Breve corso di lezioni di meccanica teorica. Leggi fondamentali e formule della meccanica teorica. Esempi risolutivi. Legami e reazioni di legami

Angolo di rotazione durante questo tempo φ=2πz.z\u003d 2 * 3,14 * 360 \u003d 2261 rad

4. Lavora per 3 turni:W\u003d 1 * 0,02 * 2261 \u003d 45,2 kJ

Bibliografia

Olofinskaya, V.P. "Meccanica tecnica", "Forum" di Mosca 2011

Erdedi A.A. Erdedi N.A. Meccanica teorica. Resistenza dei materiali.- R-n-D; Fenice, 2010

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Corso di lezioni su meccanica teorica Dinamica (I parte) Bondarenko A.N. Mosca - 2007 Il corso di formazione elettronica è stato scritto sulla base delle lezioni tenute dall'autore per gli studenti che studiano nelle specialità di SZhD, PGS e SDM presso NIIZhT e MIIT (1974-2006). Il materiale didattico corrisponde ai piani del calendario per un importo di tre semestri. Per implementare completamente gli effetti di animazione durante una presentazione, è necessario utilizzare un visualizzatore di Power Point non inferiore a Microsoft Office integrato sistema operativo Windows XP Professional. Commenti e suggerimenti possono essere inviati via e-mail: [e-mail protetta]. Università Statale di Mosca di Ingegneria Ferroviaria (MIIT) Dipartimento di Meccanica Teorica Centro Scientifico e Tecnico delle Tecnologie dei Trasporti

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Contenuti Lezione 1. Introduzione alla dinamica. Leggi e assiomi della dinamica dei punti materiali. Equazione di base della dinamica. Equazioni differenziali e naturali del moto. Due compiti principali della dinamica. Esempi di risoluzione del problema diretto della dinamica Lezione 2. Risoluzione del problema inverso della dinamica. Istruzioni generali per risolvere il problema inverso della dinamica. Esempi di soluzione del problema inverso della dinamica. Il moto di un corpo lanciato ad angolo rispetto all'orizzonte, senza tener conto della resistenza dell'aria. Lezione 3. Oscillazioni rettilinee di un punto materiale. La condizione per il verificarsi di oscillazioni. Classificazione delle vibrazioni. Vibrazioni libere senza tener conto delle forze di resistenza. vibrazioni smorzate. Decremento dell'oscillazione. Lezione 4. Oscillazioni forzate di un punto materiale. Risonanza. Influenza della resistenza al movimento durante le vibrazioni forzate. Lezione 5. Moto relativo di un punto materiale. Forze di inerzia. Casi particolari di movimento per vari tipi di movimento portatile. Influenza della rotazione terrestre sull'equilibrio e sul moto dei corpi. Lezione 6. Dinamica di un sistema meccanico. sistema meccanico. Forze esterne ed interne. Centro di massa del sistema. Il teorema sul moto del centro di massa. Leggi di conservazione. Un esempio di risoluzione del problema dell'utilizzo del teorema sul movimento del centro di massa. Lezione 7. Impulso della forza. La quantità di movimento. Teorema sulla variazione di quantità di moto. Leggi di conservazione. Teorema di Eulero. Un esempio di risoluzione del problema sull'uso del teorema sulla variazione di quantità di moto. momento di slancio. Il teorema sulla variazione del momento angolare Lezione 8. Leggi di conservazione. Elementi di teoria dei momenti d'inerzia. Momento cinetico di un corpo rigido. Equazione differenziale della rotazione di un corpo rigido. Un esempio di risoluzione del problema dell'utilizzo del teorema sulla modifica del momento angolare del sistema. Teoria elementare del giroscopio. Letteratura consigliata 1. Yablonsky A.A. Corso di meccanica teorica. Parte 2. M.: Scuola superiore. 1977. 368 pag. 2. Meshchersky I.V. Raccolta di problemi di meccanica teorica. M.: Scienza. 1986 416 pag. 3. Raccolta di incarichi per tesine /Ed. AA. Yablonsky. M.: Scuola superiore. 1985. 366 pag. 4. Bondarenko A.n. “Meccanica teorica in esempi e compiti. Dynamics” (manuale elettronico www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

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Lezione 1 Dinamica è una sezione di meccanica teorica che studia il moto meccanico dal punto di vista più generale. Il movimento è considerato in connessione con le forze che agiscono sull'oggetto. La sezione si compone di tre sezioni: Dinamica di un punto materiale Dinamica Dinamica di un sistema meccanico Meccanica analitica ■ Dinamica di un punto - studia il moto di un punto materiale, tenendo conto delle forze che causano questo movimento. L'oggetto principale è un punto materiale: un corpo materiale con una massa, le cui dimensioni possono essere trascurate. Assunzioni di base: - esiste uno spazio assoluto (ha proprietà puramente geometriche che non dipendono dalla materia e dal suo movimento. - esiste un tempo assoluto (non dipende dalla materia e dal suo movimento). Ne consegue: - esiste un sistema di riferimento assolutamente immobile - il tempo non dipende dal movimento del sistema di riferimento - le masse dei punti in movimento non dipendono dal movimento del sistema di riferimento Queste ipotesi sono utilizzate nella meccanica classica creata da Galileo e Newton Ha ancora una portata abbastanza ampia, poiché i sistemi meccanici considerati nelle scienze applicate non hanno masse e velocità di movimento così grandi, per le quali è necessario tener conto della loro influenza sulla geometria dello spazio, del tempo, del movimento, come è fatto nella meccanica relativistica (la teoria della relatività) ■ Le leggi fondamentali della dinamica - scoperte per la prima volta da Galileo e formulate da Newton costituiscono la base di tutti i metodi per descrivere e analizzare il movimento dei sistemi meccanici e la loro interazione dinamica azione sotto l'influenza di varie forze. ■ Legge di inerzia (legge di Galileo-Newton) - Un punto materiale isolato di un corpo mantiene il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché le forze applicate non lo costringono a cambiare questo stato. Ciò implica l'equivalenza dello stato di quiete e moto per inerzia (la legge della relatività di Galileo). Il quadro di riferimento, in relazione al quale è soddisfatta la legge di inerzia, è chiamato inerziale. La proprietà di un punto materiale di sforzarsi di mantenere invariata la velocità del suo movimento (il suo stato cinematico) si chiama inerzia. ■ La legge di proporzionalità della forza e dell'accelerazione (Equazione di base della dinamica - II legge di Newton) - L'accelerazione impartita a un punto materiale dalla forza è direttamente proporzionale alla forza e inversamente proporzionale alla massa di questo punto: o Qui m è il massa del punto (una misura dell'inerzia), misurata in kg, numericamente uguale al peso diviso per l'accelerazione gravitazionale: F è la forza agente, misurata in N (1 N impartisce un'accelerazione di 1 m / s2 a un punto con un massa di 1 kg, 1 N \u003d 1/9. 81 kg-s). ■ Dinamica di un sistema meccanico - studia il movimento di un insieme di punti materiali e corpi rigidi, combinati leggi generali interazioni, tenendo conto delle forze che causano questo movimento. ■ Meccanica analitica - studia il moto di sistemi meccanici non liberi utilizzando metodi analitici generali. uno

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Lezione 1 (segue - 1.2) Equazioni differenziali del moto di un punto materiale: - equazione differenziale del moto di un punto in forma vettoriale. - equazioni differenziali del moto puntuale in forma di coordinate. Questo risultato può essere ottenuto mediante proiezione formale dell'equazione differenziale vettoriale (1). Dopo il raggruppamento, la relazione del vettore viene scomposta in tre equazioni scalari: In forma di coordinate: usiamo la relazione del raggio-vettore con le coordinate e il vettore della forza con le proiezioni: equazione differenziale del moto sugli assi delle coordinate naturali (in movimento): o: - equazioni naturali del moto di un punto. ■ Equazione di base della dinamica: - corrisponde al modo vettoriale di specificare il movimento di un punto. ■ La legge di indipendenza dell'azione delle forze - L'accelerazione di un punto materiale sotto l'azione di più forze è uguale alla somma geometrica delle accelerazioni di un punto dall'azione di ciascuna delle forze separatamente: o La legge è valida per ogni stato cinematico dei corpi. Le forze di interazione, essendo applicate a diversi punti (corpi), non sono equilibrate. ■ La legge dell'uguaglianza di azione e reazione (III legge di Newton) - Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contrariamente diretta: 2

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Due problemi principali della dinamica: 1. Problema diretto: il moto è dato (equazioni del moto, traiettoria). È necessario determinare le forze sotto l'azione di cui si verifica un dato movimento. 2. Problema inverso: sono date le forze sotto l'azione delle quali avviene il movimento. È necessario trovare i parametri del moto (equazioni del moto, traiettoria del moto). Entrambi i problemi sono risolti utilizzando l'equazione di base della dinamica e la sua proiezione sugli assi coordinati. Se si considera il moto di un punto non libero, allora, come in statica, si usa il principio della liberazione dai vincoli. Come risultato della reazione, i legami sono inclusi nella composizione delle forze che agiscono sul punto materiale. La soluzione del primo problema è legata alle operazioni di derivazione. La soluzione del problema inverso richiede l'integrazione delle corrispondenti equazioni differenziali, e questo è molto più difficile della differenziazione. Il problema inverso è più difficile del problema diretto. La soluzione del problema diretto della dinamica - diamo un'occhiata agli esempi: Esempio 1. Una cabina con un peso G di un ascensore viene sollevata da un cavo con un'accelerazione a . Determinare la tensione del cavo. 1. Selezionare un oggetto (la cabina dell'ascensore si sposta in avanti e può essere considerata come un punto materiale). 2. Scartiamo la connessione (cavo) e la sostituiamo con la reazione R. 3. Compila l'equazione di base della dinamica: Determina la reazione del cavo: Determina la tensione del cavo: Con un movimento uniforme della cabina ay = 0 e il la tensione del cavo è uguale al peso: T = G. Quando il cavo si rompe T = 0 e l'accelerazione della cabina è uguale all'accelerazione di caduta libera: ay = -g. 3 4. Proiettiamo l'equazione di base della dinamica sull'asse y: y Esempio 2. Un punto di massa m si muove lungo una superficie orizzontale (il piano Oxy) secondo le equazioni: x = a coskt, y = b coskt. Determina la forza che agisce sul punto. 1. Selezionare un oggetto (punto materiale). 2. Scartiamo la connessione (piano) e la sostituiamo con la reazione N. 3. Aggiungiamo al sistema di forze una forza sconosciuta F. 4. Componi l'equazione di base della dinamica: 5. Proietta l'equazione di base della dinamica su assi x,y: Determinare le proiezioni della forza: Modulo di forza: Coseni di direzione: Pertanto, l'intensità della forza è proporzionale alla distanza del punto dal centro delle coordinate ed è diretta verso il centro lungo la linea che collega il punto al centro. La traiettoria del movimento del punto è un'ellisse centrata nell'origine: O r Lezione 1 (continua - 1.3)

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Lezione 1 (continuazione 1.4) Esempio 3: Un carico di peso G è sospeso su un cavo di lunghezza l e si muove lungo un percorso circolare su un piano orizzontale con una certa velocità. L'angolo di deviazione del cavo dalla verticale è uguale a. Determinare la tensione del cavo e la velocità del carico. 1. Seleziona un oggetto (carico). 2. Scartare la connessione (corda) e sostituirla con la reazione R. 3. Comporre l'equazione di base della dinamica: Dalla terza equazione, determinare la reazione del cavo: Determinare la tensione del cavo: Sostituire il valore della reazione del cavo, l'accelerazione normale nella seconda equazione e determinare la velocità del carico: 4. Proiettare l'equazione principale dinamica dell'asse,n,b: Esempio 4: Un'auto di peso G si muove su un ponte convesso (il raggio di curvatura è R ) con una velocità V. Determina la pressione dell'auto sul ponte. 1. Selezioniamo un oggetto (un'auto, trascuriamo le dimensioni e lo consideriamo come un punto). 2. Scartiamo la connessione (superficie ruvida) e la sostituiamo con le reazioni N e la forza di attrito Ffr. 3. Componiamo l'equazione di base della dinamica: 4. Proiettiamo l'equazione di base della dinamica sull'asse n: Da qui determiniamo la reazione normale: Determiniamo la pressione dell'auto sul ponte: Da qui possiamo determinare la velocità corrispondente a pressione nulla sul ponte (Q = 0): 4

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Lezione 2 Dopo aver sostituito i valori trovati delle costanti, otteniamo: Quindi, sotto l'azione dello stesso sistema di forze, un punto materiale può eseguire un'intera classe di movimenti determinati dalle condizioni iniziali. Le coordinate iniziali tengono conto della posizione iniziale del punto. La velocità iniziale, data dalle proiezioni, tiene conto dell'influenza sul suo movimento lungo la sezione considerata della traiettoria delle forze che hanno agito sul punto prima di arrivare a questa sezione, cioè stato cinematico iniziale. Soluzione del problema inverso della dinamica - Nel caso generale del movimento di un punto, le forze agenti sul punto sono variabili che dipendono dal tempo, dalle coordinate e dalla velocità. Il moto di un punto è descritto da un sistema di tre equazioni differenziali del secondo ordine: Dopo aver integrato ognuna di esse, si avranno sei costanti C1, C2,…., C6: I valori delle costanti C1, C2,… ., C6 si trovano da sei condizioni iniziali a t = 0: Esempio 1 della soluzione del problema inverso: Un punto materiale libero di massa m si muove sotto l'azione di una forza F, che è costante in grandezza e grandezza. . Al momento iniziale, la velocità del punto era v0 e coincideva in direzione con la forza. Determina l'equazione del moto di un punto. 1. Componi l'equazione di base della dinamica: 3. Abbassa l'ordine della derivata: 2. Scegli un sistema di riferimento cartesiano, orientando l'asse x lungo la direzione della forza e proietta l'equazione di base della dinamica su questo asse: o x y z 4 .Separare le variabili: 5. Calcolare gli integrali di entrambe le parti dell'equazione: 6. Rappresentiamo la proiezione della velocità come derivata della coordinata rispetto al tempo: 8. Calcolare gli integrali di entrambe le parti dell'equazione: 7. Separare le variabili: 9. Per determinare i valori delle costanti C1 e C2, utilizziamo le condizioni iniziali t = 0, vx = v0 , x = x0: Come risultato, otteniamo l'equazione del moto uniformemente variabile (lungo la asse x): 5

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Istruzioni generali per la risoluzione di problemi diretti e inversi. Procedura risolutiva: 1. Compilazione dell'equazione differenziale del moto: 1.1. Scegli un sistema di coordinate: rettangolare (fisso) con una traiettoria di movimento sconosciuta, naturale (in movimento) con una traiettoria nota, ad esempio un cerchio o una linea retta. In quest'ultimo caso, può essere utilizzata una coordinata rettilinea. Il punto di riferimento dovrebbe essere combinato con la posizione iniziale del punto (a t = 0) o con la posizione di equilibrio del punto, se esiste, ad esempio, quando il punto fluttua. 6 1.2. Disegna un punto in una posizione corrispondente a un momento arbitrario nel tempo (per t > 0) in modo che le coordinate siano positive (s > 0, x > 0). Assumiamo anche che anche la proiezione della velocità in questa posizione sia positiva. Nel caso delle oscillazioni, la proiezione della velocità cambia segno, per esempio, quando si ritorna alla posizione di equilibrio. Qui si dovrebbe presumere che nel momento considerato il punto si allontani dalla posizione di equilibrio. L'implementazione di questa raccomandazione è importante in futuro quando si lavora con forze di resistenza che dipendono dalla velocità. 1.3. Rilascia il punto materiale dai legami, sostituisci la loro azione con reazioni, aggiungi forze attive. 1.4. Scrivere la legge fondamentale della dinamica in forma vettoriale, proiettarla sugli assi selezionati, esprimere le forze date o reattive in termini di variabili tempo, coordinate o velocità, se dipendono da esse. 2. Soluzione di equazioni differenziali: 2.1. Ridurre la derivata se l'equazione non è ridotta alla forma canonica (standard). ad esempio: o 2.2. Variabili separate, ad esempio: o 2.4. Calcola non integrali definiti nelle parti sinistra e destra dell'equazione, ad esempio: 2.3. Se ci sono tre variabili nell'equazione, cambia le variabili, per esempio: e poi separa le variabili. Commento. Invece di calcolare integrali indefinitiè possibile calcolare integrali definiti con un limite superiore variabile. I limiti inferiori rappresentano i valori iniziali delle variabili (condizioni iniziali), quindi non è necessario trovare separatamente la costante, che viene automaticamente inclusa nella soluzione, ad esempio: Utilizzando le condizioni iniziali, ad esempio, t = 0 , vx = vx0, determinare la costante di integrazione: 2.5. Esprimere la velocità in termini di derivata temporale della coordinata, ad esempio, e ripetere i passaggi 2.2 -2.4 Nota. Se l'equazione viene ridotta a una forma canonica che ha una soluzione standard, viene utilizzata questa soluzione già pronta. Le costanti di integrazione si trovano ancora dalle condizioni iniziali. Vedi, ad esempio, le oscillazioni (lezione 4, p. 8). Lezione 2 (seguito 2.2)

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Lezione 2 (continuazione 2.3) Esempio 2 di soluzione del problema inverso: La forza dipende dal tempo. Un carico di peso P inizia a muoversi lungo una superficie orizzontale liscia sotto l'azione di una forza F, la cui entità è proporzionale al tempo (F = kt). Determinare la distanza percorsa dal carico nel tempo t. 3. Componiamo l'equazione principale della dinamica: 5. Abbassiamo l'ordine della derivata: 4. Proiettiamo l'equazione principale della dinamica sull'asse x: o 7 6. Separiamo le variabili: 7. Calcoliamo gli integrali da entrambe le parti dell'equazione: 9. Rappresentiamo la proiezione della velocità come derivata della coordinata rispetto al tempo: 10. Calcola gli integrali di entrambe le parti dell'equazione: 9. Separa le variabili: 8. Determina il valore della costante C1 dalla condizione iniziale t = 0, vx = v0=0: Come risultato, si ottiene l'equazione del moto (lungo l'asse x), che dà il valore della distanza percorsa per il tempo t: 1. Si scegliamo il sistema di riferimento (coordinate cartesiane) in modo che il corpo abbia una coordinata positiva: 2. Prendiamo l'oggetto del moto come un punto materiale (il corpo si muove in avanti), lo liberiamo dalla connessione (piano di riferimento) e lo sostituiamo con il reazione (reazione normale di una superficie liscia) : 11. Determinare il valore della costante C2 dalla condizione iniziale t = 0, x = x0=0: Esempio 3 di soluzione del problema inverso: La forza dipende dalla coordinata. Un punto materiale di massa m viene lanciato verso l'alto dalla superficie terrestre con una velocità v0. La forza di gravità della Terra è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal punto al centro di gravità (il centro della Terra). Determina la dipendenza della velocità dalla distanza y dal centro della Terra. 1. Scegliamo un sistema di riferimento (coordinate cartesiane) in modo che il corpo abbia una coordinata positiva: 2. Componiamo l'equazione di base della dinamica: 3. Proiettiamo l'equazione di base della dinamica sull'asse y: oppure Il coefficiente di proporzionalità può essere trovato utilizzando il peso di un punto sulla superficie della Terra: R Quindi il differenziale l'equazione si presenta come: o 4. Diminuire l'ordine della derivata: 5. Cambiare la variabile: 6. Separare le variabili: 7. Calcolare il integrali di entrambi i lati dell'equazione: 8. Sostituisci i limiti: Di ​​conseguenza, otteniamo un'espressione per la velocità in funzione della coordinata y: L'altezza massima del volo può essere trovata eguagliando la velocità a zero: La massima altitudine di volo quando il denominatore diventa zero: Da qui, impostando il raggio della Terra e l'accelerazione di caduta libera, si ottiene la II velocità cosmica:

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Lezione 2 (continuazione 2.4) Esempio 2 di soluzione del problema inverso: La forza dipende dalla velocità. Una nave di massa m ha velocità v0. La resistenza dell'acqua al movimento della nave è proporzionale alla velocità. Determina il tempo necessario alla velocità della nave per dimezzarsi dopo aver spento il motore, nonché la distanza percorsa dalla nave fino all'arresto completo. 8 1. Scegliamo un sistema di riferimento (coordinate cartesiane) in modo che il corpo abbia una coordinata positiva: 2. Prendiamo l'oggetto del moto come un punto materiale (la nave si muove in avanti), lo liberiamo dai legami (acqua) e lo sostituiamo con una reazione (forza di galleggiamento - forza di Archimede), e anche la forza di resistenza al movimento. 3. Aggiungi forza attiva (gravità). 4. Componiamo l'equazione principale della dinamica: 5. Proiettiamo l'equazione principale della dinamica sull'asse x: oppure 6. Abbassiamo l'ordine della derivata: 7. Separiamo le variabili: 8. Calcoliamo gli integrali da entrambe le parti dell'equazione: 9. Sostituiamo i limiti: Si ottiene un'espressione che mette in relazione la velocità e il tempo t, da cui è possibile determinare il tempo di movimento: Il tempo di movimento, durante il quale la velocità diminuirà della metà: è interessante notare che quando la velocità si avvicina allo zero, il tempo di movimento tende all'infinito, cioè la velocità finale non può essere nulla. Perché non "moto perpetuo"? Tuttavia, in questo caso, la distanza percorsa fino alla fermata è un valore finito. Per determinare la distanza percorsa, ricorriamo all'espressione ottenuta dopo aver abbassato l'ordine della derivata, e facciamo un cambio di variabile: Dopo l'integrazione e la sostituzione dei limiti, otteniamo: Distanza percorsa fino all'arresto: ■ Movimento di un punto lanciato a un angolo rispetto all'orizzonte in un campo di gravità uniforme senza tener conto della resistenza dell'aria Eliminando il tempo dalle equazioni del moto, otteniamo l'equazione della traiettoria: Il tempo di volo è determinato equiparando la coordinata y a zero: L'autonomia di volo è determinata sostituendo il tempo di volo:

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Lezione 3 Oscillazioni rettilinee di un punto materiale - Il movimento oscillatorio di un punto materiale avviene alla condizione: esiste una forza di ripristino che tende a riportare il punto nella posizione di equilibrio per qualsiasi deviazione da questa posizione. 9 C'è una forza di ripristino, la posizione di equilibrio è stabile Nessuna forza di ripristino, la posizione di equilibrio è instabile Nessuna forza di ripristino, la posizione di equilibrio è indifferente È sempre diretta verso la posizione di equilibrio, il valore è direttamente proporzionale all'allungamento lineare (accorciamento) della molla, che è pari allo scostamento del corpo dalla posizione di equilibrio: c è il coefficiente di rigidezza della molla, numericamente pari al forza sotto la quale la molla cambia la sua lunghezza di uno, misurata in N / m nel sistema SI. x y O Tipi di vibrazioni di un punto materiale: 1. Vibrazioni libere (senza tener conto della resistenza del mezzo). 2. Oscillazioni libere tenendo conto della resistenza del mezzo (oscillazioni smorzate). 3. Vibrazioni forzate. 4. Oscillazioni forzate che tengono conto della resistenza del mezzo. ■ Oscillazioni libere - si verificano solo sotto l'azione di una forza di ripristino. Scriviamo la legge fondamentale della dinamica: Scegliamo un sistema di coordinate centrato nella posizione di equilibrio (punto O) e proiettiamo l'equazione sull'asse x: Riportiamo l'equazione risultante nella forma standard (canonica): Questa equazione è un'equazione omogenea equazione differenziale lineare del secondo ordine, la cui forma della soluzione è determinata dalle radici della caratteristica dell'equazione ottenuta usando la sostituzione universale: le radici dell'equazione caratteristica sono immaginarie e uguali: la soluzione generale dell'equazione differenziale ha la forma: La velocità del punto: Condizioni iniziali: Definire le costanti: Quindi, l'equazione delle vibrazioni libere ha la forma: L'equazione può essere rappresentata da un'espressione a termine singolo: dove a è l'ampiezza, - fase iniziale. Le nuove costanti ae - sono legate alle costanti C1 e C2 dalle relazioni: Definiamo ae: La causa dell'occorrenza di oscillazioni libere è lo spostamento iniziale x0 e/o la velocità iniziale v0.

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10 Lezione 3 (seguito 3.2) Oscillazioni smorzate di un punto materiale - Il movimento oscillatorio di un punto materiale avviene in presenza di una forza di ripristino e di una forza di resistenza al movimento. La dipendenza della forza di resistenza al movimento dallo spostamento o dalla velocità è determinata dalla natura fisica del mezzo o della connessione che impedisce il movimento. La dipendenza più semplice è una dipendenza lineare dalla velocità (resistenza viscosa): - coefficiente di viscosità x y O dai valori delle radici: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - caso di alta resistenza viscosa: - radici vere, diverse. oppure - queste funzioni sono aperiodiche: 3. n = k: - le radici sono reali, multiple. anche queste funzioni sono aperiodiche:

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Lezione 3 (seguito 3.3) Classificazione delle soluzioni di oscillazioni libere. Connessioni a molla. durezza equivalente. si si 11 Diff. Carattere di equazione. Equazione Radici char. equazione Risoluzione dell'equazione differenziale Grafico nk n=k

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Lezione 4 Vibrazioni forzate di un punto materiale - Insieme alla forza di ripristino, agisce una forza che cambia periodicamente, chiamata forza perturbante. La forza perturbante può avere natura diversa. Ad esempio, in un caso particolare, l'effetto inerziale di una massa sbilanciata m1 di un rotore rotante provoca proiezioni di forza che cambiano armonicamente: L'equazione principale della dinamica: La proiezione dell'equazione della dinamica sull'asse: Portiamo l'equazione allo standard forma: 12 La soluzione di questa equazione differenziale disomogenea consiste di due parti x = x1 + x2: x1 è la soluzione generale della corrispondente equazione omogenea e x2 è una soluzione particolare dell'equazione disomogenea: selezioniamo la soluzione particolare nella forma di lato destro: l'uguaglianza risultante deve essere soddisfatta per ogni t . Allora: o Così, con l'azione simultanea delle forze restitutrici e perturbatrici, il punto materiale compie un moto oscillatorio complesso, che è il risultato della somma (sovrapposizione) di vibrazioni libere (x1) e forzate (x2). Se pag< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (oscillazioni forzate ad alta frequenza), allora la fase delle oscillazioni è opposta alla fase della forza perturbatrice:

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Lezione 4 (continuazione 4.2) 13 Coefficiente dinamico - il rapporto tra l'ampiezza delle oscillazioni forzate e la deviazione statica di un punto sotto l'azione di una forza costante H = const: L'ampiezza delle oscillazioni forzate: La deviazione statica può essere trovata dal equazione di equilibrio: Qui: Quindi: Quindi, a p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (alta frequenza delle oscillazioni forzate) coefficiente dinamico: Risonanza - si verifica quando la frequenza delle oscillazioni forzate coincide con la frequenza delle oscillazioni naturali (p = k). Ciò si verifica più spesso quando si avvia e si arresta la rotazione di rotori mal bilanciati montati su sospensioni elastiche. L'equazione differenziale delle oscillazioni con frequenze uguali: una soluzione particolare nella forma del membro destro non può essere presa, perché si otterrà una soluzione linearmente dipendente (vedi la soluzione generale). Soluzione generale: Sostituisci nell'equazione differenziale: Prendi una soluzione particolare nella forma e calcola le derivate: Così, la soluzione si ottiene: o Le oscillazioni forzate alla risonanza hanno un'ampiezza che aumenta indefinitamente in proporzione al tempo. Influenza della resistenza al movimento durante le vibrazioni forzate. L'equazione differenziale in presenza di resistenza viscosa ha la forma: La soluzione generale è selezionata dalla tabella (Lezione 3, p. 11) in base al rapporto tra n e k (vedi). Prendiamo una soluzione particolare nella forma e calcoliamo le derivate: Sostituisci nell'equazione differenziale: Uguagliando i coefficienti per funzioni trigonometriche identiche, otteniamo un sistema di equazioni: Elevando a potenza entrambe le equazioni e sommandole, otteniamo l'ampiezza della oscillazioni forzate: Dividendo la seconda equazione per la prima, si ottiene lo sfasamento delle oscillazioni forzate: Quindi , l'equazione del moto per le oscillazioni forzate, tenendo conto della resistenza al moto, per esempio, per n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

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Lezione 5 Moto relativo di un punto materiale - Supponiamo che il sistema di coordinate mobili (non inerziali) Oxyz si muova secondo qualche legge relativa al sistema di coordinate fisse (inerziali) O1x1y1z1. Il moto di un punto materiale M (x, y, z) rispetto al sistema mobile Oxyz è relativo, rispetto al sistema immobile O1x1y1z1 è assoluto. Il moto del sistema mobile Oxyz relativo al sistema fisso O1x1y1z1 è un moto portatile. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Equazione di base della dinamica: Accelerazione assoluta di un punto: Sostituisci l'accelerazione assoluta di un punto nell'equazione di base della dinamica: Trasferiamo i termini con traslazione e accelerazione di Coriolis a destra: Il i termini trasferiti hanno la dimensione delle forze e sono considerati come le corrispondenti forze inerziali, uguali: Allora il moto relativo di un punto può essere considerato assoluto, se alle forze agenti si sommano le forze traslazionali e di Coriolis d'inerzia: Nelle proiezioni sulla assi del sistema di coordinate mobili, abbiamo: diverso tipo moto traslatorio: 1. Rotazione attorno ad un asse fisso: Se la rotazione è uniforme, allora εe = 0: 2. Moto curvilineo traslatorio: Se il moto è rettilineo, allora = : Se il moto è rettilineo e uniforme, allora il sistema in moto è il moto inerziale e relativo può essere considerato assoluto: nessun fenomeno meccanico può rilevare un moto rettilineo uniforme (principio di relatività della meccanica classica). Influenza della rotazione terrestre sull'equilibrio dei corpi - Supponiamo che il corpo sia in equilibrio sulla superficie terrestre ad una latitudine arbitraria φ (parallele). La Terra ruota attorno al proprio asse da ovest a est con una velocità angolare: il raggio della Terra è di circa 6370 km. SR è la reazione totale di una superficie non liscia. G - forza di attrazione della Terra verso il centro. Ф - forza centrifuga di inerzia. Condizione di equilibrio relativo: La risultante delle forze di attrazione e di inerzia è la forza di gravità (peso): L'entità della forza di gravità (peso) sulla superficie della Terra è P = mg. La forza centrifuga di inerzia è una piccola frazione della forza di gravità: anche la deviazione della forza di gravità dalla direzione della forza di attrazione è piccola: quindi, l'influenza della rotazione terrestre sull'equilibrio dei corpi è estremamente piccola e non viene preso in considerazione nei calcoli pratici. Il valore massimo della forza inerziale (a φ = 0 - all'equatore) è solo 0,00343 del valore della gravità

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Lezione 5 (continuazione 5.2) 15 Influenza della rotazione terrestre sul movimento dei corpi nel campo gravitazionale terrestre - Supponiamo che un corpo cada sulla Terra da una certa altezza H sopra la superficie terrestre alla latitudine φ . Scegliamo un sistema di riferimento mobile, rigidamente connesso con la Terra, orientando gli assi x, y tangenzialmente al parallelo e al meridiano: Equazione del moto relativo: qui si tiene conto della piccolezza della forza centrifuga di inerzia rispetto alla gravità . Pertanto, la forza di gravità è identificata con la forza di gravità. Inoltre, assumiamo che la gravità sia diretta perpendicolarmente alla superficie terrestre a causa della piccolezza della sua deflessione, come discusso sopra. L'accelerazione di Coriolis è uguale e diretta parallelamente all'asse y verso ovest. La forza di inerzia di Coriolis è diretta nella direzione opposta. Proiettiamo sull'asse l'equazione del moto relativo: La soluzione della prima equazione dà: Condizioni iniziali: La soluzione della terza equazione dà: Condizioni iniziali: La terza equazione assume la forma: Condizioni iniziali: La sua soluzione dà: La soluzione risultante mostra che il corpo devia verso est quando cade. Calcoliamo il valore di questa deviazione, ad esempio, quando cadiamo da un'altezza di 100 m Troviamo il tempo di caduta dalla soluzione della seconda equazione: Pertanto, l'influenza della rotazione terrestre sul movimento dei corpi è estremamente ridotta per altezze e velocità pratiche e non viene preso in considerazione nei calcoli tecnici. La soluzione della seconda equazione implica anche l'esistenza di una velocità lungo l'asse y, che dovrebbe anche causare e causa la corrispondente accelerazione e la forza di inerzia di Coriolis. L'influenza di questa velocità e della forza d'inerzia ad essa associata sulla variazione del moto sarà ancora minore della forza d'inerzia di Coriolis considerata associata alla velocità verticale.

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Lezione 6 Dinamica di un sistema meccanico. Sistema di punti materiali o sistema meccanico - Un insieme di punti materiali o quei punti materiali uniti da leggi generali di interazione (la posizione o il movimento di ciascuno dei punti o di un corpo dipende dalla posizione e dal movimento di tutti gli altri) Il sistema di punti liberi - il cui movimento non è limitato da alcuna connessione (ad esempio, un sistema planetario , in cui i pianeti sono considerati punti materiali). Un sistema di punti non liberi o un sistema meccanico non libero: il movimento di punti o corpi materiali è limitato dai vincoli imposti al sistema (ad esempio, un meccanismo, una macchina, ecc.). 16 Forze agenti sul sistema. Oltre alla classificazione delle forze precedentemente esistente (forze attive e reattive), viene introdotta una nuova classificazione delle forze: 1. Forze esterne (e) - agenti su punti e corpi del sistema da punti o corpi che non ne fanno parte sistema. 2. Forze interne (i) - forze di interazione tra punti o corpi materiali inclusi nel sistema dato. La stessa forza può essere sia esterna che interna. Tutto dipende da quale sistema meccanico è considerato. Ad esempio: nel sistema del Sole, della Terra e della Luna, tutte le forze gravitazionali tra di loro sono interne. Considerando il sistema Terra e Luna, le forze gravitazionali applicate dal lato del Sole sono esterne: C Z L In base alla legge di azione e reazione, ad ogni forza interna Fk corrisponde un'altra forza interna Fk', uguale in valore assoluto e opposta in direzione. Da questo ne seguono due proprietà meravigliose forze interne: il vettore principale di tutte le forze interne del sistema è zero: il momento principale di tutte le forze interne del sistema relativo a qualsiasi centro è zero: o nelle proiezioni sugli assi delle coordinate: Nota. Sebbene queste equazioni siano simili alle equazioni di equilibrio, non lo sono, poiché le forze interne sono applicate a vari punti o corpi del sistema e possono far muovere questi punti (corpi) l'uno rispetto all'altro. Da queste equazioni risulta che le forze interne non influenzano il moto di un sistema considerato nel suo insieme. Il centro di massa del sistema di punti materiali. Per descrivere il movimento del sistema nel suo insieme, viene introdotto un punto geometrico, chiamato centro di massa, il cui raggio vettore è determinato dall'espressione, dove M è la massa dell'intero sistema: O in proiezioni sulla coordinata assi: Le formule per il centro di massa sono simili a quelle per il centro di gravità. Tuttavia, il concetto di centro di massa è più generale, poiché non è correlato alle forze di gravità o alle forze di gravità.

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Lezione 6 (seguito 6.2) 17 Teorema sul moto del centro di massa del sistema - Si consideri un sistema di n punti materiali. Dividiamo le forze applicate a ciascun punto in esterne e interne e le sostituiamo con le corrispondenti risultanti Fke e Fki. Scriviamo per ogni punto l'equazione di base della dinamica: oppure Sommiamo queste equazioni su tutti i punti: Sul lato sinistro dell'equazione, introdurremo le masse sotto il segno della derivata e sostituiremo la somma delle derivate con la derivata della somma: Dalla definizione del centro di massa: Sostituisci nell'equazione risultante: otteniamo o: Il prodotto della massa del sistema e l'accelerazione della sua massa centrale è uguale al vettore principale delle forze esterne. Nelle proiezioni sugli assi coordinati: il centro di massa del sistema si sposta come un punto materiale con una massa uguale alla massa dell'intero sistema, a cui vengono applicate tutte le forze esterne che agiscono sul sistema. Conseguenze dal teorema sul moto del centro di massa del sistema (leggi di conservazione): 1. Se nell'intervallo di tempo il vettore principale delle forze esterne del sistema è uguale a zero, Re = 0, allora la velocità di il centro di massa è costante, vC = const (il centro di massa si muove uniformemente in modo rettilineo - la legge di conservazione del moto centro di massa). 2. Se nell'intervallo di tempo la proiezione del vettore principale delle forze esterne del sistema sull'asse x è uguale a zero, Rxe = 0, allora la velocità del centro di massa lungo l'asse x è costante, vCx = const (il centro di massa si sposta uniformemente lungo l'asse). Dichiarazioni simili sono vere per gli assi y e z. Esempio: due persone di massa m1 e m2 si trovano su una barca di massa m3. Al momento iniziale, la barca con le persone era ferma. Determina lo spostamento della barca se una persona di massa m2 si sposta a prua della barca a una distanza a. 3. Se nell'intervallo di tempo il vettore principale delle forze esterne del sistema è uguale a zero, Re = 0, e al momento iniziale la velocità del centro di massa è uguale a zero, vC = 0, allora il raggio vettore del centro di massa rimane costante, rC = const (il centro di massa è a riposo è la legge di conservazione della posizione del centro di massa). 4. Se nell'intervallo di tempo la proiezione del vettore principale delle forze esterne del sistema sull'asse x è uguale a zero, Rxe = 0, e al momento iniziale la velocità del centro di massa lungo questo asse è zero , vCx = 0, allora la coordinata del centro di massa lungo l'asse x rimane costante, xC = const (il centro di massa non si sposta lungo questo asse). Dichiarazioni simili sono vere per gli assi y e z. 1. Oggetto del movimento (barca con persone): 2. Eliminare le connessioni (acqua): 3. Sostituire la connessione con la reazione: 4. Aggiungere le forze attive: 5. Annotare il teorema sul centro di massa: Proiettare sull'asse x : O Determina quanto devi trasferire a una persona di massa m1, in modo che la barca rimanga in posizione: la barca si sposterà di una distanza l nella direzione opposta.

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Lezione 7 L'impulso di forza è una misura dell'interazione meccanica che caratterizza il trasferimento del moto meccanico delle forze agenti sul punto per un dato periodo di tempo: 18 In proiezioni sugli assi coordinati: Nel caso di forza costante: In proiezioni sugli assi delle coordinate: al punto di forza nello stesso intervallo di tempo: Moltiplicare per dt: Integrare su un dato intervallo di tempo: La quantità di movimento del punto è una misura del movimento meccanico, determinata da un vettore uguale al prodotto di la massa del punto e il vettore della sua velocità: Teorema sulla variazione dell'entità del movimento del sistema – Si consideri il sistema n punti materiali. Dividiamo le forze applicate a ciascun punto in esterne e interne e le sostituiamo con le corrispondenti risultanti Fke e Fki. Scriviamo per ogni punto l'equazione di base della dinamica: o La quantità di moto del sistema di punti materiali è la somma geometrica delle quantità di moto dei punti materiali: Per definizione del centro di massa: Il vettore della quantità di moto del sistema è uguale al prodotto della massa dell'intero sistema e del vettore velocità del centro di massa del sistema. Quindi: Nelle proiezioni sugli assi coordinati: La derivata temporale del vettore momento del sistema è uguale al vettore principale delle forze esterne del sistema. Sommiamo queste equazioni su tutti i punti: Sul lato sinistro dell'equazione, introduciamo le masse sotto il segno della derivata e sostituiamo la somma delle derivate con la derivata della somma: Dalla definizione della quantità di moto del sistema: Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate:

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Teorema di Eulero - Applicazione del teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema al moto di un mezzo continuo (acqua). 1. Selezioniamo come oggetto di movimento il volume d'acqua situato nel canale curvilineo della turbina: 2. Scartiamo i legami e sostituiamo la loro azione con reazioni (Rpov - la risultante delle forze superficiali) 3. Aggiungiamo le forze attive (Rb - la risultante delle forze del corpo): 4. Annotare il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema: La quantità di moto dell'acqua agli istanti t0 e t1 è rappresentata come somme: Variazione della quantità di moto dell'acqua nell'intervallo di tempo : Variazione di la quantità di moto dell'acqua in un intervallo di tempo infinitesimale dt: , dove F1 F2 Facendo il prodotto della densità, dell'area della sezione trasversale e della velocità per secondo di massa, si ottiene: Sostituendo il differenziale della quantità di moto del sistema nel teorema di cambiamento, si ottiene : Conseguenze dal teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema (leggi di conservazione): 1. Se nell'intervallo di tempo il vettore principale delle forze esterne del sistema è uguale a zero, Re = 0, allora il moto del vettore quantità è costante, Q = const è la legge di conservazione della quantità di moto del sistema). 2. Se nell'intervallo di tempo la proiezione del vettore principale delle forze esterne del sistema sull'asse x è uguale a zero, Rxe = 0, allora la proiezione della quantità di moto del sistema sull'asse x è costante, Qx = cost. Dichiarazioni simili sono vere per gli assi y e z. Lezione 7 (continuazione di 7.2) Esempio: Una granata di massa M, volando a velocità v, è esplosa in due parti. La velocità di uno dei frammenti di massa m1 è aumentata nella direzione del moto fino al valore v1. Determina la velocità del secondo frammento. 1. L'oggetto del movimento (granata): 2. L'oggetto è un sistema libero, non ci sono connessioni e le loro reazioni. 3. Somma delle forze attive: 4. Annota il teorema sulla variazione di momento: Proietta sull'asse: β Dividi le variabili e integra: L'integrale retto è quasi nullo, perché tempo di esplosione t

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Lezione 7 (continuazione 7.3) 20 Il momento angolare di un punto o momento cinetico del moto relativo a un certo centro è una misura del moto meccanico, determinata da un vettore uguale al prodotto vettoriale del raggio vettore di un punto materiale per il vettore della sua quantità di moto: Il momento cinetico di un sistema di punti materiali rispetto a un certo centro è geometrico la somma dei momenti della quantità di moto di tutti i punti materiali relativi allo stesso centro: In proiezioni sull'asse: In proiezioni sull'asse : Teorema sulla variazione del momento d'impulso del sistema - Consideriamo un sistema di n punti materiali. Dividiamo le forze applicate a ciascun punto in esterne e interne e le sostituiamo con le corrispondenti risultanti Fke e Fki. Scriviamo per ogni punto l'equazione di base della dinamica: oppure Sommiamo queste equazioni su tutti i punti: Sostituiamo la somma delle derivate con la derivata della somma: L'espressione tra parentesi è il momento della quantità di moto del sistema. Da qui: Moltiplichiamo vettorialmente ciascuna delle uguaglianze per il raggio-vettore a sinistra: Vediamo se è possibile portare il segno della derivata oltre i limiti del prodotto vettoriale: Quindi, abbiamo: centro. Nelle proiezioni sugli assi coordinati: La derivata del momento di quantità di moto del sistema rispetto a qualche asse nel tempo è uguale al momento principale delle forze esterne del sistema rispetto allo stesso asse.

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Lezione 8 21 ■ Conseguenze del teorema sulla variazione del momento angolare del sistema (leggi di conservazione): 1. Se nell'intervallo di tempo il vettore del momento principale delle forze esterne del sistema rispetto a un certo centro è uguale a zero, MOe = 0, allora il vettore del momento angolare del sistema relativo al centro stesso è costante, KO = const è la legge di conservazione della quantità di moto del sistema). 2. Se nell'intervallo di tempo il momento principale delle forze esterne del sistema rispetto all'asse x è uguale a zero, Mxe = 0, allora il momento angolare del sistema rispetto all'asse x è costante, Kx = const. Dichiarazioni simili sono vere per gli assi y e z. 2. Momento di inerzia di un corpo rigido attorno a un asse: Il momento di inerzia di un punto materiale attorno a un asse è uguale al prodotto della massa del punto e al quadrato della distanza del punto dall'asse. Il momento d'inerzia di un corpo rigido attorno ad un asse è uguale alla somma dei prodotti della massa di ciascun punto per il quadrato della distanza di questo punto dall'asse. ■ Elementi di teoria dei momenti d'inerzia - Nel moto rotatorio di un corpo rigido, la misura dell'inerzia (resistenza alla variazione del moto) è il momento d'inerzia attorno all'asse di rotazione. Considera i concetti di base della definizione e dei metodi per il calcolo dei momenti di inerzia. 1. Momento di inerzia di un punto materiale attorno all'asse: nella transizione da una piccola massa discreta a una massa infinitamente piccola di un punto, il limite di tale somma è determinato dall'integrale: momento di inerzia assiale di un corpo rigido . Oltre al momento d'inerzia assiale di un corpo rigido, esistono altri tipi di momenti d'inerzia: il momento d'inerzia centrifugo di un corpo rigido. Momento polare d'inerzia di un corpo rigido. 3. Il teorema sui momenti di inerzia di un corpo rigido rispetto ad assi paralleli - la formula per il passaggio ad assi paralleli: Momento di inerzia rispetto all'asse di riferimento Momenti statici di inerzia rispetto agli assi di riferimento I momenti di massa corporea sono pari a zero:

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Lezione 8 (continuazione 8.2) 22 Momento di inerzia di un'asta uniforme di sezione costante attorno all'asse: x z L Selezionare il volume elementare dV = Adx alla distanza x: x dx Massa elementare: Per calcolare il momento di inerzia attorno all'asse centrale (passante per il baricentro), è sufficiente cambiare la posizione dell'asse e impostare i limiti di integrazione (-L/2, L/2). Qui dimostriamo la formula per la transizione ad assi paralleli: zС 5. Il momento di inerzia di un cilindro solido omogeneo attorno all'asse di simmetria: H dr r Individuiamo il volume elementare dV = 2πrdrH (cilindro sottile di raggio r) : Massa elementare: qui usiamo la formula del volume del cilindro V=πR2H. Per calcolare il momento di inerzia di un cilindro cavo (spesso), è sufficiente impostare i limiti di integrazione da R1 a R2 (R2> R1): 6. Il momento di inerzia di un cilindro sottile attorno all'asse di simmetria (t

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Lezione 8 (continuazione 8.3) 23 ■ Equazione differenziale della rotazione di un corpo rigido attorno a un asse: Scriviamo un teorema sulla modifica del momento angolare di un corpo rigido che ruota intorno a un asse fisso: Il momento di un corpo rigido in rotazione è: Il momento delle forze esterne attorno all'asse di rotazione è uguale alla coppia (reazioni e forze non creano momenti gravitazionali): Sostituiamo il momento cinetico e la coppia nel teorema Esempio: Due persone dello stesso peso G1 = G2 sono appese a una corda gettato su un blocco solido con un peso G3 = G1/4. Ad un certo punto, uno di loro ha iniziato a salire sulla corda con una velocità relativa u. Determina la velocità di sollevamento di ogni persona. 1. Selezioniamo l'oggetto del movimento (blocco con persone): 2. Scartiamo le connessioni (il dispositivo di supporto del blocco): 3. Sostituiamo la connessione con reazioni (cuscinetto): 4. Aggiungi forze attive (gravità): 5. Annotare il teorema sulla variazione del momento cinetico del sistema rispetto all'asse di rotazione del blocco: R Poiché il momento delle forze esterne è uguale a zero, il momento cinetico deve rimanere costante: All'istante iniziale t = 0, c'era equilibrio e Kz0 = 0. Dopo l'inizio del movimento di una persona rispetto alla fune, l'intero sistema ha iniziato a muoversi, ma il momento cinetico del sistema deve rimanere uguale a zero: Kz = 0. Il momento angolare del sistema è la somma dei momenti angolari di entrambe le persone e del blocco: qui v2 è la velocità della seconda persona, uguale alla velocità dell'estremità del cavo rispetto a un asse di rotazione fisso. Oppure: In caso di piccole oscillazioni sinφ φ: Periodo di oscillazione: Momento di inerzia della barra:

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Lezione 8 (continuazione 8.4 - materiale aggiuntivo) 24 ■ Teoria elementare del giroscopio: Un giroscopio è un corpo rigido che ruota attorno all'asse di simmetria materiale, uno dei cui punti è fisso. Un giroscopio libero è fissato in modo tale che il suo centro di massa rimanga fermo e l'asse di rotazione passi attraverso il centro di massa e possa assumere qualsiasi posizione nello spazio, ad es. l'asse di rotazione cambia la sua posizione come l'asse di rotazione del corpo stesso durante il movimento sferico. L'assunto principale della teoria approssimativa (elementare) del giroscopio è che il vettore del momento (momento cinetico) del rotore sia considerato diretto lungo il proprio asse di rotazione. Pertanto, nonostante il fatto che nel caso generale il rotore partecipi a tre rotazioni, viene presa in considerazione solo la velocità angolare della propria rotazione ω = dφ/dt. La ragione di ciò è che nella tecnologia moderna il rotore del giroscopio ruota con una velocità angolare dell'ordine di 5000-8000 rad / s (circa 50000-80000 rpm), mentre le altre due velocità angolari associate alla precessione e alla nutazione del proprio asse di rotazione decine di migliaia di volte inferiore a questa velocità. La proprietà principale di un giroscopio libero è che l'asse del rotore mantiene una direzione costante nello spazio rispetto al sistema di riferimento inerziale (stellare) (dimostrato dal pendolo di Foucault, che mantiene invariato il piano oscillante rispetto alle stelle, 1852). Ciò deriva dalla legge di conservazione del momento cinetico relativo al centro di massa del rotore, a condizione che l'attrito nei cuscinetti degli assi della sospensione del rotore, il telaio esterno e interno sia trascurato: Azione della forza sull'asse di un libero giroscopio. Nel caso di una forza applicata all'asse del rotore, il momento delle forze esterne rispetto al centro di massa non è uguale a zero: ω ω С forza, e verso il vettore del momento di questa forza, cioè ruoterà non attorno all'asse x (sospensione interna), ma attorno all'asse y (sospensione esterna). Al termine della forza, l'asse del rotore rimarrà nella stessa posizione, corrispondente all'ultimo tempo della forza, perché da questo punto nel tempo, il momento delle forze esterne diventa nuovamente uguale a zero. Nel caso di un'azione di forza a breve termine (impatto), l'asse del giroscopio praticamente non cambia posizione. Pertanto, la rapida rotazione del rotore conferisce al giroscopio la capacità di contrastare le influenze casuali che cercano di modificare la posizione dell'asse di rotazione del rotore e, con un'azione costante della forza, mantiene la posizione del piano perpendicolare a la forza agente in cui giace l'asse del rotore. Queste proprietà sono utilizzate nel funzionamento dei sistemi di navigazione inerziale.

Lezioni di Meccanica Teorica

Dinamica puntuale

Lezione 1

Concetti di base della dinamica

Nel cap Dinamica si studia il movimento dei corpi sotto l'azione delle forze ad essi applicate. Pertanto, oltre a quei concetti che sono stati introdotti nell'art Cinematica, qui è necessario utilizzare nuovi concetti che riflettano le specificità dell'impatto delle forze su vari corpi e la risposta dei corpi a questi impatti. Consideriamo il principale di questi concetti.

a) forza

La forza è il risultato quantitativo dell'impatto su un dato corpo da parte di altri corpi. La forza è una grandezza vettoriale (Fig. 1).

Punto A dell'inizio del vettore forza F chiamato punto di applicazione della forza. Viene chiamata la linea MN su cui si trova il vettore forza linea di forza. Viene chiamata la lunghezza del vettore forza, misurata su una certa scala valore numerico o modulo del vettore forza. Il modulo di forza è indicato come o . L'azione di una forza su un corpo si manifesta o nella sua deformazione, se il corpo è fermo, o nell'imprimergli accelerazione quando il corpo si muove. Su queste manifestazioni di forza si basa il dispositivo di vari strumenti (misuratori di forza o dinamometri) per misurare le forze.

b) sistema di forze

L'insieme considerato di forze si forma sistema di forza. Qualsiasi sistema costituito da n forze può essere scritto nella seguente forma:

c) corpo libero

Viene chiamato un corpo che può muoversi nello spazio in qualsiasi direzione senza sperimentare un'interazione diretta (meccanica) con altri corpi gratuito o isolato. L'influenza dell'uno o dell'altro sistema di forze su un corpo può essere chiarita solo se questo corpo è libero.

d) forza risultante

Se una forza ha lo stesso effetto su un corpo libero di un sistema di forze, allora viene chiamata questa forza risultante di questo sistema di forze. Questo è scritto come segue:

,

che significa equivalenza l'impatto sullo stesso corpo libero della risultante e di un qualche sistema di n forze.

Passiamo ora alla considerazione di concetti più complessi relativi alla determinazione quantitativa degli effetti rotazionali delle forze.

e) momento di forza rispetto a un punto (centro)

Se il corpo sotto l'azione di una forza può ruotare attorno a un punto fisso O (Fig. 2), allora per quantificare questo effetto rotatorio viene introdotta una quantità fisica, che si chiama momento di forza rispetto a un punto (centro).

Si chiama il piano passante per un dato punto fisso e la retta di azione della forza piano di forza. In Fig. 2, questo è il piano ОАВ.

Il momento di forza rispetto a un punto (centro) è una quantità vettoriale uguale al prodotto vettoriale del raggio vettore del punto di applicazione della forza per il vettore forza:

( 1)

Secondo la regola della moltiplicazione vettoriale di due vettori, il loro prodotto vettoriale è un vettore perpendicolare al piano di posizione dei vettori dei fattori (in questo caso, il piano del triangolo OAB), diretto nella direzione da cui il giro più breve di il primo vettore fattore al secondo vettore fattore visibile contro l'orologio (Fig. 2). Con questo ordine dei vettori dei fattori del prodotto vettoriale (1), la rotazione del corpo sotto l'azione della forza sarà visibile contro l'orologio (Fig. 2) Poiché il vettore è perpendicolare al piano del forza, la sua posizione nello spazio determina la posizione del piano della forza.Il valore numerico del vettore del momento di forza rispetto al centro è uguale al doppio dell'area ОАВ e può essere determinato dalla formula:

, (2)

dove grandezzah, uguale alla distanza più breve da un dato punto O alla retta di azione della forza, si chiama braccio della forza.

Se la posizione del piano di azione della forza nello spazio non è essenziale per caratterizzare l'azione rotazionale della forza, allora in questo caso, per caratterizzare l'azione rotazionale della forza, invece del vettore del momento della forza, momento algebrico di forza:

(3)

Il momento di forza algebrico relativo a un dato centro è uguale al prodotto del modulo di forza e del suo spallamento, preso con un segno più o meno. In questo caso, un momento positivo corrisponde alla rotazione del corpo sotto l'azione di una data forza contro l'orologio, e un momento negativo corrisponde alla rotazione del corpo nella direzione dell'orologio. Dalle formule (1), (2) e (3) ne consegue il momento della forza rispetto a un punto è uguale a zero solo se il braccio di questa forzahzero. Una tale forza non può far ruotare il corpo attorno a un dato punto.

f) Momento della forza attorno all'asse

Se un corpo sotto l'azione di una forza può ruotare attorno a un asse fisso (ad esempio, la rotazione di un serramento nei cardini quando sono aperti o chiusi), allora viene introdotta una grandezza fisica per quantificare questo effetto rotatorio, che è chiamato momento di forza attorno ad un dato asse.

z.z

 b Fxy

La Figura 3 mostra un diagramma in base al quale viene determinato il momento di forza attorno all'asse z:

L'angolo  è formato da due direzioni perpendicolari ze ai piani dei triangoli O ab e OAV, rispettivamente. Poiché  O abè la proiezione di ОАВ sul piano xy, allora secondo il teorema della stereometria sulla proiezione di una figura piana su un dato piano, si ha:

dove il segno più corrisponde a un valore positivo di cos, cioè angoli acuti , e il segno meno corrisponde a un valore negativo di cos, cioè angoli ottusi , dovuti alla direzione del vettore . A sua volta SO ab=1/2ah, dove h  ab . Il valore del segmento abè uguale alla proiezione della forza sul piano xy, cioè . ab = F xy .

Sulla base di quanto sopra, nonché delle uguaglianze (4) e (5), determiniamo il momento di forza attorno all'asse z come segue:

L'uguaglianza (6) ci consente di formulare la seguente definizione del momento di forza attorno a qualsiasi asse: il momento di forza attorno a un dato asse è uguale alla proiezione su questo asse del vettore del momento di questa forza rispetto a qualsiasi punto di un dato asse ed è definito come il prodotto della proiezione della forza su un piano perpendicolare all'asse dato, preso con un segno più o meno sulla spalla di questa proiezione rispetto al punto di intersezione dell'asse con il piano di proiezione. In questo caso, il segno del momento è considerato positivo se, guardando dalla direzione positiva dell'asse, è visibile la rotazione del corpo attorno a questo asse contro l'orologio. Altrimenti, il momento della forza attorno all'asse è considerato negativo. Poiché questa definizione del momento di forza rispetto all'asse è abbastanza difficile da ricordare, si consiglia di ricordare la formula (6) e la figura 3, che spiega questa formula.

Dalla formula (6) ne consegue il momento di forza intorno all'asse è nullo seè parallelo all'asse (in questo caso la sua proiezione su un piano perpendicolare all'asse è uguale a zero), oppure la linea di azione della forza interseca l'asse (quindi il braccio di proiezione h=0). Ciò corrisponde pienamente al significato fisico del momento di forza attorno all'asse come caratteristica quantitativa dell'azione rotazionale della forza su un corpo con un asse di rotazione.

g) peso corporeo

È stato a lungo notato che sotto l'influenza di una forza, il corpo aumenta gradualmente la velocità e continua a muoversi se la forza viene rimossa. Questa proprietà dei corpi, per resistere a un cambiamento nel loro movimento, è stata chiamata inerzia o inerzia dei corpi. La misura quantitativa dell'inerzia di un corpo è la sua massa. Oltretutto, la massa corporea è una misura quantitativa dell'effetto delle forze gravitazionali su un dato corpo maggiore è la massa del corpo, maggiore è la forza gravitazionale che agisce sul corpo. Come sarà mostrato di seguito, uh Queste due definizioni di peso corporeo sono correlate.

Altri concetti e definizioni di dinamica saranno discussi più avanti nelle sezioni in cui si verificano per la prima volta.

2. Legami e reazioni di legami

In precedenza nella sezione 1 punto (c) è stato dato il concetto di corpo libero, come un corpo che può muoversi nello spazio in qualsiasi direzione senza essere in contatto diretto con altri corpi. La maggior parte dei corpi reali che ci circondano sono in contatto diretto con altri corpi e non possono muoversi in una direzione o nell'altra. Quindi, ad esempio, i corpi situati sulla superficie del tavolo possono muoversi in qualsiasi direzione, ad eccezione della direzione perpendicolare alla superficie del tavolo verso il basso. Le porte a battente possono ruotare, ma non possono muoversi in avanti, ecc. Vengono chiamati corpi che non possono muoversi nello spazio in una direzione o nell'altra non gratis.

Tutto ciò che limita il movimento di un dato corpo nello spazio si chiama legame. Questi possono essere alcuni altri corpi che impediscono il movimento di questo corpo in alcune direzioni ( collegamenti fisici); più in generale, possono essere alcune condizioni imposte al movimento del corpo, che limitano questo movimento. Quindi, puoi impostare una condizione affinché il movimento di un punto materiale avvenga lungo una data curva. In questo caso, la connessione è specificata matematicamente sotto forma di un'equazione ( equazione di connessione). La questione dei tipi di collegamenti sarà considerata più dettagliatamente di seguito.

La maggior parte dei legami imposti ai corpi sono praticamente legami fisici. Pertanto, sorge la domanda sull'interazione di un dato corpo e sulla connessione imposta a questo corpo. A questa domanda risponde l'assioma sull'interazione dei corpi: due corpi agiscono l'uno sull'altro con forze uguali in grandezza, opposte in direzione e situate sulla stessa linea retta. Queste forze sono chiamate forze di interazione. Le forze di interazione vengono applicate a diversi corpi interagenti. Quindi, ad esempio, durante l'interazione di un dato corpo e una connessione, una delle forze di interazione viene applicata dal lato del corpo alla connessione e l'altra forza di interazione viene applicata dal lato della connessione al dato corpo . Quest'ultimo potere è chiamato forza di reazione del legame o semplicemente, reazione di connessione.

Quando si risolvono problemi pratici di dinamica, è necessario essere in grado di trovare la direzione delle reazioni di vari tipi di legami. La regola generale per determinare la direzione di una reazione di legame a volte può aiutare in questo: la reazione di un legame è sempre diretta nella direzione opposta alla direzione in cui questo legame impedisce il movimento di un dato corpo. Se questa direzione può essere specificata in modo definitivo, la reazione della connessione sarà determinata dalla direzione. Altrimenti, la direzione della reazione del legame è indefinita e può essere trovata solo dalle corrispondenti equazioni del moto o dell'equilibrio del corpo. Più in dettaglio, la questione dei tipi di legami e della direzione delle loro reazioni dovrebbe essere studiata secondo il libro di testo: S.M. Targ Un breve corso di meccanica teorica "Scuola superiore", M., 1986. Cap.1, §3.

Nella sezione 1, punto (c), è stato detto che l'effetto di qualsiasi sistema di forze può essere pienamente determinato solo se questo sistema di forze è applicato a un corpo libero. Poiché la maggior parte dei corpi, in effetti, non è libera, allora per studiare il movimento di questi corpi, sorge la domanda su come rendere liberi questi corpi. Questa domanda ha una risposta assioma delle connessioni delle lezioni Su filosofia in casa. Lezioni erano... psicologia sociale ed etnopsicologia. 3. Teorico risultati Nel darwinismo sociale erano ...