн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх интервал юм.

Хэрэв та cos-ийн жишээг шийдэх шаардлагатай бол хариултын нум нь OY биш харин OX тэнхлэгт тэгш хэмтэй байрлана. Та текстийн доорх диаграммд нүгэл ба cos-ийн шийдлийн интервалуудын ялгааг авч үзэж болно.

Тангенс ба котангентын тэгш бус байдлын график шийдэл нь синус ба косинусын аль алинаас нь ялгаатай байх болно. Энэ нь функцүүдийн шинж чанартай холбоотой юм.

Арктангенс ба арккотангенс нь тригонометрийн тойрогтой шүргэгч бөгөөд хоёр функцийн хамгийн бага эерэг үе нь π байна. Хоёрдахь аргыг хурдан бөгөөд зөв ашиглахын тулд нүгэл, cos, tg, ctg утгуудыг аль тэнхлэгт зурсан болохыг санах хэрэгтэй.

Шүргэх шүргэгч нь OY тэнхлэгтэй параллель гүйдэг. Хэрэв бид арктан а-ийн утгыг нэгж тойрог дээр зурвал хоёр дахь шаардлагатай цэг нь диагональ хэсэгт байрлана. Өнцөг

График тэдгээрт чиглэдэг боловч хэзээ ч хүрч чаддаггүй тул тэдгээр нь функцийн таслах цэгүүд юм.

Котангентын хувьд шүргэгч нь OX тэнхлэгтэй параллель гүйдэг ба функц нь π ба 2π цэгүүдэд тасалддаг.

Нарийн төвөгтэй тригонометрийн тэгш бус байдал

Хэрэв тэгш бус байдлын функцийн аргументыг зөвхөн хувьсагчаар биш, харин үл мэдэгдэхийг агуулсан бүхэл илэрхийллээр төлөөлдөг бол бид нарийн төвөгтэй тэгш бус байдлын тухай ярьж байна. Үүнийг шийдвэрлэх үйл явц, журам нь дээр дурдсан аргуудаас арай өөр юм. Дараах тэгш бус байдлын шийдлийг олох хэрэгтэй гэж бодъё.

График шийдэл нь дур мэдэн сонгосон x утгуудыг ашиглан ердийн y = sin x синусоид байгуулах явдал юм. Графикийн хяналтын цэгүүдийн координат бүхий хүснэгтийг тооцоолъё.

Үр дүн нь үзэсгэлэнтэй муруй байх ёстой.

Шийдвэр олоход хялбар болгохын тулд нарийн төвөгтэй функцийн аргументыг орлъё

Хоёр графикийн огтлолцол нь тэгш бус байдлын нөхцөл хангагдсан хүссэн утгуудын талбайг тодорхойлох боломжийг олгодог.

Олдсон сегмент нь t хувьсагчийн шийдэл юм:

Гэсэн хэдий ч даалгаврын зорилго нь үл мэдэгдэх х-ийн бүх боломжит хувилбаруудыг олох явдал юм.

Давхар тэгш бус байдлыг шийдэх нь маш энгийн бөгөөд та π/3-ийг тэгшитгэлийн туйлын хэсгүүдэд шилжүүлж, шаардлагатай тооцооллыг хийх хэрэгтэй.

Даалгаврын хариухатуу тэгш бус байдлын интервал шиг харагдах болно:

Ийм асуудал нь оюутнуудаас тригонометрийн функцийг удирдах туршлага, ур чадвар шаарддаг. Бэлтгэл ажлын явцад илүү олон сургалтын даалгавруудыг шийдвэрлэх тусам оюутан Улсын нэгдсэн шалгалтын тестийн асуултын хариултыг илүү хялбар, хурдан олох болно.

Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Эхлээд хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх томъёог санацгаая.

1. $sinx=a$

1. $cosx=a$

1. $tgx=a$

1. $ctgx=a$

Энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд эхлээд харгалзах тэгшитгэлийг шийдэж, дараа нь тригонометрийн тойрог ашиглан тэгш бус байдлын шийдийг олох хэрэгтэй. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдлүүдийг жишээн дээр авч үзье.

Жишээ 1

$sinx\ge \frac(1)(2)$

$sinx=\frac(1)(2)$ тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдийг олцгооё.

\ \

Зураг 1. $sinx\ge \frac(1)(2)$ тэгш бус байдлын шийдэл.

Тэгш бус байдал нь "илүү их буюу тэнцүү" тэмдэгтэй тул шийдэл нь тойргийн дээд нуман дээр байрладаг (тэгшитгэлийн шийдэлтэй харьцуулахад).

Хариулт: $\left[\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(5\pi )(6)+2\pi n\right]$.

Жишээ 2

$cosx=\frac(\sqrt(3))(2)$ тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдийг олцгооё.

\ \

Тригонометрийн тойрог дээр шийдлийг тэмдэглэе

Тэгш бус байдал нь "бага" тэмдэгтэй тул шийдэл нь зүүн талд байрлах тойргийн нуман дээр байрладаг (тэгшитгэлийн шийдэлтэй харьцуулахад).

Хариулт: $\left(\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(11\pi )(6)+2\pi n\right)$.

Жишээ 3

$tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$

$tgx=\frac(\sqrt(3))(3)$ тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдийг олцгооё.

\ \

Энд бас тодорхойлолтын домэйн хэрэгтэй. Бидний санаж байгаагаар Z$ дахь шүргэгч функц $x\ne \frac(\pi )(2)+\pi n,n\

Тригонометрийн тойрог дээр шийдлийг тэмдэглэе

Зураг 3. $tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$ тэгш бус байдлын шийдэл.

Тэгш бус байдал нь "бага буюу тэнцүү" гэсэн тэмдэгтэй тул шийдэл нь 3-р зурагт цэнхэрээр тэмдэглэгдсэн дугуй нумууд дээр байрладаг.

Хариулт:$\ \left(-\frac(\pi )(2)+2\pi n\баруун.,\зүүн.\frac(\pi )(6)+2\pi n\баруун]\аяга \зүүн (\frac(\pi )(2)+2\pi n,\баруун.\зүүн.\frac(7\pi )(6)+2\pi n\баруун]$

Жишээ 4

$ctgx=\sqrt(3)$ тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдийг олцгооё.

\ \

Энд бас тодорхойлолтын домэйн хэрэгтэй. Бидний санаж байгаагаар Z$ дахь тангенсийн функц $x\ne \pi n,n\

Тригонометрийн тойрог дээр шийдлийг тэмдэглэе

Зураг 4. $ctgx\le \sqrt(3)$ тэгш бус байдлын шийдэл.

Тэгш бус байдал нь "илүү" тэмдэгтэй тул шийдэл нь 4-р зурагт цэнхэрээр тэмдэглэгдсэн дугуй нуман дээр байрладаг.

Хариулт:$\ \left(2\pi n,\frac(\pi )(6)+2\pi n\right)\аяга \left(\pi +2\pi n,\frac(7\pi )( 6)+2\pi n\баруун)$