Applicazione del metodo dell'induzione matematica alla risoluzione di problemi sulla divisibilità dei numeri naturali. Il metodo dell'induzione matematica e la sua applicazione alla soluzione di problemi

La video lezione "Metodo dell'induzione matematica" aiuta a padroneggiare il metodo dell'induzione matematica. Il video contiene materiale che aiuta a comprendere l'essenza del metodo, a ricordare le caratteristiche della sua applicazione, a imparare come applicare questo metodo per risolvere i problemi. Lo scopo di questo video tutorial è facilitare lo sviluppo del materiale, per formare la capacità di risolvere problemi matematici per induzione.

Per mantenere l'attenzione degli studenti sullo studio del materiale, vengono utilizzati effetti di animazione, illustrazioni e presentazione di informazioni a colori. La videolezione libera il tempo dell'insegnante in classe per migliorare la qualità del lavoro individuale e risolvere altri problemi educativi.

Il concetto di metodo di induzione matematica viene introdotto sull'esempio di considerare la successione a n , in cui a 1 =4, e a n+1 = a n +2n+3. In accordo con la rappresentazione generale di un membro della successione, si determina che a 1 =4, a 2 =4+2 1+3=9, a 3 =9+2 2+3=16, cioè a sequenza di numeri 4, 9, 16,… Si assume che a n =(n+1) 2 sia vera per la sequenza data. Per i membri specificati della sequenza - il primo, il secondo, il terzo - la formula è vera. È necessario dimostrare la validità di questa formula per qualsiasi n arbitrariamente grande. Si fa notare che in tali casi viene applicato il metodo dell'induzione matematica, che aiuta a dimostrare l'affermazione.

L'essenza del metodo è rivelata. Si presume la validità della formula per n=k, il valore a k =(k+1) 2 . Occorre dimostrare che l'uguaglianza vale anche per k+1, che significa a k +1 =(k+2) 2 . Per fare ciò, nella formula a k +1 =a k +2k+3 sostituiamo a k con (k+1) 2 . Dopo sostituzione e riduzione di simili si ottiene l'uguaglianza a k +1 =(k+2) 2 . Ciò dà il diritto di affermare che la validità della formula per n la rende vera anche per n=k+1. La prova considerata in relazione alla successione a n , che è rappresentata dai numeri 4, 9, 16, ... e dal termine comune a n =(n+1) 2, dà il diritto di affermare che se la formula si trasforma in a uguaglianza vera per n=1, quindi anche per n=1+ 1=2, e per 3, ecc., cioè per ogni n naturale.

Inoltre, l'essenza del metodo di induzione è affermata in linguaggio matematico. Il principio del metodo si basa sulla validità dell'affermazione che il fatto vale per un numero naturale arbitrario n a due condizioni: 1) l'affermazione è vera per n=1 2) dalla validità di questa formula per n=k segue la sua validità per n=k+1. Da questo principio segue la struttura della dimostrazione, utilizzando il metodo dell'induzione matematica. Si noti che questo metodo assume per n=1 la prova della validità dell'affermazione, e sotto l'assunzione della validità della dimostrazione per n=k, si dimostra che è vero anche per n=k+1.

Viene analizzato un esempio della dimostrazione della formula di Archimede mediante il metodo dell'induzione matematica. Data la formula 1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6. I calcoli vengono eseguiti sullo schermo, derivando la validità della formula per n=1. Il secondo punto della dimostrazione è l'assunzione che per n=k la formula sia valida, cioè assuma la forma 1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 =k(k+1)(2k+1 )/6 Sulla base di questo, dimostriamo che la formula è vera anche per n=k+1. Dopo aver sostituito n=k+1, otteniamo il valore della formula 1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =(k+1)(k+2)(2k+3 )/6. Quindi, la formula di Archimede è dimostrata.

Un altro esempio considera la dimostrazione della molteplicità di 7 della somma 15 n+6 per ogni n naturale. Nella dimostrazione usiamo il metodo dell'induzione matematica. Innanzitutto, controlliamo la validità dell'asserzione per n=1. Infatti, 15 1 +6=21. Allora ammettiamo la validità per n=k. Ciò significa che 15 k +6 è un multiplo di 7. Sostituendo n=k+1 nella formula, dimostriamo che 15 k +1 +6 è un multiplo di 7. Dopo aver trasformato l'espressione, otteniamo: 15 k +1 +6=15 k +1 14+(15 k +6). Pertanto, la somma di 15 n +6 è un multiplo di 7.

La lezione video "Metodo di induzione matematica" rivela in modo intelligente e dettagliato l'essenza e il meccanismo dell'applicazione del metodo di induzione matematica nella dimostrazione. Pertanto, questo materiale video può servire non solo come ausilio visivo in una lezione di algebra, ma sarà utile quando uno studente studia il materiale da solo e aiuterà a spiegare l'argomento all'insegnante durante l'apprendimento a distanza.

Lezione 6. Metodo di induzione matematica.

Le nuove conoscenze nella scienza e nella vita si ottengono in modi diversi, ma tutte (se non si entra nei dettagli) si dividono in due tipi: il passaggio dal generale al particolare e dal particolare al generale. La prima è la deduzione, la seconda è l'induzione. Il ragionamento deduttivo è ciò che di solito viene chiamato in matematica ragionamento logico, e nella scienza matematica la deduzione è l'unico metodo legittimo di indagine. Le regole del ragionamento logico furono formulate due millenni e mezzo fa dall'antico scienziato greco Aristotele. Ha creato un elenco completo del ragionamento corretto più semplice, sillogismi– "mattoni" di logica, indicando allo stesso tempo ragionamenti tipici, molto simili a quelli corretti, ma sbagliati (spesso ci imbattiamo in tali ragionamenti "pseudologici" nei media).

Induzione (induzione - in latino guida) è illustrato dalla famosa leggenda di come Isaac Newton formulò la legge di gravitazione universale dopo che una mela gli cadde sulla testa. Un altro esempio dalla fisica: in un fenomeno come l'induzione elettromagnetica, un campo elettrico crea, "induce" un campo magnetico. La "mela di Newton" è un tipico esempio di una situazione in cui uno o più casi speciali, ad es. osservazioni, "conduce" a un'affermazione generale, la conclusione generale è fatta sulla base di casi particolari. Il metodo induttivo è il principale per ottenere schemi generali sia nelle scienze naturali che in quelle umane. Ma ha uno svantaggio molto significativo: sulla base di esempi particolari, si può trarre una conclusione errata. Le ipotesi derivanti da osservazioni private non sono sempre corrette. Considera un esempio dovuto a Eulero.

Calcoleremo il valore del trinomio per alcuni primi valori n:

Si noti che i numeri ottenuti come risultato dei calcoli sono primi. E si può verificare direttamente che per ciascuno n Valore polinomiale da 1 a 39
è un numero primo. Tuttavia, quando n=40 otteniamo il numero 1681=41 2 , che non è primo. Quindi, l'ipotesi che potrebbe sorgere qui, cioè l'ipotesi che per ciascuno n numero
è semplice, risulta essere falso.

Leibniz dimostrò nel XVII secolo che per ogni numero intero positivo n numero
divisibile per 3
è divisibile per 5 e così via. Sulla base di questo, ha suggerito che per ogni dispari K e qualsiasi naturale n numero
diviso per K, ma presto se ne accorse
non è divisibile per 9.

Gli esempi considerati ci consentono di trarre una conclusione importante: un'affermazione può essere vera in una serie di casi speciali e allo stesso tempo ingiusta in generale. La questione della validità dell'affermazione nel caso generale può essere risolta applicando uno speciale metodo di ragionamento chiamato per induzione matematica(induzione completa, induzione perfetta).

6.1. Il principio dell'induzione matematica.

♦ Il metodo dell'induzione matematica è basato su principio di induzione matematica , costituito da quanto segue:

1) la validità di questa affermazione è verificata pern=1 (su base induttiva) ,

2) si presume che questa affermazione sia vera pern= K, doveKè un numero naturale arbitrario 1(ipotesi di induzione) , e tenendo conto di questa ipotesi, la sua validità è stabilita pern= K+1.

Prova. Supponiamo il contrario, cioè supponiamo che l'asserzione non sia vera per ogni naturale n. Poi c'è un tale naturale m, che cosa:

1) approvazione per n=m non è giusto,

2) per tutti n, più piccola m, l'affermazione è vera (in altre parole, mè il primo numero naturale per il quale l'asserzione fallisce).

È ovvio che m>1, perché per n=1 l'affermazione è vera (condizione 1). Di conseguenza,
- numero naturale. Si scopre che per un numero naturale
l'affermazione è vera, e per il prossimo numero naturale m non è giusto. Ciò contraddice la condizione 2. ■

Si noti che la dimostrazione ha utilizzato l'assioma che qualsiasi raccolta di numeri naturali contiene il numero più piccolo.

Viene chiamata una dimostrazione basata sul principio dell'induzione matematica per completa induzione matematica .

 Esempio6.1. Dimostralo per qualsiasi naturale n numero
è divisibile per 3.

Soluzione.

1) Quando n=1, quindi un 1 è divisibile per 3 e l'affermazione è vera per n=1.

2) Supponiamo che l'affermazione sia vera per n=K,
, cioè quel numero
è divisibile per 3 e trovalo n=K Il numero +1 è divisibile per 3.

Infatti,

Perché ogni termine è divisibile per 3, allora anche la loro somma è divisibile per 3. ■ 

 Esempio6.2. Dimostrare che la somma del primo n numeri naturali dispari è uguale al quadrato del loro numero, cioè .

Soluzione. Usiamo il metodo dell'induzione matematica completa.

1) Controlliamo la validità di questa affermazione per n=1: 1=1 2 è corretto.

2) Supponiamo che la somma del primo K (
) di numeri dispari è uguale al quadrato del numero di questi numeri, cioè . Sulla base di questa uguaglianza, stabiliamo che la somma del primo K+1 numeri dispari è uguale a
, questo è .

Usiamo la nostra ipotesi e otteniamo

. ■ 

Il metodo dell'induzione matematica completa viene utilizzato per dimostrare alcune disuguaglianze. Proviamo la disuguaglianza di Bernoulli.

 Esempio6.3. Dimostralo quando
e qualsiasi naturale n la disuguaglianza
(Disuguaglianza di Bernoulli).

Soluzione. 1) Quando n=1 otteniamo
, che è corretto.

2) Supponiamo che a n=K c'è una disuguaglianza
(*). Usando questa ipotesi, lo dimostriamo
. Nota che quando
questa disuguaglianza vale, e quindi basta considerare il caso
.

Moltiplica entrambe le parti della disuguaglianza (*) per il numero
e prendi:

Cioè (1+
.■ 

Dimostrazione con metodo induzione matematica incompleta qualche affermazione a seconda di n, dove
effettuato in modo simile, ma all'inizio la giustizia è stabilita per il valore più piccolo n.

Alcuni problemi non formulano esplicitamente un'affermazione che può essere dimostrata per induzione matematica. In tali casi, è necessario stabilire una regolarità ed esprimere un'ipotesi sulla validità di questa regolarità, e quindi verificare l'ipotesi proposta mediante induzione matematica.

 Esempio6.4. Trova l'importo
.

Soluzione. Troviamo le somme S 1 , S 2 , S 3 . abbiamo
,
,
. Ipotizziamo che per qualsiasi natural n la formula è valida
. Per verificare questa ipotesi, usiamo il metodo dell'induzione matematica completa.

1) Quando n=1 l'ipotesi è vera, perché
.

2) Assumiamo che l'ipotesi sia vera per n=K,
, questo è
. Usando questa formula, stabiliamo che l'ipotesi è vera e per n=K+1, cioè

Infatti,

Quindi, supponendo che l'ipotesi sia vera per n=K,
, è dimostrato che è vero per n=K+1, e basandoci sul principio dell'induzione matematica, concludiamo che la formula è valida per qualsiasi naturale n. ■ 

 Esempio6.5. In matematica, si dimostra che la somma di due funzioni uniformemente continue è una funzione uniformemente continua. Sulla base di questa affermazione, dobbiamo dimostrare che la somma di qualsiasi numero
di funzioni uniformemente continue è una funzione uniformemente continua. Ma siccome non abbiamo ancora introdotto il concetto di "funzione uniformemente continua", poniamo il problema in maniera più astratta: sia noto che la somma di due funzioni che hanno qualche proprietà S, esso stesso ha la proprietà S. Dimostriamo che la somma di qualsiasi numero di funzioni ha la proprietà S.

Soluzione. La base dell'induzione qui è contenuta nella formulazione stessa del problema. Facendo l'assunzione induttiva, considera
funzioni f 1 , f 2 , …, f n , f n+1 che hanno la proprietà S. Quindi . Sul lato destro, il primo termine ha la proprietà S per l'ipotesi di induzione, il secondo termine ha la proprietà S per condizione. Pertanto, la loro somma ha la proprietà S– per due mandati, la base dell'induzione “funziona”.

Ciò dimostra l'affermazione e la userà ulteriormente. ■ 

 Esempio6.6. Trova tutto naturale n, per cui la disuguaglianza

.

Soluzione. Ritenere n=1, 2, 3, 4, 5, 6. Abbiamo: 2 1 >1 2 , 2 2 =2 2 , 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2 , 2 6 >6 2 . Quindi, possiamo fare un'ipotesi: la disuguaglianza
ha un posto per tutti
. Per dimostrare la verità di questa ipotesi, usiamo il principio dell'induzione matematica incompleta.

1) Come detto sopra, questa ipotesi è vera per n=5.

2) Supponiamo che sia vero per n=K,
, cioè la disuguaglianza
. Usando questa ipotesi, dimostriamo che la disuguaglianza
.

T.a.
e a
c'è una disuguaglianza

a
,

allora lo capiamo
. Quindi, la verità dell'ipotesi n=K+1 segue dal presupposto che sia vero per n=K,
.

Da pp. 1 e 2, in base al principio di induzione matematica incompleta, ne consegue che la disuguaglianza
vero per ogni naturale
. ■ 

 Esempio6.7. Dimostralo per qualsiasi numero naturale n la formula di derivazione è valida
.

Soluzione. In n=1 questa formula ha la forma
, o 1=1, cioè è vero. Facendo l'ipotesi induttiva, abbiamo:

Q.E.D. ■ 

 Esempio6.8. Dimostrare che l'insieme costituito da n elementi, ha sottoinsiemi.

Soluzione. Un insieme con un elemento un, ha due sottoinsiemi. Questo è vero perché tutti i suoi sottoinsiemi sono l'insieme vuoto e l'insieme stesso, e 2 1 =2.

Supponiamo che qualsiasi insieme di n elementi ha sottoinsiemi. Se l'insieme A è composto da n+1 elementi, quindi fissiamo un elemento in esso - lo indichiamo d, e dividi tutti i sottoinsiemi in due classi - non contenenti d e contenente d. Tutti i sottoinsiemi della prima classe sono sottoinsiemi dell'insieme B ottenuto da A rimuovendo l'elemento d.

L'insieme B è composto da n elementi, e quindi, per l'ipotesi di induzione, ha sottoinsiemi, quindi nella prima classe sottoinsiemi.

Ma nella seconda classe ci sono lo stesso numero di sottoinsiemi: ciascuno di essi è ottenuto esattamente da un sottoinsieme della prima classe aggiungendo l'elemento d. Pertanto, in totale, l'insieme A
sottoinsiemi.

Così l'affermazione è provata. Si noti che è valido anche per un insieme composto da 0 elementi - un insieme vuoto: ha un singolo sottoinsieme - se stesso, e 2 0 =1. ■ 

Liceo MBOU "Tecnico ed economico"

METODO DI INDUZIONE MATEMATICA

METODO DI INDUZIONE MATEMATICA.

NOTA ESPLICATIVA

Lo sviluppo metodologico "Metodo di induzione matematica" è stato compilato per gli studenti del 10 ° grado del profilo matematico.

Obiettivi primari: far conoscere agli studenti il ​​metodo dell'induzione matematica e insegnare come applicarlo nella risoluzione di vari problemi.

A sviluppo metodologico vengono considerate questioni di matematica elementare: vengono proposti problemi di divisibilità, prova di identità, prova di disuguaglianze, problemi di vari gradi di complessità, compresi i problemi offerti alle olimpiadi.

Il ruolo delle inferenze induttive nelle scienze sperimentali è molto grande. Forniscono quelle disposizioni, dalle quali vengono poi tratte ulteriori conclusioni per deduzione. Nome metodo di induzione matematica ingannevolmente - in effetti, questo metodo è deduttivo e fornisce una prova rigorosa delle affermazioni indovinate per induzione. Il metodo dell'induzione matematica contribuisce all'identificazione di connessioni tra varie sezioni della matematica, aiuta a sviluppare la cultura matematica dello studente.

Definizione del metodo di induzione matematica. Induzione completa e incompleta. Dimostrazione delle disuguaglianze. Prova di identità. Risoluzione di problemi di divisibilità. Risoluzione di vari problemi sull'argomento "Metodo di induzione matematica".

LETTERATURA PER L'INSEGNANTE

1. ML Galitsky. Approfondimento del corso di algebra e analisi matematica. - M. Illuminismo 1986.

2. LI Zvavich. Algebra e gli inizi dell'analisi. Materiali didattici. M.Drofa.2001.

3. NY Vilenkin. Algebra e analisi matematica. Illuminismo M. 1995.

4. Yu.V.Mikheev. Metodo di induzione matematica. NGU.1995.

LETTERATURA PER STUDENTI

1. NY Vilenkin. Algebra e analisi matematica. Illuminismo M. 1995.

2. Yu.V.Mikheev. Metodo di induzione matematica. NGU.1995.

PAROLE CHIAVE

Induzione, assioma, principio di induzione matematica, induzione completa, induzione incompleta, asserzione, identità, diseguaglianza, divisibilità.

APPENDICE DIDATTICA AL TEMA

"METODO DI INDUZIONE MATEMATICA".

Lezione 1

Definizione del metodo di induzione matematica.

Il metodo dell'induzione matematica è uno dei metodi altamente efficaci per trovare nuovi risultati e dimostrare la verità delle ipotesi avanzate. Sebbene questo metodo non sia nuovo in matematica, l'interesse per esso non diminuisce. Per la prima volta in una presentazione chiara, il metodo dell'induzione matematica fu applicato nel XVII secolo dall'eccezionale scienziato francese Blaise Pascal per dimostrare le proprietà di un triangolo numerico, che da allora prese il suo nome. Tuttavia, l'idea dell'induzione matematica era nota agli antichi greci. Il metodo dell'induzione matematica si basa sul principio dell'induzione matematica, che è accettato come assioma. Considereremo l'idea dell'induzione matematica con esempi.

Esempio 1.

Il quadrato è diviso da un segmento in due parti, quindi una delle parti risultanti è divisa in due parti e così via. Determina in quante parti è diviso il quadrato P passi?

Soluzione.

Dopo il primo passaggio, a condizione, otteniamo 2 parti. Nella seconda fase, lasciamo invariata una parte e dividiamo la seconda in 2 parti e otteniamo 3 parti. Nella terza fase, lasciamo invariate 2 parti e dividiamo la terza in due parti e otteniamo 4 parti. Nella quarta fase, lasciamo invariate 3 parti e dividiamo l'ultima parte in due parti e otteniamo 5 parti. Nella quinta fase, otterremo 6 parti. Il suggerimento è fatto attraverso P passi che otteniamo (n+1) parte. Ma questa proposizione deve essere dimostrata. Supponiamo che attraverso a gradoni in cui è divisa la piazza (k+1) parte. Poi via (k+1) passo noi a le parti rimarranno invariate, e (k+1) dividi la parte in due parti e ottieni (k+2) parti. Ti accorgi che puoi discutere così per tutto il tempo che vuoi, all'infinito. Cioè, la nostra ipotesi è quella P i gradini quadrati saranno divisi in (n+1) parte, diventa provato.

Esempio #2.

Mia nonna aveva una nipote che amava molto la marmellata, e soprattutto quella in barattolo da un litro. Ma la nonna non gli ha permesso di toccare. E le nipoti hanno deciso di ingannare la nonna. Decise di mangiare ogni giorno 1/10 di litro di questo barattolo e di riempirlo d'acqua, mescolando accuratamente. Dopo quanti giorni la nonna scoprirà l'inganno se la marmellata rimane uguale nell'aspetto diluita a metà con l'acqua?

Soluzione.

Scopri quanta marmellata pura rimarrà nel barattolo dopo P giorni. Dopo il primo giorno rimarrà nel barattolo il composto composto da 9/10 di marmellata e 1/10 di acqua. Dopo due giorni, 1/10 del composto di acqua e marmellata sparirà dal barattolo e rimarrà (1 litro di composto contiene 9/10 litri di marmellata, 1/10 litro di composto contiene 9/100 litri di marmellata)

9/10 - 9/100=81/100=(9/10) 2 litri di marmellata. Il terzo giorno sparirà dal barattolo 1/10 di litro di una miscela composta da 81/100 di marmellata e 19/100 di acqua. In 1 litro di miscela ci sono 81/100 litri di marmellata, in 1/10 litri di miscela 81/1000 litri di marmellata. 81/100 – 81/1000=

729/1000=(9/10) Dopo 3 giorni rimarranno 3 litri di marmellata, il resto verrà assorbito dall'acqua. Emerge uno schema. Tramite P giorni rimasti in banca (9/10) P marmellata. Ma ancora una volta, questa è solo una nostra ipotesi.

Permettere aè un numero naturale arbitrario. Supponiamo che attraverso a rimarranno giorni in banca (9/10) a l jam. Vediamo cosa ci sarà in banca tra un altro giorno, cioè dentro (k+1) giorno. Scomparirà dalla banca 1/10l un mix di (9/10) a l marmellata e acqua. A 1l la miscela è (9/10) a l marmellata, dentro 1/10l miscele (9/10) k+1 l marmellata. Ora possiamo tranquillamente affermarlo P giorni rimasti in banca (9/10) P l marmellata. In 6 giorni la banca avrà 531444/1000000l marmellate, dopo 7 giorni - 4782969/10000000l marmellata, cioè meno della metà.

Risposta: dopo 7 giorni la nonna scoprirà l'inganno.

Proviamo a individuare il più basilare nelle soluzioni dei problemi considerati. Abbiamo iniziato a risolverli considerando casi separati o, come si suol dire, speciali. Quindi, sulla base delle nostre osservazioni, abbiamo fatto alcune ipotesi P(n), a seconda del naturale P.

l'affermazione è stata verificata, cioè provata P(1), P(2), P(3);

ha suggerito che P(n) valido per n=k e dedotto che poi sarà valido per il prossimo n,n=k+1.

E poi hanno discusso qualcosa del genere: P(1) Giusto, P(2) Giusto, P(3) Giusto, P(4) giusto... esatto P(n).

Il principio dell'induzione matematica.

Dichiarazione P(n), a seconda del naturale P, è valido per tutti i naturali P, Se

1) la validità dell'affermazione per n=1;

2) dal presupposto della validità dell'affermazione P(n) a n=k dovrebbe

giustizia P(n) a n=k+1.

In matematica, il principio dell'induzione matematica è scelto, di regola, come uno degli assiomi che definiscono la serie naturale dei numeri e, quindi, è accettato senza dimostrazione. Il metodo di dimostrazione in base al principio dell'induzione matematica è solitamente chiamato metodo dell'induzione matematica. Si noti che questo metodo è ampiamente utilizzato per dimostrare teoremi, identità, disuguaglianze, risolvere problemi di divisibilità e molti altri problemi.

Lezione 2

Induzione completa e incompleta.

Nel caso in cui un'affermazione matematica riguardi un numero finito di oggetti, può essere dimostrata controllando per ogni oggetto, ad esempio, l'affermazione "Ogni numero pari a due cifre è la somma di due numeri primi". Il metodo di dimostrazione in cui verifichiamo un'affermazione per un numero finito di casi è chiamato induzione matematica completa. Questo metodo è usato relativamente raramente, poiché le istruzioni sono più spesso considerate su insiemi infiniti. Ad esempio, il teorema "Qualsiasi numero pari è uguale alla somma di due numeri primi" non è stato finora né dimostrato né confutato. Anche se verificassimo questo teorema per il primo miliardo, non ci avvicineremmo di un passo alla sua dimostrazione.

Nelle scienze naturali si usa l'induzione incompleta, testando più volte l'esperimento, trasferendo il risultato a tutti i casi.

Esempio #3

Indovina usando la formula di induzione incompleta per la somma dei cubi dei numeri naturali.

Soluzione.

1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;

1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; …; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 .

Prova.

Lascia che sia vero per n=k.

Dimostriamo che è vero per n=k+1.

Conclusione: la formula per la somma dei cubi dei numeri naturali è vera per qualsiasi naturale P.

Esempio #4

Considera le uguaglianze e indovina quale diritto comune fai questi esempi.

Soluzione.

1=0+1

2+3+4=1+8

5+6+7+8+9=8+27

10+11+12+13+14+15+16=27+64

17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125

……………………………………………………………..

Esempio #5

Scrivi le seguenti espressioni come somma:

1)
2)
3)
; 4)
.

Lettera greca "sigma".

Esempio #6.

Scrivi le seguenti somme usando il segno
:

2)

Esempio #7.

Scrivi le seguenti espressioni come prodotti:

1)

3)
4)

Esempio #8.

Annota le seguenti opere usando il segno

(lettera greca maiuscola "pi")

1)
2)

Esempio #9.

Calcolo del valore di un polinomio f ( n )= n 2 + n +11 , a n=1,2,3,4,5,6,7 si può presumere che per qualsiasi naturaleP numero f ( n ) semplice.

Questa ipotesi è corretta?

Soluzione.

Se ogni addizione è divisibile per un numero, allora la somma è divisibile per quel numero,
non è un numero primo per nessun numero naturaleP.

L'analisi di un numero finito di casi gioca un ruolo importante in matematica: senza fornire una prova dell'una o dell'altra affermazione, aiuta a indovinare la corretta formulazione di questa affermazione, se non è ancora nota. È così che Goldbach, membro dell'Accademia delle scienze di San Pietroburgo, è giunto alla congettura che qualsiasi numero naturale, a partire da due, sia la somma di al massimo tre semplici numeri.

Lezione #3

Il metodo dell'induzione matematica ci permette di dimostrare varie identità.

Esempio #10. Dimostriamolo per tutti P l'identità

Soluzione.

Mettiamo

Dobbiamo dimostrarlo

Dimostriamolo Allora dalla verità dell'identità

segue la verità dell'identità

Per il principio dell'induzione matematica, la verità dell'identità per tutti P.

Esempio #11.

Proviamo l'identità

Prova.

uguaglianze termine per termine.

;
. Quindi questa identità è vera per tuttiP .

Lezione numero 4.

Prova di identità per induzione matematica.

Esempio #12. Proviamo l'identità

Prova.

Applicando il principio dell'induzione matematica, abbiamo dimostrato che l'uguaglianza vale per tutti P.

Esempio #13. Proviamo l'identità

Prova.

Applicando il principio dell'induzione matematica, abbiamo dimostrato che l'affermazione è vera per ogni naturale P.

Esempio #14. Proviamo l'identità

Prova.

Esempio #15. Proviamo l'identità

1) n=1;

2) per n=k uguaglianza

3) dimostrare che vale l'uguaglianza n=k+1:

Conclusione: l'identità è valida per qualsiasi naturale P.

Esempio #16. Proviamo l'identità

Prova.

Se una n=1 , poi

Lascia che l'identità valga n=k.

Proviamo che vale l'identità n=k+1.

Quindi l'identità è valida per qualsiasi naturale P.

Lezione numero 5.

Prova di identità per induzione matematica.

Esempio #17. Proviamo l'identità

Prova.

Se una n=2 , quindi otteniamo l'uguaglianza corretta:

Lascia che l'uguaglianza sia vera pern=k:

Dimostriamo la validità dell'affermazione per n=k+1.

Secondo il principio dell'induzione matematica, l'identità è dimostrata.

Esempio #18. Proviamo l'identità
per n≥2.

In n=2 questa identità può essere riscritta in una forma molto semplice

e ovviamente vero.

Lascia stare n=k veramente

.

Dimostriamo la validità dell'affermazione pern=k+1, cioè l'uguaglianza è soddisfatta: .

Quindi, abbiamo dimostrato che l'identità è vera per qualsiasi naturale n≥2.

Esempio #19. Proviamo l'identità

In n=1 otteniamo l'uguaglianza corretta:

Supponiamo che a n=k otteniamo anche l'uguaglianza corretta:

Dimostriamo che la validità dell'uguaglianza è osservata per n=k+1:

Quindi l'identità è valida per qualsiasi naturale P.

Lezione numero 6.

Risoluzione di problemi di divisibilità.

Esempio #20. Dimostralo per induzione matematica

diviso per 6 senza traccia.

Prova.

In n=1 c'è una divisione in6 senza traccia,
.

Lascia stare n=k espressione
multiplo6.

Proviamo che quando n=k+1 espressione
multiplo6 .

Ogni termine è un multiplo 6 , quindi la somma è un multiplo di 6 .

Esempio numero 21.
sul5 senza traccia.

Prova.

In n=1 l'espressione è divisibile
.

Lascia stare n=k espressione
anche diviso in5 senza traccia.

In n=k+1 diviso per 5 .

Esempio #22. Dimostrare la divisibilità di un'espressione
sul16.

Prova.

In n=1 multiplo 16 .

Lascia stare n=k
multiplo16.

In n=k+1

Tutti i termini sono divisibili per 16: il primo è ovviamente il secondo per ipotesi, e il terzo ha un numero pari tra parentesi.

Esempio #23. Dimostrare la divisibilità
sul676.

Prova.

Dimostriamolo prima
diviso per
.

In n=0
.

Lascia stare n=k
diviso per26 .

Poi alle n=k+1 diviso per 26 .

Dimostriamo ora l'affermazione formulata nella condizione del problema.

In n=1 diviso per 676.

In n=k è vero che
diviso per26 2 .

In n=k+1 .

Entrambi i termini sono divisibili per 676 ; il primo è perché abbiamo dimostrato la divisibilità per 26 espressione tra parentesi, e la seconda è divisibile per l'ipotesi induttiva.

Lezione numero 7.

Risoluzione di problemi di divisibilità.

Esempio numero 24.

Prova che
diviso per5 senza traccia.

Prova.

In n=1
diviso per5.

In n=k
diviso per5 senza traccia.

In n=k+1 ogni termine è divisibile per5 senza traccia.

Esempio #25.

Prova che
diviso per6 senza traccia.

Prova.

In n=1
diviso per6 senza traccia.

Lascia stare n=k
diviso per6 senza traccia.

In n=k+1 diviso per 6 nessun resto, poiché ogni termine è divisibile per6 senza resto: il primo termine, per assunzione induttiva, il secondo, ovviamente, il terzo, perché
numero pari.

Esempio #26.

Prova che
quando si divide per9 dà il resto 1 .

Prova.

Dimostriamolo
diviso per9 .

In n=1
diviso per 9 . Lascia stare n=k
diviso per9 .

In n=k+1 diviso per 9 .

Esempio numero 27.

Dimostrare che è divisibile per15 senza traccia.

Prova.

In n=1 diviso per 15 .

Lascia stare n=k diviso per 15 senza traccia.

In n=k+1

Il primo termine è un multiplo15 per l'ipotesi di induzione, il secondo termine è un multiplo di15 – ovviamente, il terzo termine è un multiplo di15 , perché
multiplo5 (dimostrato nell'esempio n. 21), anche il quarto e il quinto termine sono multipli5 , il che è ovvio, allora la somma è un multiplo di15 .

Lezione numero 8-9.

Dimostrazione delle disuguaglianze per induzione matematica

Esempio #28.
.

In n=1 noi abbiamo
- Giusto.

Lascia stare n=k
è una vera disuguaglianza.

In n=k+1

Allora la disuguaglianza è valida per qualsiasi naturale P.

Esempio #29. Dimostrare che la disuguaglianza è vera
per ogni P.

In n=1 otteniamo la disuguaglianza corretta 4 >1.

Lascia stare n=k la disuguaglianza
.

Proviamo che quando n=k+1 la disuguaglianza

Per qualsiasi naturale a si osserva la disuguaglianza.

Se una
a
poi

Esempio #30.

per qualsiasi naturale P e qualsiasi

Permettere n=1
, Giusto.

Supponiamo che valga la disuguaglianza n=k:
.

In n=k+1

Esempio numero 31. Dimostrare la validità della disuguaglianza

per qualsiasi naturale P.

Dimostriamolo prima per ogni naturale t la disuguaglianza

Moltiplica entrambi i lati della disuguaglianza per
. Otteniamo una disuguaglianza equivalente o
;
; - questa disuguaglianza vale per qualsiasi naturale t.

In n=1 la disuguaglianza originaria è vera
;
;
.

Lascia che valga la disuguaglianza n=k:
.

In n=k+1

Lezione numero 10.

Risoluzione dei problemi sull'argomento

Metodo di induzione matematica.

Esempio #32. Dimostrare la disuguaglianza di Bernoulli.

Se una
, quindi per tutti i valori naturaliP la disuguaglianza

Prova.

In n=1 la disuguaglianza che si sta dimostrando assume la forma
e ovviamente giusto. Supponiamo che sia vero pern=k , quello è ciò che
.

Dal momento che secondo la condizione
, poi
, e quindi la disuguaglianza non cambia il suo significato quando entrambe le sue parti sono moltiplicate per
:

Perché
, quindi lo otteniamo

.

Quindi la disuguaglianza è vera per n=1, e dalla sua verità a n=k ne consegue che è vero e n=k+1. Quindi, per induzione matematica, vale per tutto il naturale P.

Per esempio,

Esempio numero 33. Trova tutti i valori naturaliP , per cui la disuguaglianza

Soluzione.

In n=1 la disuguaglianza è giusta. In n=2 anche la disuguaglianza è vera.

In n=3 la disuguaglianza non è più soddisfatta. Solo quando n=6 la disuguaglianza vale, in modo che per la base di induzione possiamo prendere n=6.

Supponiamo che la disuguaglianza sia vera per qualche naturale a:

Considera la disuguaglianza

L'ultima disuguaglianza vale se
Il lavoro di prova sull'argomento n=1 è dato periodicamente: n≥5 , dove P- -numero naturale.

La vera conoscenza in ogni momento si basava sullo stabilire un modello e dimostrarne la veridicità in determinate circostanze. Per un periodo così lungo di esistenza del ragionamento logico, furono fornite le formulazioni delle regole e Aristotele compilò persino un elenco di "ragionamento corretto". Storicamente, è consuetudine dividere tutte le inferenze in due tipi: dal concreto al plurale (induzione) e viceversa (deduzione). Va notato che i tipi di evidenza dal particolare al generale e dal generale al particolare esistono solo nell'interconnessione e non possono essere scambiati.

Induzione in matematica

Il termine "induzione" (induzione) ha radici latine e si traduce letteralmente come "guida". A un attento studio, si può distinguere la struttura della parola, vale a dire il prefisso latino - in- (denota azione diretta verso l'interno o essere dentro) e -duction - introduzione. Vale la pena notare che esistono due tipi: induzione completa e incompleta. La forma completa è caratterizzata da conclusioni tratte dallo studio di tutte le materie di una certa classe.

Incompleto - conclusioni applicate a tutte le materie della classe, ma realizzate sulla base dello studio solo di alcune unità.

L'induzione matematica completa è una conclusione basata su una conclusione generale sull'intera classe di qualsiasi oggetto che è funzionalmente correlato dalle relazioni della serie naturale di numeri basata sulla conoscenza di questa connessione funzionale. In questo caso, il processo di prova si svolge in tre fasi:

• nella prima fase viene dimostrata la correttezza dell'affermazione dell'induzione matematica. Esempio: f = 1, induzione;
• la fase successiva si basa sull'ipotesi che la posizione sia valida per tutti i numeri naturali. Cioè, f=h, questo è il presupposto induttivo;
• nella terza fase, viene dimostrata la validità della posizione per il numero f=h+1, basata sulla correttezza della posizione del paragrafo precedente: si tratta di una transizione di induzione, o di una fase di induzione matematica. Un esempio è il cosiddetto se cade il primo osso della fila (base), allora cadono tutte le ossa della fila (transizione).

Sia scherzosamente che seriamente

Per facilità di percezione, esempi di soluzioni con il metodo dell'induzione matematica vengono denunciati sotto forma di problemi scherzosi. Questa è l'attività Coda discreta:

• Le regole di condotta vietano a un uomo di fare un giro davanti a una donna (in una situazione del genere, viene lasciata davanti). Sulla base di questa affermazione, se l'ultimo della fila è un uomo, allora tutti gli altri sono uomini.

Un esempio lampante del metodo dell'induzione matematica è il problema "Volo senza dimensioni":

• È necessario dimostrare che un numero qualsiasi di persone si adatta al minibus. È vero che una persona può entrare nel trasporto senza difficoltà (base). Ma non importa quanto sia pieno il minibus, 1 passeggero ci entrerà sempre (fase di induzione).

circoli familiari

Esempi di risoluzione di problemi ed equazioni per induzione matematica sono abbastanza comuni. Come illustrazione di questo approccio, possiamo considerare il seguente problema.

Condizione: h cerchi sono posti sul piano. Si richiede di dimostrare che, per qualsiasi disposizione delle figure, la mappa da esse formata può essere correttamente colorata con due colori.

Soluzione: per h=1 la verità dell'affermazione è ovvia, quindi la dimostrazione sarà costruita per il numero di cerchi h+1.

Supponiamo che l'affermazione sia vera per qualsiasi mappa e che h + 1 cerchi siano dati sul piano. Togliendo uno dei cerchi dal totale si ottiene una mappa correttamente colorata con due colori (bianco e nero).

Quando si ripristina un cerchio eliminato, il colore di ogni area cambia nel contrario (in questo caso, all'interno del cerchio). Si scopre una mappa correttamente colorata in due colori, che doveva essere provata.

Esempi con numeri naturali

L'applicazione del metodo dell'induzione matematica è chiaramente mostrata di seguito.

Esempi di soluzioni:

Dimostrare che per ogni h l'uguaglianza sarà corretta:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. Sia h=1, quindi:

R 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

Ne consegue che per h=1 l'affermazione è corretta.

2. Assumendo h=d, si ottiene la seguente equazione:

R 1 \u003d d 2 \u003d d (d + 1) (2d + 1) / 6 \u003d 1

3. Supponendo che h=d+1, risulta:

Rd+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

Pertanto, la validità dell'uguaglianza per h=d+1 è stata dimostrata, quindi l'affermazione è vera per qualsiasi numero naturale, che è mostrato nell'esempio di soluzione per induzione matematica.

Un compito

Condizione: occorre dimostrare che per ogni valore di h, l'espressione 7 h -1 è divisibile per 6 senza resto.

Soluzione:

1. Diciamo h=1, in questo caso:

R 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (cioè diviso per 6 senza resto)

Pertanto, per h=1 l'affermazione è vera;

2. Sia h=d e 7 d -1 è divisibile per 6 senza resto;

3. La prova della validità dell'affermazione per h=d+1 è la formula:

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

In questo caso, il primo termine è divisibile per 6 per l'assunzione del primo paragrafo, e il secondo termine è uguale a 6. L'affermazione che 7 h -1 è divisibile per 6 senza resto per qualsiasi h naturale è vera.

Errore di giudizio

Spesso nelle dimostrazioni vengono utilizzati ragionamenti errati, a causa dell'imprecisione delle costruzioni logiche utilizzate. Fondamentalmente, questo accade quando la struttura e la logica della dimostrazione vengono violate. Un esempio di ragionamento errato è l'illustrazione seguente.

Un compito

Condizione: richiede una prova che qualsiasi mucchio di pietre non è un mucchio.

Soluzione:

1. Diciamo h=1, in questo caso c'è 1 sasso nel mucchio e l'affermazione è vera (base);

2. Sia vero per h=d che un mucchio di pietre non è un mucchio (ipotesi);

3. Sia h=d+1, da cui segue che quando viene aggiunta un'altra pietra, l'insieme non sarà un mucchio. La conclusione suggerisce che l'assunzione è valida per tutte le h naturali.

L'errore sta nel fatto che non esiste una definizione di quante pietre formano un mucchio. Tale omissione è chiamata generalizzazione frettolosa nel metodo dell'induzione matematica. Un esempio lo dimostra chiaramente.

Induzione e leggi della logica

Storicamente, "camminano sempre mano nella mano". Tali discipline scientifiche come la logica, la filosofia le descrivono sotto forma di opposti.

Dal punto di vista della legge della logica, le definizioni induttive si basano sui fatti e la veridicità delle premesse non determina la correttezza dell'affermazione risultante. Spesso si ottengono conclusioni con un certo grado di probabilità e plausibilità, che, ovviamente, devono essere verificate e confermate da ulteriori ricerche. Un esempio di induzione in logica sarebbe l'affermazione:

Siccità in Estonia, siccità in Lettonia, siccità in Lituania.

Estonia, Lettonia e Lituania sono gli stati baltici. Siccità in tutti gli stati baltici.

Dall'esempio, possiamo concludere che non è possibile ottenere nuove informazioni o verità utilizzando il metodo dell'induzione. Tutto ciò su cui si può contare è una possibile veridicità delle conclusioni. Inoltre, la verità delle premesse non garantisce le stesse conclusioni. Tuttavia, questo fatto non significa che l'induzione vegeta nel cortile della deduzione: un numero enorme di disposizioni e leggi scientifiche sono convalidate utilizzando il metodo dell'induzione. La matematica, la biologia e altre scienze possono servire da esempio. Ciò è dovuto principalmente al metodo di induzione completa, ma in alcuni casi è applicabile anche parziale.

La venerabile età dell'induzione gli ha permesso di penetrare in quasi tutte le sfere dell'attività umana: questa è scienza, economia e conclusioni quotidiane.

Induzione nell'ambiente scientifico

Il metodo di induzione richiede un atteggiamento scrupoloso, poiché troppo dipende dal numero di particolari studiati dell'insieme: maggiore è il numero studiato, più affidabile è il risultato. Sulla base di questa caratteristica, le leggi scientifiche ottenute con il metodo dell'induzione vengono testate per un tempo sufficientemente lungo a livello di ipotesi probabilistiche al fine di isolare e studiare tutti i possibili elementi strutturali, connessioni e influenze.

Nella scienza, la conclusione induttiva si basa su caratteristiche significative, ad eccezione delle disposizioni casuali. Questo fatto è importante in relazione alle specificità della conoscenza scientifica. Questo si vede chiaramente negli esempi di induzione nella scienza.

Esistono due tipi di induzione nel mondo scientifico (in connessione con il metodo di studio):

1. induzione-selezione (o selezione);
2. induzione - esclusione (eliminazione).

Il primo tipo si distingue per il campionamento metodico (accurato) di una classe (sottoclassi) dalle sue diverse aree.

Un esempio di questo tipo di induzione è il seguente: l'argento (o sali d'argento) purifica l'acqua. La conclusione si basa su osservazioni a lungo termine (una sorta di selezione di conferme e confutazioni - selezione).

Il secondo tipo di induzione si basa su conclusioni che stabiliscono relazioni causali ed escludono circostanze che non corrispondono alle sue proprietà, vale a dire universalità, rispetto della sequenza temporale, necessità e univocità.

Induzione e deduzione dal punto di vista della filosofia

Se guardi alla retrospettiva storica, il termine "induzione" è stato menzionato per la prima volta da Socrate. Aristotele ha descritto esempi di induzione in filosofia in un dizionario terminologico più approssimativo, ma la questione dell'induzione incompleta rimane aperta. Dopo la persecuzione del sillogismo aristotelico, il metodo induttivo cominciò a essere riconosciuto come fruttuoso e l'unico possibile nelle scienze naturali. Bacone è considerato il padre dell'induzione come metodo speciale indipendente, ma non riuscì a separare, come pretendevano i suoi contemporanei, l'induzione dal metodo deduttivo.

L'ulteriore sviluppo dell'induzione è stato effettuato da J. Mill, che ha considerato la teoria dell'induzione dal punto di vista di quattro metodi principali: accordo, differenza, residui e modifiche corrispondenti. Non sorprende che oggi i metodi elencati, se considerati in dettaglio, siano deduttivi.

La consapevolezza dell'incoerenza delle teorie di Bacon e Mill ha portato gli scienziati a indagare sulla base probabilistica dell'induzione. Tuttavia, anche qui ci sono stati alcuni estremi: si è tentato di ridurre l'induzione alla teoria della probabilità, con tutte le conseguenze che ne conseguivano.

L'induzione ottiene un voto di fiducia nell'applicazione pratica in determinate aree tematiche e grazie all'accuratezza metrica della base induttiva. Un esempio di induzione e deduzione in filosofia può essere considerata la legge di gravitazione universale. Alla data di scoperta della legge, Newton è stato in grado di verificarla con una precisione del 4%. E durante il controllo dopo più di duecento anni, la correttezza è stata confermata con un'accuratezza dello 0,0001 percento, sebbene il controllo sia stato effettuato dalle stesse generalizzazioni induttive.

La filosofia moderna presta maggiore attenzione alla deduzione, che è dettata dal desiderio logico di derivare nuove conoscenze (o verità) da ciò che è già noto, senza ricorrere all'esperienza, all'intuizione, ma utilizzando il ragionamento "puro". Quando si fa riferimento a premesse vere nel metodo deduttivo, in tutti i casi, l'output è un'affermazione vera.

Questa importantissima caratteristica non deve oscurare il valore del metodo induttivo. Poiché l'induzione, basata sui risultati dell'esperienza, diventa anche un mezzo per la sua elaborazione (compresa la generalizzazione e la sistematizzazione).

Applicazione dell'induzione in economia

L'induzione e la deduzione sono state a lungo utilizzate come metodi per studiare l'economia e prevederne lo sviluppo.

La gamma di utilizzo del metodo di induzione è piuttosto ampia: lo studio del rispetto degli indicatori di previsione (profitto, ammortamento, ecc.) E una valutazione generale dello stato dell'impresa; formazione di un'efficace politica di promozione dell'impresa basata sui fatti e sulle loro relazioni.

Lo stesso metodo di induzione è utilizzato nei grafici di Shewhart, dove, assumendo che i processi siano divisi in controllati e non gestiti, si afferma che la struttura del processo controllato è inattiva.

Va notato che le leggi scientifiche sono giustificate e confermate utilizzando il metodo dell'induzione, e poiché l'economia è una scienza che utilizza spesso analisi matematiche, teoria del rischio e dati statistici, non sorprende che l'induzione sia inclusa nell'elenco dei metodi principali.

La seguente situazione può servire come esempio di induzione e deduzione in economia. Un aumento del prezzo del cibo (dal paniere dei consumatori) e dei beni di prima necessità spinge il consumatore a pensare all'emergente costo elevato nello stato (induzione). Allo stesso tempo, dal fatto di costi elevati con l'aiuto di metodi matematiciè possibile ricavare indicatori di crescita dei prezzi per singoli beni o categorie di beni (deduzione).

Molto spesso, il personale dirigente, i manager e gli economisti si rivolgono al metodo di induzione. Per poter prevedere con sufficiente veridicità lo sviluppo di un'impresa, il comportamento del mercato e le conseguenze della concorrenza, è necessario un approccio induttivo-deduttivo all'analisi e all'elaborazione delle informazioni.

Un esempio illustrativo di induzione in economia, riferendosi a giudizi fallaci:

• l'utile dell'azienda è diminuito del 30%;
  un concorrente ha ampliato la propria linea di prodotti;
  nient'altro è cambiato;
• la politica produttiva di un'azienda concorrente ha provocato un taglio degli utili del 30%;
• pertanto, la stessa politica di produzione deve essere attuata.

L'esempio è un'illustrazione colorita di come l'uso inetto del metodo dell'induzione contribuisca alla rovina di un'impresa.

Deduzione e induzione in psicologia

Poiché c'è un metodo, allora, logicamente, c'è anche un pensiero adeguatamente organizzato (per usare il metodo). La psicologia come scienza che studia i processi mentali, la loro formazione, sviluppo, relazioni, interazioni, presta attenzione al pensiero "deduttivo" come una delle forme di manifestazione della deduzione e dell'induzione. Purtroppo, sulle pagine di psicologia su Internet, non c'è praticamente alcuna giustificazione per l'integrità del metodo deduttivo-induttivo. Sebbene sia più probabile che gli psicologi professionisti incontrino manifestazioni di induzione, o meglio, conclusioni errate.

Un esempio di induzione in psicologia, come illustrazione di giudizi errati, è l'affermazione: mia madre è un'ingannatrice, quindi tutte le donne sono ingannatrici. Ci sono esempi ancora più "errati" di induzione dalla vita:

• uno studente non è capace di nulla se ha ricevuto un due in matematica;
• è uno sciocco;
• lui è intelligente;
• Posso fare tutto;

E molti altri giudizi di valore, derivate da messaggi assolutamente casuali e, a volte, insignificanti.

Va notato: quando l'errore dei giudizi di una persona raggiunge il punto di assurdità, appare un fronte di lavoro per lo psicoterapeuta. Un esempio di inserimento in una visita specialistica:

“Il paziente è assolutamente sicuro che il colore rosso porti solo pericolo per lui in qualsiasi manifestazione. Di conseguenza, una persona ha escluso questa combinazione di colori dalla sua vita, per quanto possibile. Nell'ambiente domestico ci sono molte opportunità per una vita confortevole. Puoi rifiutare tutti gli articoli rossi o sostituirli con analoghi realizzati in un altro combinazione di colori. Ma nei luoghi pubblici, al lavoro, nel negozio, è impossibile. Entrando in una situazione di stress, il paziente sperimenta ogni volta una "marea" completamente diversa stati emotivi che può rappresentare un pericolo per gli altri”.

Questo esempio di induzione, e inconsciamente, si chiama "idee fisse". Se questo accade a una persona mentalmente sana, possiamo parlare di mancanza di organizzazione attività mentale. Lo sviluppo elementare del pensiero deduttivo può diventare un modo per sbarazzarsi degli stati ossessivi. In altri casi, gli psichiatri lavorano con tali pazienti.

Gli esempi di induzione di cui sopra indicano che "l'ignoranza della legge non esenta dalle conseguenze (sentenze errate)".

Gli psicologi, lavorando sul tema del pensiero deduttivo, hanno compilato un elenco di raccomandazioni progettate per aiutare le persone a padroneggiare questo metodo.

Il primo passo è la risoluzione dei problemi. Come si vede, la forma di induzione usata in matematica può essere considerata "classica", e l'uso di questo metodo contribuisce alla "disciplina" della mente.

La condizione successiva per lo sviluppo del pensiero deduttivo è l'espansione degli orizzonti (chi pensa chiaramente, afferma chiaramente). Questa raccomandazione dirige la "sofferenza" verso i tesori della scienza e dell'informazione (biblioteche, siti web, iniziative educative, viaggi, ecc.).

A parte, va menzionata la cosiddetta "induzione psicologica". Questo termine, anche se raramente, può essere trovato su Internet. Tutte le fonti non danno almeno una breve definizione di questo termine, ma si riferiscono a "esempi dalla vita", pur presentando suggestioni, alcune forme di malattia mentale o stati estremi della psiche umana come un nuovo tipo di induzione. Da tutto quanto sopra, è chiaro che un tentativo di derivare un "nuovo termine" basato su premesse false (spesso false) condanna lo sperimentatore a ricevere un'affermazione errata (o frettolosa).

Va notato che il riferimento agli esperimenti del 1960 (senza indicare il luogo, i nomi degli sperimentatori, il campione di soggetti e, soprattutto, lo scopo dell'esperimento) sembra, a dir poco, poco convincente, e l'affermazione che il cervello percepisca le informazioni aggirando tutti gli organi di percezione (la frase "esperto" in questo caso si adatterebbe in modo più organico), fa pensare alla creduloneria e all'acriticità dell'autore dell'affermazione.

Invece di una conclusione

La regina delle scienze - la matematica, non invano usa tutte le possibili riserve del metodo di induzione e deduzione. Gli esempi considerati ci consentono di concludere che l'applicazione superficiale e inetta (sconsiderata, come si suol dire) anche dei metodi più accurati e affidabili porta sempre a risultati errati.

Nella coscienza di massa, il metodo della deduzione è associato al famoso Sherlock Holmes, che nelle sue costruzioni logiche usa spesso esempi di induzione, usando la deduzione nelle situazioni necessarie.

L'articolo considerava esempi dell'applicazione di questi metodi in varie scienze e sfere della vita umana.

L'induzione è un metodo per ottenere un'affermazione generale da osservazioni particolari. Nel caso in cui un'affermazione matematica riguardi un numero finito di oggetti, può essere dimostrata controllando per ogni oggetto. Ad esempio, l'affermazione: "Ogni numero pari a due cifre è la somma di due numeri primi", segue da una serie di uguaglianze abbastanza realistiche da stabilire:

10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 . . . 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79.

Il metodo di dimostrazione, in cui un'affermazione è verificata per un numero finito di casi, esaurendo tutte le possibilità, è chiamato induzione completa. Questo metodo è applicabile relativamente raramente, poiché le affermazioni matematiche, di regola, riguardano insiemi di oggetti non finiti, ma infiniti. Ad esempio, l'affermazione sui numeri pari a due cifre dimostrata sopra per induzione completa è solo un caso speciale del teorema: "Qualsiasi numero pari è la somma di due numeri primi". Questo teorema non è stato ancora dimostrato o confutato.

L'induzione matematica è un metodo per dimostrare una certa affermazione per ogni n naturale basato sul principio dell'induzione matematica: “Se un'affermazione è vera per n=1 e dalla sua validità per n=k ne consegue che questa affermazione è vera per n= k+1, allora è vero per tutti gli n ". Il metodo di dimostrazione per induzione matematica è il seguente:

1) base di induzione: dimostrare o verificare direttamente la validità dell'affermazione per n=1 (a volte n=0 o n=n 0);

2) passo di induzione (transizione): assumono la validità dell'affermazione per qualche n=k naturale e, sulla base di questa assunzione, provano la validità dell'affermazione per n=k+1.

Problemi con soluzioni

1. Dimostra che per ogni n naturale il numero 3 2n+1 +2 n+2 è divisibile per 7.

Indichiamo A(n)=3 2n+1 +2 n+2 .

base di induzione. Se n=1, allora A(1)=3 3 +2 3 =35 e ovviamente divisibile per 7.

Ipotesi di induzione. Sia A(k) divisibile per 7.

transizione induttiva. Dimostriamo che A(k+1) è divisibile per 7, cioè la validità dell'enunciato del problema per n=k.

À(k+1)=3 2(k+1)+1 +2 (k+1)+2 =3 2k+1 3 2 +2 k+2 2 1 =3 2k+1 9+2 k+2 2=

3 2k+1 9+2 k+2 (9–7)=(3 2k+1 +2 k+2) 9–7 2 k+2 =9 A(k)–7 2 k +2 .

L'ultimo numero è divisibile per 7, poiché è la differenza di due numeri interi divisibili per 7. Pertanto, 3 2n+1 +2 n+2 è divisibile per 7 per ogni n naturale.

2. Dimostra che per ogni intero positivo n il numero 2 3 n +1 è divisibile per 3 n+1 e non è divisibile per 3 n+2 .

Introduciamo la notazione: a i =2 3 i +1.

Per n=1 abbiamo, e 1 =2 3 +1=9. Quindi, a 1 è divisibile per 3 2 e non divisibile per 3 3 .

Sia per n=k il numero a k è divisibile per 3 k+1 e non divisibile per 3 k+2 , cioè a k =2 3 k +1=3 k+1 m, dove m non è divisibile per 3. Allora

e k+1 =2 3 k+1 +1=(2 3 k) 3 +1=(2 3 k +1)(2 3 k 2 –2 3 k +1)=3 k+1 m m ((2 3 k +1) 2 –3 2 3 k)=3 k+1 m ((3 k+1 m) 2 –3 2 3 k)=

3 k+2 m (3 2 k+1 m 2 –2 3 k).

Ovviamente a k+1 è divisibile per 3 k+2 e non è divisibile per 3 k+3 .

Pertanto, l'affermazione è dimostrata per ogni n naturale.

3. È noto che x+1/x è un numero intero. Dimostrare che anche х n +1/х n è un numero intero per ogni numero intero n.

Introduciamo la notazione: a i \u003d x i +1 / x i e notiamo subito che a i \u003d a -i, quindi continueremo a parlare di indici naturali.

Nota: e 1 è un numero intero per condizione; a 2 è un numero intero, poiché a 2 \u003d (a 1) 2 -2; e 0=2.

Supponiamo che ak sia un numero intero per ogni numero intero positivo k non superiore a n. Allora a 1 ·a n è un intero, ma a 1 ·a n =a n+1 +a n–1 e a n+1 =a 1 ·a n –a n–1. Tuttavia, e n–1 è un numero intero per l'ipotesi di induzione. Quindi anche à n+1 è un numero intero. Pertanto, х n +1/х n è un numero intero per ogni numero intero n, che doveva essere dimostrato.

4. Dimostrare che per ogni intero positivo n maggiore di 1, la doppia disuguaglianza

5. Dimostrare che per n naturale > 1 e |x|

(1–x)n +(1+x)n

Per n=2 la disuguaglianza è vera. Veramente,

(1–x) 2 + (1 + x) 2 \u003d 2 + 2 x 2

Se la disuguaglianza è vera per n=k, allora per n=k+1 abbiamo

(1–x)k+1 +(1+x)k+1

La disuguaglianza è dimostrata per ogni numero naturale n > 1.

6. Ci sono n cerchi sul piano. Dimostra che per qualsiasi disposizione di questi cerchi, la mappa da essi formata può essere correttamente colorata con due colori.

Usiamo il metodo dell'induzione matematica.

Per n=1 l'affermazione è ovvia.

Assumiamo che l'affermazione sia vera per qualsiasi mappa formata da n cerchi, e siano dati n + 1 cerchi sul piano. Togliendo uno di questi cerchi, otteniamo una mappa che, in virtù dell'ipotesi fatta, può essere correttamente colorata con due colori (vedi prima figura sotto).

Quindi ripristiniamo il cerchio scartato e su un lato di esso, ad esempio all'interno, cambiamo il colore di ciascuna area nell'opposto (vedi la seconda immagine). È facile vedere che in questo caso otteniamo una mappa correttamente colorata con due colori, ma solo ora con n + 1 cerchi, cosa da dimostrare.

7. Chiameremo un poligono convesso "bello" se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

1) ciascuno dei suoi vertici è dipinto in uno dei tre colori;

2) due vertici vicini qualsiasi sono dipinti in colori diversi;

3) almeno un vertice del poligono è colorato in ciascuno dei tre colori.

Dimostra che qualsiasi bel n-gon può essere tagliato da diagonali non intersecanti in triangoli "belli".

Usiamo il metodo dell'induzione matematica.

base di induzione. Per il più piccolo possibile n=3, l'enunciazione del problema è ovvia: i vertici del triangolo "bello" sono colorati in tre colori differenti e non sono necessari tagli.

Ipotesi di induzione. Supponiamo che l'enunciato del problema sia vero per ogni "bello" n-gon.

fase di induzione. Si consideri un arbitrario "bello" (n + 1)-gon e si dimostri, usando l'ipotesi di induzione, che può essere tagliato da alcune diagonali in "belli" triangoli. Indichiamo con А 1 , А 2 , А 3 , … А n , А n+1 – vertici successivi del (n+1)-gon. Se solo un vertice del (n + 1)-gon è colorato in uno qualsiasi dei tre colori, allora collegando questo vertice con le diagonali a tutti i vertici non adiacenti ad esso, otteniamo la partizione necessaria del (n + 1)- gon in "bellissimi" triangoli.

Se almeno due vertici di un (n + 1)-gon sono dipinti in ciascuno dei tre colori, indichiamo il colore del vertice A 1 con il numero 1 e il colore del vertice A 2 con il numero 2 . Sia k il numero più piccolo tale che il vertice A k sia colorato nel terzo colore. È chiaro che k > 2. Tagliamo il triangolo А k–2 А k–1 А k dal (n+1)-gon con la diagonale А k–2 А k . In accordo con la scelta del numero k, tutti i vertici di questo triangolo sono dipinti in tre colori diversi, cioè questo triangolo è "bello". Il convesso n-gon A 1 A 2 ... A k–2 A k A k+1 ... A n+1 , che rimane, sarà anche, per l'assunzione induttiva, "bello", il che significa che è diviso in "belli" triangoli, che dovevano essere provati.

8. Dimostra che in un n-gon convesso è impossibile scegliere più di n diagonali in modo che due qualsiasi di esse abbiano un punto in comune.

Eseguiamo la dimostrazione con il metodo dell'induzione matematica.

Dimostriamo un'affermazione più generale: in un n-gon convesso, è impossibile scegliere più di n lati e diagonali in modo che due qualsiasi di essi abbiano un punto in comune. Per n = 3 l'affermazione è ovvia. Assumiamo che questa asserzione sia vera per un arbitrario n-gon e, usando questo, dimostriamo la sua validità per un arbitrario (n + 1)-gon.

Supponiamo che per un (n + 1)-gon questa affermazione non sia vera. Se non emergono più di due lati o diagonali scelti da ciascun vertice di un (n+1)-gon, allora ce ne sono al massimo n+1 scelti. Pertanto, almeno tre lati scelti o diagonali AB, AC, AD emergono da qualche vertice A. Sia AC tra AB e AD. Poiché qualsiasi lato o diagonale che esce da C diverso da CA non può incrociare AB e AD contemporaneamente, da C esce solo una diagonale scelta CA.

Scartando il punto C insieme alla diagonale CA, otteniamo un n-gon convesso in cui vengono scelti più di n lati e diagonali, due qualsiasi delle quali hanno un punto in comune. Pertanto, arriviamo a una contraddizione con l'assunzione che l'asserzione sia vera per un n-gon convesso arbitrario.

Quindi, per un (n + 1)-gon, l'affermazione è vera. In accordo con il principio dell'induzione matematica, l'affermazione è vera per qualsiasi n-gon convesso.

9. Ci sono n rette disegnate nel piano, nessuna delle quali due è parallela e nessuna tre passa per lo stesso punto. In quante parti queste linee dividono il piano.

Con l'aiuto di disegni elementari, è facile assicurarsi che una linea retta divida il piano in 2 parti, due linee rette in 4 parti, tre linee rette in 7 parti e quattro linee rette in 11 parti.

Indichiamo con N(n) il numero di parti in cui n rette dividono il piano. Lo si può vedere

N(2)=N(1)+2=2+2,

N(3)=N(2)+3=2+2+3,

N(4)=N(3)+4=2+2+3+4.

È naturale presumerlo

N(n)=N(n–1)+n=2+2+3+4+5+…+n,

oppure, come è facile stabilire, utilizzando la formula per la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica,

N(n)=1+n(n+1)/2.

Dimostriamo la validità di questa formula con il metodo dell'induzione matematica.

Per n=1, la formula è già stata verificata.

Fatta l'ipotesi induttiva, si considerino k + 1 linee che soddisfano la condizione del problema. Selezioniamo arbitrariamente k rette da esse. Per ipotesi induttiva, suddividono il piano in 1+ k(k+1)/2 parti. La restante (k + 1)-esima linea sarà divisa dalle k linee selezionate in k + 1 parti e, quindi, passerà attraverso la (k + 1)-esima parte in cui il piano è già stato diviso, e ciascuna delle queste parti saranno divise in 2 parti, cioè verranno aggiunte k+1 parti in più. Così,

N(k+1)=N(k)+k+1=1+ k(k+1)/2+k+1=1+(k+1)(k+2)/2,

Q.E.D.

10. Nell'espressione x 1: x 2: ...: x n, le parentesi sono poste per indicare l'ordine delle azioni e il risultato è scritto come frazione:

(in questo caso, ciascuna delle lettere x 1, x 2, ..., x n è nel numeratore della frazione o nel denominatore). Quante espressioni diverse si possono ottenere in questo modo con tutti i possibili modi di disporre le parentesi?

Prima di tutto, è chiaro che nella frazione risultante x 1 sarà al numeratore. È quasi altrettanto ovvio che x 2 sarà al denominatore per qualsiasi disposizione di parentesi (il segno di divisione prima di x 2 si riferisce o a x 2 stesso oa qualsiasi espressione contenente x 2 al numeratore).

Si può presumere che tutte le altre lettere x 3 , x 4 , ... , x n possano essere posizionate al numeratore o al denominatore in modo del tutto arbitrario. Ne consegue che in totale si possono ottenere 2 n-2 frazioni: ciascuna delle n-2 lettere x 3, x 4, ..., x n può essere indipendentemente dalle altre al numeratore o al denominatore.

Dimostriamo questa affermazione per induzione.

Con n=3, puoi ottenere 2 frazioni:

quindi l'affermazione è vera.

Assumiamo che sia valido per n=k e lo dimostriamo per n=k+1.

Si scriva l'espressione x 1: x 2: ...: x k, dopo una certa disposizione delle parentesi, come frazione Q. Se x k: x k+1 è sostituito in questa espressione invece di x k, allora x k sarà nella stesso posto che era nelle frazioni Q, e x k + 1 non sarà dove si trovava x k (se x k era al denominatore, allora x k + 1 sarà al numeratore e viceversa).

Ora dimostriamo che possiamo aggiungere x k+1 nello stesso posto di x k . Nella frazione Q, dopo aver messo le parentesi, ci sarà necessariamente un'espressione della forma q:x k, dove q è la lettera x k–1 o qualche espressione tra parentesi. Sostituendo q: x k con l'espressione (q: x k): x k + 1 = q: (x k x k + 1), otteniamo ovviamente la stessa frazione Q, dove invece di x k è x k x k+1 .

Pertanto, il numero di possibili frazioni nel caso di n=k+1 è 2 volte maggiore che nel caso di n=k ed è pari a 2 k–2 ·2=2 (k+1)–2 . Così l'affermazione è provata.

Risposta: 2 frazioni n-2.

Problemi senza soluzioni

1. Dimostrare che per ogni n naturale:

a) il numero 5 n -3 n + 2n è divisibile per 4;

b) il numero n 3 +11n è divisibile per 6;

c) il numero 7 n+3n–1 è divisibile per 9;

d) il numero 6 2n +19 n –2 n+1 è divisibile per 17;

e) il numero 7 n+1 +8 2n–1 è divisibile per 19;

f) il numero 2 2n–1 –9n 2 +21n–14 è divisibile per 27.

2. Dimostra che (n+1)·(n+2)· …·(n+n) = 2 n ·1·3·5·…·(2n–1).

3. Dimostrare la disuguaglianza |sin nx| n|sinx| per qualsiasi naturale n.

4. Trova i numeri naturali a, b, c che non sono divisibili per 10 e tali che per ogni n naturale i numeri a n + b n e c n abbiano le stesse ultime due cifre.

5. Dimostrare che se n punti non giacciono sulla stessa retta, allora tra le rette che li connettono ce ne sono almeno n diverse.