Синус ба косинусын тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ. Тригонометрийн тэгшитгэл - томъёо, шийдэл, жишээ

Та асуудлаа шийдэх нарийн шийдлийг захиалах боломжтой!!!

Тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэлийг (`sin x, cos x, tan x` эсвэл `ctg x`) тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бөгөөд бид цаашид авч үзэх болно.

Хамгийн энгийн тэгшитгэлүүд нь `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` бөгөөд энд `x` нь олох өнцөг, `a` нь дурын тоо юм. Тэд тус бүрийн үндсэн томъёог бичье.

1. `sin x=a` тэгшитгэл.

`|a|>1`-ийн хувьд ямар ч шийдэл байхгүй.

Хэзээ `|a| \leq 1` нь хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Үндэс томьёо: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` тэгшитгэл

`|a|>1`-ийн хувьд - синусын хувьд бодит тоонуудын дунд шийдэл байхгүй.

Хэзээ `|a| \leq 1` нь хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Үндсэн томъёо: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

График дахь синус ба косинусын тусгай тохиолдлууд.

3. `tg x=a` тэгшитгэл

`a`-ын дурын утгын хувьд хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй.

Үндэс томъёо: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` тэгшитгэл

Мөн `a`-ын аль ч утгын хувьд хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй.

Үндэс томъёо: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Хүснэгт дэх тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэсийн томъёо

Синусын хувьд:
Косинусын хувьд:
Тангенс ба котангенсийн хувьд:
Урвуу тригонометрийн функц агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо:

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Аливаа тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

• үүнийг хамгийн энгийн болгон хувиргах тусламжтайгаар;
• дээр бичсэн язгуур томъёо, хүснэгтийг ашиглан олж авсан хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээнүүдийг ашиглан шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг авч үзье.

Алгебрийн арга.

Энэ арга нь хувьсагчийг сольж, тэгш байдал болгон орлуулахыг хэлнэ.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

орлуулах: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, дараа нь `2y^2-3y+1=0`,

Бид язгуурыг олно: `y_1=1, y_2=1/2`, үүнээс дараах хоёр тохиолдол гарна:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Хариулт: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorization.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `sin x+cos x=1`.

Шийдэл. Тэгш байдлын бүх нөхцөлийг зүүн тийш шилжүүлье: `sin x+cos x-1=0`. -ийг ашиглан бид зүүн талыг хувиргаж, хүчин зүйл болгон хуваана:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Хариулт: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Нэг төрлийн тэгшитгэлд буулгах

Эхлээд та энэ тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр хэлбэрийн аль нэг болгон багасгах хэрэгтэй.

`a sin x+b cos x=0` (эхний зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл) эсвэл `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Дараа нь хоёр хэсгийг эхний тохиолдолд `cos x \ne 0', хоёр дахь тохиолдолд `cos^2 x \ne 0' гэж хуваана. Бид мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан шийдвэрлэх шаардлагатай `tg x`: `a tg x+b=0` ба `a tg^2 x + b tg x +c =0`-ийн тэгшитгэлийг олж авдаг.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Шийдэл. Баруун талыг `1=sin^2 x+cos^2 x` гэж бичье:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Энэ бол хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл бөгөөд бид түүний зүүн ба баруун талыг `cos ^ 2 x \ne 0' гэж хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. `t^2 + t - 2=0` болох `tg x=t` орлуулалтыг танилцуулъя. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь `t_1=-2` ба `t_2=1` байна. Дараа нь:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \Z`-д.

Хариулт. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-д`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-д`.

Хагас өнцөг рүү шилжих

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Шийдэл. Давхар өнцгийн томьёог ашиглая: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 тг^2 х/2 — 11 тг х/2 +6=0`

Дээр дурдсан алгебрийн аргыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Хариулт. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Туслах өнцгийн танилцуулга

`a sin x + b cos x =c` тригонометрийн тэгшитгэлд a,b,c нь коэффициент, x нь хувьсагч бөгөөд хоёр талыг `sqrt (a^2+b^2)`-д хуваана:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Зүүн талд байгаа коэффициентүүд нь синус ба косинусын шинж чанартай, тухайлбал тэдгээрийн квадратуудын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү, модулиуд нь 1-ээс ихгүй байна. Тэдгээрийг дараах байдлаар тэмдэглэе: `\frac a(sqrt (a^2). +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, тэгвэл:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Дараах жишээг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `3 sin x+4 cos x=2`.

Шийдэл. Тэгш байдлын хоёр талыг `sqrt (3^2+4^2)`-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` гэж тэмдэглэе. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` тул бид `\varphi=arcsin 4/5`-ийг туслах өнцөг болгон авна. Дараа нь бид тэгш байдлыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Синусын өнцгийн нийлбэрийн томъёог ашигласнаар бид тэгшитгэлээ дараах хэлбэрээр бичнэ.

`нүгэл (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Хариулт. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Бутархай рационал тригонометрийн тэгшитгэлүүд

Эдгээр нь тоологч ба хуваагч нь тригонометрийн функц агуулсан бутархайтай тэнцүү юм.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Шийдэл. Тэгш байдлын баруун талыг `(1+cos x)`-аар үржүүлж хуваа. Үүний үр дүнд бид:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Хуваагч нь 0-тэй тэнцүү байж болохгүй гэж үзвэл Z-д `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ гэсэн утгыг авна.

Бутархайн тоог 0-тэй тэнцүү болгоё: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Дараа нь `sin x=0` эсвэл `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \Z`-д шийдлүүд нь `x=2\pi n, n \in Z` ба `x=\pi /2+2\pi n` байна. , `n \in Z`.

Хариулт. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометр, ба тригонометрийн тэгшитгэлялангуяа геометр, физик, инженерийн бараг бүх салбарт ашигладаг. Хичээл нь 10-р ангиас эхэлдэг, улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар үргэлж байдаг тул тригонометрийн тэгшитгэлийн бүх томъёог санаж байхыг хичээгээрэй - тэдгээр нь танд ашигтай байх болно!

Гэсэн хэдий ч та тэдгээрийг цээжлэх шаардлагагүй, гол зүйл бол мөн чанарыг ойлгож, түүнийг гаргаж авах чадвартай байх явдал юм. Энэ нь санагдаж байгаа шиг хэцүү биш юм. Видеог үзэж өөрөө үзээрэй.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай тохиолдолд - хуульд заасан журмын дагуу, шүүхийн журмаар, мөн/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Бараг аливаа асуудлыг шийдвэрлэх явцад амжилт, бүтэлгүйтэл нь тухайн тэгшитгэлийн төрлийг зөв тодорхойлохоос гадна түүнийг шийдвэрлэх бүх үе шатуудын дарааллыг зөв хуулбарлахаас ихээхэн хамаардаг нь нууц биш юм. Гэсэн хэдий ч тригонометрийн тэгшитгэлийн хувьд тэгшитгэл нь тригонометр болохыг тодорхойлох нь тийм ч хэцүү биш юм. Гэхдээ зөв хариулт руу хөтлөх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхойлох явцад бид тодорхой бэрхшээлтэй тулгарч магадгүй юм. Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн зөв шийдэхийг эхнээс нь олж мэдье.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг туршиж үзэх хэрэгтэй.

• Бид тэгшитгэлд багтсан бүх функцийг "ижил өнцөг" болгон багасгадаг;
• Өгөгдсөн тэгшитгэлийг "ижил функц" болгон авчрах шаардлагатай;
• Бид өгөгдсөн тэгшитгэлийн зүүн талыг хүчин зүйл эсвэл бусад шаардлагатай бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задалдаг.

Арга зүй

Арга 1. Ийм тэгшитгэлийг хоёр үе шаттайгаар шийдэх ёстой. Эхлээд бид тэгшитгэлийг хамгийн энгийн (хялбаршуулсан) хэлбэрийг олж авахын тулд хувиргадаг. Тэгшитгэл: Cosx = a, Sinx = a болон ижил төстэй тэгшитгэлүүдийг хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Хоёр дахь шат бол олж авсан хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийдэх явдал юм. Сургуулийн алгебрийн хичээлээс бидэнд сайн мэддэг алгебрийн аргыг ашиглан хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийдэж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүнийг мөн орлуулах, хувьсах орлуулах арга гэж нэрлэдэг. Бууруулах томъёог ашиглан та эхлээд хувиргаж, дараа нь орлуулалт хийж, үндсийг нь олох хэрэгтэй.

Дараа нь бид тэгшитгэлээ боломжит хүчин зүйлүүдэд оруулах шаардлагатай бөгөөд үүнийг хийхийн тулд бид бүх гишүүнийг зүүн тийш шилжүүлж, дараа нь хүчин зүйл хийж болно. Одоо бид энэ тэгшитгэлийг бүх гишүүд ижил зэрэгтэй тэнцүү, косинус ба синус ижил өнцөгтэй нэгэн төрлийн тэгшитгэлд хүргэх хэрэгтэй.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн өмнө та түүний нөхцөлийг зүүн тал руу шилжүүлж, баруун талаас нь авч, бүх нийтлэг хуваагчийг хаалтанд оруулах хэрэгтэй. Бид хаалт болон хүчин зүйлсээ тэгтэй тэнцүүлдэг. Бидний тэгшитгэсэн хаалтууд нь нүгэл (cos)-д хамгийн дээд зэрэгт хуваагдах ёстой багасгасан зэрэгтэй нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг илэрхийлдэг. Одоо бид тантай холбоотой олж авсан алгебрийн тэгшитгэлийг шийдэж байна.

Арга 2. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэж болох өөр нэг арга бол хагас өнцөгт шилжих явдал юм. Жишээлбэл, бид тэгшитгэлийг шийднэ: 3sinx-5cosx=7.

Бид хагас өнцөг рүү очих хэрэгтэй, бидний тохиолдолд энэ нь: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+ 7cos²(x /2). Үүний дараа бид бүх нэр томъёог нэг хэсэг болгон бууруулж (тохиромжтой байхын тулд зөвийг сонгох нь дээр) тэгшитгэлийг шийдэж үргэлжлүүлнэ.

Шаардлагатай бол та туслах өнцгийг оруулж болно. Энэ нь sin (a) эсвэл cos (a) бүхэл утгыг солих шаардлагатай үед хийгддэг бөгөөд "a" тэмдэг нь зөвхөн туслах өнцгийн үүрэг гүйцэтгэдэг.

Бүтээгдэхүүний нийлбэр

Үржвэрийн нийлбэрийг ашиглан тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ? Бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хувиргах аргыг ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлд тохирох томъёог ашиглах шаардлагатай.

Жишээлбэл, бид 2sinx * sin3x= сos4x тэгшитгэлтэй байна

Бид зүүн талыг нийлбэр болгон хөрвүүлэх замаар энэ асуудлыг шийдэх хэрэгтэй, тухайлбал:

сos 4x –cos8x=cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Хэрэв дээрх аргууд тохиромжгүй бөгөөд энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй хэвээр байгаа бол та өөр аргыг ашиглаж болно - бүх нийтийн орлуулалт. Үүнийг илэрхийлэлийг хувиргах, орлуулахад ашиглаж болно. Жишээ нь: Cos(x/2)=u. Одоо та одоо байгаа u параметрээр тэгшитгэлийг шийдэж болно. Хүссэн үр дүнг хүлээн авсны дараа энэ утгыг эсрэгээр нь хөрвүүлэхээ бүү мартаарай.

Олон "туршлагатай" оюутнууд хүмүүсээс тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэхийг хүсэхийг зөвлөж байна. Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн онлайнаар шийдэх вэ гэж та асууж байна. Асуудлыг онлайнаар шийдэхийн тулд та холбогдох сэдвээр форумд очиж зөвлөгөө өгөх эсвэл асуудлыг шийдвэрлэхэд туслах боломжтой. Гэхдээ үүнийг өөрөө хийхийг хичээсэн нь дээр.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ур чадвар, чадвар нь маш чухал бөгөөд хэрэгцээтэй байдаг. Тэдний хөгжилд чамаас ихээхэн хүчин чармайлт шаардагдана. Физик, стереометр гэх мэт олон асуудал ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхтэй холбоотой байдаг. Ийм асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц нь өөрөө тригонометрийн элементүүдийг судлах явцад олж авч болох ур чадвар, мэдлэгийг бий болгодог.

Тригонометрийн томьёог сурах

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад та тригонометрийн ямар ч томьёог ашиглах хэрэгцээтэй тулгарч магадгүй юм. Мэдээжийн хэрэг та үүнийг сурах бичиг, мэдээллийн хуудаснаасаа хайж эхлэх боломжтой. Хэрэв эдгээр томъёолол таны толгойд хадгалагдвал та мэдрэлээ хэмнээд зогсохгүй шаардлагатай мэдээллийг хайж цагаа үрэхгүйгээр даалгавраа ихээхэн хөнгөвчлөх болно. Тиймээс та асуудлыг шийдэх хамгийн оновчтой аргыг бодож үзэх боломжтой болно.

Олон асуудлыг шийдэхэд математикийн асуудлууд , ялангуяа 10-р ангиас өмнө тохиолдсон үйлдлүүд нь зорилгод хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхой тодорхойлсон байдаг. Ийм бодлогод жишээлбэл, шугаман ба квадрат тэгшитгэл, шугаман ба квадрат тэгш бус байдал, бутархай тэгшитгэл, квадрат болж буурдаг тэгшитгэл орно. Дээр дурдсан асуудал бүрийг амжилттай шийдвэрлэх зарчим нь дараах байдалтай байна: та ямар төрлийн асуудлыг шийдэж байгаагаа тодорхойлох, хүссэн үр дүнд хүргэх шаардлагатай үйлдлүүдийн дарааллыг санах хэрэгтэй, жишээлбэл. хариулж, эдгээр алхмуудыг дагана уу.

Тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд амжилтанд хүрэх эсвэл бүтэлгүйтэх нь үндсэндээ шийдэгдэж буй тэгшитгэлийн төрлийг хэрхэн зөв тодорхойлсон, түүний шийдлийн бүх үе шатуудын дарааллыг хэр зөв гаргахаас хамаардаг нь ойлгомжтой. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд ижил төстэй хувиргалт, тооцоолол хийх чадвартай байх шаардлагатай.

Нөхцөл байдал өөр байна тригонометрийн тэгшитгэл.Тэгшитгэл нь тригонометр гэдгийг батлах нь тийм ч хэцүү биш юм. Зөв хариулт өгөхөд хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхойлоход бэрхшээлтэй тулгардаг.

By Гадаад төрхтэгшитгэл, заримдаа түүний төрлийг тодорхойлоход хэцүү байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг мэдэхгүй бол хэдэн арван тригонометрийн томъёоноос зөвийг нь сонгох нь бараг боломжгүй юм.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг туршиж үзэх хэрэгтэй.

1. тэгшитгэлд орсон бүх функцийг "ижил өнцгөөр" авчрах;
2. тэгшитгэлийг "ижил функц" болгон авчрах;
3. тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл гэх мэт.

Ингээд авч үзье тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд.

I. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл рүү буулгах

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Тригонометрийн функцийг мэдэгдэж буй бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр илэрхийл.

Алхам 2.Томьёог ашиглан функцийн аргументыг ол:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Алхам 3.Үл мэдэгдэх хувьсагчийг ол.

Жишээ.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Шийдэл.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Хариулт: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Хувьсах солих

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Тригонометрийн функцүүдийн аль нэгтэй нь хамааруулан тэгшитгэлийг алгебр хэлбэрт буулга.

Алхам 2.Үүссэн функцийг t хувьсагчаар тэмдэглэнэ (шаардлагатай бол t дээр хязгаарлалт оруулна).

Алхам 3.Үүссэн алгебрийн тэгшитгэлийг бичиж, шийд.

Алхам 4.Урвуу орлуулалт хийх.

Алхам 5.Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Шийдэл.

1) 2(1 – нүгэл 2 (х/2)) – 5син (х/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Гүн (x/2) = t, энд |t| ≤ 1.

3) 2т 2 + 5т + 3 = 0;

t = 1 эсвэл e = -3/2, |t| нөхцөлийг хангахгүй ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Хариулт: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Тэгшитгэлийн эрэмбийг багасгах арга

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Зэрэг бууруулах томъёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэлээр солино.

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Алхам 2.Гарсан тэгшитгэлийг I ба II аргыг ашиглан шийд.

Жишээ.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Шийдэл.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Хариулт: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Нэг төрлийн тэгшитгэл

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Энэ тэгшитгэлийг хэлбэр болгон бууруул

a) a sin x + b cos x = 0 (эхний зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл)

эсвэл харах

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Алхам 2.Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

tan x-ийн тэгшитгэлийг олоорой:

a) хүрэн x + b = 0;

б) шаргал 2 x + b арктан x + c = 0.

Алхам 3.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Шийдэл.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) tg x = t гэж үзье

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 эсвэл t = -4 гэсэн үг

tg x = 1 эсвэл tg x = -4.

Эхний тэгшитгэлээс x = π/4 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Хариулт: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Тригонометрийн томъёо ашиглан тэгшитгэлийг хувиргах арга

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Бүх боломжит тригонометрийн томъёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг I, II, III, IV аргуудаар шийдсэн тэгшитгэл болгон бууруул.

Алхам 2.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

нүгэл х + гэм 2х + гэм 3х = 0.

Шийдэл.

1) (нүгэл х + гэм 3х) + нүгэл 2х = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 эсвэл 2cos x + 1 = 0;

Эхний тэгшитгэлээс 2x = π/2 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс cos x = -1/2.

Бидэнд x = π/4 + πn/2, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Үүний үр дүнд x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Хариулт: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх чадвар, ур чадвар маш их чухал нь тэдний хөгжилд оюутан болон багшийн зүгээс ихээхэн хүчин чармайлт шаарддаг.

Стереометр, физик гэх мэт олон асуудлууд тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй холбоотой байдаг.Тийм асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц нь тригонометрийн элементүүдийг судалснаар олж авсан олон мэдлэг, чадварыг өөртөө шингээдэг.

Тригонометрийн тэгшитгэл нь математик сурах үйл явц, ерөнхийдөө хувь хүний ​​хөгжилд чухал байр суурь эзэлдэг.

Асуулт хэвээр байна уу? Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Илүү төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлүүд

Тэгшитгэл

нүгэл x = a,
cos x = a,
тг x = a,
ctg x = a

нь хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд юм. Энэ хэсэгт бид тодорхой жишээнүүдийг ашиглан илүү төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлүүдийг авч үзэх болно. Тэдний шийдэл нь дүрмээр бол хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхэд хүргэдэг.

Жишээ 1 . Тэгшитгэлийг шийд

нүгэл 2 X=cos Xнүгэл 2 x.

Энэ тэгшитгэлийн бүх нөхцөлийг зүүн тал руу шилжүүлж, үр дүнгийн илэрхийлэлийг хүчин зүйлээр ангилснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

нүгэл 2 X(1 - cos X) = 0.

Хоёр илэрхийлэлийн үржвэр нь зөвхөн нэг хүчин зүйл нь тэгтэй тэнцүү, нөгөө нь тодорхойлогдсон тохиолдолд ямар ч тоон утгыг авсан тохиолдолд тэгтэй тэнцүү байна.

Хэрэв нүгэл 2 X = 0 , дараа нь 2 X= n π ; X = π / 2 n.

Хэрэв 1 - cos X = 0 , дараа нь cos X = 1; X = 2кπ .

Тиймээс бид хоёр бүлэг үндэстэй болсон: X = π / 2 n; X = 2кπ . Хоёр дахь бүлгийн үндэс нь эхний бүлэгт агуулагдах нь ойлгомжтой, учир нь n = 4k-ийн хувьд илэрхийлэл X = π / 2 nболдог
X = 2кπ .

Тиймээс хариултыг нэг томъёогоор бичиж болно: X = π / 2 n, Хаана n- дурын бүхэл тоо.

Энэ тэгшитгэлийг нүгэл 2-оор багасгах замаар шийдвэрлэх боломжгүй гэдгийг анхаарна уу x. Үнэн хэрэгтээ, бууруулсны дараа бид 1 - cos x = 0, эндээс авна X= 2к π . Тиймээс бид жишээлбэл зарим үндсээ алдах болно π / 2 , π , 3π / 2 .

Жишээ 2.Тэгшитгэлийг шийд

Бутархай нь зөвхөн тоо нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л тэгтэй тэнцүү байна.
Тийм ч учраас нүгэл 2 X = 0 , хаанаас 2 X= n π ; X = π / 2 n.

Эдгээр үнэт зүйлсээс X Та эдгээр үнэ цэнийг үл тоомсорлож хаях хэрэгтэй нүгэлX тэг рүү очдог (тэг хуваагчтай бутархай нь ямар ч утгагүй: тэг хуваах нь тодорхойгүй). Эдгээр утгууд нь үржвэртэй тоонууд юм π . Томъёонд
X = π / 2 nтэдгээрийг тэгш төлөө олж авдаг n. Тиймээс энэ тэгшитгэлийн үндэс нь тоонууд байх болно

X = π / 2 (2к + 1),

Энд k нь дурын бүхэл тоо юм.

Жишээ 3 . Тэгшитгэлийг шийд

2 гэм 2 X+ 7cos x - 5 = 0.

илэрхийлье нүгэл 2 X дамжуулан cosx : нүгэл 2 X = 1 - cos 2x . Дараа нь энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно

2 (1 - cos 2 x) + 7cos x - 5 = 0 , эсвэл

2cos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

Зориулалтын cosx дамжуулан цагт, бид квадрат тэгшитгэлд хүрнэ

2у 2 - 7у + 3 = 0,

язгуур нь 1/2 ба 3 гэсэн тоонууд юм. Энэ нь аль нэг cos гэсэн үг x= 1/2, эсвэл cos X= 3. Гэхдээ аль ч өнцгийн косинус үнэмлэхүй утгаараа 1-ээс хэтрэхгүй тул сүүлийнх нь боломжгүй юм.

Үүнийг хүлээн зөвшөөрөх нь хэвээр байна cos x = 1 / 2 , хаана

x = ± 60° + 360° n.

Жишээ 4 . Тэгшитгэлийг шийд

2 гэм X+ 3cos x = 6.

Гэмээс хойш xболон cos xүнэмлэхүй утгад 1-ээс хэтрэхгүй, дараа нь илэрхийлэл
2 гэм X+ 3cos x -аас их утгыг авч чадахгүй 5 . Тиймээс энэ тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Жишээ 5 . Тэгшитгэлийг шийд

нүгэл X+cos x = 1

Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгосноор бид дараахь зүйлийг олж авна.

нүгэл 2 X+ 2 нүгэл x cos x+ cos 2 x = 1,

Гэхдээ нүгэл 2 X + cos 2 x = 1 . Тийм ч учраас 2 гэм x cos x = 0 . Хэрэв нүгэл x = 0 , Тэр X = nπ ; хэрэв
cos x , Тэр X = π / 2 + кπ . Эдгээр хоёр бүлгийн шийдлийг нэг томъёогоор бичиж болно.

X = π / 2 n

Бид энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгосон тул бидний олж авсан язгууруудын дунд гадны язгуурууд байж магадгүй юм. Тийм ч учраас энэ жишээнд өмнөх бүх жишээнээс ялгаатай нь шалгалт хийх шаардлагатай байна. Бүх утга

X = π / 2 n 4 бүлэгт хувааж болно

	1) X = 2кπ .	(n = 4k)
	2) X = π / 2 + 2кπ .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2кπ .	(n = 4k + 2)
	4) X = 3π / 2 + 2кπ .	(n = 4k + 3)

At X = 2kπнүгэл x+cos x= 0 + 1 = 1. Тиймээс, X = 2kπнь энэ тэгшитгэлийн үндэс юм.

At X = π / 2 + 2кπ. нүгэл x+cos x= 1 + 0 = 1 Тэгэхээр X = π / 2 + 2кπ- мөн энэ тэгшитгэлийн үндэс.

At X = π + 2кπнүгэл x+cos x= 0 - 1 = - 1. Иймд утгууд X = π + 2кπнь энэ тэгшитгэлийн үндэс биш юм. Үүнтэй адилаар үүнийг харуулж байна X = 3π / 2 + 2кπ. үндэс биш.

Тиймээс энэ тэгшитгэл нь дараах үндэстэй байна. X = 2kπТэгээд X = π / 2 + 2 мπ., Хаана кТэгээд м- дурын бүхэл тоо.