Teoria della meccanica teorica 1 corso. Leggi e formule fondamentali in meccanica teorica. Esempi risolutivi. Limiti di applicabilità della meccanica classica

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Breve recensione

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• Statica
  • Concetti base di statica
  • Tipi di forza
  • Assiomi di statica
  • Connessioni e loro reazioni
  • Sistema di forze convergenti
    • Metodi per determinare il sistema risultante di forze convergenti
    • Condizioni di equilibrio per un sistema di forze convergenti
  • Momento di forza attorno al centro come vettore
    • Valore algebrico del momento della forza
    • Proprietà del momento di forza rispetto al centro (punto)
  • Teoria delle coppie di forze
    • Somma di due forze parallele nella stessa direzione
    • Somma di due forze parallele dirette verso l'interno lati diversi
    • coppie di potenza
    • Teoremi di coppia di forze
    • Condizioni per l'equilibrio di un sistema di coppie di forze
  • Leva
  • Sistema di forze piano arbitrario
    • Casi di riduzione di un sistema piatto di forze a una forma più semplice
    • Condizioni analitiche di equilibrio
  • Centro di forze parallele. Centro di gravità
    • Centro di forze parallele
    • Il baricentro di un corpo rigido e le sue coordinate
    • Baricentro del volume, piani e linee
    • Metodi per determinare la posizione del baricentro
• Nozioni di base sulle racchette di forza
  • Problemi e metodi di resistenza dei materiali
  • Classificazione del carico
  • Classificazione degli elementi strutturali
  • Deformazioni dell'asta
  • Principali ipotesi e principi
  • Forze interne. Metodo della sezione
  • Voltaggio
  • Tensione e compressione
  • Caratteristiche meccaniche del materiale
  • Sollecitazioni ammissibili
  • Durezza del materiale
  • Grafici delle forze e delle sollecitazioni longitudinali
  • Spostare
  • Caratteristiche geometriche delle sezioni
  • Torsione
  • piegare
    • Dipendenze differenziali nella flessione
    • Resistenza alla flessione
    • sollecitazioni normali. Calcolo della forza
    • Sforzi di taglio in flessione
    • Rigidità alla flessione
  • Elementi di teoria generale dello stato stressante
  • Teorie della forza
  • Piegare con torsione
• Cinematica
  • Cinematica dei punti
    • Traiettoria del punto
    • Metodi per specificare il movimento di un punto
    • Velocità di punta
    • accelerazione puntiforme
  • Cinematica del corpo rigido
    • Moto traslazionale di un corpo rigido
    • Moto rotatorio di un corpo rigido
    • Cinematica dei meccanismi ad ingranaggi
    • Moto piano-parallelo di un corpo rigido
  • Movimento di punti complesso
• Dinamica
  • Leggi fondamentali della dinamica
  • Dinamica puntuale
    • Equazioni differenziali di un punto materiale libero
    • Due problemi di dinamica dei punti
  • Dinamica del corpo rigido
    • Classificazione delle forze agenti su un sistema meccanico
    • Equazioni differenziali del moto di un sistema meccanico
  • Teoremi generali della dinamica
    • Teorema sul moto del baricentro di un sistema meccanico
    • Teorema sulla variazione della quantità di moto
    • Teorema sulla variazione del momento angolare
    • Teorema del cambiamento di energia cinetica
• Forze che agiscono nelle macchine
  • Forze in innesto di un ingranaggio cilindrico
  • Attrito nei meccanismi e nelle macchine
    • Attrito scorrevole
    • attrito volvente
  • Efficienza
• Parti della macchina
  • Trasmissioni meccaniche
    • Tipi di ingranaggi meccanici
    • Parametri base e derivati ​​degli ingranaggi meccanici
    • ingranaggi
    • Ingranaggi con maglie flessibili
  • Aste
    • Scopo e classificazione
    • Calcolo del progetto
    • Verificare il calcolo degli alberi
  • Cuscinetti
    • Cuscinetti a strisciamento
    • Cuscinetti a rotolamento
  • Collegamento di parti della macchina
    • Tipi di connessioni staccabili e permanenti
    • Connessioni a chiave
• Standardizzazione delle norme, intercambiabilità
  • Tolleranze e atterraggi
  • Sistema unificato di tolleranze e sbarchi (ESDP)
  • Deviazione di forma e posizione

Formato: pdf

Dimensioni: 4 MB

lingua russa

Un esempio di calcolo di un ingranaggio cilindrico
Un esempio di calcolo di un ingranaggio cilindrico. Sono stati effettuati la scelta del materiale, il calcolo delle sollecitazioni ammissibili, il calcolo della resistenza al contatto e alla flessione.

Un esempio per risolvere il problema della flessione della trave
Nell'esempio vengono tracciati i diagrammi delle forze trasversali e dei momenti flettenti, viene trovata una sezione pericolosa e viene selezionata una trave a I. Nel problema è stata analizzata la costruzione di diagrammi utilizzando dipendenze differenziali, analisi comparativa diverse sezioni trasversali della trave.

Un esempio per risolvere il problema della torsione dell'albero
Il compito è testare la resistenza di un albero in acciaio per un dato diametro, materiale e sollecitazioni ammissibili. Durante la soluzione, vengono costruiti diagrammi di coppie, sforzi di taglio e angoli di torsione. Il peso proprio dell'albero non viene preso in considerazione

Un esempio di soluzione del problema della tensione-compressione di un'asta
Il compito è testare la resistenza di una barra d'acciaio a determinate sollecitazioni ammissibili. Durante la soluzione, vengono costruiti grafici delle forze longitudinali, delle sollecitazioni normali e degli spostamenti. Il peso proprio della barra non viene preso in considerazione

Applicazione del teorema di conservazione dell'energia cinetica
Un esempio di soluzione del problema dell'applicazione del teorema sulla conservazione dell'energia cinetica di un sistema meccanico

Determinazione della velocità e dell'accelerazione di un punto secondo le equazioni del moto date
Un esempio per risolvere il problema di determinare la velocità e l'accelerazione di un punto secondo le equazioni del moto date

Determinazione delle velocità e delle accelerazioni di punti di un corpo rigido durante il moto piano-parallelo
Un esempio per risolvere il problema di determinare le velocità e le accelerazioni dei punti di un corpo rigido durante il movimento piano-parallelo

Determinazione delle forze nelle travature reticolari planari
Un esempio di risoluzione del problema della determinazione delle forze nelle barre di una travatura reticolare piana con il metodo Ritter e il metodo di taglio del nodo

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Corso di lezioni su meccanica teorica Dinamica (parte I) Bondarenko A.N. Mosca - 2007 Il corso di formazione elettronico è stato scritto sulla base di lezioni tenute dall'autore per studenti che studiano nelle specialità di SZhD, PGS e SDM presso NIIZhT e MIIT (1974-2006). Il materiale didattico corrisponde ai piani del calendario per un importo di tre semestri. Per implementare completamente gli effetti di animazione durante una presentazione, è necessario utilizzare un visualizzatore Power Point non inferiore a quello integrato di Microsoft Office sistema operativo Windows XP Professional. Commenti e suggerimenti possono essere inviati via e-mail: [email protetta]. Università statale di Mosca di ingegneria ferroviaria (MIIT) Dipartimento di meccanica teorica Centro scientifico e tecnico delle tecnologie dei trasporti

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Contenuti Lezione 1. Introduzione alla dinamica. Leggi e assiomi della dinamica dei punti materiali. Equazione di base della dinamica. Equazioni differenziali e naturali del moto. Due compiti principali della dinamica. Esempi di risoluzione del problema diretto della dinamica Lezione 2. Risoluzione del problema inverso della dinamica. Istruzioni generali per risolvere il problema inverso della dinamica. Esempi di risoluzione del problema inverso della dinamica. Il movimento di un corpo lanciato ad angolo rispetto all'orizzonte, senza tener conto della resistenza dell'aria. Lezione 3. Oscillazioni rettilinee di un punto materiale. La condizione per il verificarsi di oscillazioni. Classificazione delle vibrazioni. Vibrazioni libere senza tener conto delle forze di resistenza. vibrazioni smorzate. Decremento dell'oscillazione. Lezione 4. Oscillazioni forzate di un punto materiale. Risonanza. Influenza della resistenza al movimento durante le vibrazioni forzate. Lezione 5. Moto relativo di un punto materiale. Forze d'inerzia. Casi particolari di movimento per vari tipi di movimento portatile. Influenza della rotazione terrestre sull'equilibrio e sul moto dei corpi. Lezione 6. Dinamica di un sistema meccanico. sistema meccanico. Forze esterne e interne. Centro di massa del sistema. Il teorema sul moto del baricentro. Leggi di conservazione. Un esempio per risolvere il problema dell'utilizzo del teorema sul movimento del baricentro. Lezione 7. Impulso di forza. La quantità di movimento. Teorema sulla variazione della quantità di moto. Leggi di conservazione. Il teorema di Eulero. Un esempio di soluzione del problema sull'uso del teorema sulla variazione della quantità di moto. momento di slancio. Il teorema sulla modifica del momento angolare Lezione 8. Leggi di conservazione. Elementi di teoria dei momenti di inerzia. Momento cinetico di un corpo rigido. Equazione differenziale di rotazione di un corpo rigido. Un esempio di risoluzione del problema dell'utilizzo del teorema sulla modifica del momento angolare del sistema. Teoria elementare del giroscopio. Letteratura consigliata 1. Yablonsky A.A. Corso di meccanica teorica. Parte 2. M.: Scuola superiore. 1977. 368 pag. 2. Meshchersky IV Raccolta di problemi di meccanica teorica. M.: Scienza. 1986 416 pag. 3. Raccolta incarichi per tesine /Ed. AA. Yablonsky. M.: Scuola superiore. 1985. 366 pag. 4. Bondarenko AN “Meccanica teorica in esempi e compiti. Dynamics” (manuale elettronico www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

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Lezione 1 Dinamica è una sezione di meccanica teorica che studia il movimento meccanico dal punto di vista più generale. Il movimento è considerato in connessione con le forze che agiscono sull'oggetto. La sezione è composta da tre sezioni: Dinamica di un punto materiale Dinamica Dinamica di un sistema meccanico Meccanica analitica ■ Dinamica di un punto - studia il movimento di un punto materiale, tenendo conto delle forze che causano questo movimento. L'oggetto principale è un punto materiale: un corpo materiale con una massa, le cui dimensioni possono essere trascurate. Presupposti di base: - esiste uno spazio assoluto (ha proprietà puramente geometriche che non dipendono dalla materia e dal suo movimento. - esiste un tempo assoluto (non dipende dalla materia e dal suo movimento). Ne consegue: - esiste un sistema di riferimento assolutamente immobile - il tempo non dipende dal movimento del sistema di riferimento - le masse dei punti in movimento non dipendono dal movimento del sistema di riferimento Queste ipotesi sono utilizzate nella meccanica classica creata da Galileo e Newton Ha ancora una portata abbastanza ampia, poiché i sistemi meccanici considerati nelle scienze applicate non hanno masse e velocità di movimento così grandi, per cui è necessario tener conto della loro influenza sulla geometria dello spazio, del tempo, del movimento, in quanto si fa nella meccanica relativistica (la teoria della relatività) ■ Le leggi fondamentali della dinamica, scoperte per la prima volta da Galileo e formulate da Newton, costituiscono la base di tutti i metodi per descrivere e analizzare il movimento dei sistemi meccanici e la loro interazione dinamica azione sotto l'influenza di varie forze. ■ Legge di inerzia (legge di Galileo-Newton) - Un punto materiale isolato di un corpo mantiene il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché le forze applicate non lo costringono a cambiare questo stato. Ciò implica l'equivalenza dello stato di quiete e del moto per inerzia (la legge della relatività di Galileo). Il quadro di riferimento, in relazione al quale è soddisfatta la legge dell'inerzia, è detto inerziale. La proprietà di un punto materiale di sforzarsi di mantenere inalterata la velocità del suo movimento (il suo stato cinematico) è chiamata inerzia. ■ La legge di proporzionalità di forza e accelerazione (Equazione di base della dinamica - Legge di Newton II) - L'accelerazione impartita a un punto materiale dalla forza è direttamente proporzionale alla forza e inversamente proporzionale alla massa di questo punto: oppure Qui m è il massa del punto (misura dell'inerzia), misurata in kg, numericamente uguale al peso diviso per l'accelerazione gravitazionale: F è la forza agente, misurata in N (1 N impartisce un'accelerazione di 1 m/s2 ad un punto con un massa di 1 kg, 1 N \u003d 1/9. 81 kg-s). ■ Dinamica di un sistema meccanico - studia il movimento di un insieme di punti materiali e corpi rigidi, combinati leggi generali interazioni, tenendo conto delle forze che causano questo movimento. ■ Meccanica analitica - studia il moto di sistemi meccanici non liberi utilizzando metodi analitici generali. uno

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Lezione 1 (continua - 1.2) Equazioni differenziali del moto di un punto materiale: - equazione differenziale del moto di un punto in forma vettoriale. - equazioni differenziali del moto dei punti in forma di coordinate. Questo risultato può essere ottenuto mediante la proiezione formale dell'equazione differenziale del vettore (1). Dopo il raggruppamento, la relazione del vettore viene scomposta in tre equazioni scalari: In forma di coordinate: Usiamo la relazione del raggio-vettore con le coordinate e il vettore di forza con le proiezioni: equazione differenziale del moto su assi di coordinate naturali (in movimento): oppure: - equazioni naturali del moto di un punto. ■ Equazione di base della dinamica: - corrisponde al modo vettoriale di specificare il movimento di un punto. ■ La legge di indipendenza dell'azione delle forze - L'accelerazione di un punto materiale sotto l'azione di più forze è uguale alla somma geometrica delle accelerazioni di un punto dall'azione di ciascuna delle forze separatamente: oppure Vale la legge per qualsiasi stato cinematico dei corpi. Le forze di interazione, essendo applicate a diversi punti (corpi), non sono equilibrate. ■ La legge di uguaglianza di azione e reazione (legge di Newton III) - Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e direzionata in senso opposto: 2

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Due problemi principali della dinamica: 1. Problema diretto: il moto è dato (equazioni del moto, traiettoria). È necessario determinare le forze sotto l'azione di un determinato movimento. 2. Problema inverso: vengono fornite le forze sotto l'azione di cui si verifica il movimento. È necessario trovare i parametri del movimento (equazioni del movimento, traiettoria del movimento). Entrambi i problemi vengono risolti utilizzando l'equazione di base della dinamica e la sua proiezione sugli assi delle coordinate. Se si considera il movimento di un punto non libero, allora, come nella statica, viene utilizzato il principio del rilascio dai legami. Come risultato della reazione, i legami sono inclusi nella composizione delle forze che agiscono sul punto materiale. La soluzione del primo problema è connessa alle operazioni di differenziazione. La soluzione del problema inverso richiede l'integrazione delle corrispondenti equazioni differenziali, e questo è molto più difficile della differenziazione. Il problema inverso è più difficile del problema diretto. La soluzione del problema diretto della dinamica - vediamo degli esempi: Esempio 1. Una cabina con un peso G di un ascensore viene sollevata da un cavo con accelerazione a . Determina la tensione del cavo. 1. Selezionare un oggetto (la cabina dell'ascensore si sposta in avanti e può essere considerata come un punto materiale). 2. Scartiamo il collegamento (cavo) e lo sostituiamo con la reazione R. 3. Compiliamo l'equazione di base della dinamica: Determina la reazione del cavo: Determina la tensione del cavo: Con un movimento uniforme della cabina ay = 0 e il la tensione del cavo è uguale al peso: T = G. Quando il cavo si rompe T = 0 e l'accelerazione della cabina è uguale all'accelerazione di caduta libera: ay = -g. 3 4. Proiettiamo sull'asse y l'equazione di base della dinamica: y Esempio 2. Un punto di massa m si muove lungo una superficie orizzontale (il piano Oxy) secondo le equazioni: x = a coskt, y = b coskt. Determina la forza che agisce sul punto. 1. Selezionare un oggetto (punto materiale). 2. Scartiamo la connessione (piano) e la sostituiamo con la reazione N. 3. Aggiungiamo al sistema di forze una forza sconosciuta F. 4. Componiamo l'equazione di base della dinamica: 5. Proiettiamo l'equazione di base della dinamica su assi x,y: Determinare le proiezioni della forza: Modulo di forza: Coseni di direzione: Pertanto, l'intensità della forza è proporzionale alla distanza del punto dal centro delle coordinate ed è diretta verso il centro lungo la linea che collega il punto al centro. La traiettoria del movimento del punto è un'ellisse centrata all'origine: O r Lezione 1 (continua - 1.3)

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Lezione 1 (continua 1.4) Esempio 3: Un carico di peso G è sospeso su un cavo di lunghezza l e si muove lungo un percorso circolare su un piano orizzontale con una certa velocità. L'angolo di deviazione del cavo dalla verticale è uguale a. Determinare la tensione del cavo e la velocità del carico. 1. Selezionare un oggetto (carico). 2. Scartare il collegamento (corda) e sostituirlo con la reazione R. 3. Comporre l'equazione di base della dinamica: Dalla terza equazione, determinare la reazione del cavo: Determinare la tensione del cavo: Sostituire il valore della reazione del cavo, l'accelerazione normale nella seconda equazione e determinare la velocità del carico: 4. Proiettare l'equazione principale dinamica dell'asse,n,b: Esempio 4: Un'auto di peso G si muove su un ponte convesso (il raggio di curvatura è R ) con velocità V. Determinare la pressione dell'auto sul ponte. 1. Selezioniamo un oggetto (un'auto, trascuriamo le dimensioni e lo consideriamo come un punto). 2. Scartiamo la connessione (superficie ruvida) e la sostituiamo con le reazioni N e la forza di attrito Ffr. 3. Componiamo l'equazione di base della dinamica: 4. Proiettiamo l'equazione di base della dinamica sull'asse n: Da qui determiniamo la reazione normale: determiniamo la pressione dell'auto sul ponte: da qui possiamo determinare la velocità corrispondente a pressione zero sul ponte (Q = 0): 4

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Lezione 2 Dopo aver sostituito i valori trovati delle costanti, otteniamo: Quindi, sotto l'azione dello stesso sistema di forze, un punto materiale può eseguire un'intera classe di movimenti determinati dalle condizioni iniziali. Le coordinate iniziali tengono conto della posizione iniziale del punto. La velocità iniziale, data dalle proiezioni, tiene conto dell'influenza sul suo movimento lungo il tratto considerato della traiettoria delle forze che hanno agito sul punto prima di arrivare a questo tratto, cioè stato cinematico iniziale. Soluzione del problema inverso della dinamica - Nel caso generale del movimento di un punto, le forze agenti sul punto sono variabili che dipendono dal tempo, dalle coordinate e dalla velocità. Il moto di un punto è descritto da un sistema di tre equazioni differenziali del secondo ordine: Dopo aver integrato ciascuna di esse, ci saranno sei costanti C1, C2,…., C6: I valori delle costanti C1, C2,… ., C6 si trovano da sei condizioni iniziali a t = 0: Esempio 1 della soluzione del problema inverso: un punto materiale libero di massa m si muove sotto l'azione di una forza F, che è costante in grandezza e grandezza. . Al momento iniziale, la velocità del punto era v0 e coincideva in direzione con la forza. Determina l'equazione del moto di un punto. 1. Componi l'equazione di base della dinamica: 3. Abbassa l'ordine della derivata: 2. Scegli un sistema di riferimento cartesiano, dirigendo l'asse x lungo la direzione della forza e proietta l'equazione di base della dinamica su questo asse: oppure x y z 4 Separare le variabili: 5. Calcolare gli integrali di entrambe le parti dell'equazione: 6. Rappresentiamo la proiezione della velocità come una derivata della coordinata rispetto al tempo: 8. Calcolare gli integrali di entrambe le parti dell'equazione: 7. Separare le variabili: 9. Per determinare i valori delle costanti C1 e C2, utilizziamo le condizioni iniziali t = 0, vx = v0 , x = x0: Di conseguenza, otteniamo l'equazione del moto uniformemente variabile (lungo il asse x): 5

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Istruzioni generali per la risoluzione di problemi diretti e inversi. Procedura risolutiva: 1. Compilazione dell'equazione differenziale del moto: 1.1. Scegli un sistema di coordinate: rettangolare (fisso) con una traiettoria di movimento sconosciuta, naturale (in movimento) con una traiettoria nota, ad esempio un cerchio o una linea retta. In quest'ultimo caso può essere utilizzata una coordinata rettilinea. Il punto di riferimento deve essere combinato con la posizione iniziale del punto (a t = 0) o con la posizione di equilibrio del punto, se esiste, ad esempio, quando il punto oscilla. 6 1.2. Disegna un punto in una posizione corrispondente a un momento arbitrario (per t > 0) in modo che le coordinate siano positive (s > 0, x > 0). Assumiamo inoltre che anche la proiezione della velocità in questa posizione sia positiva. Nel caso di oscillazioni, la proiezione della velocità cambia segno, ad esempio, quando si ritorna alla posizione di equilibrio. Qui si dovrebbe presumere che nel momento considerato il punto si allontani dalla posizione di equilibrio. L'attuazione di questa raccomandazione è importante in futuro quando si lavora con forze di resistenza che dipendono dalla velocità. 1.3. Rilascia il punto materiale dai legami, sostituisci la loro azione con reazioni, aggiungi forze attive. 1.4. Scrivere la legge fondamentale della dinamica in forma vettoriale, proiettare sugli assi selezionati, esprimere le forze date o reattive in termini di variabili tempo, coordinate o velocità, se da esse dipendono. 2. Soluzione di equazioni differenziali: 2.1. Ridurre la derivata se l'equazione non è ridotta alla forma canonica (standard). ad esempio: o 2.2. Variabili separate, ad esempio: o 2.4. Calcola non integrali definiti nelle parti sinistra e destra dell'equazione, ad esempio: 2.3. Se nell'equazione sono presenti tre variabili, apportare una modifica delle variabili, ad esempio: e quindi separare le variabili. Commento. Invece di calcolare integrali indefinitiè possibile calcolare integrali definiti con limite superiore variabile. I limiti inferiori rappresentano i valori iniziali delle variabili (condizioni iniziali), quindi non è necessario trovare separatamente la costante, che viene automaticamente inclusa nella soluzione, ad esempio: Utilizzando le condizioni iniziali, ad esempio, t = 0 , vx = vx0, determinare la costante di integrazione: 2.5. Esprimere la velocità in termini di derivata temporale della coordinata, ad esempio, e ripetere i passaggi 2.2 -2.4 Nota. Se l'equazione viene ridotta a una forma canonica che ha una soluzione standard, viene utilizzata questa soluzione già pronta. Le costanti di integrazione si trovano ancora dalle condizioni iniziali. Vedi, ad esempio, le oscillazioni (lezione 4, p. 8). Lezione 2 (continua 2.2)

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Lezione 2 (continuazione 2.3) Esempio 2 di risoluzione del problema inverso: La forza dipende dal tempo. Un carico di peso P inizia a muoversi lungo una superficie orizzontale liscia sotto l'azione di una forza F, la cui entità è proporzionale al tempo (F = kt). Determinare la distanza percorsa dal carico nel tempo t. 3. Componiamo l'equazione principale della dinamica: 5. Abbassiamo l'ordine della derivata: 4. Proiettiamo l'equazione principale della dinamica sull'asse x: o 7 6. Separiamo le variabili: 7. Calcoliamo gli integrali da entrambe le parti dell'equazione: 9. Rappresentiamo la proiezione della velocità come derivata della coordinata rispetto al tempo: 10. Calcolare gli integrali di entrambe le parti dell'equazione: 9. Separare le variabili: 8. Determinare il valore della costante C1 dalla condizione iniziale t = 0, vx = v0=0: Si ottiene così l'equazione del moto (lungo l'asse x), che dà il valore della distanza percorsa nel tempo t: 1. Si scegliamo il sistema di riferimento (coordinate cartesiane) in modo che il corpo abbia una coordinata positiva: 2. Prendiamo l'oggetto del movimento come punto materiale (il corpo avanza), lo svincoliamo dalla connessione (piano di riferimento) e lo sostituiamo con il reazione (reazione normale di una superficie liscia): 11. Determinare il valore della costante C2 dalla condizione iniziale t = 0, x = x0=0: Esempio 3 di risoluzione del problema inverso: La forza dipende dalla coordinata. Un punto materiale di massa m viene lanciato verso l'alto dalla superficie terrestre con una velocità v0. La forza di gravità della Terra è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal punto al centro di gravità (il centro della Terra). Determina la dipendenza della velocità dalla distanza y dal centro della Terra. 1. Scegliamo un sistema di riferimento (coordinate cartesiane) in modo che il corpo abbia una coordinata positiva: 2. Componiamo l'equazione di base della dinamica: 3. Proiettiamo l'equazione di base della dinamica sull'asse y: oppure Il coefficiente di proporzionalità può essere trovato usando il peso di un punto sulla superficie terrestre: R Quindi il differenziale che assomiglia all'equazione: o 4. Abbassare l'ordine della derivata: 5. Cambiare la variabile: 6. Separare le variabili: 7. Calcolare la integrali di entrambi i membri dell'equazione: 8. Sostituisci i limiti: Di ​​conseguenza, otteniamo un'espressione per la velocità in funzione della coordinata y: la massima altezza di volo può essere trovata uguagliando la velocità a zero: la massima altitudine di volo quando il denominatore diventa zero: Da qui, impostando il raggio della Terra e l'accelerazione di caduta libera, si ottiene la II velocità cosmica:

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Lezione 2 (continuazione 2.4) Esempio 2 di risoluzione del problema inverso: La forza dipende dalla velocità. Una nave di massa m aveva una velocità v0. La resistenza dell'acqua al movimento della nave è proporzionale alla velocità. Determina il tempo impiegato dalla nave per diminuire della metà dopo aver spento il motore, nonché la distanza percorsa dalla nave fino a fermarsi completamente. 8 1. Scegliamo un sistema di riferimento (coordinate cartesiane) in modo che il corpo abbia una coordinata positiva: 2. Prendiamo l'oggetto del movimento come un punto materiale (la nave avanza), lo liberiamo dai legami (acqua) e lo sostituiamo con una reazione (forza di galleggiamento - forza di Archimede), e anche la forza di resistenza al movimento. 3. Aggiungi forza attiva (gravità). 4. Componiamo l'equazione principale della dinamica: 5. Proiettiamo l'equazione principale della dinamica sull'asse x: o 6. Abbassiamo l'ordine della derivata: 7. Separiamo le variabili: 8. Calcoliamo gli integrali da entrambe le parti dell'equazione: 9. Sostituiamo i limiti: Si ottiene un'espressione che mette in relazione la velocità e il tempo t, da cui è possibile determinare il tempo del movimento: Il tempo del movimento, durante il quale la velocità diminuirà della metà: Esso è interessante notare che quando la velocità si avvicina allo zero, il tempo del movimento tende all'infinito, cioè la velocità finale non può essere zero. Perché non "moto perpetuo"? Tuttavia, in questo caso, la distanza percorsa fino alla fermata è un valore finito. Per determinare la distanza percorsa, si ricorre all'espressione ottenuta dopo aver abbassato l'ordine della derivata, e si effettua un cambio di variabile: Dopo l'integrazione e la sostituzione dei limiti, si ottiene: Distanza percorsa fino a una fermata: ■ Movimento di un punto lanciato a un angolo rispetto all'orizzonte in un campo di gravità uniforme senza tener conto della resistenza dell'aria Eliminando il tempo dalle equazioni del moto, otteniamo l'equazione della traiettoria: Il tempo di volo è determinato uguagliando la coordinata y a zero: Il raggio di volo è determinato sostituendo il tempo di volo:

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Lezione 3 Oscillazioni rettilinee di un punto materiale - Il movimento oscillatorio di un punto materiale avviene alla condizione: è presente una forza di ripristino che tende a riportare il punto in posizione di equilibrio per ogni deviazione da tale posizione. 9 C'è una forza di ripristino, la posizione di equilibrio è stabile Nessuna forza di ripristino, la posizione di equilibrio è instabile Nessuna forza di ripristino, la posizione di equilibrio è indifferente È sempre orientato verso la posizione di equilibrio, il valore è direttamente proporzionale all'allungamento lineare (accorciamento) della molla, che è pari allo scostamento del corpo dalla posizione di equilibrio: c è il coefficiente di rigidità della molla, numericamente uguale al forza sotto la quale la molla cambia la sua lunghezza di uno, misurata in N / m nel sistema SI. x y O Tipi di vibrazioni di un punto materiale: 1. Vibrazioni libere (senza tener conto della resistenza del mezzo). 2. Oscillazioni libere tenendo conto della resistenza del mezzo (oscillazioni smorzate). 3. Vibrazioni forzate. 4. Oscillazioni forzate tenendo conto della resistenza del mezzo. ■ Oscillazioni libere - si verificano sotto l'azione di una sola forza di ripristino. Scriviamo la legge fondamentale della dinamica: Scegliamo un sistema di coordinate centrato nella posizione di equilibrio (punto O) e proiettiamo l'equazione sull'asse x: Portiamo l'equazione risultante alla forma standard (canonica): Questa equazione è omogenea equazione differenziale lineare del secondo ordine, la cui forma della soluzione è determinata dalle radici della caratteristica dell'equazione ottenuta utilizzando la sostituzione universale: Le radici dell'equazione caratteristica sono immaginarie e uguali: La soluzione generale dell'equazione differenziale ha la forma: La velocità del punto: Condizioni iniziali: Definire le costanti: Quindi, l'equazione delle vibrazioni libere ha la forma: L'equazione può essere rappresentata da un'espressione a un termine: dove a è l'ampiezza, - fase iniziale. Le nuove costanti a e - sono legate alle costanti C1 e C2 dalle relazioni: Definiamo a e: La ragione del verificarsi di oscillazioni libere è lo spostamento iniziale x0 e/o la velocità iniziale v0.

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10 Lezione 3 (continua 3.2) Oscillazioni smorzate di un punto materiale - Il movimento oscillatorio di un punto materiale avviene in presenza di una forza di richiamo e di una forza di resistenza al movimento. La dipendenza della forza di resistenza al movimento dallo spostamento o dalla velocità è determinata dalla natura fisica del mezzo o della connessione che impedisce il movimento. La dipendenza più semplice è una dipendenza lineare dalla velocità (resistenza viscosa): - coefficiente di viscosità x y O dai valori delle radici: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - caso di alta resistenza viscosa: - radici vere, diverse. oppure - queste funzioni sono aperiodiche: 3. n = k: - le radici sono reali, multiple. anche queste funzioni sono aperiodiche:

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Lezione 3 (seguito 3.3) Classificazione delle soluzioni di oscillazioni libere. Collegamenti primaverili. durezza equivalente. y y 11 Diff. Carattere di equazione. Equazione Radici char. equazione Risoluzione di equazioni differenziali Grafico nk n=k

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Lezione 4 Vibrazioni forzate di un punto materiale - Insieme alla forza di ripristino, agisce una forza che cambia periodicamente, chiamata forza perturbante. La forza perturbatrice può avere natura diversa. Ad esempio, in un caso particolare, l'effetto inerziale di una massa sbilanciata m1 di un rotore rotante provoca proiezioni di forza che cambiano armonicamente: L'equazione principale della dinamica: La proiezione dell'equazione della dinamica sull'asse: Portiamo l'equazione allo standard forma: 12 La soluzione di questa equazione differenziale disomogenea consiste di due parti x = x1 + x2: x1 è la soluzione generale dell'equazione omogenea corrispondente e x2 è una soluzione particolare dell'equazione disomogenea: Selezioniamo la soluzione particolare sotto forma di il lato destro: l'uguaglianza risultante deve essere soddisfatta per ogni t . Allora: o Così, con l'azione simultanea delle forze di ripristino e di disturbo, il punto materiale compie un moto oscillatorio complesso, che è il risultato della somma (sovrapposizione) di vibrazioni libere (x1) e forzate (x2). Se pag< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (oscillazioni forzate ad alta frequenza), allora la fase delle oscillazioni è opposta alla fase della forza di disturbo:

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Lezione 4 (continua 4.2) 13 Coefficiente dinamico - il rapporto tra l'ampiezza delle oscillazioni forzate e la deviazione statica di un punto sotto l'azione di una forza costante H = const: L'ampiezza delle oscillazioni forzate: La deviazione statica può essere trovata dalla equazione di equilibrio: Qui: Quindi: Quindi, a p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (alta frequenza delle oscillazioni forzate) coefficiente dinamico: risonanza - si verifica quando la frequenza delle oscillazioni forzate coincide con la frequenza delle oscillazioni naturali (p = k). Ciò si verifica più spesso quando si avvia e si arresta la rotazione di rotori mal bilanciati montati su sospensioni elastiche. L'equazione differenziale delle oscillazioni con frequenze uguali: una soluzione particolare nella forma del lato destro non può essere presa, perché si otterrà una soluzione linearmente dipendente (vedi soluzione generale). Soluzione generale: Sostituisci nell'equazione differenziale: Prendi una soluzione particolare nella forma e calcola le derivate: Così si ottiene la soluzione: o Le oscillazioni forzate alla risonanza hanno un'ampiezza che aumenta indefinitamente in proporzione al tempo. Influenza della resistenza al movimento durante le vibrazioni forzate. L'equazione differenziale in presenza di resistenza viscosa ha la forma: La soluzione generale è scelta dalla tabella (Lezione 3, p. 11) in base al rapporto di n e k (vedi). Prendiamo una soluzione particolare nella forma e calcoliamo le derivate: Sostituisci nell'equazione differenziale: Eguagliando i coefficienti per funzioni trigonometriche identiche, otteniamo un sistema di equazioni: elevando entrambe le equazioni a una potenza e sommandole, otteniamo l'ampiezza della oscillazioni forzate: Dividendo la seconda equazione per la prima, otteniamo lo sfasamento delle oscillazioni forzate: Quindi, l'equazione del moto per le oscillazioni forzate, tenendo conto della resistenza al moto, ad esempio, per n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

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Lezione 5 Moto relativo di un punto materiale - Assumiamo che il sistema di coordinate mobile (non inerziale) Oxyz si muova secondo una legge relativa al sistema di coordinate fisso (inerziale) O1x1y1z1. Il moto di un punto materiale M (x, y, z) rispetto al sistema mobile Oxyz è relativo, rispetto al sistema immobile O1x1y1z1 è assoluto. Il movimento del sistema mobile Oxyz rispetto al sistema fisso O1x1y1z1 è un movimento portatile. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Equazione di base della dinamica: Accelerazione assoluta di un punto: Sostituisci l'accelerazione assoluta di un punto nell'equazione di base della dinamica: Trasferiamo a destra i termini con accelerazione traslazionale e di Coriolis: Il i termini trasferiti hanno la dimensione delle forze e sono considerati come le corrispondenti forze inerziali, uguali: Allora il moto relativo di un punto può essere considerato assoluto, se alle forze agenti si sommano le forze di inerzia traslazionale e di Coriolis: In proiezioni sulla assi del sistema di coordinate in movimento, abbiamo: la rotazione è uniforme, quindi εe = 0: 2. Moto curvilineo traslazionale: Se il moto è rettilineo, allora = : Se il moto è rettilineo e uniforme, allora il sistema in movimento è inerziale e il il moto relativo può essere considerato assoluto: nessun fenomeno meccanico può rilevare un'uniforme rettilinea moto (principio di relatività della meccanica classica). Influenza della rotazione terrestre sull'equilibrio dei corpi - Assumiamo che il corpo sia in equilibrio sulla superficie terrestre ad una latitudine arbitraria φ (paralleli). La Terra ruota attorno al suo asse da ovest a est con una velocità angolare: il raggio della Terra è di circa 6370 km. S R è la reazione totale di una superficie non liscia. G - forza di attrazione della Terra al centro. Ф - forza centrifuga di inerzia. Condizione di equilibrio relativo: La risultante delle forze di attrazione e di inerzia è la forza di gravità (peso): L'entità della forza di gravità (peso) sulla superficie della Terra è P = mg. La forza di inerzia centrifuga è una piccola frazione della forza di gravità: anche la deviazione della forza di gravità dalla direzione della forza di attrazione è piccola: quindi, l'influenza della rotazione terrestre sull'equilibrio dei corpi è estremamente piccola e non viene preso in considerazione nei calcoli pratici. Il valore massimo della forza d'inerzia (a φ = 0 - all'equatore) è solo 0,00343 del valore di gravità

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Lezione 5 (continua 5.2) 15 Influenza della rotazione terrestre sul movimento dei corpi nel campo gravitazionale terrestre - Supponiamo che un corpo cada sulla Terra da una certa altezza H sopra la superficie terrestre alla latitudine φ . Scegliamo un sistema di riferimento mobile, rigidamente connesso con la Terra, dirigendo gli assi x, y tangenzialmente al parallelo e al meridiano: Equazione del moto relativo: qui si tiene conto della piccolezza della forza di inerzia centrifuga rispetto alla gravità . Pertanto, la forza di gravità è identificata con la forza di gravità. Inoltre, assumiamo che la gravità sia diretta perpendicolarmente alla superficie terrestre a causa della piccolezza della sua deflessione, come discusso sopra. L'accelerazione di Coriolis è uguale e diretta parallelamente all'asse y a ovest. La forza di inerzia di Coriolis è diretta nella direzione opposta. Progettiamo l'equazione del moto relativo sull'asse: La soluzione della prima equazione dà: Condizioni iniziali: La soluzione della terza equazione dà: Condizioni iniziali: La terza equazione assume la forma: Condizioni iniziali: La sua soluzione dà: La soluzione risultante mostra che il corpo devia verso est quando cade. Calcoliamo il valore di questa deviazione, ad esempio, quando cadiamo da un'altezza di 100 m Troviamo il tempo di caduta dalla soluzione della seconda equazione: Pertanto, l'influenza della rotazione terrestre sul movimento dei corpi è estremamente piccola per altezze e velocità pratiche e non viene preso in considerazione nei calcoli tecnici. La soluzione della seconda equazione implica anche l'esistenza di una velocità lungo l'asse y, che dovrebbe anche causare e causare la corrispondente accelerazione e la forza di inerzia di Coriolis. L'influenza di questa velocità e della forza di inerzia ad essa associata sul cambiamento di moto sarà anche inferiore alla forza di inerzia di Coriolis considerata associata alla velocità verticale.

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Lezione 6 Dinamica di un sistema meccanico. Sistema di punti materiali o sistema meccanico - Un insieme di punti materiali o quei punti materiali uniti da leggi generali di interazione (la posizione o il movimento di ciascuno dei punti o di un corpo dipende dalla posizione e dal movimento di tutti gli altri) Il sistema di punti liberi - il cui movimento non è limitato da alcuna connessione (ad esempio un sistema planetario, in cui i pianeti sono considerati punti materiali). Un sistema di punti non liberi o un sistema meccanico non libero - il movimento di punti o corpi materiali è limitato dai vincoli imposti al sistema (ad esempio un meccanismo, una macchina, ecc.). 16 Forze che agiscono sul sistema. Oltre alla precedente classificazione delle forze (forze attive e reattive), viene introdotta una nuova classificazione delle forze: 1. Forze esterne (e) - agenti su punti e corpi del sistema da punti o corpi che non ne fanno parte sistema. 2. Forze interne (i) - forze di interazione tra punti materiali o corpi inclusi nel sistema dato. La stessa forza può essere sia esterna che interna. Tutto dipende da quale sistema meccanico viene considerato. Ad esempio: nel sistema di Sole, Terra e Luna, tutte le forze gravitazionali tra di loro sono interne. Considerando il sistema Terra e Luna, le forze gravitazionali applicate dal lato del Sole sono esterne: C Z L In base alla legge di azione e reazione, ogni forza interna Fk corrisponde ad un'altra forza interna Fk', uguale in valore assoluto e opposta in direzione. Ne derivano due notevoli proprietà delle forze interne: Il vettore principale di tutte le forze interne del sistema è uguale a zero: Il momento principale di tutte le forze interne del sistema rispetto a qualsiasi centro è uguale a zero: O in proiezioni sulla coordinata assi: Nota. Sebbene queste equazioni siano simili alle equazioni di equilibrio, non lo sono, poiché le forze interne vengono applicate a vari punti o corpi del sistema e possono far sì che questi punti (corpi) si muovano l'uno rispetto all'altro. Da queste equazioni consegue che le forze interne non influiscono sul moto di un sistema considerato nel suo insieme. Il centro di massa del sistema di punti materiali. Per descrivere il movimento del sistema nel suo insieme si introduce un punto geometrico, detto centro di massa, il cui raggio vettore è determinato dall'espressione, dove M è la massa dell'intero sistema: Oppure in proiezioni sulla coordinata assi: le formule per il baricentro sono simili a quelle per il baricentro. Tuttavia, il concetto di centro di massa è più generale, poiché non è correlato alle forze di gravità o alle forze di gravità.

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Lezione 6 (continua 6.2) 17 Teorema sul moto del baricentro del sistema - Si consideri un sistema di n punti materiali. Dividiamo le forze applicate a ciascun punto in esterne ed interne e le sostituiamo con le corrispondenti risultanti Fke e Fki. Scriviamo per ogni punto l'equazione di base della dinamica: oppure Sommiamo queste equazioni su tutti i punti: Sul lato sinistro dell'equazione, introdurremo le masse sotto il segno della derivata e sostituiremo la somma delle derivate con la derivata della somma: Dalla definizione del centro di massa: Sostituisci nell'equazione risultante: otteniamo o: Il prodotto della massa del sistema e l'accelerazione del suo centro massa è uguale al vettore principale delle forze esterne. Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate: Il centro di massa del sistema si muove come un punto materiale con una massa uguale alla massa dell'intero sistema, a cui vengono applicate tutte le forze esterne che agiscono sul sistema. Conseguenze del teorema sul moto del baricentro del sistema (leggi di conservazione): 1. Se nell'intervallo di tempo il vettore principale delle forze esterne del sistema è uguale a zero, Re = 0, allora la velocità di il centro di massa è costante, vC = const (il centro di massa si muove uniformemente in modo rettilineo - la legge di conservazione del centro di massa del moto). 2. Se nell'intervallo di tempo la proiezione del vettore principale delle forze esterne del sistema sull'asse x è uguale a zero, Rxe = 0, allora la velocità del baricentro lungo l'asse x è costante, vCx = const (il baricentro si muove uniformemente lungo l'asse). Affermazioni simili sono vere per gli assi yez. Esempio: due persone di massa m1 e m2 si trovano su una barca di massa m3. Al momento iniziale, la barca con le persone era ferma. Determinare il dislocamento della barca se una persona di massa m2 si è spostata a prua della barca a distanza a. 3. Se nell'intervallo di tempo il vettore principale delle forze esterne del sistema è uguale a zero, Re = 0, e al momento iniziale la velocità del baricentro è uguale a zero, vC = 0, allora il vettore del raggio del centro di massa rimane costante, rC = const (il centro di massa è a riposo è la legge di conservazione della posizione del centro di massa). 4. Se nell'intervallo di tempo la proiezione del vettore principale delle forze esterne del sistema sull'asse x è uguale a zero, Rxe = 0, e al momento iniziale la velocità del baricentro lungo tale asse è zero , vCx = 0, allora la coordinata del centro di massa lungo l'asse x rimane costante, xC = const (il centro di massa non si sposta lungo questo asse). Affermazioni simili sono vere per gli assi yez. 1. Oggetto del movimento (barca con persone): 2. Scartare le connessioni (acqua): 3. Sostituire la connessione con la reazione: 4. Aggiungere le forze attive: 5. Annotare il teorema sul centro di massa: proiettare sull'asse x : O Determina quanto lontano devi trasferirti a una persona di massa m1, in modo che la barca rimanga in posizione: La barca si sposterà di una distanza l nella direzione opposta.

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Lezione 7 L'impulso di forza è una misura dell'interazione meccanica che caratterizza il trasferimento del moto meccanico dalle forze agenti sul punto per un determinato periodo di tempo: 18 Nelle proiezioni sugli assi coordinati: Nel caso di una forza costante: In proiezioni sugli assi delle coordinate: al punto di forza nello stesso intervallo di tempo: Moltiplicare per dt: Integrare su un dato intervallo di tempo: La quantità di movimento del punto è una misura del movimento meccanico, determinato da un vettore uguale al prodotto di la massa del punto e il vettore della sua velocità: Teorema sulla variazione della quantità di movimento del sistema – Considera il sistema n punti materiali. Dividiamo le forze applicate a ciascun punto in esterne ed interne e le sostituiamo con le corrispondenti risultanti Fke e Fki. Scriviamo per ogni punto l'equazione di base della dinamica: o La quantità di moto del sistema di punti materiali è la somma geometrica delle quantità di moto dei punti materiali: Per definizione del centro di massa: Il vettore della quantità di moto del sistema è uguale al prodotto della massa dell'intero sistema per il vettore velocità del centro di massa del sistema. Quindi: Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate: La derivata temporale del vettore momento del sistema è uguale al vettore principale delle forze esterne del sistema. Sommiamo queste equazioni su tutti i punti: Sul lato sinistro dell'equazione, introduciamo le masse sotto il segno della derivata e sostituiamo la somma delle derivate con la derivata della somma: Dalla definizione della quantità di moto del sistema: Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate:

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Teorema di Eulero - Applicazione del teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema al movimento di un mezzo continuo (acqua). 1. Selezioniamo come oggetto del movimento il volume d'acqua situato nel canale curvilineo della turbina: 2. Scartiamo i legami e sostituiamo la loro azione con reazioni (Rpov - la risultante delle forze superficiali) 3. Aggiungiamo le forze attive (Rb - la risultante delle forze corporee): 4. Scrivete il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema: La quantità di moto dell'acqua ai tempi t0 e t1 è rappresentata come somme: Variazione della quantità di moto dell'acqua nell'intervallo di tempo: Variazione di la quantità di moto dell'acqua in un intervallo di tempo infinitesimo dt: , dove F1 F2 Prendendo il prodotto di densità, area della sezione trasversale e velocità per secondo massa, otteniamo: Sostituendo il differenziale della quantità di moto del sistema nel teorema di cambiamento, otteniamo : Conseguenze del teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema (leggi di conservazione): 1. Se nell'intervallo di tempo il vettore principale delle forze esterne del sistema è uguale a zero, Re = 0, allora la quantità vettore moto è costante, Q = const è la legge di conservazione della quantità di moto del sistema). 2. Se nell'intervallo di tempo la proiezione del vettore principale delle forze esterne del sistema sull'asse x è uguale a zero, Rxe = 0, allora la proiezione della quantità di moto del sistema sull'asse x è costante, Qx = cost. Affermazioni simili sono vere per gli assi yez. Lezione 7 (continuazione di 7.2) Esempio: una granata di massa M, che volava a velocità v, è esplosa in due parti. La velocità di uno dei frammenti di massa m1 è aumentata nella direzione del movimento fino al valore v1. Determina la velocità del secondo frammento. 1. L'oggetto del movimento (granata): 2. L'oggetto è un sistema libero, non ci sono connessioni e le loro reazioni. 3. Somma le forze attive: 4. Scrivi il teorema sulla variazione della quantità di moto: Proietta sull'asse: β Dividi le variabili e integra: L'integrale di destra è quasi zero, perché tempo di esplosione t

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Lezione 7 (continua 7.3) 20 Il momento angolare di un punto o il momento cinetico del moto relativo a un certo centro è una misura del moto meccanico, determinato da un vettore uguale al prodotto vettoriale del raggio vettore di un punto materiale e il vettore della sua quantità di moto: Il momento cinetico di un sistema di punti materiali rispetto a un certo centro è geometrico la somma dei momenti della quantità di moto di tutti i punti materiali relativi allo stesso centro: In proiezioni sull'asse: In proiezioni sull'asse : Teorema sulla variazione del momento di moto del sistema - Consideriamo un sistema di n punti materiali. Dividiamo le forze applicate a ciascun punto in esterne ed interne e le sostituiamo con le corrispondenti risultanti Fke e Fki. Scriviamo per ogni punto l'equazione di base della dinamica: oppure Sommiamo queste equazioni su tutti i punti: Sostituiamo la somma delle derivate con la derivata della somma: L'espressione tra parentesi è il momento della quantità di moto del sistema. Da qui: Moltiplichiamo vettorialmente ciascuna delle uguaglianze per il raggio-vettore a sinistra: Vediamo se è possibile portare il segno della derivata oltre i limiti del prodotto vettoriale: Quindi, abbiamo: centro. Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate: La derivata del momento della quantità di moto del sistema rispetto a un asse nel tempo è uguale al momento principale delle forze esterne del sistema rispetto allo stesso asse.

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Lezione 8 21 ■ Conseguenze del teorema sulla variazione del momento angolare del sistema (leggi di conservazione): 1. Se nell'intervallo di tempo il vettore del momento principale delle forze esterne del sistema rispetto ad un certo centro è uguale a zero, MOe = 0, allora il vettore del momento angolare del sistema relativo allo stesso centro è costante, KO = const è la legge di conservazione della quantità di moto del sistema). 2. Se nell'intervallo di tempo il momento principale delle forze esterne del sistema rispetto all'asse x è uguale a zero, Mxe = 0, allora il momento angolare del sistema rispetto all'asse x è costante, Kx = cost. Affermazioni simili sono vere per gli assi yez. 2. Momento d'inerzia di un corpo rigido attorno ad un asse: Il momento d'inerzia di un punto materiale attorno ad un asse è uguale al prodotto della massa del punto per il quadrato della distanza del punto dall'asse. Il momento d'inerzia di un corpo rigido attorno ad un asse è uguale alla somma dei prodotti della massa di ciascun punto e del quadrato della distanza di questo punto dall'asse. ■ Elementi di teoria dei momenti d'inerzia - Con il moto rotatorio di un corpo rigido, la misura dell'inerzia (resistenza al cambiamento di moto) è il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione. Considera i concetti di base della definizione e i metodi per calcolare i momenti di inerzia. 1. Momento d'inerzia di un punto materiale attorno all'asse: Nel passaggio da una piccola massa discreta a una massa infinitamente piccola di un punto, il limite di tale somma è determinato dall'integrale: momento d'inerzia assiale di un corpo rigido . Oltre al momento d'inerzia assiale di un corpo rigido, esistono altri tipi di momenti d'inerzia: il momento d'inerzia centrifugo di un corpo rigido. momento d'inerzia polare di un corpo rigido. 3. Il teorema sui momenti di inerzia di un corpo rigido attorno ad assi paralleli - la formula per il passaggio ad assi paralleli: Momento di inerzia attorno all'asse di riferimento Momenti di inerzia statica attorno agli assi di riferimento I momenti di massa corporea sono zero:

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Lezione 8 (continua 8.2) 22 Momento d'inerzia di un'asta uniforme di sezione costante attorno all'asse: x z L Selezionare il volume elementare dV = Adx a distanza x: x dx Massa elementare: Per calcolare il momento d'inerzia attorno all'asse centrale (passando per il baricentro), è sufficiente cambiare la posizione dell'asse e impostare i limiti di integrazione (-L/2, L/2). Qui dimostriamo la formula per il passaggio ad assi paralleli: zС 5. Il momento d'inerzia di un cilindro solido omogeneo attorno all'asse di simmetria: H dr r Individuiamo il volume elementare dV = 2πrdrH (cilindro sottile di raggio r) : Massa elementare: qui usiamo la formula del volume del cilindro V=πR2H. Per calcolare il momento d'inerzia di un cilindro cavo (spesso), è sufficiente impostare i limiti di integrazione da R1 a R2 (R2> R1): 6. Il momento d'inerzia di un cilindro sottile attorno all'asse di simmetria (t

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Lezione 8 (continua 8.3) 23 ■ Equazione differenziale di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse: Scriviamo un teorema sulla modifica del momento angolare di un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso: Il momento di un corpo rigido rotante è: Il momento delle forze esterne attorno all'asse di rotazione è uguale alla coppia (reazioni e forze non creano momenti di gravità): sostituiamo il momento cinetico e la coppia nel teorema Esempio: due persone dello stesso peso G1 = G2 sono appese a una fune lanciato su un blocco solido con peso G3 = G1/4. Ad un certo punto, uno di loro ha cominciato a salire la corda con una velocità relativa u. Determina la velocità di sollevamento di ogni persona. 1. Selezioniamo l'oggetto del movimento (blocco con persone): 2. Scartiamo le connessioni (il dispositivo di supporto del blocco): 3. Sostituiamo la connessione con le reazioni (cuscinetto): 4. Aggiungiamo le forze attive (gravità): 5. Scrivete il teorema sulla variazione del momento cinetico del sistema rispetto all'asse di rotazione del blocco: R Poiché il momento delle forze esterne è uguale a zero, il momento cinetico deve rimanere costante: Al momento iniziale t = 0, c'era equilibrio e Kz0 = 0. Dopo l'inizio del movimento di una persona rispetto alla fune, l'intero sistema ha iniziato a muoversi, ma il momento cinetico del sistema deve rimanere uguale a zero: Kz = 0. Il momento angolare del sistema è la somma dei momenti angolari di entrambe le persone e del blocco: qui v2 è la velocità della seconda persona, uguale alla velocità dell'estremità del cavo su un asse di rotazione fisso. Oppure: Nel caso di piccole oscillazioni sinφ φ: Periodo di oscillazione: Momento di inerzia della barra:

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Lezione 8 (continua 8.4 - materiale aggiuntivo) 24 ■ Teoria elementare del giroscopio: un giroscopio è un corpo rigido che ruota attorno all'asse di simmetria del materiale, di cui uno dei punti è fisso. Un giroscopio libero è fissato in modo tale che il suo centro di massa rimanga fermo e l'asse di rotazione passi per il centro di massa e possa assumere qualsiasi posizione nello spazio, ad es. l'asse di rotazione cambia la sua posizione come l'asse di rotazione del corpo stesso durante il movimento sferico. L'assunto principale della teoria approssimativa (elementare) del giroscopio è che il vettore della quantità di moto (momento cinetico) del rotore sia considerato diretto lungo il proprio asse di rotazione. Pertanto, nonostante nel caso generale il rotore partecipi a tre rotazioni, viene presa in considerazione solo la velocità angolare della propria rotazione ω = dφ/dt. La ragione di ciò è che nella moderna tecnologia il rotore del giroscopio ruota con una velocità angolare dell'ordine di 5000-8000 rad/s (circa 50000-80000 rpm), mentre le altre due velocità angolari associate alla precessione e alla nutazione del proprio asse di rotazione decine di migliaia di volte inferiore a questa velocità. La proprietà principale di un giroscopio libero è che l'asse del rotore mantiene una direzione costante nello spazio rispetto al sistema di riferimento inerziale (stellare) (dimostrato dal pendolo di Foucault, che mantiene inalterato il piano di oscillazione rispetto alle stelle, 1852). Ciò deriva dalla legge di conservazione del momento cinetico relativo al baricentro del rotore, a condizione che si trascurino l'attrito nei cuscinetti degli assi di sospensione del rotore, del telaio esterno ed interno: Azione di forza sull'asse di un giroscopio. Nel caso di una forza applicata all'asse del rotore, il momento delle forze esterne rispetto al centro di massa non è uguale a zero: ω ω С forza, e verso il vettore del momento di questa forza, cioè ruoterà non attorno all'asse x (sospensione interna), ma attorno all'asse y (sospensione esterna). Al termine della forza, l'asse del rotore rimarrà nella stessa posizione, corrispondente all'ultima volta della forza, perché da questo momento, il momento delle forze esterne torna a zero. Nel caso di un'azione di forza a breve termine (impatto), l'asse del giroscopio praticamente non cambia la sua posizione. Pertanto, la rapida rotazione del rotore conferisce al giroscopio la capacità di contrastare influenze casuali che cercano di modificare la posizione dell'asse di rotazione del rotore e, con un'azione costante della forza, mantiene la posizione del piano perpendicolare a la forza agente in cui giace l'asse del rotore. Queste proprietà vengono utilizzate nel funzionamento dei sistemi di navigazione inerziale.

Lezioni di Meccanica Teorica

Dinamica puntuale

Lezione 1

Concetti di base della dinamica

Nel capitolo Dinamica viene studiato il movimento dei corpi sotto l'azione delle forze ad essi applicate. Pertanto, oltre a quei concetti che sono stati introdotti nella sezione Cinematica, qui è necessario utilizzare nuovi concetti che riflettano le specificità dell'impatto delle forze sui vari corpi e la risposta dei corpi a questi impatti. Consideriamo il principale di questi concetti.

a) forza

La forza è il risultato quantitativo dell'impatto su un dato corpo da parte di altri corpi. La forza è una grandezza vettoriale (Fig. 1).

Punto A dell'inizio del vettore forza F chiamato punto di applicazione della forza. Viene chiamata la retta MN su cui si trova il vettore forza linea di forza. Viene chiamata la lunghezza del vettore forza, misurata su una certa scala valore numerico o modulo del vettore forza. Il modulo di forza è indicato come o . L'azione di una forza su un corpo si manifesta o nella sua deformazione, se il corpo è fermo, o nell'imprimergli un'accelerazione quando il corpo si muove. Su queste manifestazioni di forza si basa il dispositivo di vari strumenti (dinamometri o dinamometri) per misurare le forze.

b) sistema di forze

L'insieme di forze considerato si forma sistema di forze. Qualsiasi sistema costituito da n forze può essere scritto nella forma seguente:

c) corpo libero

Viene chiamato un corpo che può muoversi nello spazio in qualsiasi direzione senza sperimentare l'interazione diretta (meccanica) con altri corpi gratuito o isolato. L'influenza dell'uno o dell'altro sistema di forze su un corpo può essere chiarita solo se questo corpo è libero.

d) forza risultante

Se una forza ha lo stesso effetto su un corpo libero di un sistema di forze, allora questa forza viene chiamata risultante di questo sistema di forze. Questo è scritto come segue:

,

che significa equivalenza l'impatto sullo stesso corpo libero della risultante e di un sistema di n forze.

Passiamo ora alla considerazione di concetti più complessi relativi alla determinazione quantitativa degli effetti rotazionali delle forze.

e) momento di forza relativo a un punto (centro)

Se il corpo sotto l'azione di una forza può ruotare attorno a un punto fisso O (Fig. 2), allora per quantificare questo effetto rotatorio si introduce una grandezza fisica, che prende il nome di momento di forza su un punto (centro).

Si chiama il piano passante per un dato punto fisso e la linea d'azione della forza piano di forza. In Fig. 2, questo è il piano ОАВ.

Il momento della forza relativo a un punto (centro) è una quantità vettoriale uguale al prodotto vettoriale del vettore raggio del punto di applicazione della forza da parte del vettore forza:

( 1)

Secondo la regola della moltiplicazione vettoriale di due vettori, il loro prodotto vettoriale è un vettore perpendicolare al piano di localizzazione dei vettori fattoriali (in questo caso, il piano del triangolo OAB), diretto nella direzione da cui il giro più breve di dal primo vettore fattore al secondo vettore fattore visibile contro l'orologio (Fig. 2). Con questo ordine dei vettori dei fattori del prodotto incrociato (1), la rotazione del corpo sotto l'azione della forza sarà visibile contro l'orologio (Fig. 2) Poiché il vettore è perpendicolare al piano del forza, la sua posizione nello spazio determina la posizione del piano della forza.Il valore numerico del vettore del momento della forza relativo al centro è uguale al doppio dell'area ОАВ e può essere determinato dalla formula:

, (2)

dove grandezzah, uguale alla distanza più breve da un dato punto O alla linea d'azione della forza, è detto braccio della forza.

Se la posizione del piano d'azione della forza nello spazio non è essenziale per caratterizzare l'azione di rotazione della forza, allora in questo caso, per caratterizzare l'azione di rotazione della forza, invece del vettore del momento della forza, momento di forza algebrico:

(3)

Il momento algebrico della forza relativo a un dato centro è uguale al prodotto del modulo di forza e della sua spalla, preso con un segno più o meno. In questo caso, un momento positivo corrisponde alla rotazione del corpo sotto l'azione di una determinata forza contro l'orologio e un momento negativo corrisponde alla rotazione del corpo nella direzione dell'orologio. Dalle formule (1), (2) e (3) ne consegue che il momento della forza relativo ad un punto è uguale a zero solo se il braccio di questa forzahzero. Una tale forza non può ruotare il corpo attorno a un dato punto.

f) Momento di forza attorno all'asse

Se un corpo sotto l'azione di una forza può ruotare attorno a un asse fisso (ad esempio la rotazione di un telaio di una porta o di una finestra nei cardini quando vengono aperti o chiusi), allora viene introdotta una grandezza fisica per quantificare questo effetto rotatorio, che è chiamato momento di forza attorno a un determinato asse.

z

 b Fxy

La figura 3 mostra un diagramma in base al quale viene determinato il momento della forza attorno all'asse z:

L'angolo  è formato da due direzioni perpendicolari ze ai piani dei triangoli O ab e OAV, rispettivamente. Dal momento che  O abè la proiezione di ОАВ sul piano xy, quindi secondo il teorema di stereometria sulla proiezione di una figura piatta su un dato piano, abbiamo:

dove il segno più corrisponde a un valore positivo di cos, cioè angoli acuti , e il segno meno corrisponde a un valore negativo di cos, cioè angoli ottusi , dovuto alla direzione del vettore . A sua volta, SO ab=1/2abh, dove h  ab . Il valore del segmento abè uguale alla proiezione della forza sul piano xy, cioè . ab = F xy .

Sulla base di quanto sopra, oltre alle uguaglianze (4) e (5), determiniamo il momento della forza attorno all'asse z come segue:

L'uguaglianza (6) ci permette di formulare la seguente definizione del momento della forza attorno a qualsiasi asse: Il momento della forza attorno a un dato asse è uguale alla proiezione su questo asse del vettore del momento di questa forza rispetto a qualsiasi punto di un dato asse ed è definito come il prodotto della proiezione della forza su un piano perpendicolare all'asse dato, preso con un segno più o meno sulla spalla di questa proiezione rispetto al punto di intersezione dell'asse con il piano di proiezione. In questo caso, il segno del momento è considerato positivo se, guardando dalla direzione positiva dell'asse, la rotazione del corpo attorno a questo asse è visibile contro l'orologio. In caso contrario, il momento della forza attorno all'asse è considerato negativo. Poiché questa definizione del momento della forza relativo all'asse è abbastanza difficile da ricordare, si consiglia di ricordare la formula (6) e la Fig. 3, che spiega questa formula.

Dalla formula (6) segue che momento di forza attorno all'asse è zero seè parallelo all'asse (in questo caso la sua proiezione su un piano perpendicolare all'asse è uguale a zero), oppure la linea d'azione della forza interseca l'asse (quindi il braccio di proiezione h=0). Ciò corrisponde pienamente al significato fisico del momento della forza attorno all'asse come caratteristica quantitativa dell'azione rotatoria della forza su un corpo con un asse di rotazione.

g) peso corporeo

È stato a lungo notato che sotto l'influenza di una forza, il corpo aumenta gradualmente la velocità e continua a muoversi se la forza viene rimossa. Si chiamava questa proprietà dei corpi, di resistere a un cambiamento nel loro moto inerzia o inerzia dei corpi. La misura quantitativa dell'inerzia di un corpo è la sua massa. Oltretutto, la massa corporea è una misura quantitativa dell'effetto delle forze gravitazionali su un dato corpo maggiore è la massa del corpo, maggiore è la forza gravitazionale che agisce sul corpo. Come verrà mostrato di seguito, ehm Queste due definizioni di peso corporeo sono correlate.

Altri concetti e definizioni di dinamica saranno discussi più avanti nelle sezioni in cui compaiono per la prima volta.

2. Le obbligazioni e le reazioni delle obbligazioni

In precedenza nella sezione 1 punto (c) è stato dato il concetto di corpo libero, come un corpo che può muoversi nello spazio in qualsiasi direzione senza essere a diretto contatto con altri corpi. La maggior parte dei corpi reali che ci circondano sono in contatto diretto con altri corpi e non possono muoversi in una direzione o nell'altra. Quindi, ad esempio, i corpi posizionati sulla superficie del tavolo possono muoversi in qualsiasi direzione, ad eccezione della direzione perpendicolare alla superficie del tavolo verso il basso. Le porte a battente possono ruotare, ma non possono andare avanti, ecc. Sono chiamati corpi che non possono muoversi nello spazio in una direzione o nell'altra non gratis.

Tutto ciò che limita il movimento di un dato corpo nello spazio si chiama legami. Questi possono essere altri corpi che impediscono il movimento di questo corpo in alcune direzioni ( connessioni fisiche); più in generale, potrebbero essere alcune condizioni imposte al movimento del corpo, a limitare questo movimento. Quindi, puoi impostare una condizione affinché il movimento di un punto materiale avvenga lungo una determinata curva. In questo caso, la connessione è specificata matematicamente sotto forma di un'equazione ( equazione di connessione). La questione dei tipi di collegamenti sarà considerata più dettagliatamente di seguito.

La maggior parte dei legami imposti ai corpi sono praticamente legami fisici. Pertanto, sorge la domanda sull'interazione di un dato corpo e sulla connessione imposta a questo corpo. A questa domanda risponde l'assioma sull'interazione dei corpi: due corpi agiscono l'uno sull'altro con forze uguali in grandezza, opposte in direzione e posizionate sulla stessa retta. Queste forze sono chiamate forze di interazione. Le forze di interazione vengono applicate a diversi corpi interagenti. Quindi, ad esempio, durante l'interazione di un dato corpo e una connessione, una delle forze di interazione viene applicata dal lato del corpo alla connessione e l'altra forza di interazione viene applicata dal lato della connessione al dato corpo . Quest'ultimo potere è chiamato forza di reazione del legame o semplicemente, reazione di connessione.

Quando si risolvono problemi pratici di dinamica, è necessario essere in grado di trovare la direzione delle reazioni di vari tipi di legami. La regola generale per determinare la direzione di una reazione di legame può talvolta aiutare in questo: la reazione di un legame è sempre diretta opposta alla direzione in cui questo legame impedisce il movimento di un dato corpo. Se questa direzione può essere specificata in modo definitivo, la reazione della connessione sarà determinata dalla direzione. Altrimenti, la direzione della reazione di legame è indefinita e può essere trovata solo dalle corrispondenti equazioni del moto o dell'equilibrio del corpo. Più in dettaglio, la questione dei tipi di legami e della direzione delle loro reazioni dovrebbe essere studiata secondo il libro di testo: S.M. Targ Un breve corso di meccanica teorica "Scuola superiore", M., 1986. Cap.1, §3.

Nella sezione 1, punto (c), si diceva che l'effetto di qualsiasi sistema di forze può essere determinato pienamente solo se questo sistema di forze è applicato a un corpo libero. Poiché la maggior parte dei corpi, in effetti, non sono liberi, per studiare il movimento di questi corpi, sorge la domanda su come rendere liberi questi corpi. Questa domanda ha una risposta assioma dei collegamenti delle lezioni Su filosofia a casa. Lezioni erano... psicologia sociale ed etnopsicologia. 3. Teorico risultati Nel darwinismo sociale sono stati ...

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Meccanica teorica- Questa è una branca della meccanica, che stabilisce le leggi di base del movimento meccanico e dell'interazione meccanica dei corpi materiali.

La meccanica teorica è una scienza in cui si studiano i movimenti dei corpi nel tempo (movimenti meccanici). Serve come base per altre sezioni della meccanica (teoria dell'elasticità, resistenza dei materiali, teoria della plasticità, teoria dei meccanismi e delle macchine, idroaerodinamica) e molte discipline tecniche.

movimento meccanico- questo è un cambiamento nel tempo nella posizione relativa nello spazio dei corpi materiali.

Interazione meccanica- questa è una tale interazione, a seguito della quale cambia il movimento meccanico o cambia la posizione relativa delle parti del corpo.

Statica del corpo rigido

Statica- Questa è una branca della meccanica teorica, che si occupa dei problemi dell'equilibrio dei corpi solidi e della trasformazione di un sistema di forze in un altro ad esso equivalente.

Concetti di base e leggi della statica
• Corpo assolutamente rigido(corpo solido, corpo) è un corpo materiale, la distanza tra i punti in cui non cambia.
• Punto materialeè un corpo le cui dimensioni, a seconda delle condizioni del problema, possono essere trascurate.
• corpo scioltoè un organismo al cui movimento non sono imposte restrizioni.
• Corpo non libero (legato).è un corpo il cui movimento è limitato.
• Connessioni- si tratta di corpi che impediscono il movimento dell'oggetto in esame (un corpo o un sistema di corpi).
• Reazione comunicativaè una forza che caratterizza l'azione di un legame su un corpo rigido. Se consideriamo la forza con cui un corpo rigido agisce su un legame come un'azione, allora la reazione del legame è una contrazione. In questo caso, la forza - azione viene applicata alla connessione e la reazione della connessione viene applicata al corpo solido.
• sistema meccanicoè un insieme di corpi o punti materiali interconnessi.
• Solido può essere considerato come un sistema meccanico, le cui posizioni e distanza tra i punti non cambiano.
• Forzaè una grandezza vettoriale che caratterizza l'azione meccanica di un corpo materiale su un altro.
  La forza come vettore è caratterizzata dal punto di applicazione, dalla direzione dell'azione e dal valore assoluto. L'unità di misura del modulo di forza è Newton.
• linea di forzaè la retta lungo la quale è diretto il vettore forza.
• Potenza concentrataè la forza applicata in un punto.
• Forze distribuite (carico distribuito)- sono forze che agiscono su tutti i punti del volume, della superficie o della lunghezza del corpo.
  Il carico distribuito è dato dalla forza agente per unità di volume (superficie, lunghezza).
  La dimensione del carico distribuito è N / m 3 (N / m 2, N / m).
• Forza esternaè una forza che agisce da un corpo che non appartiene al sistema meccanico considerato.
• forza interioreè una forza che agisce su un punto materiale di un sistema meccanico da un altro punto materiale appartenente al sistema in esame.
• Sistema di forzaè la totalità delle forze che agiscono su un sistema meccanico.
• Sistema di forze piattoè un sistema di forze le cui linee d'azione giacciono sullo stesso piano.
• Sistema spaziale di forzeè un sistema di forze le cui linee d'azione non giacciono sullo stesso piano.
• Sistema di forze convergentiè un sistema di forze le cui linee di azione si intersecano in un punto.
• Sistema arbitrario di forzeè un sistema di forze le cui linee d'azione non si intersecano in un punto.
• Sistemi di forze equivalenti- si tratta di sistemi di forze, la cui sostituzione l'una con l'altra non modifica lo stato meccanico del corpo.
  Designazione accettata: .
• Equilibrio Uno stato in cui un corpo rimane fermo o si muove uniformemente in linea retta sotto l'azione di forze.
• Sistema equilibrato di forze- si tratta di un sistema di forze che, applicato ad un corpo solido libero, non ne modifica lo stato meccanico (non lo sbilancia).
  .
• forza risultanteè una forza la cui azione su un corpo è equivalente all'azione di un sistema di forze.
  .
• Momento di potereè un valore che caratterizza la capacità di rotazione della forza.
• Coppia di potereè un sistema di due forze parallele uguali in valore assoluto dirette opposte.
  Designazione accettata: .
  Sotto l'azione di un paio di forze, il corpo eseguirà un movimento rotatorio.
• Proiezione di forza sull'asse- questo è un segmento racchiuso tra perpendicolari tracciate dall'inizio e dalla fine del vettore forza a questo asse.
  La proiezione è positiva se la direzione del segmento coincide con la direzione positiva dell'asse.
• Proiezione di forza su un aereoè un vettore su un piano racchiuso tra le perpendicolari tracciate dall'inizio e dalla fine del vettore forza a questo piano.
• Legge 1 (legge di inerzia). Un punto materiale isolato è fermo o si muove in modo uniforme e rettilineo.
  Il moto uniforme e rettilineo di un punto materiale è un moto per inerzia. Lo stato di equilibrio di un punto materiale e di un corpo rigido è inteso non solo come uno stato di riposo, ma anche come un movimento per inerzia. Per un corpo rigido, ci sono diversi tipi moto per inerzia, ad esempio, la rotazione uniforme di un corpo rigido attorno ad un asse fisso.
• Legge 2. Un corpo rigido è in equilibrio sotto l'azione di due forze solo se queste forze sono uguali in grandezza e dirette in direzioni opposte lungo una linea d'azione comune.
  Queste due forze sono chiamate equilibrate.
  In generale, le forze si dicono equilibrate se il corpo rigido a cui sono applicate queste forze è a riposo.
• Legge 3. Senza violare lo stato (la parola "stato" qui significa lo stato di movimento o di riposo) di un corpo rigido, si possono aggiungere e scartare le forze di bilanciamento.
  Conseguenza. Senza disturbare lo stato di un corpo rigido, la forza può essere trasferita lungo la sua linea d'azione in qualsiasi punto del corpo.
  Due sistemi di forze si dicono equivalenti se uno di essi può essere sostituito da un altro senza perturbare lo stato del corpo rigido.
• Legge 4. La risultante di due forze applicate in un punto è applicata nello stesso punto, è uguale in valore assoluto alla diagonale del parallelogramma costruita su queste forze ed è diretta lungo questo
  diagonali.
  Il modulo della risultante è:
  
• Legge 5 (legge dell'uguaglianza di azione e reazione). Le forze con cui due corpi agiscono l'uno sull'altro sono uguali in grandezza e dirette in direzioni opposte lungo una retta.
  Va tenuto presente che azione- forza applicata al corpo B, e opposizione- forza applicata al corpo MA, non sono equilibrati, poiché sono attaccati a corpi diversi.
• Legge 6 (la legge dell'indurimento). L'equilibrio di un corpo non solido non viene disturbato quando si solidifica.
  Non va dimenticato che le condizioni di equilibrio, necessarie e sufficienti per un corpo rigido, sono necessarie ma non sufficienti per il corrispondente corpo non rigido.
• Legge 7 (la legge di liberazione dalle obbligazioni). Un corpo solido non libero può essere considerato libero se è liberato mentalmente dai legami, sostituendo l'azione dei legami con le corrispondenti reazioni dei legami.

Connessioni e loro reazioni
• Superficie liscia limita il movimento lungo la normale alla superficie di appoggio. La reazione è diretta perpendicolarmente alla superficie.
• Supporto mobile articolato limita il movimento del corpo lungo la normale al piano di riferimento. La reazione è diretta lungo la normale alla superficie di supporto.
• Supporto fisso articolato contrasta qualsiasi movimento su un piano perpendicolare all'asse di rotazione.
• Canna articolata senza peso contrasta il movimento del corpo lungo la linea dell'asta. La reazione sarà diretta lungo la linea dell'asta.
• Terminazione cieca contrasta qualsiasi movimento e rotazione nel piano. La sua azione può essere sostituita da una forza presentata sotto forma di due componenti e una coppia di forze con un momento.

Cinematica

Cinematica- una sezione di meccanica teorica, che considera le proprietà geometriche generali del moto meccanico, come un processo che avviene nello spazio e nel tempo. Gli oggetti in movimento sono considerati punti geometrici o corpi geometrici.

Concetti di base della cinematica
• La legge del moto di un punto (corpo)è la dipendenza della posizione di un punto (corpo) nello spazio dal tempo.
• Traiettoria del puntoè il luogo delle posizioni di un punto nello spazio durante il suo movimento.
• Velocità del punto (corpo).- questa è una caratteristica del cambiamento nel tempo della posizione di un punto (corpo) nello spazio.
• Accelerazione puntuale (corpo).- questa è una caratteristica del cambiamento nel tempo della velocità di un punto (corpo).

Determinazione delle caratteristiche cinematiche di un punto
• Traiettoria del punto
  Nel sistema di riferimento vettoriale, la traiettoria è descritta dall'espressione: .
  Nel sistema di coordinate di riferimento, la traiettoria è determinata secondo la legge del movimento puntuale ed è descritta dalle espressioni z = f(x,y) nello spazio, o y = f(x)- sull'aereo.
  In un sistema di riferimento naturale, la traiettoria è predeterminata.
• Determinazione della velocità di un punto in un sistema di coordinate vettoriali
  Quando si specifica il movimento di un punto in un sistema di coordinate vettoriali, il rapporto tra il movimento e l'intervallo di tempo è chiamato valore medio della velocità in questo intervallo di tempo: .
  Prendendo l'intervallo di tempo come valore infinitesimo, otteniamo il valore di velocità in un dato momento (valore di velocità istantanea): .
  Il vettore della velocità media è diretto lungo il vettore nella direzione del movimento del punto, il vettore della velocità istantanea è diretto tangenzialmente alla traiettoria nella direzione del movimento del punto.
  Conclusione: la velocità di un punto è una quantità vettoriale uguale alla derivata della legge del moto rispetto al tempo.
  Proprietà derivata: la derivata temporale di qualsiasi valore determina il tasso di variazione di tale valore.
• Determinazione della velocità di un punto in un sistema di coordinate di riferimento
  Tasso di variazione delle coordinate del punto:
  .
  Il modulo della velocità massima di un punto con un sistema di coordinate rettangolare sarà uguale a:
  .
  La direzione del vettore velocità è determinata dai coseni degli angoli di sterzata:
  ,
  dove sono gli angoli tra il vettore velocità e gli assi delle coordinate.
• Determinazione della velocità di un punto in un sistema di riferimento naturale
  La velocità di un punto in un sistema di riferimento naturale è definita come una derivata della legge del moto di un punto: .
  Secondo le conclusioni precedenti, il vettore velocità è diretto tangenzialmente alla traiettoria nella direzione del movimento del punto e negli assi è determinato da una sola proiezione.

Cinematica del corpo rigido
• Nella cinematica dei corpi rigidi vengono risolti due problemi principali:
  1) compito di movimento e determinazione delle caratteristiche cinematiche del corpo nel suo insieme;
  2) determinazione delle caratteristiche cinematiche dei punti del corpo.
• Moto traslazionale di un corpo rigido
  Il movimento traslatorio è un movimento in cui una linea retta tracciata attraverso due punti del corpo rimane parallela alla sua posizione originale.
  Teorema: nel moto traslatorio tutti i punti del corpo si muovono lungo le stesse traiettorie e in ogni momento hanno la stessa velocità e accelerazione in valore assoluto e direzione.
  Conclusione: il moto traslatorio di un corpo rigido è determinato dal moto di uno qualsiasi dei suoi punti, e quindi il compito e lo studio del suo moto si riduce alla cinematica di un punto.
• Moto rotatorio di un corpo rigido attorno ad un asse fisso
  Il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso è il moto di un corpo rigido in cui due punti appartenenti al corpo rimangono immobili per tutto il tempo del movimento.
  La posizione del corpo è determinata dall'angolo di rotazione. L'unità di misura di un angolo sono i radianti. (Un radiante è l'angolo centrale di un cerchio la cui lunghezza d'arco è uguale al raggio che contiene l'angolo completo del cerchio 2π radiante.)
  La legge del moto rotatorio di un corpo attorno ad un asse fisso.
  La velocità angolare e l'accelerazione angolare del corpo saranno determinate dal metodo di differenziazione:
  — velocità angolare, rad/s;
  — accelerazione angolare, rad/s².
  Se tagliamo il corpo di un piano perpendicolare all'asse, scegliamo un punto sull'asse di rotazione DA e un punto arbitrario M, allora il punto M descriverò intorno al punto DA cerchio di raggio R. In occasione dt c'è una rotazione elementare per l'angolo, mentre per il punto M si muoverà lungo la traiettoria per una certa distanza .
  Modulo velocità lineare:
  .
  accelerazione puntiforme M con una traiettoria nota è determinata dalle sue componenti:
  ,
  dove .
  Di conseguenza, otteniamo formule
  accelerazione tangenziale: ;
  accelerazione normale: .

Dinamica

Dinamica- Questa è una branca della meccanica teorica, che studia i movimenti meccanici dei corpi materiali, a seconda delle cause che li causano.

Concetti di base della dinamica
• inerzia- questa è la proprietà dei corpi materiali di mantenere uno stato di quiete o moto rettilineo uniforme fino a quando le forze esterne non cambiano questo stato.
• Il pesoè una misura quantitativa dell'inerzia di un corpo. L'unità di massa è il chilogrammo (kg).
• Punto materialeè un corpo con una massa le cui dimensioni sono trascurate per risolvere questo problema.
• Centro di massa di un sistema meccanicoè un punto geometrico le cui coordinate sono determinate dalle formule:
  
  dove m k , x k , y k , z k- massa e coordinate K- quel punto del sistema meccanico, mè la massa del sistema.
  In un campo di gravità uniforme, la posizione del baricentro coincide con la posizione del baricentro.
• Momento d'inerzia di un corpo materiale attorno all'asseè una misura quantitativa dell'inerzia durante il movimento rotatorio.
  Il momento d'inerzia di un punto materiale attorno all'asse è uguale al prodotto della massa del punto per il quadrato della distanza del punto dall'asse:
  .
  Il momento di inerzia del sistema (corpo) attorno all'asse è uguale alla somma aritmetica dei momenti di inerzia di tutti i punti:
  
• La forza d'inerzia di un punto materialeè una quantità vettoriale uguale in valore assoluto al prodotto della massa di un punto e del modulo di accelerazione e diretta opposta al vettore di accelerazione:
• Forza d'inerzia di un corpo materialeè una quantità vettoriale uguale in valore assoluto al prodotto della massa corporea e del modulo di accelerazione del baricentro del corpo e diretta opposta al vettore di accelerazione del baricentro: ,
  dove è l'accelerazione del centro di massa del corpo.
• Impulso di forza elementareè una quantità vettoriale uguale al prodotto del vettore forza per un intervallo di tempo infinitesimo dt:
  .
  L'impulso totale di forza per Δt è uguale all'integrale degli impulsi elementari:
  .
• Lavoro di forza elementareè uno scalare dA, uguale allo scalare